高频专题04 几何图形性质与证明（高频考点专练）（安徽专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04几何图形性质与证明 目录 地高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） ”聚焦题型精准解密(6大题型精讲+变式拔高训练) 题型一求角度（★★★） 题型二求线段长度及关系（★★★） 题型三求面积（食食★） 题型四求比例（☆☆★） 题型五证明线段相等（食女★食） 题型六证明比值相等（★☆★★） 们实战演练高数提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 高频考情◆解读 几何图形性质与证明是中考数学基础必考模块，解答题分值约12~14分，整张试卷几何总分约42~58 分，整体以中高档题为主，侧重考查几何图形的基础知识，几何证明要求步骤规范、定理熟练。 基础知识必备：掌握线、角、相交线与平行线的性质与判定；熟练运用三角形内角和及三边关系和三角形 中重要线段（角平分线、线段垂直平分线、三角形中位线），掌握特殊三角形及四边形的性质；能够结合 图形变换及勾股定理和相似进行几何证明。 2026中考预测：题型稳定：分值不变，难度略降，重基础+重模型+重步骤：基础小问（送分），中档证明 (稳定)，压轴综合（拉分）。 难度平稳：以基础题、中档题为主，不设置偏题、怪题，重点考查计算准确率与易错点辨析： 命题趋势：弱化超纲题型，强化教材基础（不考偏难怪），代数推理增强，简单融入跨学科、生活化情景。 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 核心考点◆梳理 内角和、外角性质、三边关系 三角形 角平分线、垂直平分线、三角形中位线 重难知识 性质 特殊四边形 平行四边形、菱形、矩形、正方形 判定 遇平行线：优先找同位角、内错角、同旁内角 遇折线、拐点：过拐点作平行线倒角 角度 遇三角形外角：用外角=不相邻两内角和快速算角 遇角平分线：作垂线、得等距、造全等 几何图形性 常用技巧 遇中点：构造(1)中位线(2)倍长中线(3)直角三角形斜边 质与证明 中线 线段 遇垂直平分线：直接得线段两瑞距离相等 遇折叠/翻折 默认全等、对应边相等、对应角相等 混淆判定条件 概念混淆 把“HL“用在普通三角形 跳步推理，缺少关键条件 易错提效 证明书写错误 全等判定乱用 理由不规范，只写结论不写定理依据 计算易错 相似面积比忘了平方 聚焦题型◆解密 题型一求角度 【典例01】(21-22九年级上·云南昆明期中)如图，在正方形ABCD中，点E为DC上一点，连接BE, △DCF是由△BCE旋转得到的，连接EF,若∠BEC=6O°，则∠EFD的度数为() E A.10° B.15 C.20° D.30° 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得△BCE≌△DCF,，从而得到CE=CF,∠DFC=∠BEC=60°， ∠DCF=∠BCE=90°，进而判断出△ECF为等腰直角三角形，求出∠CFE=45°，最后利用角的和差关系 求解即可. 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：四边形ABCD是正方形， ∠BCD=90° △DCF是由△BCE旋转得到的， ∴，△BCE≌△DCF CE=CF,∠DFC-∠BEC=60°，∠DCF=∠BCE=90°， 点E在DC上， ∴∠ECF=90°， .△ECF是等腰直角三角形， ·∠CFE=45°， ∴.∠EFD=∠DFC-∠CFE=60°-45°=15° 【典例02】(2026上海闵行·二模)如图，四边形ABCD是平行四边形，将CD绕点D顺时针旋转90°，点 AE 8 C恰好落在BA延长线上的点E处，作∠BCD的平分线交DE的延长线于点F,连接BF,如果AB5, 那么∠FBE的正切值是· D B 0 【答案】23 【分析】如图，过点F作FG⊥BC于点G,设AE=8x,AB=15x,得到BE=BA+AE=23x,利用勾股 定理表示出BC=AD=VAE+DE=17x,设FE=y,证明出R FGC≌RFDC(HL),得到 GC=CD=15x,利用勾股定理得到FE=10x,进而求解即可. 【详解】解：如图，过点F作FG⊥BC于点G 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D ! G 指8 .设AE=8x,AB=15x .BE=BA+AE=23x ,四边形ABCD是平行四边形 、.CD=AB=15x,AB∥CD,BC=AD 根据题意得，DE=CD=15x,∠CDE=90° ∴.∠AFE=∠AED=90° BC=AD=AE2+DE2=17x 设FE=y ,FG⊥BC,FC平分∠BCD FG=FD=FE+DE=y+15x 又：∠FGC=∠FDC=90°，FC=FC :RtFGC≌RtFDC(HL ..GC=CD=15x ∴.BG=BC-GC=2x BG+FG-BF=BE+FE .(2x+(y+15x2=(23x2+y y=10x ∴.FE=10x 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠AFE=90° 、.tan∠FBE= FE_10x10 BE 23x 23 10 ·∠FBE的正切值是23： 【变式01】(22-23六年级下山东烟台·期中)如图所示，以直线AB上的一点O为端点，在直线AB的上 方作射线OP,使∠BOP=68°，将一块直角三角尺 ∠MON=90) 的直角顶点放在点O处，且直角三角尺在 直线1B的上方.设∠B0M=m0<n<90) M ()当n=30时，求∠PON的大小： (2)若0<n<68时，求∠AON-∠POM的值. 【答案】(1)∠ON=52° (2)22° 【分析】本题考查了角的和差运算及平角的性质，数形结合是解题的关键，根据直角三角尺旋转时OM与 OP的相对位置关系进行计算即可. (1)中当"=30时.OM0p ∠BOP=68∠POM 再结合<1M0N=90 ∠PON 时，在的右侧，利用 求出 求出 (2)当0<n<68时，OM在OP的右侧，利用∠AON与∠BOM互余求出∠AON,再计算 ∠AON-∠POM即可. 【详解】(1)解：当n=30时，∠BOM=30 ∠BOP=68°， ∴.∠POM=∠B0P-∠BOM=68°-30°=38°， .∠MON=90° ∴.∠PON=∠MON-∠POM=90°-38°=52° 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠MON=90°，∠AOB=180° (2)解： ∠AON+∠BOM=90°， .∠AON=90°-n° 当0<n≤68时，OM在OP的右侧， ∠POM=∠BOP-∠BOM=68°-n ∠AOW-∠P0M=(90°-n)-(68°-n)=22° 【变式02】(22-23七年级下·贵州·期中)将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放 在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°：∠E=∠B=45°）. D 图1 图2 (1)如图1， ①若∠DCE=40°，求∠ACB的度数： ②若∠ACB=150°，直接写出∠DCE的度数是度. (2)由(1)猜想∠ACB与∠DCE满足的数量关系是 (3)若固定△ACD,将△BCE绕点C顺时针旋转（不超过一周），旋转至BC∥DA(如图2)时，求∠ACE 的度数。 【答案】(1)①140°；②30 (2)∠ACB+∠DCE=180° (3)∠ACE=30°或∠ACE=150° 【分析】(1)①根据∠DCE=40°，可知∠ACE=50°，则∠ACB=∠ACE+∠ECB=140°，②∠ACB=150 得出∠ACE=60°，即可得出∠DCE=30°： (2)根据∠ACE=90°-∠DCE,∠ACB=90°+∠ACE,可知∠ACB+∠DCE=180°： (3)点B在AC上方和下方两种情况，根据平行线的性质求解即可， 【详解】(1)解：①∠DCE=40°， 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ACE=∠ACD-∠DCE=90°-40°=50°， ∴.∠ACB=∠ACE+∠ECB=50°+90°=140° ②：∠ACB=150°， ∴.∠ACE=∠ACB-∠BCE=150°-90°=60°， .∠DCE=∠ACD-∠ACE=90°-60°=30° (2)解：：∠ACE=90°-∠DCE,∠ACB=∠BCE+∠ACE=90°+∠ACE, .∠ACB=90°+90°-∠DCE, .∠ACB+∠DCE=180° (3)解：如图，点B在AC上方时， O B C BC∥DA, .∠A+∠ACB=180°， :∠A=60° ∴.∠ACB=180°-60°=120°， ,∠BCE=90° .∠ACE=∠ACB-∠ECB=120°-90°=30° 如图，点B在AC下方时， B .BC∥DA, 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠A=∠ACB=60°， ,∠BCE=90° .∠ACE=∠ACB+∠ACD=60°+90°=150° 答：∠ACE=30°或∠ACE=150°」 题型二求线段长度及关系 【典例01】(23-24八年级下·浙江温州·期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，E,F分别是边AB,AC的中 点，延长BC到点D位CD-8C,连接Er·CE'DP B (I)求证：四边形CDFE是平行四边形， (2)连结DE,交AC于点O,若AB=BD=6,求DE的长. 【答案】()见解析 ②DE-2 【分析】()根据三角形的中位线定具，可知EPBC:EP-方BC,据此即可证明结论， 容易证明CD=?BD=2BC=BD=4,利用勾股定理求得4C的长度，进而可求得OD的 【详解】(I)证明：：E,F分别为AB,AC的中点， EE IRC,EP=)BC】 ∴.CD∥EF .CD=I8C, 2 ∴CD=EF, ∴.四边形DCEF是平行四边形. 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()CD=BC:BD=4B=6 2 :CD-1BD=2,BC-2BD=4. 3 ,∠ACB=90°， ∴.∠0CD=90° 在Rt△MBC中，4C=VAB2-BC=25 :四边形DCEF是平行四边形， :c-0r-4c-9 2,DE=20D. 在 Rt△OCD 中，0D=VCD+0c=21 DE=20D=21 【典例02】(25-26九年级下·云南昆明月考)如图，在R:△1BC中 ∠ACB=90 中， ,D是AB的中点，F是 CD的中点，过点C作CE∥AB交BF延长线于点E. D (I)求证：四边形ADCE是菱形： (2)若BC=2,菱形ADCE的面积为2，求AB的长. 【答案】(1)证明见解析 5 2 【分析】(I)先根据“角角边”证明△CEF≌△DBF,可得CE=BD,再根据直角三角形的斜边中线等 于斜边的一半得CD=?AB=D=BD,然后说明四边形4DCE是平行四边形，最后根据“一组邻边相等 2 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的平行四边形是菱形”得出答案： (2)连接DE,根据菱形的性质说明四边形BDEC是平行四边形，可得DE=BC=2,再根据菱形ADCE 的面积是求出4C一方，然后限据匀股定理得出答案。 3 【详解】(1)证明：：CE∥AB, ∠CEF=∠DBF,∠ECF=∠BDF ,点F是CD的中点， ∴.CF=DF, :.△CEF≌aDBF(AMS ∴CE=BD 在Rt△ABC中，点D是AB的中点， .CD-z4B-4D-BD. ∴CE=BD=AD :CE∥AB, .四边形ADCE是平行四边形. CD=AD, ∴.四边形ADCE是菱形： (2)解：连接DE, :四边形ADCE是菱形， .AC⊥DE AC⊥BC, ∴.BC∥DE. CE∥BD, “.四边形BDEC是平行四边形， .DE =BC=2 3 ·菱形ADCE的面积是2， 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.S菱形ADCE= ×2AC=3 2 解得AC=3 2 AB=AC2+BC2 2+22= 根据勾股定理，得 B 【变式01】(2026北京平谷一模)在△1BC。 ,AB=AC,∠BAC= D BC B,C 中， ,点”是心边上一点（不与 重合)，连接AD.将线段AD绕点A逆时针旋转a得到线段AE,连接DE. M 0 图1 图2 (1)如图1，a=∠BAC=80°，求∠DCE的度数： (2)如图2，a=∠BAC=90°，BD<CD,过点D作DG⊥BC,DG交CA的延长线于G,连接BG.点M 是DE的中点，点F是BG的中点，连接FM,CM.用等式表示线段FM与CM的数量关系并证明； 【答案】(1)100° 2)FM=VcM ,证明见解析 ∠B,∠ACB ∠DAE=a,AD=AE 【分析】(1)等边对等角，求出 的度数，旋转，得到 ,证明 △BAD≌aCAE,得到∠ACE=∠ABD,再根据角的和差关系进行求解即可； CE,AM,AF (2)连接 ”,证明B1DaaC1E,得到∠ACE=∠A8C=45”,CE=BD 进而得到 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BCD=∠ACB+∠4CB=90,证明△CDG为等腰直角三角形，得到CD=DG,证明△BCD2 BDG(SAS) 得到DE=BG,然后根据直角三角形斜边上的中线，推出CM=AM=AF=BF,证明 aCAM≌aBMF(SSS,推出∠MAF=∠CAB=90°，进而得到FM=V5AM=V2CM即可. AB=AC,a=∠BAC=80° 【详解】(1)解： :∠ABC=∠ACB=50°， ,将线段AD绕点A逆时针旋转得到线段AE, ∠DAE=C=∠BAC,AD=AE .∠BAD=∠CAE=Q-∠CAD, :△BHD≌CAE(SAS) ∴∠ACE=∠ABD=50°， .∠DCE=∠ACB+∠ACE=100°： FM=2CM (2)解： 证明如下： 如图，连接CE,AM,AF M D ∠BAC=90°，AB=AC .∠ACB=∠ABC=45°， :将线段AD绕点A逆时针旋转a得到线段AE, ∠DAE=a=90°，AD=AE, ∴.∠BAD=∠CAE=90°-∠CAD, 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△BAD≌aCAE(SAS ∴.∠ACE=∠ABC=45°，CE=BD, :.∠ECD=∠ACB+∠ACE=90°， ,DG⊥BC,∠ACB=45°， .∠CDG=∠BDG=90°，aCDG为等腰直角三角形， .'CD=DG, ∠GDB=∠DCE=90°，BD=CE :△ECD≌BDG(SAS) ∴.DE=BG, M.F DE.BG ∠ECD=90°，∠DAE=90°，∠BAG=180°-∠CAB=90° 点分别为 的中点， :.CM-AM=IDE,BF-AF-1BG-IDE, 、) 2 2 :CM=AM=AF=BF, 又AC=AB, :△CMM≌△BAF(SSS) .∠CAM=∠BAF, ∴.∠BAF+∠BAM=∠CAM+∠BAM,即∠MAF=∠CAB=90°， AM=AF, :FM=AM-CM 【变式02】(25-26九年级下·四川成都月考)在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O, AB=5,AC=8. 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ⊙ 图1 图2 (I)如图1，求sin∠BAC的值. (2)如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE,作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线AC于点 P,连接BP. ①当EF⊥AC时，求PB的值.②在点E的移动过程中，求PA-PB的最小值. 【答案】()5 3√893√39-4 (2①5② 【分析】(1)利用菱形的性质和勾股定理求出OB的长度，然后利用锐角三角函数求解： AD AO (2)①连接BD交AC于点O,根据菱形的性质证明BD∥EF,得出DEOP, 最后利用勾股定理进行 求解： 9 PA-PB=4- ②过点B作BH⊥AE于点H,过点B作BT⊥EF于点T,由勾股定理得出 OP+OP2+9, 9 要使PM-PB的值最小，则oP+VOP+9要最大，即使OP的值最小，得出OP=VPg-3,当点p与点 24 T重合时，BP有最小值，最小值为5，最后代入求最值. 【详解】(1)解：：四边形ABCD为菱形， AC L BD,OA=AC=4, 2 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴由勾股定理得OB=VAB-0M=√25-16=3 ·.sin∠BAC=OB3 AB 5; (2)解：①如图2，连接BD交AC于点O, E D D ⊙ 图2 由(I)得OB=3,AC⊥BD, BD=6,∠AOD=90° :EF⊥AC, ∴.∠APE=90°， ∴.∠APE=∠AOD, .BD∥EF, 三DE=OP，∠DBE=∠BBE 根据翻折的性质得∠BEF=∠DEB, ∴.∠DBE=∠DEB, ∴.DE=DB=6, 54 60P 解得0P=24 ， 由勾股定理得PB=V0p2+OB 5: ②如图3所示，过点B作BH⊥AE于点H,过点B作BT⊥EF于点T, 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 图3 由O得PB=VOP+OB=VOP2+9 .PA=OA+OP=4+OP, PA-PB=4+OP-VOP2+9 OP-JOP2+9OP+OP2+9 =4+ OP+OP2+9 9 =4- OP+OP2+9 9 =>0 .0P+VOp2+9, 9 ∴要使PA-PB的值最小，则OP+VOP2+9要最大，即使OP的值最小， S菱形MBCD= AC.BD=AD.BH, C.BD 1 .BH =2 1×6×824 2 AD 5 5 ∴.由轴对称的性质可得 ∠AEB=∠FEB BH⊥AD,BT⊥FE 且 B7=BH=24 在Rt△POB中，由勾股定理得 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OP=PB2-OB2 =PB2-32 ∴.当PB有最小值时，OP有最小值， 由垂线段最短可知BP≥BT=24 5 24 六当点p与点r重合时，BP有最小值，最小值为5， 24)2 3V39 此时， OP= -32= 5 5 3V39-4 PA-PB=4- 3V39 339 J +9 5 题型三求面积 【典例01】( 2026江苏扬州一模)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是边AD的中点，连接EO, 过点E,O作AB的垂线，垂足分别为F,G. (I)求证：四边形OEFG是矩形： (2)若已知∠ADC=120°，AD=12,求四边形OEFG的面积. 【答案】(1)见解析 ②186 【分析】(1)由菱形的性质可得AO=CO,进而可得OE是△ABD的中位线，推出OE∥AB,依次证明 四边形OEFG是平行四边形、矩形即可： (2)根据菱形的性质及直角三角形的斜边中线的性质求出OE=AE=6,再在Rt△EFA中，解直角三角形 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 求得F-3V5 最后根据矩形面积公式即可求解. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是菱形， .A0=C0 ,E是AD的中点， :'AE=DE, .OE∥AB, EF⊥AB,OG⊥AB, ∴.∠EFG=∠OGB=90°， .EF∥OG, ∴.四边形OEFG是平行四边形， :∠EFG=90°， ·.GOEFG是矩形： (2)解：四边形ABCD是菱形，AD=12, .AB=AD=12,AC L BD,AB//CD, ∴.∠AOD=90°，∠ADC+∠DAB=180°， :∠ADC=120°， ∠DAB=60°， :E是AD的中点， :OE=AE=}4D=6, 2 ,∠EFA=90°， 在Rt△EFA中， EF=AE xsin60°=3V5 SOEFG=OExEF=33x6=183 【典例02】(2026辽宁沈阳·一模)如图，⊙0为△ABC外接圆，BC为⊙0的直径，BC=12,AD是 ⊙O的切线，AD∥BC,∠ACD=90°. 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 D B (1)求证：四边形ABCD为平行四边形： (2)求阴影部分的面积.（结果不取近似值，请保留精确值） 【答案】()见详解 (2)54-9元 【分析】(I)首先证明AB∥CD,结合AD∥BC,即可证明结论： (2)用梯形OCDA的面积减去扇形AOC的面积即得阴影部分的面积. 【详解】(1)证明：BC为⊙O的直径， ∴.∠BAC=90° ,∠ACD=90°， .∠ACD=∠BAC, AB∥CD, 又AD∥BC, ∴.四边形ABCD为平行四边形： (2)连接OA,如下图， ,AD是⊙O的切线， .OA⊥AD,即∠OAD=90°， AD∥BC, .∠AOC=180°-∠OAD=90°， ,四边形ABCD为平行四边形，且BC为OO的直径，BC=12, AD-BC=12 0C-04-1BC=6 2 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.阴影部分的面 S=S梯形OADc-S扇形04C =20C+AD)x0A-90×元×0A 360 6+12)x6- 1 90×π×62 360 =54-9π 【变式01】(25-26九年级下江西南昌月考)如图，8为00的直径，点C为00上一点，点D为C 的中点，AC交OD于点E,过点C作CP⊥OC交OD的延长线于点P,连接AP. (I)求证：AP为OO的切线； (2)若DE=1∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积. 【答案】()见解析 223-2 【分析】(1)易证△PAO≌aPCO,从而∠PAO=∠PCO,再由CP⊥OC即可完成： 2由已知得0E=0A=0D,∠POC-60,可得圆的半径为2，再求出pC,由S=5c-5sax 1 2 即可求解。 【详解】4)证明：点D为1C的中点， :OD⊥AC且OE平分AC, ∴.PA=PC 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OA=OC, PO=PO, 在 和 中， PAO△PCO PA=PC, :△PAO≌APCO(SSS ∴.∠PAO=∠PCO. .CP⊥OC, .∠PC0=90°， ∴∠PAO=90°」 ,A0为⊙0的半径， ∴.AP为⊙O的切线. (2)解：∠BAC=30°， .∠BOC=60°. ..OA=OC, ∴.∠OAC=∠OCA=30°」 ,OD⊥AC且OE平分AC, :0E-01=0n∠P0c=60 2 DE=1, ∴.OA=2, :0C=2,PC=2W3 ÷S=Sae-SaE-7x2x2W5-60mX2-25_2 1 360 3 ÷阴影部分的面积是25-2红 3· 【变式02】(2022江西赣州模拟预测)如图1，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, ∠C0D=a(0°<a≤90)AC-BD=k, 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 图4 【特例感知】 (1)若k=12, ①如图2，当Q=90°时，四边形ABCD的面积为； ②如图3，当a=30°时，四边形ABCD的面积为； 【猜想论证】 (2)设四边形ABCD的面积为S,结合图1，猜想S与k,之间的数量关系，并证明； 【解决问题】 (3)如图4，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=3,AC=4,分别以AB和AC为边作等边△ABE和等边 △ACD，,连接DE,求四边形EBCD的面积. 【答案】(1)①6：②3 1 2)S=)k.sina;证明见解析 2 25V3 (3)4 【分析】(1)①首先得到4C上BD,然后利 S形D=S,4cD+S,4C代入求解即可： ②过点B作BM⊥AC于点M,过点D作DN⊥AC于点N,解直角三角形表示出DN,BM,然后利用 S形1CD=S4Cm+S,4C代入求解即可： (2)同(1)②的方法求解： (3)连接EC、BD,BD交AC于点F,交EC于点O,求出∠EAC=∠BAD=90°，△EAC≌aBAD(SAS) 得到EC=BD=√AE+AC=5,∠ACE=∠ADB,然后求出∠FOC=∠D1C=60°，利用(2)的结论求 解即可. 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：①，a=90 :AC L BD :AC·BD=k=I2 :S日边形8CD=S.CD+S.4CB 4C-0D+4C.0B 1AC-(OD+OB) Γ 1 =-AC·BD 1 =二×12 2 =6: ②如图，过点B作BM⊥AC于点M,过点D作ON L AC于点N, D M B DN=OD-sin _DOC-OP-sinODM-siOin30 :Sg边形ABCD=S4cD+SMCa 1 -AC-DN+AC.BM AC.BD 4 ×12 4 =3； 1 (2)解：猜想：S=与sin: 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：如图，过点B作BM⊥AC于点M,过点D作DN⊥AC于点N, .DN=OD:sin∠DOC=OD.sina,BM=OB·sin∠AOB=OB.sina, :.S四边形ABcD=S4CD+SACB 4C-DNCM =1AC.(OD.sina+OB-sina) AC-BD.sina 1 1 =二k·sina, 2 (3)解：如图，连接EC、BD,BD交AC于点F,交EC于点O, F ,△ABE和△ACD都是等边三角形， .AE=AB=3,AC=AD=4,∠EAB=∠CAD=60°， 又∠BAC=30°， .∠EAC=∠BAD=90°」 :△EAC≌△BAD(SAS) :EC=BD=VAE+AC2=5,∠ACE=∠ADB 又，∠BFC=∠AFD ∴.∠FOC=∠DAC=60°， 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :8边w=2X5x5xsin60=×5×5x5_255 1 2 2 2 4. 题型四求比例 【典例01】(25-26九年级下·河南周口·月考)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是边CD上一点 (不与点C,D重合)，连接AE,点D关于AE的对称点为F,连接DF并延长交边BC于点G,AE与 DG相交于点H. 备用图1 备用图2 (I)判断AE与DG的数量关系，并证明： (2)当点F落在AC上时，求DE的长： BH ③)当E为CD中点时，求AH的值. 【答案】)AE=DG,证明见解析 222-2 【分析】(1)利用正方形性质证明△ADE≌△DCG,再结合全等三角形性质即可推出AE与DG的数量关 系； (2)连接 ,利用勾股定理求出1C,结合正方形性质，以及轴对称性质，推出 EF ∠AFE,AF ,进而推出 ∠CFE,CF ,再结合等腰三角形性质和判定求解，即可解题； (3)延长DG交AB的延长线于点M,结合正方形性质，全等三角形性质，证明VCDG≌VBMG,再结合全 BH AB AD 等三角形性质，以及直角三角形性质，推出4HA:AH,最后利用解直角三角形的计算，勾股定理 求解，即可解题 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：AE=DG,证明如下： B 3 D :四边形ABCD是正方形， AD=DC,∠ADE=∠1+∠3=∠DCG=90° 点D,F关于AE对称， ∴.AE⊥DG, ∴.∠AHG=90°， ∴.∠2+∠3=90°， .∠1=∠2， :△ADE≌ADCG(SAS) .'AE=DG (2)解：如图，连接EF, B G :四边形ABCD是边长为2的正方形，AC为其对角线， :.4AC=2V5,∠4=459，∠ADE=90 :点D,F关于AE对称，且点F在AC上， .∠AFE=∠ADE=90°，AF=AD=2,DE=EF, ·∠CFE=90,CF=AC-AF=22-2 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠FEC=45°=∠4 DE=EF=CF=22-2 (3)解：如图，延长DG交AB的延长线于点M, A B M 2 G E 在正方形ABCD中，AB∥DC,CB=CD=AB=AD, ∴.∠I=∠M,∠MBG=∠C, ∠1=∠2，∠DHA=90°，VADE≌VDCG 由(1)可知 ∠AHM=90°，DE=CG E为DC中点， ÷DE=2CD=2CB=CG=1, 2 .BG=CG=1. ACDG≌△BMG(AAS .BM=CD, .BM=AB, ·在RtAMH中， BH=AB= 2 AM BH AB AD :.AH AH AH' 在Rt△DHM中，os2= AD, 在Ra4DE中，c0s∠2= AE' 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD AE .AH-AD' AD=2,DE=1, AE=AD2+DE=5 BH AE5 :.AH AD 2. 【点睛】熟练掌握正方形的性质、轴对称的性质、三角形全等的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等 知识点，并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键 【典例02】(2026河南开封·一模)如图，在△ABC中，点D为BC边上的动点，连接AD,沿AD折叠 △ABD,点B恰好落在AC边上的点E处，点P为射线BC上一动点，过点P作PQ∥AB交AC于点F,交 DE延长线于点Q. 图① 图② (1)观察猜想 如图①，当点P在线段BC上，点D恰好为BP的中点时，用等式表示线段PO,EF,FC之间的数量关系： (2)问题探究 PF=3,FO=5 在(1)的条件下，若 5,求1B的长（写出求解过程）· (3)拓展应用 P9-1 如图②，当点p在线段BC的延长线上时，过点4作AGIBP交P0延长线于点。·若QG斤，且 PE DP=2BD时，直接写出GF的值（用含n的代数式表示）· 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PO=EF+FC 【答案】(1) (2)12 1+2n (3)6+6n 【分析】()连接EP,先证明 PEQ≌AEP ,可得0=PC ,再证明 EFQPFC,可得EF=PF FQ=FC,即可得结论： FP CF (2)由PO/AB,可得CFP6CAB,则ABCA,即可求解： P2_1 (3)由OG元，可得PG=(1+mPQ,由PO/AB:AG/BP得四边形ABPG是平行四边形，则 AB=PG=(1+n PO ,再由折叠可得，AG=B=1+mP9,∠AED=∠B,DE=DB,证明 FC=3+2n PF DEC5DPQ,得5CP9,则ACP0,再明APFC∽aBAC,得21+，顶 PFPF 明CPOFE·得PF1+21+PO,最后由GEPEEPG即可求解 5+4n 【详解】(1)解：如图，连接EP, D PQ∥AB .∠FPC=∠B, 由折叠可得，∠AED=∠B,DE=DB, .∠AED=∠FPC, :∠AED=∠FEQ 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠FPC=∠FEQ :点D为BP的中点， :DP=DB, :DP=DE, ∴.∠DEP=∠DPE, 180P-∠DEP-∠FE0=180-∠DPE-∠FPC,即FEP=∠PE. 180°-∠DEP=180°-∠DPE,即∠PEQ=∠EPC, 在△PEQ和△EPC中， 「∠PEQ=∠EPC PE=EP ∠EPQ=∠PEC' :aPEO≌aEPC(ASA ∴EQ=PC 在△EFQ和△PFC中， ∠EFQ=∠PFC ∠FEQ=∠FPC EO=PC :.△EFO≌aPFC(AAS .EF=PF FO=FC PQ=PF+FO-EF+FC (2)解：由(1)可知， FC-FO-5 EF-PF-3C- ,PQ∥AB .△CFP∽ACAB 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FP CF “ABCA' 由折叠可得，AE=AB, 设AB=AE=x,则AC=AE+EC=x+8, 35 xx+8 解得x=12,即AB=12. PO 1 (3)解：“0Gn' OG=nPO :PG-PO+QG-PQ+nPQ-()PQ ,PQ∥ABAG∥BP .四边形ABPG是平行四边形， .AB=PG=(1+m)PQ 由折叠可得， AE=AB=(I+n川PO∠AED=∠B,DE=DB, .PQ∥AB ∴.∠CPF=∠B, ∴.∠AED=∠CPF, ∴.180°-∠AED=180°-∠CPF,即∠DEC=∠DP2, .∠EDC=∠PDQ △DEC∽ADPQ EC DE EC DB ·PgDp,即P0Dp DP=2BD, EC DB DB 1 PODP2DB 2' 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.EC-IP0. 2 4c=4E+Bc-1+nP0*P0-njPe。 ,PQ∥AB .△PFCP△BAC, PF=AB-1+mP吧=2(1+m ∴.PFFC,即FCAC (2+n po 3 3+2n, AB AC FC=3+2n-PF 21+n ∠AED=∠CPF∠AED=∠OEF ∠CPF=∠QEF ∠CFP=∠QFE △CFP∽△OFE PF FC FC ·EF=FO,即EC+FCFP+PO' 3+2nPF P 21+n .1 3+2n_PF FP+PO 2(1+n .PF-(2(p. 5+4n PE PF (1+2n1+mPg 5+4n GF=FP+PG-(12m)(1+n)pQ+(1)PQ -1+2m 6+6n· 5+4n 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式01】(20-21九年级上·陕西汉中·期末)如图1，矩形ABCD中，已知AB=6,BC=8,点E是线段 BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F.将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B', 延长AB'交CD于点M. D D Bi---- B--- B-- E F 图1 图2 图3 (I)求证：AM=FM; BE (②)如图2，若点B恰好落在对角线AC上，求CE的值： BE 3 (3)如图3，若CE=2,求线段4M的长. 【答案】(1)见解析 BE 3 2)cE5 BE 3 1 ③)当正时，线段AM的长为5 【分析】(1)根据矩形的性质和折叠的性质进行证明即可： (2)利用勾股定理求出AC,再证明△ABE∽△FCE即可得到答案； (3)根据相似三角形的判定和性质、勾股定理进行解答即可. 【详解】(1)证明：，四边形ABCD为矩形， .AB∥CD ∴.∠F=∠BAF, 由折叠可知：∠BAF=∠MAF, .∠F=∠MAF, ∴.AM=FM (2)解：同(1)可知△ACF是等腰三角形，AC=CF, 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△ABC中， ,AB=6,BC=8, :AC=VAB+BC=6+82-10 ..CF=AC=10. :B∥CF .△ABE∽△FCE, BE AB 63 CECF10 5 (3)解：在矩形ABCD中，AB=CD=6,BC=AD=8,∠D=∠BCD=∠B=90°， 由AB∥CF可得：△ABE∽△FCE, AB BE 3 6 3 六CF=CE2,即CF=2, ∴.CF=4, 由(1)可知AM=FM. 设DM=x,则MC=6-x,则AM=FM=10-x, 在Rt△ADM中，AM2=AD2+DM2, 即10-x'=82+x2 9 解得：x= 51 六4M=10-x=10-9-41 55 BE 3 41 故当CE2时，线段AM的长为5· 【变式02】(25-26九年级下·江苏泰州月考)在矩形ABCD的CD边上取一点E,将△BCE沿BE翻折， 使点C恰好落在AD边上点F处. 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 ()如图1，若BC=2BA,求∠CBE的度数： (2)如图2，当AB=5,且AF·FD=10时，求BC的长； AB B)如图3，延长EF'与∠ABF的角平分线交于点M,BM交AD于点N,当NF=AN+FD时，求BC的 值. 【答案】(1)15°； ②36 6)5 【分析】(1)根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到∠AFB=30°，再由折叠的性质可得到 ∠CBE=15°； (2)由三等角证得△FABn△EDF,从而得DE=2,EF=CE=3,再由勾股定理求出DE,则 BC=AD=35 (3)过点N作NG⊥BF于点G,可证得△NFG∽△BFA.再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角 平分线的性质即可得解， 【详解】(1)解：：四边形ABCD是矩形， .∠A=90°，AD∥BC 由折叠的性质可知BF=BC-2AB,∠CBE=<CBF, ·sin∠AFB=AB=1 BE 2 ∴.∠AFB=30°， .∠FBC=∠AFB=30°， 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CBE=15° (2)解：：四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠D=∠C=90°， 由折叠可得∠BFE=∠C=90°， .∠AFB+∠DFE=90°， ∠FED+∠DFE=90° ∴.∠AFB=∠DEF ∴.△FAB∽△EDF AF AB DE DF' :DE=4.DF-10-2 AB 5 .'EF=CE=3, ∴在R1aDEF中，DF=VEF2-DE=V32-2=V5 2w6 .4F=10 BC=AD=AF+FD=35 (3)解：过点N作NG⊥BF于点G. M G B C .∠NGF=90°=∠A, 又∠BFA=∠NFG, .△NFG∽△BFA, NG FG NF AB FA BF· “NF=AN+FD即F=4D=BC=号BF, 2 2 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 NG FGNF1 AB FA BF 2 又：BM平分∠ABF,NG⊥BF,∠A=90°， .NG=AN, ·G=AW=J FG BF-BG BC-AB=1 FA AN+NF 1AB+IBC2 2 AB 3 整理得： BC5· 题型五证明线段相等 【典例01】(2026陕西西安·模拟预测)如图，四边形ABCD是正方形，点E在边CD上，BM⊥AE于点 M,DN⊥AE于点N.求证：AM=DN, B 【答案】见解析 【分析】由正方形的性质可得AD=AB,∠BAD=90°，根据垂线的定义得到∠AMB=∠AND=90°，再利用 直角三角形的性质易证∠DAN=∠ABM,从而证明 ABM≌DAN(AAS),即可证明结论， 【详解】证明：：四边形ABCD是正方形， AD=AB,∠BAD=90° :BM⊥AE,DN⊥AE, .∠AMB=∠AND=90°， ∴.∠DAN+∠BAM=∠BAM+∠ABM=90°，即∠DAN=∠ABM, :.△ABM≌DAN(AAS) 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AM=DN 【典例02】(21-22八年级下·重庆忠县·期中)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD L BC,垂足为点 D,点E在AD上，CD=DE,连接BE并延长，交AC于点F. B G (I)求证：AC=BE: 【答案】(1)见解析 【分析】(1)根据三角形内角和得到∠DAB=45°，根据等角对等边得到AD=BD,证明 △ACD≌ABED(SAS ,即可得到4C=BE, 【详解】(1)证明：：AD L BC, .∠ADC=∠BDE=90°， ∠ABC=45°， ∴.∠DAB=45°， :AD=BD, .CD=DE, △ACD≌△BED(SAS) ·AC=BE: 【变式01】(22-23八年级下·河南许昌·月考)如图①，在正方形ABCD中，P是AC上一点，点E在DC 的延长线上，且PD=PE,PE交BC于点F,连接PB. 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ● B ① ② (I)【问题提出】求证：PB=PE; (2)【拓展探索】请求出∠BPE的度数： (3)【问题解决】如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变，当∠BAD=120°时，连接BE, 试探究线段PD与线段BE的数量关系，并说明理由. 【答案】(I)见解析 (2)90° (3)PD=BE,理由见解析 【分析】(1)根据正方形的性质证明△APD≌△APB即可得到结论， 80°-∠BFP-∠PBF=180°-∠EFC-∠PEC ∠FPB=∠BCE=90° (2)证明 ;可得 ,从而可得结论： (3)在菱形ABCD中，∠BD=l20,证明△1DP≌△ABP(SAS)),证明∠PDE=∠PED,PB=PE,证明 △PBE是等边三角形，再结合等边三角形的性质可得结论， 【详解】(1)证明：~四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠DAP=∠BAP=45°， 在△APD与△BPD中， 「AD=AB ∠DAP=∠BAP=45° AP=AP :△MPD≌aAPB(SMS ∴PD=PB,而PD=PE, .PB=PE (2)解：由(1)可得△APB≌△APD, .∠ADP=∠ABP,∠CDP=∠CBP, 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PD=PE, ∠PDC=∠PEC, ∠CBP=∠PEC, ∠BFP=∠EFC, .180°-∠BFP-∠PBF=180°-∠EFC-∠PEC: .∠FPB=∠BCE=90°， .∠BPE=90: (3)解：DP=BE,理由如下： 在菱形ABCD中，∠BAD=120°， 刀 ·.AD=AB,∠DAP=∠BAP=60P 在△ADP和△ABP中， AD=AB .·{∠DAP=∠BAP AP=AP △ADP≌△ABP(SAS) PD=PB,∠ADP=∠ABP, .PD=PE, ∠PDE=∠PED,PB=PE, ∠ADP+∠PDE=60, ∴.∠ABP+∠PED=60° DE∥AB, ∴.∠ABE+∠DEB=180°， .∠PBE+∠PEB=120P, .∠EPB=60°， ∴△PBE是等边三角形， .PE BE, 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .PD=BE 【变式02】(2026上海闵行·二模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC.点D在边BC上，点 E在CB的延长线上，连结AD、AE,过点E作AD的垂线，分别交AB、AD、AC于点M、H和F, 且AE=EF, M B (I)求证：BD=BE: 【答案】(1)见详解 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点， (1)根据Rt△ABC为等腰直角三角形，△EAF为等腰三角形，得到对应底角相等，根据三角形外角定理 以及角的和差关系得到∠EAB=∠FEC,根据等角的余角相等得到∠AEB=∠HDE,继而根据等腰三角形 三线合一的性质得证结论. 【详解】(1)证明；，AB=BC, :.Rt△ABC为等腰直角三角形， ∴.∠BAC=∠BCA=45°，∠ABE=∠ABC=90°， AE=EF, .△EAF为等腰三角形， .∠EAF=∠EFA, :∠EAF=∠BAC+∠EAB,∠EAF=∠BCA+∠FEC, .∠EAB=∠FEC, ,EF⊥AD, ∴.∠AHE=∠DHE=90°， ∴.∠DHE=∠FEC+∠HDE=90°， :∠EAB+∠AEB=∠ABE=90°， ∴.∠AEB=∠HDE, 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE=AD, ∴.△AED是等腰三角形， ∠ABE=∠ABC=90°， .'BD=BE: 题型六证明比例相等 【典例01】（吉林省四平市2026年九年级第二次模拟考试数学试题）在四边形ABCD中，点G,E分别 是线段AB,AD上的点，且AG=AE,连接GE、BE,将线段EB绕点E旋转得到EF,连接DF. E 图① 图② 图③ (I)如图①，若四边形ABCD是正方形，∠BEF=90°，猜想DF与AE的数量关系是，∠CDF=°： (2)如图②，若四边形ABCD是菱形，且∠BAD=∠BEF=120°，猜想DF与AE的数量关系及∠CDF的度 数，并说明理由； BH (③)如图③，在(2)的条件下，若4B=5,DE=2,连接BF交DC于点H,直接写出HF的值. 【答案】0)DF=2AE45 DF=V5AE,∠CDF=90°，理由见解析 (2) 3)6 【分析】(1)证明 BEG≌△EFD(SAS),EG=V2AE,即可得EG=DF=5AE, ∠EDF=∠BGE=135°，即可求解： (2)证明 BEG≌△EFD(SAS),∠BGE=∠AEG+∠BAD=150°，可得EG=DF,∠EDF=∠BGE=150° 从而得到∠CDF=∠EDF-∠ADC=90°，过点A作AK⊥EG于点K,则EG=2EK,根据直角三角形的性 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 质可得AK=2AE,再结合勾股定理可得EG=2EK=√54E,即可： 2 ③)过点F作FPIBC交CD于点P,由2得DF=V5板=35，∠CDF=90°，再证明 △BCH∽△FPH即可解答. 【详解】(1)解：~四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠BAD=∠ADC=90°， ∴.∠ABE+∠AEB=90°， :∠BEF=90° ∠DEF+∠AEB=90°， .∠ABE=∠DEF, .AG=AE, .BG=DE,∠AGE=∠AEG=45°， :△BEG≌AEFD(SAS) 由勾股定理得：EG=VAG+AE=V2AE,∠BGE=∠ABG+∠BAD=135° ∴.EG=DF,∠EDF=∠BGE=I35°， :DF=V2AE∠CDF=∠EDF-∠ADC=45° (2)解：DF=5AE.∠CDF=90 ;理由如下： 四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°， AB=AD,AB∥CD, ∴.∠ABE+∠AEB=180°-120°=60°，∠ADC=180°-∠BAD=60°， ∠BEF=120°， ∴.∠DEF+∠AEB=60°， .∠ABE=∠DEF, .AG=AE, 六5G=DE,∠AGE=∠ABG-180°，120=30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.△BEG≌AEFD(SAS)∠BGE=∠AEG+∠BAD=15O .EG=DF,，∠EDF=∠BGE=150°， .∠CDF=∠EDF-∠ADC=90°， 如图，过点A作AK⊥EG于点K,则EG=2EK, F D 图2 ·.·∠AEK=30° 1 K=25, 在直角三角形中，由勾股定理：=FA46-兮9。 2 .EG=2EK=3AE DF=3AE (3)解：如图，过点F作FP/BC交CD于点P, G 四边形 是菱形， B 图3 ABCD :AD=AB=5,DE=2, .AE=AD-DE=3, 由(2)得：DF=V5AE=35∠CDF=90° :四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°， ∴.AB=CD=5,AD∥BC,AB∥CD, .∠ADC=180°-∠BAD=60°，AD∥PF, 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠DPF=∠ADC=60°， .∠DFP=30°， .PF =2DP, .DF=3DP .DP=3,FP=6, QFP∥BC, .△BCH∽aFPH, BH BC 5 .HF FP6. 【典例02】( 22-23九年级上·安徽合肥期中)四边形ABCD中，两条对角线ACBD相交于点O,如图1，且 ∠ABC=90° D D 0 B B 图1 图2 DO (I)若S.1c=24,SA1cD=6N6,则B0的值为 (2)若∠ADB=∠ACB,求证：△AOB∽△DOC; 6)在(2)的条件下，若BD平分 ABC AC2=2OD·BD ,如图2，求证： 6 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)见解析 B,DBF⊥AC,DE⊥AC F.E 【分析】(1)分别过点作 ，垂直分别为，根据三角形的面积比可得 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE 6 BF4，然后证明 DEO∽ABFO 即可得出结论： ∠ADB=∠ACB A,B,C,D ∠ABO=∠DCO (2)根据 ,可得 四点共圆，从而得到 则结论可得： ∠ADC=90° 则可得1C=AD+D △AOD∽△BAD AD2=BD.OD (3)先求出 ,证 可得 ,证明 △CDO∽△BDC可得CD=BD·OD,代入即可得出结论 B,DBF⊥AC,DE⊥AC F,E 【详解】(I)解：分别过点作 ,垂直分别为， S.ABC=24 SAuCD=616 1 S.ADC 2XAC×DE 6W6_V6 S.ABC 1 x ACx BF 244, 2 DE 6 .BF4, ∠DOE=∠BOF,∠DEO=∠BFO .△DEO∽△BFO, DO DE BO-BF4' 故答案为： V6 4: (2)∠ADB=∠ACB, A,B,C,D 四点共圆， 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ABD=∠ACD,即∠ABO=∠DCO, :∠AOB=∠COD. .△AOB∽△DOC: (3):BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD=45°， 如图： D A B A,B,C,D 四点共圆， ∠ABD=∠ACD=45°，∠CBD=∠CAD=45° ∴.∠ADC=90°， .AC=AD+DC2 :∠ABD=∠OAD=45°，∠ADB=∠ODA, ∴.△AOD△BAD, AD OD BD AD' AD=BD.OD ∠DBC=∠DCO=45°，∠BDC=∠CDO .△CDO∽aBDC, CD OD BD CD' 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD2=BD.OD AC=AD+DC=BD-OD+BD-OD=2BD.OD 即AC2=2OD·BD 【点晴】本题考查了相似三角形的判定与性质，四点共圆以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性 质是解本题的关键。 【变式01】(23-24八年级下·江苏南通·月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时 针旋转得到△DEC,点B的对应点为E,点A的对应点D落在线段AB上，DE与BC相交于点F,连接 BE (I)求证：DC平分∠ADE: (2)若∠A=70°，求∠DEB的度数. 【答案】(1)证明见解析 (2)50° 【分析】(1)先根据旋转的性质得到CA=CD,∠A=∠CDE,再利用等腰三角形的性质得到∠A=∠CDA, 即可得证： (2)先根据三角形内角和定理计算出∠CBA=20°，∠ACD=40°，再根据旋转的性质得到CB=CE, ∠ACD=∠BCE=40°，∠CED=∠CBA=20°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出 ∠CBE=∠CEB=7O°，即可得出结论 【详解】(1)证明：：△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,点B的对应点为E,点A的对应点D落在 线段AB上， ∴.CA=CD,∠A=∠CDE, ∴.∠A=∠CDA, ∴.∠CDA=∠CDE, 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.DC平分∠ADE: (2)解：∠ACB=90°，∠A=70° ∴.∠CBA=90°-∠A=90°-70°=20°， :∠A=∠CDA=70°， ∴.∠ACD=180°-∠A-∠CDA=180°-70°-70°=40°， ,△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC, ∴.CB=CE,∠ACD=∠BCE=40°，∠CED=∠CBA=20°， ∴2CBE=∠CEB=10-∠BcE=2X180-40rj=70. ∴.∠DEB=∠CEB-∠CED=70°-20°=50° ∴.∠DEB的度数为50° 【变式02】(25-26九年级上·安徽六安·期末)如图，E是矩形ABCD的边CD的中点，AF⊥BE于点F, AF的延长线交BC于点G,连接DF, E G (I)求证：△ABG∽△BCE: (2)若BF=2,EF=15,求AF的长： 2CE2=BG·DF (3)求证： 【答案】()见解析 (2)AF=8 (3)见解析 【分析】(1)根据矩形的性质，得到∠C=∠ABG=90°，结合AF⊥BE,即可证明结论： （2)先证明△8H△EBC:得到E8C,结合EC-4B,可求符A=2厅，再根据约股定理， AB BF 即可求得结果： (3)延长AD和BE交点H,先证明△BEC≌△HED,得到DH=BC=AD，然后根据直角三角形的性质， 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ABBC 得到DF=AD=BC,由(I)△ABGABCE,得到BGEC,结合AB=CD=2CE,即可证明结论. 【详解】(1)证明：矩形ABCD中，∠C=∠ABG=90°， AF⊥BE ·.∠GAB+∠AGB=∠CBE+∠AGB=90°， .∠GAB=∠CBE, △ABGD△BCE; (2)解：∠FAB=∠CBE,∠AFB=∠C=90°， :△BAFP△EBC, AB BF BEEC· 1 由条件可知BC=2B, AB 2 .2+15 248. 解得1B=2V7 在R△BAF中，AF=VAB2-BF2=27-22=8, (3)证明：如图，延长AD和BE交点H, D H B G '∠CEB=∠DEH∠C=∠HDE=90°DE=CE ∴.△BEC≌△HED(AAS) ∴.DH=BC=AD, AF⊥BE, :DF AD=BC, 由(1)△ABG∽△BCE, 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABBC BGEC· :E是矩形ABCD的边CD的中点， .AB=CD=2CE, 2EC BC BGEC· .2CE2=BG·DF. 【点晴】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性 质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是关键。 实战演练◆提分 (限时训练：30分钟) 1.(2026安徽·一模)如图，AB为⊙0直径，C,D为⊙0上的两点，且CE是⊙0的切线，CE⊥DB交 DB的延长线于点E. (I)求证：∠ACD=2∠A: (2)若AB=5, BE=1,求BD的长 【答案】(1)见解析 (2)BD=3 【分析】(1)连接OC,利用切线的性质结合已知判定出OC∥DE,得出∠D=∠DCO,由等弧对等角得 ∠A=∠D,再利用角的等量代换即可解答： (2)作OP⊥BD于点F,证明四边形OCEF是矩形，求出BF=EF-BE= 2,再利用垂径定理求解即可 【详解】(1)证明：连接OC,如图， 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B D ,CE是⊙O的切线， .OC⊥CE, ,CE⊥DB, .OC∥DE, .∠D=LDC0. BC=BC ∴.∠A=∠D, .∠A=∠DC0, ..OA=OC, .∠A=∠ACO. :∠ACD=∠DCO+∠ACO=2∠A: (2)解：作OF⊥BD于点F,如图， E B ∴.∠OCE=∠E=∠OFE=90°， ∴.四边形OCEF是矩形， ,AB=5, ·EF=OC=OB=AB=3 2 2， 3 .'BF EF-BE= 21 OF⊥BD, 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 .BD=2BF=3 2.(2026安徽芜湖·二模)如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一动点，连接AE,过点D作 DF⊥AE交AB于点F,以FD,FE为邻边作平行四边形DFEP,连接CP. D B E B E 图1 图2 (I)求证：△ADF≌△BAE; (2)如图2，若正方形ABCD的边长为6，AF=2BF,连接FP,DE,交点为O,边AD的垂直平分线交 AD于N,交DF于M,连接OM,求OM的长： CP (3)求4F的值， 【答案】()见解析 OM=5 (2) -万 (3)AF 【分析】(1)根据正方形的性质，利用ASA即可得证： ②)先证明wAB,进而得到1，得到M:0M:推曲O是DEr的时位战，得到 OM=EF,利用勾股定理求出EF的长即可： （3)作PH上8C交C的延长线于，正明么4E,E加AMS,准甜aPCH是等腰直角三角形，得到 CP=2PH ,根据4F=BE=PH,即可得出结果 【详解】(I)证明：，四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠DAF=∠ABE=90°， .∠BAE+∠DAE=90°， 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DF⊥AE, .∠ADF+∠DAE=90°， ∠BAE=∠ADF, .△ADF≌△BAE(ASA (2)解：'MN是AD的垂直平分线， MN⊥AD,AN=DN, .∠DNM=90°， ∠DAB=90°， .∠DNM=∠DAB=90°， .NM∥AB, AN_EM =1. DN DM ∴.FM=DM, :四边形DFEP是平行四边形， :DO=EO, ∴.OM是aDEF的中位线， :.OM=1EF 2 :AB=6,AF =2BF, “BF=2,由(1)得△ADF≌aBAE, ∴AF=BE=4 :.EF=V22+4=25 ..OM=5; (3)解：如图，作PH1BC交BC的延长线于H,则∠ABE=∠H=90°， 刀 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(I)得△ADF≌△BAE, .DF=AE ~四边形DFEP是平行四边形， .DF=PE,DF∥PE, .AE EP, AE⊥DF, AE⊥EP, ∴.∠AEB+∠PEH=90°， ·∠BAE+∠AEB=90°， ∠BAE=∠PEH, .∴△ABE≌AEHP|AAS ∴.PH=BE,AB=EH=BC, .BE+CE=CH+CE, .BE =CH=PH, :PH⊥BC, △PCH是等腰直角三角形， ..CP=2PH, AF BE=PH, CP_CP= AF PH 3.(2026安徽合肥一模)已知：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分 ∠ABC,分别交CD,AC于点F,E. B B E E G 图1 图2 (1)求证：CE=CF: (2)若BC=6,CE=3,求AE的长： (3)如图2，在AC上取点G使AG=CE,连接FG,求证：FG∥AB 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)见解析 (2)AE=5 (3)见解析 【分析】(1)可证∠CEF=∠CFE,从而CE=CF: BC CF 63 (2)先证BCF6BAE,得出BA=AE,即BA=HE,设AE=x'则AB=2x,在R△ABC中， BC2+AC2=AB2,据此列方程求解即可： (3)在BA上截取BM=BC,连接FM,先证△BCF≌△BFM,根据全等三角形的性质得 ∠BCF=∠BMF,CF=FM,从而可证四边形AGFM为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出结 论 【详解】(1)证明：：BE平分∠ABC, .∠CBE=∠ABE, ,CD为AB边上的高， .∠BDC=90°， ∠ACB=90°， ∴.∠BDC=∠ACB=90°， .在△BCE和△BDF中，∠BCE=∠BDF=90°，∠CBE=∠DBF, ∴.∠CEB=∠DFB 又：∠CFE=∠DFB, .∠CFE=∠CEF, .CE=CF: (2)解：∠ACB=90°，CD⊥AB, .∠BCF+∠ECF=90°，∠A+∠ECF=90°， .∠BCF=∠A, 又：∠CBE=∠ABE, ∴.△BCFn△BAE, BC CF 6 3 六BA=AE即BAAE, .AB=2AE, 设AE=x,则AB=2x, 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2, :6+x+3到2=2x2, 解得x=5或-3（舍负）， ..AE =x=5; (3)证明：在BA上截取BM=BC,连接FM,如图， B 在△BCF和△BMF中， BC=BM ∠CBF=∠MBE BF=BF :.aBCF≌aBMF(SAS ∴.∠BCF=∠BMF,CF=FM, 由(2)知∠BCF=∠A, .∠BMF=∠A, .FM∥AG, 由(I)知CE=CF, 又：AG=CE,CF=FM, :FM =AG, ∴.四边形AGFM为平行四边形， .FG∥AB 4.(2026·安徽芜湖·二模)如图，AB是半圆O的直径，BC与半圆O相切于点B,点E在半圆O上，ED 垂直平分BC,垂足为点D,AC与DE交于点F,连接BF. 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BF (①)求AC的值： (2)连接BE交AC于点G,若BG=BC,求证：AC平分∠BAE. 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】(I)根据题意可得ED∥AB,得到aCDF∽aCBA,进而可得F为AC的中点，再根据直角三角 形中，斜边上的中线等于斜边的一半： (2)根据等边对等角，结合直径所对圆周角等于90°证明∠BAC=∠GAE即可. 【详解】(1)解：：BC与半圆O相切于B, :AB⊥BC, ∴.∠ABC=90°， :ED垂直平分BC, ∠EDC=90°，FC=FB, ∴.∠ABC=∠EDC=90°， ED∥AB, △CDF∽△CBA, CF CD 1 CA CB 2' .F为AC的中点， BF 1 六在Rt△ABC中，AC2: (2)证明：BG=BC, ∴.∠C=∠BGC=∠AGE AB是半圆O的直径， .·.∠AEB=90° 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠C+∠BAC=90°，∠AGE+∠GAE=90°， ∠BAC=∠GAE， ·AC平分∠BAE 5.(2026·安徽合肥·一模)如图，在△ABC中，AB=AC,P为AC边上一点，连接PB,将△PBC沿PB 翻折，得到△PBD,PD交AB于点E. B B B 图1 图2 图3 (I)如图1，当PD∥BC时，猜想四边形BCPD的形状，并说明理由： ②当P写4C时， ∠A=60°，BC=6 ①如图2，若 BE ，求的长 (i)如图3，若PD⊥AB,证明：BE=2AE+DE. 【答案】(I)四边形BCPD是菱形，见解析 (2)DBE= 4:②见解析 【分析】(1)根据折叠和平行证明∠DBP=∠DPB=∠CBP,从而可得BD=PD,由四边相等的四边形是 菱形得出结论； (2)①推出△ABC是等边三角形，证明△DEB∽△AEP,据此求解即可： ②过点C作CF⊥AB于点F,证明△DEB≌△BFC,可得DE=BF,FC=BE,再由EP∥FC,可得 光作化，进商可得4E=兮4，FC=3印·据此计算即可证羽。 AP AEEP 【详解】(I)解：结论：四边形BCPD是菱形， 证明：由折叠可知：BD=BC,PD=PC,∠DBP=∠CBP 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PD∥BC ∴.∠DPB=∠CBP, ∴.∠DBP=∠DPB, ∴.BD=PD=BC=PC, ∴.四边形BCPD是菱形： (2)解：①：AB=AC,∠A=60°， ∴.△ABC是等边三角形， “.∠C=∠A=∠D=60°，AB=AC=BD=BC=6, :4P-写4C .'AP=2,DP=PC=2AP=4, :∠A=∠D,∠DEB=∠AEP, .△DEBP△AEP, 器腰0 .DE=3AE,BE=3EP, 4E3 4 服=4B-店- ②证明：过点C作CF⊥AB于点F, ∴.∠CFB=90°， D A :PD⊥AB,即∠BED=90°， ∴∠BED=∠CFB=90°， :△PBC沿PB翻折，得到△PBD, .∠D=∠ACB,BD=BC, 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB, .∠D=∠ABC, :△DEB≌aBFC(AAS .'DE=BF,FC=BE, ∠BFC=90°，∠BED=90° ∴.EP∥FC, .△APE∽△ACF, AP AE EP ·AC AF FC’ :AP=3 AE=3AF,FC=3EP :EF =2AE, BE=EF +BF ∴.BE=2AE+DE. 6.(2026湖北孝感一模)如图，在口ABCD中，点E在BC边上，将△ABE沿AE折叠，使点B的对应点 F落在口ABCD内，射线AF交射线DC于点G,交射线BC于点P,射线EF交CD边于点Q. 图1 图2 图3 △CEQ∽△FEP (1)如图1，求证： 2如图2，当CE=BE时，点P在BC延长绽上，若CG=3,0G=5,求D ,求的长： .CQ_2 CG (3)如图3，当cE=2BE时，点P在BC边上，若D03,直接写出DG的值. 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)见解析 (2)4 6)15 【分析】(1)由平行四边形的性质可得∠B=∠D,AD∥BC,由平行线的性质可得∠D+∠BCD=180°， 由折叠的性质可得∠AFE=∠B,从而得出∠AFE=∠D,再证明∠ECQ=∠EFP,结合∠FEP=∠CE2,即 可得证： (2)先证明△CE0≌FEP(ASA),得出EQ=EP,∠COE=∠P,再证明 AFOG2aCPG(AAS),得出 FG=CG=3,GQ=GP=5,证明△CGP∽△BAP,由相似三角形的性质求出CD=AB=12,即可得出结果： ③)延长4D,B0交于点”，设0=20，则D0=0,则cD=50, ，由平行四边形的性质可得 ∠B=∠ADC,AD∥BC,4B=cD=5a'AB/CD:证明△CB0∽△FEP,求出FP=CQ=a, 0=2EP,再证明CEODHO,EEPSAHEA'求出CP=L,D=BC=3E,最后再证明 △GCPOAGDA,即可得出结果. 【详解】(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， ,∠B=∠D,AD∥BC, .∠D+∠BCD=180°， 由折叠的性质可得：∠AFE=∠B, ∴.∠AFE=∠D, :∠AFE+∠EFP=180° :∠BCD=∠EFP ∠ECQ=∠EFP 即 ∠FEP=∠CEQ △CEQ∽△FEP (2)解：，四边形ABCD为平行四边形， ,∠B=∠D,AD∥BC,AB=CD,AB∥CD, 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠D+∠BCD=180°， 由折叠的性质可得：∠AFE=∠B,BE=FE,AF=AB, ∴.∠AFE=∠D, .∠AFE+∠EFP=180°， :∠BCD=∠EFPn∠ECO=∠EFP ,即 .CE=BE, ∴.CE=EF, 在△CEQ和AFEP中， I∠ECQ=∠EFP CE=FE ∠FEP=∠CEQ' &△CEO≌aFEP(ASA EQ=EP∠CQE=∠P EO-EF=EP-EC 、FQ=CP 在△FQG和△CPG中， [∠FGQ=∠CGP ∠GQF=∠P FO=CP :.△FOG≌aCPG(AAS FG=CG=3 GO=GP=5 :AB∥CD, ∴.ACGP∽△BAP, CG PG AB AP' 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 5 4B-4B+3+5' .AB=12, .CD=AB=12, OD=CD-CG-GO=4 (3)解：如图，延长D, 交于点, H 图3 C0_2 ·Dg3' “设c02 O=3a ，则 CD=CO+DO=5a ,四边形ABCD为平行四边形， ∴.∠B=∠ADC,AD∥BC,AB=CD=5a,AB∥CD, .∠ADC+∠BCD=180°， 由折叠的性质可得：∠AFE=∠B,BE=FE,AF=AB=5a, ∴.∠AFE=∠ADC, :∠AFE+∠EFP=180°， :.∠BCD=∠EFPn∠ECQ=∠EFP ,即 ∠FEP=∠CEQ △CEQ∽△FEP FP EF EP ∴c0ECEo· 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE=EF, FP BE EP ·CO EC EQ' CE =2BE, FP-CQ-d.EQ-2EP 2 AD∥BC, △CEO∽△DHO △EFP∽△HFA Eg-C≌-2EF-PF=a=1 QDg3,FH=AF-5a5' QHEQ3EP FH=SEF-SBE FO-EQ-EF-2EP-EF OH+FQ-FH ∴.3EP+2EP-EF=5BE, ..5EP-EF =5BE, :.5EP-BE=5BE, ∴.5EP=6BE, EP-6 BE, 5 :CP=CE-EP=2BE-6 BE-4BE, J BC=BE+CE=BE+2BE=3BE, .'AD=BC=3BE, AD∥BC, .△GCP∽aGDA, CG CP5 4 DG AD3BE15 【点晴】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性 质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键. 7.(2026安徽亳州一模)按要求完成下列各题： 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (I)如图I,点E是正方形ABCD的边上一点，连接AE,过点D作DF⊥AE于点G,交边AB于点F, ①求证：AF+CE=AD: CH ②如图2，连接EF,以FD,FE为邻边构造平行四边形DFEH'连接CH·求AF的值： CH 【答案】(I)①见解析：②4F 【分析】①)①结合正方形的性质证明△1DF2,B1E(ASA,即可解答：②作M上BC交BC的延长线 于M,结合平行四边形的性质可得∠BAE=∠HEM,由(I)得△ADF≌△BAE,再证明 △ABE≌△EMH(AAS)),可得到△HCM是等腰直角三角形，即可解答： 【详解】(I)解：①：四边形ABCD是正方形， AD=AB=BC,∠DAF=∠ABE=90° ∴∠BAE+∠DAE=90°， ,DF⊥AE, ∴.∠ADF+∠DAE=90°， ∴.∠BAE=∠ADF, ∴△ADF≌△BAE(ASA ∴.AF=BE, ..AF+CE=BE+CE=BC=AD ②如图2，作HM⊥BC交BC的延长线于M, 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G B E 图2 ,四边形DFEH是平行四边形， DF=HE,∠DFE=∠DHE,DF∥EH ∴.∠AGD=∠AEH=90° ∴.∠AEB+∠HEM=90°， :∠BAE+∠AEB=90°， ∠BAE=∠HEM, 由(I)得△ADF≌△BAE, ∴.DF=AE=HE, :∠ABE=∠HMC=90°. ',△ABE≌△EMH(AAS) HM=EB,AB=EM=BC ∴.BE=CM=HM ∠HMC=90°， :.△HCM是等腰直角三角形， CH=CM=AF :.AF 专题04 几何图形性质与证明 目录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（6大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 求角度（） 题型二 求线段长度及关系（） 题型三 求面积（） 题型四 求比例（） 题型五 证明线段相等（） 题型六 证明比值相等（） 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 几何图形性质与证明是中考数学基础必考模块，解答题分值约12～14 分，整张试卷几何总分约42~58分，整体以中高档题为主，侧重考查几何图形的基础知识，几何证明要求步骤规范、定理熟练。 基础知识必备：掌握线、角、相交线与平行线的性质与判定；熟练运用三角形内角和及三边关系和三角形中重要线段（角平分线、线段垂直平分线、三角形中位线），掌握特殊三角形及四边形的性质；能够结合图形变换及勾股定理和相似进行几何证明。 2026中考预测：题型稳定：分值不变，难度略降，重基础+重模型+重步骤；基础小问（送分），中档证明（稳定），压轴综合（拉分）。 难度平稳：以基础题、中档题为主，不设置偏题、怪题，重点考查计算准确率与易错点辨析； 命题趋势：弱化超纲题型，强化教材基础（不考偏难怪），代数推理增强，简单融入跨学科、生活化情景。 题型一 求角度 【典例01】（21-22九年级上·云南昆明·期中）如图，在正方形中，点E为上一点，连接，是由旋转得到的，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2026·上海闵行·二模）如图，四边形是平行四边形，将绕点顺时针旋转，点恰好落在延长线上的点处，作的平分线交的延长线于点，连接，如果，那么的正切值是____． 【变式01】（22-23六年级下·山东烟台·期中）如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角尺的直角顶点放在点处，且直角三角尺在直线的上方．设． (1)当时，求的大小； (2)若时，求的值． 【变式02】（22-23七年级下·贵州·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，；）． (1)如图1， ①若，求的度数； ②若，直接写出的度数是______度． (2)由（1）猜想与满足的数量关系是_____． (3)若固定，将绕点C顺时针旋转（不超过一周），旋转至（如图2）时，求的度数． 题型二 求线段长度及关系 【典例01】（23-24八年级下·浙江温州·期中）在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 【典例02】（25-26九年级下·云南昆明·月考）如图，在Rt中，，D是AB的中点，F是CD的中点，过点C作交BF延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为，求的长． 【变式01】（2026·北京平谷·一模）在中，，点是边上一点（不与重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接．用等式表示线段与的数量关系并证明； 【变式02】（25-26九年级下·四川成都·月考）在菱形中，对角线交于点O，． (1)如图1，求的值． (2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的值．②在点E的移动过程中，求的最小值． 题型三 求面积 【典例01】（ 2026·江苏扬州·一模）如图，菱形的对角线，相交于点，是边的中点，连接，过点，作的垂线，垂足分别为，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若已知，，求四边形的面积． 【典例02】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，为外接圆，为的直径，，是的切线，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求阴影部分的面积．（结果不取近似值，请保留精确值） 【变式01】（25-26九年级下·江西南昌·月考）如图，为的直径，点为上一点，点为的中点，交于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【变式02】（2022·江西赣州·模拟预测）如图1，在四边形中，对角线与相交于点O，，． 【特例感知】 (1)若， ①如图2，当时，四边形的面积为______； ②如图3，当时，四边形的面积为______； 【猜想论证】 (2)设四边形的面积为S，结合图1，猜想S与k，之间的数量关系，并证明； 【解决问题】 (3)如图4，在中，，，，分别以和为边作等边和等边，连接，求四边形的面积． 题型四 求比例 【典例01】（25-26九年级下·河南周口·月考）如图，在边长为2的正方形中，E是边上一点（不与点C，D重合），连接，点D关于的对称点为F，连接并延长交边于点G，与相交于点H． (1)判断与的数量关系，并证明； (2)当点F落在上时，求的长； (3)当E为中点时，求的值． 【典例02】（2026·河南开封·一模）如图，在中，点为边上的动点，连接，沿折叠，点恰好落在边上的点处，点为射线上一动点，过点作交于点，交延长线于点． (1)观察猜想 如图①，当点在线段上，点恰好为的中点时，用等式表示线段，，之间的数量关系：___________． (2)问题探究 在（1）的条件下，若，求的长（写出求解过程）． (3)拓展应用 如图②，当点在线段的延长线上时，过点作交延长线于点．若，且时，直接写出的值（用含的代数式表示）． 【变式01】（20-21九年级上·陕西汉中·期末）如图1，矩形中，已知，，点E是线段上的一个动点，连接并延长，交射线于点F．将沿直线翻折，点B的对应点为点，延长交CD于点M． (1)求证：； (2)如图2，若点恰好落在对角线上，求的值； (3)如图3，若，求线段的长． 【变式02】（25-26九年级下·江苏泰州·月考）在矩形的边上取一点E，将 沿 翻折，使点 C恰好落在边上点 F处． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，当，且时，求的长； (3)如图3，延长，与的角平分线交于点M，交于点，当时，求 的值． 题型五 证明线段相等 【典例01】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，四边形是正方形，点E在边上，于点M，于点N．求证：． 【典例02】（21-22八年级下·重庆忠县·期中）如图，在中，，，垂足为点D，点E在上，，连接并延长，交于点F． (1)求证：； 【变式01】（22-23八年级下·河南许昌·月考）如图①，在正方形中，是上一点，点在的延长线上，且，交于点，连接． (1)【问题提出】求证：； (2)【拓展探索】请求出的度数； (3)【问题解决】如图②，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【变式02】（2026·上海闵行·二模）如图，在中，，．点在边上，点在的延长线上，连结、，过点作的垂线，分别交、、于点、和，且． (1)求证：； 题型六 证明比例相等 【典例01】（吉林省四平市2026年九年级第二次模拟考试数学试题）在四边形中，点，分别是线段，上的点，且，连接、，将线段绕点旋转得到，连接． (1)如图①，若四边形是正方形，，猜想与的数量关系是 ， ； (2)如图②，若四边形是菱形，且，猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)如图③，在（2）的条件下，若，，连接交于点H，直接写出的值． 【典例02】（22-23九年级上·安徽合肥·期中）四边形中，两条对角线相交于点O，如图1，且． (1)若，，则的值为______； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若平分，如图2，求证：． 【变式01】（23-24八年级下·江苏南通·月考）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【变式02】（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，E是矩形的边的中点，于点F，的延长线交于点G，连接， (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)求证：． （限时训练：30分钟） 1．（2026·安徽·一模）如图，为直径，C，D为上的两点，且是的切线，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．（2026·安徽芜湖·二模）如图1，在正方形中，点E是边上一动点，连接，过点D作交于点F，以，为邻边作平行四边形，连接． (1)求证：； (2)如图2，若正方形的边长为6，，连接，，交点为O，边的垂直平分线交于N，交于M，连接，求的长； (3)求的值． 3．（2026·安徽合肥·一模）已知：如图1，在中，，为边上的高，平分，分别交，于点F，E． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，在上取点G使，连接，求证：． 4．（2026·安徽芜湖·二模）如图，是半圆O的直径，与半圆O相切于点B，点E在半圆O上，垂直平分，垂足为点与交于点F，连接． (1)求的值； (2)连接交于点G，若，求证：平分． 5．（2026·安徽合肥·一模）如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折，得到，交于点． (1)如图1，当时，猜想四边形的形状，并说明理由； (2)当时， ①如图2，若，求的长． （ⅱ）如图3，若，证明：． 6．（2026·湖北孝感·一模）如图，在中，点E在边上，将沿折叠，使点B的对应点F落在内，射线交射线于点G，交射线于点P，射线交边于点Q． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，点P在延长线上，若，，求的长； (3)如图3，当时，点P在边上，若，直接写出的值． 7．（2026·安徽亳州·一模）按要求完成下列各题： (1)如图1，点E是正方形的边上一点，连接，过点D作于点G，交边于点F， ①求证：； ②如图2，连接EF，以为邻边构造平行四边形，连接．求的值； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $