精品解析：湖南常德市桃源县2025-2026学年下学期七年级期中考试 数学试题

2026年上学期七年级期中考试 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中：，，，，无理数的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】解：，是有理数， ，，是无理数， ∴ 无理数共有个． 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： 移项，得   合并同类项，得  系数化为1，得  该不等式的解集在数轴上表示为： ． 3. 若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b、c的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先估算的取值范围，再根据不等式性质得到的范围，即可得出结论． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，即 ． 5. 下列各式中，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A：，其中完全相同，与互为相反数，符合平方差公式的使用条件； B：，两项都完全相同，无互为相反数的项，不符合； C：，两项互为相反数，不符合； D：没有完全相同的项，不符合． 6. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据积的乘方和单项式乘以单项式的运算法则计算可判断A；根据完全平方公式计算可判断B；根据多项式乘以多项式的运算法则计算可判断C；根据单项式乘以多项式的运算法则计算可判断D． 【详解】解：A、，故A选项计算错误； B、，故B选项计算错误； C、，故C选项计算正确； D、，故D选项计算错误． 7. 已知为实数且，则下列说法中：，，③，④，⑤，正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式性质逐个判断说法，统计正确个数即可得到结果． 【详解】解：已知，逐个判断： ①，不等式两边同乘，不等号方向改变，得，两边同加2，不等号方向不变，得，①正确； ② 举反例，取，满足，此时，，，不满足，②错误； ③ 举反例，取，满足，此时，不满足，③错误； ④ 当时，，不满足，④错误； ⑤对任意实数，，，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，得，⑤正确； 综上，正确的说法共2个． 8. 若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两个已知等式按完全平方公式展开，两式相减消去无关项，即可计算出的值． 【详解】解：∵，， ∴①，②， ①②得：， ∴， ∴． 9. 已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知不等式的解集确定的符号，与的数量关系，再代入待解不等式，结合不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵ ， 移项得， 又∵该不等式的解集为 ， ∴，且 ， 可得， 由得， 将代入不等式，得， ∴， ∴． 10. 两个边长为a的大正方形与两个边长为b的小正方形按如图所示放置，如果，那么阴影部分的面积是（ ） A. 30 B. 34 C. 40 D. 44 【答案】A 【解析】 【分析】由图可得阴影部分面积为4个直角三角形面积的和，列出代数式，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∴， 阴影部分的面积 ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解决本题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 12. 若是完全平方式，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式 ，对原式变形对比即可解答． 【详解】解： ， 首项，末项， 因此中间项应为， 对比原式中间项，可得． 13. 若，则表示的多项式是_____． 【答案】 ## 【解析】 【分析】先将等式右侧的多项式利用平方差公式因式分解，即可求出多项式． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 14. 计算：_____． 【答案】 4 【解析】 【分析】运用完全平方公式简化计算，观察式子变形后符合完全平方公式，代入计算即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 15. 已知是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元一次不等式的定义，得且，求出m的值，再把m的值代入不等式，然后求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， ∴， ∴原不等式为， 解得， 所以该不等式的解集为． 16. 设表示不超过的最大整数，例如．记．则下列说法中：①；②；③的取值范围是；④对任意实数，总有；⑤若，且，则满足条件的的实数有且仅有4个．正确的是_____．（将正确答案的序号填在横线上） 【答案】②④ 【解析】 【分析】本题根据取整函数和小数部分的定义，结合不等式性质逐一验证每个命题，即可得到正确结论． 【详解】解：①因为，所以，，不超过的最大整数为，因此，故①错误． ②对任意实数，可写为，其中，则，因为，所以不超过的最大整数为，即，故②正确． ③由的定义可得，不等式三边同时减，得，即，故③错误． ④设，，其中，，则，因为，所以，因此，即，故④正确． ⑤由题意得是整数，满足，代入得，因此，整理得，因为是整数，为整数，所以，解得或，当时，，，当时，，，共个满足条件的实数，故⑤错误． 综上，正确的是②④． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【详解】解：原式 ； 当时，原式. 18. 解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项和系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 数轴表示如下所示： 19. 已知正数的平方根是和，实数的立方根是． （1）求与的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，据此可得a的值，进而可求的值；再根据立方根的定义可得y的值； （2）先求出的值，再根据算术平方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵正数的两个平方根是和， ∴， ∴， ∴， ∵实数的立方根是， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 则， ∴的算术平方根为． 20. 如图，现有一块长为米、宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间预留边长为米的正方形修建一座雕像． （1）求绿化的面积（用含的代数式表示，并化简）； （2）若，，绿化成本是200元/平方米，则完成绿化共需要多少元． 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法与图形面积、代数式求值的应用，解题的关键是用代数式表示出绿化的面积． （1）用代数式表示出长方形和正方形的面积，求差即可； （2）将a，b的值代入（1）中结论可求出绿化的面积，乘以单价即可求出总费用． 【小问1详解】 解：阴影部分的面积为： ∴长方形孔部分的面积为 【小问2详解】 当，时，原式 即完成绿化共需要（元) 21. 【阅读】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： 若，则； 若，则； 若，则． 反之也成立． 这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”． 【理解】（1）若，则______（填“”、“”或“”） 【运用】（2）若，，试比较，的大小． 【拓展】（3）请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案，方案一：用5块A型钢板，6块型钢板．方案二：用4块A型钢板，7块型钢板．每块A型钢板的面积比每块型钢板的面积小．方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题干信息得出答案即可； （2）用作差法比较，的大小即可； （3）设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，，作差法比较，的大小即可． 【详解】解：（1）若，则，因此； 故答案为：； （2）∵ ， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，， ∵ ， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算． 22. 对于任意两个实数，定义一种新运算“”：，解答下列问题： （1）计算； （2）若是正整数，且，求出所有满足条件的； （3）若实数满足，求的值． 【答案】（1）4 （2）1和2 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用完全平方公式将新运算化简得，然后代入原式中，利用平方差公式计算即可； （2）根据，代入不等式，求得不等式的解集，进而求得正整数解即可； （3）根据，然后代入原式化简即可得到结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∵ ∴ ， ∵是正整数， ∴满足条件的有1和2； 【小问3详解】 解：由（1）可知，， ∵ ∴ ． 23. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“优美数组”．例如：这三个数，，其结果6，3，2都是整数，所以这三个数是“优美数组”． （1）这三个数是“优美数组”吗？请说明理由； （2）若三个数是“优美数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值； （3）若三个数是“优美数组”，将所有满足条件的的取值按从大到小的顺序排列，第1个取值记为，第2个取值记为，以此类推．求的第个取值的表达式（用含的代数式表示）． 【答案】（1） 解：，，这三个数是“优美数组”，理由如下： ∵，，，且4，6，12都是整数， ∴，，这三个数是“优美数组”； （2） （3），为正整数 【解析】 【分析】（1）根据“优美数组”的定义进行求解判断即可； （2）分，两种情况分别求出m的值，再根据“优美数组”的定义进行判断即可． （3）令（为正整数，且），为整数，设，则（为偶数），令（t为正整数），则，此时也为整数，故，再枚举，找出规律即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵其中有两个数乘积的算术平方根为12， ∴这两个数的乘积为144， 当时，则， ∵， ∴，此时符合题意； 当时，则不符合题意； 综上所述，； 【小问3详解】 解：∵三个数是“优美数组”， ∴是负整数，且， ∵是整数， ∴只需是整数即可， 令（为正整数，且） 则， ∵为整数，设，则（为偶数）， 令（t为正整数），则， 此时也为整数， ∴（排除，此时；排出，此时）， ∴时，； 时，； 时，； 以此类推，，为正整数． 24. 完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为，所以， 所以，所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若，则_____； （2）若，求的值； （3）如图，已知四边形和四边形均为正方形，是的中点，且，，若．设三角形的面积为，正方形的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用代入已知数据计算； （2）通过换元法设，，先求出的值，再利用求出，最后利用平方差公式变形计算即可； （3）先根据图形结合题意求出，，求出，再根据代入已知计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：设，， 则， 根据完全平方公式变形可得， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由图得，， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴， ∵是的中点，且，， ∴，，即， ∴，， ∴， ∵，且， ∴， ∴的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期七年级期中考试 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中：，，，，无理数的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知为实数且，则下列说法中：，，③，④，⑤，正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 若，则（ ） A. B. 2 C. D. 9. 已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 两个边长为a的大正方形与两个边长为b的小正方形按如图所示放置，如果，那么阴影部分的面积是（ ） A. 30 B. 34 C. 40 D. 44 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 的平方根是____． 12. 若是完全平方式，则_____． 13. 若，则表示的多项式是_____． 14. 计算：_____． 15. 已知是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为_____． 16. 设表示不超过的最大整数，例如．记．则下列说法中：①；②；③的取值范围是；④对任意实数，总有；⑤若，且，则满足条件的的实数有且仅有4个．正确的是_____．（将正确答案的序号填在横线上） 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 19. 已知正数的平方根是和，实数的立方根是． （1）求与的值； （2）求的算术平方根． 20. 如图，现有一块长为米、宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间预留边长为米的正方形修建一座雕像． （1）求绿化的面积（用含的代数式表示，并化简）； （2）若，，绿化成本是200元/平方米，则完成绿化共需要多少元． 21. 【阅读】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： 若，则； 若，则； 若，则． 反之也成立． 这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”． 【理解】（1）若，则______（填“”、“”或“”） 【运用】（2）若，，试比较，的大小． 【拓展】（3）请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案，方案一：用5块A型钢板，6块型钢板．方案二：用4块A型钢板，7块型钢板．每块A型钢板的面积比每块型钢板的面积小．方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小． 22. 对于任意两个实数，定义一种新运算“”：，解答下列问题： （1）计算； （2）若是正整数，且，求出所有满足条件的； （3）若实数满足，求的值． 23. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“优美数组”．例如：这三个数，，其结果6，3，2都是整数，所以这三个数是“优美数组”． （1）这三个数是“优美数组”吗？请说明理由； （2）若三个数是“优美数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值； （3）若三个数是“优美数组”，将所有满足条件的的取值按从大到小的顺序排列，第1个取值记为，第2个取值记为，以此类推．求的第个取值的表达式（用含的代数式表示）． 24. 完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为，所以， 所以，所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若，则_____； （2）若，求的值； （3）如图，已知四边形和四边形均为正方形，是的中点，且，，若．设三角形的面积为，正方形的面积为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $