专题11.3 解一元一次不等式（高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级下册

专题11.3 解一元一次不等式 教学目标 1.掌握解一元一次不等式的解题步骤，熟练解一元一次不等式； 2.掌握在数轴上表示不等式解集的方法； 3.巩固不等式性质，减少变号等常见运算错误。 教学重难点 1.重点 （1）掌握解一元一次不等式的步骤，能够正确求解不等式，并在数轴上表示解集。。 2.难点 （1）掌握不等式两边乘（除）负数时变号规则，避免解题出错。。 知识点01 一元一次不等式的解法 1. 解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2. 解一元一次不等式的各步骤依据和注意事项 解一元一次不等式 依据 注意问题 解法 步骤 解的 情况 ①去分母 不等式的基本性质2 不要漏乘不含分母的项 ②去括号 去括号法则 当括号前是“-”时,要注意去 括号后括号内的各项都要改变 符号 ③移项 不等式的基本性质1 移项是从不等式的一边移到另 一边,一定要变号 ④合并同类项 合并同类项法则 只需把同类项的系数相加减 ⑤系数化为1 不等式的基本性质2 若不等式两边都乘(或除以)同 一个负数,不等号的方向要改变 一般有无 数个解 不等式的所有解组成解集 【即学即练】 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·月考）解不等式：． 【答案】 【分析】先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 2．（25-26八年级下·宁夏中卫·月考）解下列不等式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不等式去括号，移项，合并同类项，将x系数化为1，即可求解； （2）不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，将x系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解：去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． （2）解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 知识点02 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 【即学即练】 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）解不等式，并写出该不等式最大的整数解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了求不等式的最大整数解，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 该不等式最大的整数解是． 4．（25-26七年级下·江苏·月考）求不等式的正整数解． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的正整数解，掌握一元一次不等式的解法是解答本题的关键． 先移项，再根据不等式的性质系数化为，然后再确定正整数解即可． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴原不等式的正整数解为． 题型01 解一元一次不等式 1．解下列不等式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，即可求解． 【详解】（1）解： 移项、合并同类项得，， 系数化为得，． （2）解： 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，． 2．解不等式：． 【答案】 【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴原不等式的解集是． 3．解不等式：． 【答案】 【分析】按照一元一次不等式的标准求解步骤计算即可，注意不等式两边同时乘或除以负数时，不等号方向需要改变． 【详解】解：， 不等式两边同乘去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得． 4．解不等式． 【答案】 【详解】解：． 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 题型02 在数轴上表示一元一次不等式的解集 5．解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项和系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 数轴表示如下所示： 6．解不等式，并在数轴上表示出解集． 【答案】，数轴见解析 【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案，再数形结合用数轴表示不等式解集即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如下． 7．解不等式，并将解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析. (2)，数轴见解析. 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴如下： （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴如下： 8．解不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项和系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 数轴表示如下所示： 题型03 一元一次不等式的特殊解 9．解不等式，并求出最大的整数解． 【答案】 不等式的解集为，最大的整数解为 【分析】通过去分母，去括号，未知数的系数化为1，求解，进而求得整数解． 【详解】解：， 去分母得： 去括号得：， 解得：， ∴最大整数解为． 10．已知． (1)用含有的式子表示； (2)若，求的取值范围； (3)若的取值范围如图所示，求的负整数值． 【答案】(1) (2) (3)的负整数值为和 【分析】（1）根据等式的性质移项即可； （2）根据（1）中的等式，将代入，结合不等式的性质即可求解； （3）根据数轴得到，结合不等式的性质代入计算即可． 【详解】（1）解：用含有的式子表示为：． （2）解：由于，即，解得． （3）解：由图可知，即， 解得， 所以的负整数值为和． 11．整式． (1)当时，求M的值； (2)若M的取值范围如图所示，求x的负整数解． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）把代入代数式中进行计算即可； （2）根据数轴列出的不等式进行解答即可． 【详解】（1）解：把代入得： ； （2）解：由数轴知，， 即， 解得， ∵为负整数， ，． 12．已知关于x的方程． (1)求x的值（用含a的式子表示）； (2)若关于x的方程的解不小于，求a的取值范围； (3)请直接写出满足（2）的条件的所有a的正整数值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）结合该方程的解不小于，可得关于的一元一次不等式，求解即可获得答案； （3）结合（2）及正整数的定义，即可获得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴； （2）由（1）可知，， ∵该方程的解不小于， ∴， 解得； （3）由（2）可知，， ∴满足（2）的条件的所有a的正整数值． 题型04 一元一次不等式与代数式大小问题 13．（1）已知，利用不等式的性质比较与的大小，并说明理由； （2）若，且，求a的取值范围． 【答案】（1）．理由见解析；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）结合不等式的性质进行作答即可． （2）结合，且，即不等式的两边同时乘时，不等号的方向改变，则，进行作答即可． 【详解】解：（1）．理由如下： ， ∴不等式的两边都乘，得， ∴不等式的两边都加5，得． （2）由题意知，在不等式的两边同时乘时，不等号的方向改变， ． 在不等式的两边同时加a，得， 即． 14．要比较两个数，的大小，有时可以通过比较与的大小来解决：如果，则；如果，则；如果，则． (1)若，，试比较，的大小． (2)若，，为何值时，，． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）利用作差法进行计算即可； （2）根据题意列出相关不等式和方程，进行计算即可求出的取值范围． 【详解】（1）由题意可知：， ， ，． ； （2）， ， ， ， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即． 【点睛】本题考查整式的加减和不等式的解法，正确进行计算是解题关键． 15．已知． (1)请比较与的大小，并说明理由． (2)若，则的取值范围为___________． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练运用不等式的基本性质是解题的关键． （1）利用不等式的基本性质解题即可； （2）由于不等号的方向改变，可知乘以的，解不等式求解集即可． 【详解】（1）解：． 理由：∵， ∴（不等式的基本性质3）， ∴（不等式的基本性质1）； （2）解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 16．【阅读材料】 我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差，变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差：若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)若，，，求和的取值范围． 【答案】(1) (2)a为任意实数， 【分析】本题主要考查了利用不等式的性质比大小、解不等式，整式的混合运算． （1）根据题意用作差法得出，再结合，利用不等式的性质即可得出结论． （2）把，代入，解一元一次不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴，即， ∴． （2）解：∵ ， 又∵， ∴， ∴， 解得， ∵的值与的取值无关， ∴a为任意实数． 题型05 已知不等式解集求字母的取值 17．关于的方程的解为负数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将a看作已知数，先解出方程的x，再根据解为负数得到，解关于a的不等式即可得到结果． 【详解】解：解方程， 移项得 ． ∵ 方程的解为负数， ∴ ， 即 ． 移项得 ． 不等式两边同除以，不等号方向改变，得 ． 18．关于x的不等式恰有两个负整数解，则b的取值可以是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式的整数解问题，先解不等式得到，再根据恰有两个负整数解确定这两个负整数为、，进而推导b的取值范围，最后结合选项判断符合条件的取值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 不等式恰有两个负整数解 ∴ 这两个负整数解为、， ∴ ， 结合选项，只有在该取值范围内； 故选：D 19．若关于x的不等式的解集和不等式的解集相同，则m的值为______． 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再根据解集相同建立等式求解参数． 【详解】解：由题意得， 解得； 解得， 两个不等式的解集相同， 解得． 20．若关于的一元一次不等式的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据不等式的解集得出，解答即可． 【详解】解：∵关于的一元一次不等式的解集为，即关于的一元一次不等式的解集为， ∴， 解得：． 题型06 已知不等式的解的情况求字母的值 21．若关于的不等式的最小整数解为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质，先将a看作常数解关于x的不等式，得，根据最小整数解为，得，解出a即可． 【详解】解：移项， 移项，得， 解得， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， 解得． 22．如果关于x的方程的解不大于1，且m是一个正整数，则x的值为__________． 【答案】或1 【分析】利用解一元一次方程的步骤表示出，然后根据题意列出不等式，求出的取值，最后代数求值即可． 【详解】解： ∴， 解得， ∵m是一个正整数， ∴的值为1或2， 当时，； 当时，； 故答案为：或1． 23．若方程的解是非负数，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题综合考查了一元一次方程的解与解一元一次不等式．解题的关键是，直接求解，再令解大于等于，转化为一个一元一次不等式求解集的问题． 解方程得到的表达式，根据解是非负数列出不等式求解即可． 【详解】解：解方程， 移项得， 两边除以得． 由于方程的解是非负数，即， ． 去分母得， 移项得， 解得． 故答案为：． 24．已知同时满足方程：①，②． (1)如果，求的值； (2)如果，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入法求出x，y的值，然后再求的值． （2）先用k表示出x，y，再根据，列出关于k的一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：由，得， 把代入方程①，得， 解得， 把代入，得， ∴． （2）解：方程①②，得 ，解得， 把代入方程①，得 ，， ∵， ∴， 解这个不等式，得, ∴的取值范围是． 题型07 一元一次不等式与一元一次方程的含参问题 25．若关于的不等式的解集为，则关于的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式和一元一次方程的综合应用，熟练掌握不等式的解集与方程的解的关系是解题的关键．先根据不等式的解集确定的符号，再利用边界点求出的值，最后代入方程求解． 【详解】解：∵ 不等式的解集为， ∴ 当时，，即， ∴ ， ∴ ． 又∵ 方程， 代入，得， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 26．若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程以及一元一次不等式，解题的关键是解一元一次不等式． 先解方程求的值，然后根据解是正数，求出的取值范围即可． 【详解】解：解原方程得． ∵原方程的解是正数，即， ， 解得． 故答案为：． 27．已知关于x的方程的根是正数，则实数a的最大整数值为________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式． 首先解方程得到，然后根据根为正数列不等式，求解a的取值范围，最后确定最大整数值． 【详解】解：， 移项得， 即， 所以． 由于根是正数，即， 因此， 两边乘以2得， 即． 所以a的取值范围是， 最大整数值为． 故答案为：． 28．若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求式子的值． 【答案】 【分析】先求得不等式的最小整数解为．代入一元一次方程求得，再代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：， 解不等式，得． ∴不等式的最小整数解为． ∵不等式的最小整数解是关于x的方程的解， ∴将代入方程，得， 解得． ∴． 题型08 一元一次不等式与二元一次方程组的含参问题 29．关于的方程组的解满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程组得到，再根据，列出不等式求解即可得到答案． 【详解】解：方程组， 得：， ∵关于的方程组的解满足， ∴， ∴． 30．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次不等式． 两方程相加可得，再根据求解即可． 【详解】， 得， 即， ∵关于x、y的二元一次方程组的解满足， ∴， 解得：， 故选：D． 31．已知关于，的二元一次方程组，且，则写出满足条件的的一个整数_____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】运用整体思想，将，得到，结合，求出的取值范围，再选取一个合适的整数即可． 【详解】解：， 将，得， ∵， ∴， 解得， ∴可取．（答案不唯一） 32．当关于的二元一次方程组的解为正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组、解不等式组和绝对值的应用， （1）先解二元一次方程组得到x、y的表达式，再由题意列出关于m的不等式组，解不等式组即可求得m的取值范围． （2）结合（1）得到和，利用绝对值计算即可． 【详解】（1）解： ， 解得： ， ∵原方程组的解中x为正数，y为负数， ∴ ， 解得：； （2）解：∵， ∴，， ∴． 题型09 一元一次不等式的新定义问题 33．对实数，定义运算“★”：，设，则不等式的解为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x的不等式．根据新定义运算规则，分别从和两种情况列出关于x的不等式，求解后即可得出结论． 【详解】解：由题意得，当时， 即时，， ∵， 则， 解得：， 综上：， 当时， 即时，， ∵， 则， 解得：， 综上：， 综上所述，的解集是或． 故选：D． 34．定义，例如：，若，则非负整数的值有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查定义新运算，求一元一次不等式的整数解，先根据新定义，列出不等式，进而求出不等式的解集即可． 【详解】解：由题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∴非负整数的值有，共4个； 故选B． 35．已知有理数和，定义一种新运算“&”，规定：（、是都不为0的常数），等式右边的运算是通常的四则运算．例如．当，时，则关于的不等式的最小整数解为____________． 【答案】5 【分析】首先根据题意建立关于的二元一次方程组，求解可确定的值，然后根据可得关于的不等式，求解即可获得答案． 【详解】解：∵，，， 则有，解得， ∴， ∵， ∴， 解得， 所以，关于的不等式的最小整数解为5． 36．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． (1)下列不等式与互为“和谐不等式”是_______（只填序号）： ①②③ (2)若关于x的不等式是的“和谐不等式”，求m的取值范围； (3)若，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 【答案】(1)①； (2)； (3)的取值范围为或． 【分析】（1）根据“和谐不等式”的定义即可判断； （2）解不等式可得，解不等式得，再根据“和谐不等式”的定义可得； （3）分两种情况讨论根据“和谐不等式”的定义得到含的不等式，解得即可． 本题主要考查解一元一次不等式的整数解和不等式的性质，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：①不等式与有公共整数解， ②不等式与没有公共整数解， ③与没有公共整数解， 与互为“和谐不等式”是①， 故答案为：①； （2）解：不等式， 解得， 不等式， 解得． 关于的不等式是的“和谐不等式”， ， ； （3）解：不等式， 解得， 不等式， 整理得， ①当，即时，， 关于的不等式与不等式互为“和谐不等式”， ， ； ②当，即时，， ， 两个一元一次不等式有公共整数解， 此时关于的不等式与不等式互为“和谐不等式”， 综上所述，的取值范围为或． 1．不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出不等式的解集即可判断． 【详解】解：， 去括号得，， 移项并合并同类项得，， 系数化为1得，． 2．若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可通过方程组变形直接得到的表达式，再解一元一次不等式得到的取值范围． 【详解】解： 将得 整理得 两边同除以2得 ∵方程组的解满足 ∴ 解得 ． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有3个 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再结合不等式的解、解集的概念逐一判断选项即可． 【详解】解：解不等式得， A、该不等式解集为，不是，A错误； B、把代入不等式，得，不满足不等式，因此不是该不等式的解，B错误； C、不等式解集为，小于的整数有无数个，因此不等式的整数解有无数个，C正确； D、所有正整数都大于，且，因此不等式没有正整数解，D错误． 4．在关于x，y的方程组的解满足，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于方程组，由并整理可得，结合可得关于的一元一次不等式，求解即可获得答案． 【详解】解：， 由，可得， ∴， ∵， ∴，解得． 5．已知实数x，y满足，并且，则的最小值是（   ） A．-1 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意可得，易知，结合可得的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：∵, ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴的最小值是． 6．若关于x的不等式的解集和不等式的解集相同，则m的值为______． 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再根据解集相同建立等式求解参数． 【详解】解：由题意得， 解得； 解得， 两个不等式的解集相同， 解得． 7．我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解是______． 【答案】 【分析】根据新定义运算法则得到关于的不等式，求解并取最大整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 最大整数解是． 8．现规定一种新运算，，其中、为常数．若关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为______． 【答案】 【分析】根据得出，求出不等式的解集是，根据数轴得出，再求出即可． 【详解】解：， ， 解得： 从数轴可知：， 解得． 9．若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】先将可得，再根据得出不等式，然后求出解集即可． 【详解】解：， ，得， 即． ∵， ∴， 解得． 10．已知关于，的方程组其中，给出下列说法： ①当时，、的值互为相反数；②是方程组的解；③方程组的解也是方程的解；④若，则．其中说法正确的有________． 【答案】 ①③④ 【分析】先解二元一次方程组，得到用含a的代数式表示的x和y，再逐个代入验证四个说法，结合a的取值范围判断正误即可. 【详解】解： 得：， 解得：， 将代入②得：， 因此方程组的解为，其中. ①当时，，， ，则，互为相反数，故①正确； ②将代入解，得，， 解得：，不满足，故②错误； ③∵， ∴， 故方程组的解也是方程的解；故③正确； ④若，则，解得， 结合，得， 不等式两边同乘，不等号方向改变，得， 不等式两边同时加，得，即，故④正确. 11．解不等式： 【答案】 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得． 12．若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求式子的值． 【答案】 【分析】先求得不等式的最小整数解为．代入一元一次方程求得，再代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：， 解不等式，得． ∴不等式的最小整数解为． ∵不等式的最小整数解是关于x的方程的解， ∴将代入方程，得， 解得． ∴． 13．一个进行数值转换的运行程序如图所示，从“输入有理数”到“结果是否大于0”称为“一次操作”，当为1、时，“一次操作”后结果分别为3和9； (1)求和的值； (2)若“一次操作”后结果输出，求满足条件的最大整数． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据题意结合程序图列二元一次方程组求解即可； （2）根据程序图列不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵当为1、时，“一次操作”后结果分别为3和9， ∴， 解得：； （2）解：∵“一次操作”后结果输出，输出结果要求大于0， ∴， 解得：， 则满足条件的最大整数为1． 14．阅读材料，回答问题： 我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式，组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“专属组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“非属组合”． (1)直接判断是“专属组合”还是“非属组合”________．（填“A”或“B”） A．“专属组合”    B．“非属组合” (2)判断是“专属组合”还是“非属组合”，并说明理由． (3)若关于的组合是“专属组合”，求的取值范围． 【答案】(1)B； (2) 专属组合，理由见详解； (3) 【分析】（1）先求方程的解，再解不等式，根据“专属组合”和“非属组合“的定义，判断即可； （2）同理（1）解答即可； （3）先解方程和不等式，然后根据“专属组合”的定义求a的取值范围； 【详解】（1）解：， ， ， ， 不在范围内， 是“非属组合”； （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：． 解不等式， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 化系数为1，得：． 在范围内， ∴是“专属组合”； （3）解：解方程得，， 解不等式，得：， ∵关于x的组合是“专属组合”， 在范围内， ， ． 15．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值； (3)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)整数的最小值为 (3) 【分析】（1）分别解方程和解不等式，然后根据“内含解”的定义进行判断； （2）分别解方程和解不等式，然后根据“内含解”的定义列不等式，解不等式即可得解； （3）分别解方程组和解不等式，然后根据“内含解”的定义列不等式，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 解方程， ， ， 解得； 解不等式， ， 解得； ， 方程的解是不等式的“内含解”． （2）解：解方程， ， 解得． ， ， 解不等式， ， ， ， 解得． 由“内含解”的定义，得， ， ， 解得， 整数的最小值为． （3）解：， 由，得， ，方程组的解是不等式的“内含解”， ，解得． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.3 解一元一次不等式 教学目标 1.掌握解一元一次不等式的解题步骤，熟练解一元一次不等式； 2.掌握在数轴上表示不等式解集的方法； 3.巩固不等式性质，减少变号等常见运算错误。 教学重难点 1.重点 （1）掌握解一元一次不等式的步骤，能够正确求解不等式，并在数轴上表示解集。。 2.难点 （1）掌握不等式两边乘（除）负数时变号规则，避免解题出错。。 知识点01 一元一次不等式的解法 1. 解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2. 解一元一次不等式的各步骤依据和注意事项 解一元一次不等式 依据 注意问题 解法 步骤 解的 情况 ①去分母 不等式的基本性质2 不要漏乘不含分母的项 ②去括号 去括号法则 当括号前是“-”时,要注意去 括号后括号内的各项都要改变 符号 ③移项 不等式的基本性质1 移项是从不等式的一边移到另 一边,一定要变号 ④合并同类项 合并同类项法则 只需把同类项的系数相加减 ⑤系数化为1 不等式的基本性质2 若不等式两边都乘(或除以)同 一个负数,不等号的方向要改变 一般有无 数个解 不等式的所有解组成解集 【即学即练】 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·月考）解不等式：． 2．（25-26八年级下·宁夏中卫·月考）解下列不等式 (1)； (2)． 知识点02 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 【即学即练】 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）解不等式，并写出该不等式最大的整数解． 4．（25-26七年级下·江苏·月考）求不等式的正整数解． 题型01 解一元一次不等式 1．解下列不等式． (1)； (2)． 2．解不等式：． 3．解不等式：． 4．解不等式． 题型02 在数轴上表示一元一次不等式的解集 5．解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 6．解不等式，并在数轴上表示出解集． 7．解不等式，并将解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 8．解不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来． 题型03 一元一次不等式的特殊解 9．解不等式，并求出最大的整数解． 10．已知． (1)用含有的式子表示； (2)若，求的取值范围； (3)若的取值范围如图所示，求的负整数值． 11．整式． (1)当时，求M的值； (2)若M的取值范围如图所示，求x的负整数解． 12．已知关于x的方程． (1)求x的值（用含a的式子表示）； (2)若关于x的方程的解不小于，求a的取值范围； (3)请直接写出满足（2）的条件的所有a的正整数值． 题型04 一元一次不等式与代数式大小问题 13．（1）已知，利用不等式的性质比较与的大小，并说明理由； （2）若，且，求a的取值范围． 14．要比较两个数，的大小，有时可以通过比较与的大小来解决：如果，则；如果，则；如果，则． (1)若，，试比较，的大小． (2)若，，为何值时，，． 15．已知． (1)请比较与的大小，并说明理由． (2)若，则的取值范围为___________． 16．【阅读材料】 我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差，变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差：若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)若，，，求和的取值范围． 题型05 已知不等式解集求字母的取值 17．关于的方程的解为负数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．关于x的不等式恰有两个负整数解，则b的取值可以是（   ） A．3 B．2 C． D． 19．若关于x的不等式的解集和不等式的解集相同，则m的值为______． 20．若关于的一元一次不等式的解集为，则的取值范围是________． 题型06 已知不等式的解的情况求字母的值 21．若关于的不等式的最小整数解为，则的取值范围是______． 22．如果关于x的方程的解不大于1，且m是一个正整数，则x的值为__________． 23．若方程的解是非负数，则的取值范围是_________． 24．已知同时满足方程：①，②． (1)如果，求的值； (2)如果，求的取值范围． 题型07 一元一次不等式与一元一次方程的含参问题 25．若关于的不等式的解集为，则关于的方程的解为（　　） A． B． C． D． 26．若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为________． 27．已知关于x的方程的根是正数，则实数a的最大整数值为________． 28．若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求式子的值． 题型08 一元一次不等式与二元一次方程组的含参问题 29．关于的方程组的解满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．已知关于，的二元一次方程组，且，则写出满足条件的的一个整数_____________． 32．当关于的二元一次方程组的解为正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)化简． 题型09 一元一次不等式的新定义问题 33．对实数，定义运算“★”：，设，则不等式的解为（    ） A． B． C． D．或 34．定义，例如：，若，则非负整数的值有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 35．已知有理数和，定义一种新运算“&”，规定：（、是都不为0的常数），等式右边的运算是通常的四则运算．例如．当，时，则关于的不等式的最小整数解为____________． 36．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． (1)下列不等式与互为“和谐不等式”是_______（只填序号）： ①②③ (2)若关于x的不等式是的“和谐不等式”，求m的取值范围； (3)若，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 1．不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 2．若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有3个 4．在关于x，y的方程组的解满足，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 5．已知实数x，y满足，并且，则的最小值是（   ） A．-1 B． C． D． 6．若关于x的不等式的解集和不等式的解集相同，则m的值为______． 7．我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解是______． 8．现规定一种新运算，，其中、为常数．若关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为______． 9．若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是______． 10．已知关于，的方程组其中，给出下列说法： ①当时，、的值互为相反数；②是方程组的解；③方程组的解也是方程的解；④若，则．其中说法正确的有________． 11．解不等式： 12．若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求式子的值． 13．一个进行数值转换的运行程序如图所示，从“输入有理数”到“结果是否大于0”称为“一次操作”，当为1、时，“一次操作”后结果分别为3和9； (1)求和的值； (2)若“一次操作”后结果输出，求满足条件的最大整数． 14．阅读材料，回答问题： 我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式，组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“专属组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“非属组合”． (1)直接判断是“专属组合”还是“非属组合”________．（填“A”或“B”） A．“专属组合”    B．“非属组合” (2)判断是“专属组合”还是“非属组合”，并说明理由． (3)若关于的组合是“专属组合”，求的取值范围． 15．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值； (3)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $