热点06 圆的性质与综合计算（热点专练）（安徽专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点06 圆的性质与综合计算 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 利用垂径定理求解 题型02 利用弧、弦、圆心角与圆周角的关系求解 题型03 求度数 题型04 切线的判定定理 题型05 圆的综合 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：圆的性质与综合每年必考，固定1道小题（选择题或者填空题，4-5分）＋1道解答题（10分）。题型稳定，核心考点：垂径定理、圆周角定理、切线判定与性质，结合特殊三角形、角平分线、勾股定理、相似三角形及三角函数证切线，求长度、角度、比值等。题型难度中等偏上。 预测2026年：2026 年将继续保持稳定，背景更简洁：以三角形外接圆、半圆为主，减少复杂图形；计算可能偏重，综合度提升。所以在复习时，需要考生对这部分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分。 题型01 利用垂径定理求解 解｜题｜策｜略 1、 直径弦平分弦、平分弧 2、 直径平分非直径的弦直径垂直弦 3、 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 解题技巧 遇弦做垂直，连半径，构造直角三角形 例1（2026·安徽宿州·一模）如图，已知的半径为10，弦，点C是上一点，且，则的长为（    ） A．8 B． C． D． 例2（2025·安徽宿州·模拟预测）如图，C为中弦上一点，的弦心距为，，，则弦的长度为（    ） A． B．6 C．8 D． 【变式1】（2025·安徽·三模）如图，是的直径，弦于点，如果，半径为3，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】（2025·安徽合肥·三模）如图，半径为5的，直径垂直于与，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 题型02 利用弧、弦、圆心角与圆周角的关系求解 解｜题｜策｜略 1、 与角相等，优先找公共弧 2、 角度转化口诀：角看弧、弧牵弦 3、 看到直径，构直角 4、 看到四点共圆：对角和180度 例1（2026·安徽合肥·一模）如图，是外接圆，，若，弦的弦心距为2，则弦的长是（   ） A．10 B． C．12 D．15 例2（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，为的弦，，交于点C，点D为上一点，，则的长度是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 【变式2】（2025·河南南阳·三模）如图，内接于，是的直径，的平分线交于点E，交于点A，连接，．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 题型03 求度数 例1（2025·安徽合肥·一模）如图，是的直径，点，在上，，与交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2（2025·安徽·一模）在中，记弦所对的优弧长为，所对的劣弧长为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·陕西西安·一模）如图，是的直径，弦交于点G．连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽淮北·一模）如图，的直径与弦垂直，且，则的度数为（   ） A．50° B．60° C．80° D．70° 题型04 切线的判定定理 解｜题｜策｜略 1、 圆上有点连半径，证垂直； 2、 圆上无点做垂直，证半径 例1（2026·河南周口·一模）如图，内接于，．求证：为的切线． 例2（25-26九年级上·福建福州·月考）已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 【变式1】（25-26九年级上·贵州黔西南·月考）如图，以点为圆心，为直径作圆，在上取一点，连接，，延长至点，连接，使得，求证：是的切线． 【变式2】（2025·湖南邵阳·三模）如图，A，B，C，D是上的四点，是直径，，过点B作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 题型05 圆的综合 例1（2026·安徽·二模）如图，为的直径，为圆弧上一点，为的中点，过点作的切线交射线于点，连接，D． (1)求证：； (2)若，，求长． 例2（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的直径，弦于点C，过点F作的切线，交的延长线于点D，G为的中点，连接．若，． (1)求的半径． (2)求的值． 【变式1】（2025·安徽滁州·三模）如图，是的直径，弦于点E，F是上一点，C是的中点，与交于点G，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若是直径且，求的长． 【变式2】（2024·安徽合肥·一模）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线． (1)求证：； (2)若，，求的半径． （20分钟限时练） 1．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽阜阳·一模）如图，点，，，在上，连接，，且，，，点是上一点，连接并交于点．若，则的半径为（   ） A． B． C．8 D． 3．（2026·四川南充·一模）如图，在中，，点C为的中点，点D是半径上一动点．若，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·月考）如图，点、、都在上，，，的度数______． 5．（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 6．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，点在边上，以点为圆心的与边相切于点，与边相切于点，交于点，延长，交于点，过点作于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 7．（2024·安徽合肥·二模）已知，四边形 内接于为直径 ，与的延长线相交于点E，平分，与相交于点 F． (1)如图1，若 ，求证：； (2)如图2，若，，求的半径． 8．（2024·云南·模拟预测）如图，四边形内接于，对角线是的直径，过点作的垂线交的延长线于点，为的中点，连接，，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 9．（2026·福建三明·一模）如图，点、在上，过点的切线交所在的直线于点，过点作于，连接． (1)求证：平分； (2)连接并延长，交于点，若．求的值． 10．（2026·陕西西安·二模）如图，是的外接圆，是的直径，过上一点D作于点E，过点C作的切线交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若D为的中点，的直径为10，，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点06 圆的性质与综合计算 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 利用垂径定理求解 题型02 利用弧、弦、圆心角与圆周角的关系求解 题型03 求度数 题型04 切线的判定定理 题型05 圆的综合 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：圆的性质与综合每年必考，固定1道小题（选择题或者填空题，4-5分）＋1道解答题（10分）。题型稳定，核心考点：垂径定理、圆周角定理、切线判定与性质，结合特殊三角形、角平分线、勾股定理、相似三角形及三角函数证切线，求长度、角度、比值等。题型难度中等偏上。 预测2026年：2026 年将继续保持稳定，背景更简洁：以三角形外接圆、半圆为主，减少复杂图形；计算可能偏重，综合度提升。所以在复习时，需要考生对这部分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分。 题型01 利用垂径定理求解 解｜题｜策｜略 1、 直径弦平分弦、平分弧 2、 直径平分非直径的弦直径垂直弦 3、 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 解题技巧 遇弦做垂直，连半径，构造直角三角形 例1（2026·安徽宿州·一模）如图，已知的半径为10，弦，点C是上一点，且，则的长为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理求线段长度，熟练掌握垂径定理是解题关键．过点O作于点D，连接．根据垂径定理可知，从而在中，运用勾股定理求出线段的长，再在中，运用勾股定理求出线段的长． 【详解】解：如图，过点O作于点D，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 在中，． 故选：B． 例2（2025·安徽宿州·模拟预测）如图，C为中弦上一点，的弦心距为，，，则弦的长度为（    ） A． B．6 C．8 D． 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算 【分析】此考查了垂径定理、解直角三角形等知识，熟练掌握垂径定理和特殊角的三角函数是关键．过点O作，进一步得到，则，即可求出，由垂径定理即可求出答案． 【详解】解：如图，过点O作，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由垂径定理可得． 故选：C 【变式1】（2025·安徽·三模）如图，是的直径，弦于点，如果，半径为3，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题应用垂径定理，连接，由得，在中，设半径为R，应用勾股定理得：，继而求得的长． 【详解】解：连接， ∵是的直径，， ∴, 根据勾股定理： 解得， 故选：B． 【变式2】（2025·安徽合肥·三模）如图，半径为5的，直径垂直于与，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用垂径定理求值、求其他不规则图形的面积、利用平行四边形的判定与性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，扇形面积公式等；由垂径定理得，矩形的判定及性质，，由平行四边形的判定及性质得，由扇形的面积公式即可求解；掌握垂径定理及扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：直径垂直于与， ，，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ； 故选：A． 题型02 利用弧、弦、圆心角与圆周角的关系求解 解｜题｜策｜略 1、 与角相等，优先找公共弧 2、 角度转化口诀：角看弧、弧牵弦 3、 看到直径，构直角 4、 看到四点共圆：对角和180度 例1（2026·安徽合肥·一模）如图，是外接圆，，若，弦的弦心距为2，则弦的长是（   ） A．10 B． C．12 D．15 【答案】B 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解、用勾股定理解三角形 【分析】过点作，交于点，连接，过点作于点，首先结合垂径定理证明，易得，在中，由勾股定理解得的长度，设半径为，即，则，在中，由勾股定理解得的值，然后在中，由勾股定理解得的长度，根据垂径定理即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作，交于点，连接，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 设半径为，即，则， 在中，由勾股定理可得， 即，解得， ∴， ∵弦的弦心距为2，即， ∴在中，由勾股定理可得， ∵， ∴． 例2（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，为的弦，，交于点C，点D为上一点，，则的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理、求弧长、利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，弧长公式，由圆周角定理得，由垂径定理得，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式1】（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用弧、弦、圆心角的关系求解、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理是正确解答的关键．根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为F，交于点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设半径为R， 在中，， 由勾股定理得，，即， 解得． 故选：A． 【变式2】（2025·河南南阳·三模）如图，内接于，是的直径，的平分线交于点E，交于点A，连接，．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】根据圆周角定理得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，再根据等腰直角三角形的性质计算即可． 本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键． 【详解】解：是的直径， ， 的平分线交于点E， ， ， ， 在中，，， 则， 故选：C 题型03 求度数 例1（2025·安徽合肥·一模）如图，是的直径，点，在上，，与交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题的关键． 根据直径所对的圆周角为 90 度可知，根据，可知，进而可得，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得，最后根据三角形外角的定义和性质即可求出的度数． 【详解】解：∵是圆的直径， ， ， ， ， ∵， ， ， ， 故选：A． 例2（2025·安徽·一模）在中，记弦所对的优弧长为，所对的劣弧长为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据“”得到，据此计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 【变式1】（2025·陕西西安·一模）如图，是的直径，弦交于点G．连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、三角形的外角的定义及性质、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，圆周角所对的弦是直径，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据圆周角定理得到，，结合，得到，最后根据三角形的外角计算的度数． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（2025·安徽淮北·一模）如图，的直径与弦垂直，且，则的度数为（   ） A．50° B．60° C．80° D．70° 【答案】C 【知识点】圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求解、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，弧与圆心角之间的关系，连接，根据垂径定理得到，则由弧与圆心角的关系和圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵的直径与弦垂直， ∴， ∴， 故选：C． 题型04 切线的判定定理 解｜题｜策｜略 1、 圆上有点连半径，证垂直； 2、 圆上无点做垂直，证半径 例1（2026·河南周口·一模）如图，内接于，．求证：为的切线． 【答案】见解析 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、证明某直线是圆的切线、圆周角定理 【分析】连接，，记为，记为，由圆周角定理可得，由等边对等角，结合三角形的内角和定理，可得，即可证得结论． 【详解】证明：连接，，则，记为，记为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵为的半径， ∴为的切线． 例2（25-26九年级上·福建福州·月考）已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 【答案】见详解 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、直角三角形的两个锐角互余、证明某直线是圆的切线、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题主要考查了切线的判定定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由直径所对的圆周角是直角可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，即，然后根据切线的判定定理即可得出结论； 【详解】证明：是的直径， ， ∵ ， ， ， 即：， 是的切线； 【变式1】（25-26九年级上·贵州黔西南·月考）如图，以点为圆心，为直径作圆，在上取一点，连接，，延长至点，连接，使得，求证：是的切线． 【答案】见解析 【知识点】证明某直线是圆的切线、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 连接，由圆的半径相等得，由等边对等角，直径对的圆周角是和两角互余，证得即可解答． 【详解】证明：如图，连接． ，． 又， ．     是的直径， ． ， ． 又是的半径， 是的切线． 【变式2】（2025·湖南邵阳·三模）如图，A，B，C，D是上的四点，是直径，，过点B作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、利用垂径定理求值 【分析】连接并延长交于点H，利用垂径定理求得垂直平分，证明四边形为矩形，据此即可证明是的切线； 在中，通过勾股定理求得，设的半径为r，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点H，连接， ， ， ， 垂直平分， ， 为的直径， ， ， ， 四边形为矩形， ， 为的半径， 为的切线； （2）在中， ，， ， 四边形为矩形， ，， 设的半径为r， 则，， 在中，， 解得 即的半径为 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题型05 圆的综合 例1（2026·安徽·二模）如图，为的直径，为圆弧上一点，为的中点，过点作的切线交射线于点，连接，D． (1)求证：； (2)若，，求长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、用勾股定理解三角形、切线的性质定理 【分析】（1）连接，得到，再结合弧中点所对圆周角相等及等腰三角形底角相等的性质推导出内错角相等，进而证明与平行，最终由垂直的传递性得到； （2）连接，利用弧中点的性质得到，结合（1）的结论用勾股定理求出的长度，再通过圆内接四边形的外角等于内对角及同角的余角相等证明与相似，借助相似三角形的比例关系求出的长度，最后通过线段的差计算出的长度． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． （2）解：如图，连接， ∵为的中点， ∴． 由（1）知， 在中，由勾股定理得． ∵为的直径， ∴， ∴． ∵四边形内接于， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴，即，解得， ∴． 例2（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的直径，弦于点C，过点F作的切线，交的延长线于点D，G为的中点，连接．若，． (1)求的半径． (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、含30度角的直角三角形、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、切线的性质定理 【分析】本题主要考查了切线的性质定理、垂径定理、勾股定理、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键． （1）连接，，，根据垂径定理可得，根据切线的性质定理可得，即，进而可得，再解得，然后证明，设，易得，，在中，利用勾股定理解得，即可求出半径， （2）用三角函数求出的长即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，，， 是的切线， ， ， ， ， 于点，， ， 设， 为的中点， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ，即的半径为4． （2）解：， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【变式1】（2025·安徽滁州·三模）如图，是的直径，弦于点E，F是上一点，C是的中点，与交于点G，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若是直径且，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题是圆的综合题，主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等，掌握有关性质是解题的关键． （1）先求得，可得，再证得，在和中，，可得，从而得出，即可求证； （2）先求得，再求得，证明是等边三角形，再由可得，再由勾股定理求得，再证明是直角三角形，再求解即可． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， ，AB是直径， ， 在和中，， ， ， 即； （2）解：DF是直径，由（1）知 ， 又 ， 又， 是等边三角形， 又 ， ， 是直径， ， 是直角三角形， 又G是AC的中点， ． 【变式2】（2024·安徽合肥·一模）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为2 【知识点】切线的性质定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、圆周角、切线的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． （1）连接，结合“直径所对的圆周角为直角”可得，即有，再结合切线的性质可得，进而可得，可证明，结合，易得，即可证明结论； （2）设，在中，根据勾股定理可得，代入数值并计算，即可获得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线，为半径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 即的半径为2． （20分钟限时练） 1．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】连接，根据弧与圆心角之间的关系得到的度数，再由圆周角定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴． 2．（2026·安徽阜阳·一模）如图，点，，，在上，连接，，且，，，点是上一点，连接并交于点．若，则的半径为（   ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【知识点】利用垂径定理求值、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】过点作于点，并延长交于点，证明，推出，运用垂径定理、勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，并延长交于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 设的半径为，则， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得（负值舍去）， 则的半径为． 3．（2026·四川南充·一模）如图，在中，，点C为的中点，点D是半径上一动点．若，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、线段问题(轴对称综合题)、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】作点关于的对称点，连接，连接交于点，根据轴对称的性质得出的最小值为的长度，求出相关角的度数，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，连接交于点， ∴，， 此时，的最小值为的长度， ∵点C为的中点， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， 即的最小值为． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·月考）如图，点、、都在上，，，的度数______． 【答案】/50度 【知识点】圆周角定理、 求圆弧的度数 【分析】本题考查了圆周角定理和圆心角定理，掌握圆的相关性质是解题关键．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得到，进而得到，再根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的度数， 故答案为：． 5．（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 【答案】 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】根据切线长定理，，，，根据即可得出，进而得出，即可得答案． 【详解】解：∵四边形与分别相切于点，，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 6．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，点在边上，以点为圆心的与边相切于点，与边相切于点，交于点，延长，交于点，过点作于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)2． 【知识点】含30度角的直角三角形、角平分线的判定定理、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，由切线的性质得到，从而证明为的平分线，得到，再由得到，最后得到； （2）由切线长定理得到，然后通过求三角函数值得，从而得到，继而求出，，最后利用含角的直角三角形的性质求出． 【详解】（1）证明：如图，连接， 和都是的切线， ， ，， 为的平分线， ， ，， ， ． （2）和都是的切线， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 的长为2． 【点睛】本题考查了圆的切线性质和切线长定理，三角函数值的应用，角平分线的判定和含角的直角三角形的性质．添加辅助线和熟练掌握和运用相关性质是解题的关键． 7．（2024·安徽合肥·二模）已知，四边形 内接于为直径 ，与的延长线相交于点E，平分，与相交于点 F． (1)如图1，若 ，求证：； (2)如图2，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、圆与三角形的综合、勾股定理： （1）利用证得，进而可求证结论； （2）利用先证得，进而可得，，设，，利用勾股定理得，，再结合，即可求解； 熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键。 【详解】（1）证明：为直径， ， ， ， ， 在和中， ， （2）平分， ， 由（1）得：， 在和中， ， ， ， ，， 设，， 由勾股定理得：，， ，， ，即：， 解得：， 为直径， 的半径为。 8．（2024·云南·模拟预测）如图，四边形内接于，对角线是的直径，过点作的垂线交的延长线于点，为的中点，连接，，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】证明某直线是圆的切线、圆周角定理、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、利用垂径定理求值 【分析】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识， （1）由圆周角定理得出，利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出，进而得出答案； （2）过点O作于点G，由垂径定理可得，利用，可求半径为2，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． 是的直径， ． ． 是的中点， ． ． ， ． ， ． ，即． 是的切线； （2）解：如图，过点O作于点G． 由垂径定理，得． 设，则，． ， ， 整理，得，即． ， ． ，即的半径为2． ． 9．（2026·福建三明·一模）如图，点、在上，过点的切线交所在的直线于点，过点作于，连接． (1)求证：平分； (2)连接并延长，交于点，若．求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、切线的性质定理、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，根据圆的切线的性质推出，利用平行线的性质和等边对等角的性质，得出，即可得证； （2）连接、，由直径可得，由同角的余角相等以及等边对等角，得出，从而证明，得到，再根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：如图，连接、， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ， ， ． 10．（2026·陕西西安·二模）如图，是的外接圆，是的直径，过上一点D作于点E，过点C作的切线交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若D为的中点，的直径为10，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】切线的性质定理、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了圆的基本性质，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键． （1）连接，根据以及为的切线，可得，从而得到，，通过，得到，最后运用等量代换以及“对顶角相等”证得； （2）连接，过点E作于点K，先证，从而求出，由D为中点，求得的长，解，求出，再解，求出，，最后在中，运用勾股定理求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的外接圆， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，过点E作于点K， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 在四边形中， ∵， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 在中， ∵，，的直径为10， ∴， ∵D为的中点，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $