第五章 图形的轴对称（举一反三讲义）数学新教材北师大版七年级下册

第五章 图形的轴对称（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材北师大版】 【基础巩固】 1 【题型1 识别轴对称图形】 1 【题型2 识别成轴对称的两个图形】 3 【题型3 轴对称图形的对称轴】 6 【题型4 根据成轴对称图形的特征进行判断】 7 【能力提升】 10 【题型5 求轴对称图形对应线段长度】 10 【题型6 求轴对称图形对应角的度数】 12 【题型7 等腰三角形边角计算】 15 【题型8 等边三角形边角关系计算】 17 【题型9 尺规作线段垂直平分线】 20 【题型10 用线段垂直平分线性质解题】 23 【题型11 尺规作角平分线作图题】 25 【题型12 用角平分线性质求线段长】 28 【题型13 画轴对称图形】 31 【思维拓展】 35 【题型14 等腰三角形的分类讨论】 35 【题型15 垂直平分线与角平分线综合】 38 【题型16 轴对称图形折叠问题求解】 42 【题型17 等腰三角形多解问题计算】 45 【题型18 等边三角形性质综合求解】 49 【题型19 利用轴对称设计几何图案】 53 【题型20 轴对称实际应用最值问题】 56 【基础巩固】 【题型1 识别轴对称图形】 【例1】（25-26七年级上·山东淄博·期中）下列图形：线段、角、长方形、直角三角形、平行四边形、等边三角形、圆，其中一定是轴对称图形的有______个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，掌握如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知， 线段，角，长方形，等边三角形和圆一定是轴对称图形； 直角三角形和平行四边形不一定是轴对称图形， 所以一定是轴对称图形有5个． 故答案为：． 【变式1-1】（24-25八年级上·重庆北碚·期末）下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A，C，D选项中的图形不是轴对称图形，故A，C，D不符合题意； B选项中的图形是轴对称图形，故B符合题意． 【变式1-2】（25-26八年级上·四川成都·期中）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形，则淇淇放的方形棋子的位置是___________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，轴对称图形的定义，坐标位置的确定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 首先确定平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义，画出淇淇放的方形棋子的位置，即可解决问题． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示： 则淇淇放的方形棋子的位置如图，坐标为， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·北京·期中）以下是中国七个银行的图标，这些图标中是轴对称图形的是有______个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】解：七个图标中，以下四个图形是轴对称图形，共 故答案为：4 【题型2 识别成轴对称的两个图形】 【例2】视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的定义，把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴，根据定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； B．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； C．找不到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，不能够完全重合，这两个图形不能关于直线成轴对称，故选项符合题意； D．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）窗格在中国建筑装饰文化史上蕴含着博大精深的文化韵味．在如图所示的窗格中，可以与图形①成轴对称的图形是______（填序号）．    【答案】②③④ 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称．    故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 【变式2-2】国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与_______成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 【答案】1，3，7 【分析】此题考查了成轴对称图形的识别，沿着一条直线折叠，如果两个图形能够完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，据此进行解答即可． 【详解】解：观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与1，3，7成轴对称． 故答案为：1，3，7 【变式2-3】如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出__________个． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】根据题意，画图如下： 有，，，共3个三角形， 故答案为：3． 【题型3 轴对称图形的对称轴】 【例3】等边三角形的对称轴有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】D 【分析】根据对称轴的定义，结合等边三角形三边相等、三角相等的特征即可得出结果． 【详解】解：等边三角形每个顶角的角平分线所在直线都能使对折后两部分完全重合，都是它的对称轴， ∴等边三角形一共有3条对称轴． 【变式3-1】（25-26九年级下·重庆·月考）下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此结合图形找到四个图形的所有对称轴即可得到答案． 【详解】解：A选项中的图形有1条对称轴，B选项中的图形有5条对称轴，C选项中的图形有1条对称轴，D选项中的图形有3条对称轴， ∴对称轴条数最多的是B选项中的图形． 【变式3-2】某车标是一个轴对称图形，有______条对称轴 【答案】3 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质及轴对称图形的判断．根据轴对称图形的概念识别和等边三角性质的性质回答即可． 【详解】解：如图，    此车标有3条对称轴． 故答案为：3． 【变式3-3】平面上不重合的两点的对称轴是____________，角的对称轴是这个角的____________ 【答案】 连接这两点所成线段的垂直平分线 平分线所在的直线 【详解】根据对称轴垂直平分对应点连线可知平面上不重合的两点的对称轴是连接这两点所成线段的垂直平分线，再由轴对称的性质可得出角的对称轴． 解：平面上不重合的两点的对称轴是连接这两点所成线段的垂直平分线，角的对称轴是这个角的平分线所在的直线． 故答案为连接这两点所成线段的垂直平分线、平分线所在的直线． 此题考查了轴对称的性质，属于基础题，解答本题的关键是明白轴对称的定义，及轴对称的特点，难度一般 【题型4 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例4】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，由轴对称的性质不能得出非对应线段的关系．由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：根据题意分析，由轴对称的性质可以得到：对应线段相等，即A选项成立；对应线段是平行，即C选项成立；对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，即D选项成立；与为非对应线段，无法得到与的关系， 故选：B． 【变式4-1】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，与关于直线l对称，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．直线l垂直平分 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 根据轴对称的性质，逐一判断即可解答求解． 【详解】解：A、与关于直线l对称，，选项A正确，不符合题意； B、，，选项B正确，不符合题意； C、和关于直线对称，，不一定等于，选项C错误，符合题意； D、和△关于直线对称，垂直平分，选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【变式4-2】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，与关于直线对称，连接，，，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上．其中正确的是（　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，故①正确， ∵和关于直线对称， 点与点关于直线对称的对称点， ∴，故②正确； ∵和关于直线对称， ∴线段被直线垂直平分， ∴直线垂直平分，故③正确； ∵和关于直线对称， ∴线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， ∴正确的有①②③． 故选：A． 【变式4-3】（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称图形的对应边相等，对应角相等逐项判断即可．， 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是直线上的点， ∴，，，， 故选项A、B、C判断正确，不符合题意，选项D判断错误，符合题意， 故选：D． 【能力提升】 【题型5 求轴对称图形对应线段长度】 【例5】（25-26七年级下·江苏·期中）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若 ，则线段的长为_______． 【答案】15 【分析】由轴对称的性质得到，同理得到，进而根据线段的和差即可解答． 【详解】解：点关于的对称点恰好落在线段上，，， ， ， 点关于的对称点落在的延长线上，， ， ． 【变式5-1】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，直线，交于点O，点P关于，的对称点分别为点，．若，，则的周长是（    ）． A．40 B．30 C．28 D．16 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．根据轴对称的性质，得到，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，， ∴的周长； 故选B． 【变式5-2】（25-26七年级上·全国·期中）如图，内有一点，，分别是关于，的对称点，连接交于点，交于点．若的周长是，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质得到，再由三角形周长计算公式推出，据此可得答案． 【详解】解：由轴对称的性质可得， ∵的周长是， ∴， ∴，即， 故选：C． 【变式5-3】（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，在物理实验课上，小华所在小组用两块平面镜和进行成像研究．两块镜子互相平行放置，小球放在两镜之间，其球心为点，点在平面镜中的像为，在平面镜中的像为．已知点到的距离为，到的距离为，则________． 【答案】 【分析】本题考查的是镜面反射的性质，解决本题的关键是理解实物与像关于镜面对称．那么到镜面的距离相等．根据经过反射后，，得出，即可求解． 【详解】解：经过反射后，， 故， 根据题意可得，， 故，， ∴． 故答案为：． 【题型6 求轴对称图形对应角的度数】 【例6】（25-26八年级上·河南安阳·期中）如图，四边形是轴对称图形，直线是它的对称轴，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，轴对称的性质； 先根据三角形内角和定理求出，再根据轴对称的性质得出的度数，然后可计算的大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是轴对称图形， ∴， ∴， 故选：B． 【变式6-1】如图，与关于直线对称，且，，则_________． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称的性质以及三角形的内角和定理，根据轴对称的性质和得出的度数，再根据三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：与关于直线对称， ， ． 故答案为：． 【变式6-2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为______．（用含有的代数式表示） 【答案】 【分析】连接，由对称性质得到，，，在中，由三角形内角和定理得到，再由等腰三角形的判定与性质得到，设，由三角形外角性质求出，最后数形结合表示出，代入相关角度即可． 【详解】解：连接，如图所示： 由对称性质可得，，， ， ， 则， 设， 在中，， ， 则， ． 【变式6-3】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在等边外作射线，使得和在直线的两侧，，点关于直线的对称点为，连接．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 连接，根据轴对称的性质可得，，从而得到，，再结合等边三角形的性质可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点关于直线的对称点为， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【题型7 等腰三角形边角计算】 【例7】如图，在中，，延长至点D，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合三角形内角和定理求出，再根据即可得出结果． 【详解】解：在中，， ∴， ∴． 【变式7-1】（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，在中，是它的角平分线，，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”．根据等腰三角形的性质得出，根据三角形面积计算公式得出，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，是它的角平分线，， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 【变式7-2】（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，在中，，点D，E，F在的边上，，，则的面积是______． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求出是解答本题的关键．由三角形内角和定理得，由等腰三角形的性质得，，从而可求，得出，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：4． 【变式7-3】（24-25八年级上·吉林·月考）如图，平分，，的延长线交于点E，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．如图，连接，延长与交于点F，利用等腰三角形的三线合一证明是的垂直平分线，从而得到， 再次利用等腰三角形的性质得到：，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，延长与交于点F， ∵平分，， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 【题型8 等边三角形边角关系计算】 【例8】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在等边中，若边上的中线与边上的中线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，由等边三角形的性质可得，再由可得答案． 【详解】解：∵在等边中，若边上的中线与边上的中线交于点， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式8-1】（25-26八年级下·陕西宝鸡·月考）在等边三角形中，作边上的高，若，则的周长为____________． 【答案】 【分析】利用等边三角形三线合一的性质得到边的长度，再根据周长的定义计算三角形的周长． 【详解】解：是等边三角形，是边上的高， ，， ， ， 的周长为． 【变式8-2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，是等边三角形，若，则________ °． 【答案】130 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由等边三角形的性质得，再证明，即可得出结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：130． 【变式8-3】如图，是等边的边上的中线，，则的度数为_____． 【答案】/15度 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是利用等边三角形的中线性质求出相关角的度数，结合等腰三角形等边对等角的性质推导角度关系． 根据等边三角形性质，得出，为中线则平分且求出和；由可得为等腰三角形，利用内角和求出的度数；最后通过与的差求出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，． ∵是边上的中线， ∴ 平分（等边三角形三线合一）， ∴，． ∵ ∴ 是等腰三角形，． 在中，， ∴， 即， 解得． ∵， ∴． 故答案为：． 【题型9 尺规作线段垂直平分线】 【例9】（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得点到点，的距离相等． 【答案】作图见解析 【分析】本题考查尺规作图——作线段的垂直平分线，以及垂直平分线的性质，要找到边上到、距离相等的点，只需作出线段的垂直平分线，该直线与的交点就是满足条件的点． 【详解】解：①分别以点、为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧分别交于、两点； ②作直线，直线与的交点即为点； 直线是线段的垂直平分线， ，故点即为所求． 【变式9-1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，已知，用尺规作图的方法在边上确定一点，连接，能判断一定是等腰三角形的图形有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识的性质和作图是解题的关键．根据作图意义解答即可． 【详解】解：①作图是的垂直平分线，点P是的中点，无法证明一定是等腰三角形，不符合题意； ②作图得到，一定是等腰三角形，符合题意； ③作图是的垂直平分线，则，一定是等腰三角形，符合题意； ④作图是是的平分线，不能判定一定是等腰三角形，不符合题意； 综上可知，能判断一定是等腰三角形的图形有②③， 故选：B． 【变式9-2】据璧山信息网10月26日报道，为了打造“一生之城”，解决人民群众入学难的问题，规划在璧山区璧泉街道观音村修建高新区实验学校．如图，A、B、C三点表示三个小区，若实验学校到这三个小区距离相等，请你在图中用尺规作图确定学校的位置P．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】连接、，作线段、的垂直平分线，交点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求， 【变式9-3】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，中，，BD为AC边上的中线． (1)尺规作图：在线段AB上求作一点E，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接DE，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过作线段的垂直平分线，再根据线段的垂直平分线的性质求解； （2）先根据三线合一，得出，再根据等边对等角得出，从而可得，再根据平行线的判定求解． 【详解】（1）解：作的垂直平分线交于点E，连结， 则， 点E即为所求作的点； （2）∵，为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作已知线段的垂直平分线，等边对等角，三线合一，平行线的判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【题型10 用线段垂直平分线性质解题】 【例10】如图，在中，垂直平分，连接，若，则的周长为____________． 【答案】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，再由三角形周长公式，结合等量代换求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为． 【变式10-1】如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 【变式10-2】（25-26八年级下·山东威海·月考）如图，在中，，是的垂直平分线，连接，，则的度数（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，利用三角形内角和定理可得，再结合即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴. 【变式10-3】（25-26七年级下·江苏·期中）在中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交边于点，且，则______． 【答案】7或13/13或7 【分析】分点D在点E左侧和点D在点E右侧两种情况讨论，利用线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）得到，再结合和的长度进行求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E， ∴， 当点D在点E左侧时，； 当点D在点E右侧时，； 故的值为7或13． 【题型11 尺规作角平分线作图题】 【例11】（25-26八年级上·贵州黔南·期末）如图，锦簇公园有一块三角形菊花地．为了能更好地赏花，现计划在边上找一点D，向边各修一条小路，且使得点D到边的距离相等．请用直尺和圆规作出点D的位置，要求保留作图痕迹，不写作法． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图与应用，根据题意作的角平分线交于点即可， 【详解】如图，点即为所求， 【变式11-1】（25-26八年级上·安徽池州·期末）尺规作图题（不写作法，保留作图痕迹）． 如图，已知和两条公路，、是两个村庄，在美好乡村建设中，为方便广大村民出行方便，拟建立一个公交车站，使车站到两个村庄距离相等即，且到、两条公路的距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质，以及角平分线和线段垂直平分线的尺规作图．作的角平分线和线段的垂直平分线，它们的交点为点． 【详解】解：如图，点为所求． 【变式11-2】（25-26八年级上·河北石家庄·月考）项目式学习 主题 素材 位置要求 设计图 任务 如何确定雕像的位置 如图，要在一个四边形的公园中建造一个标志性的雕像 1.到点和点的距离相等； 2.到和边的距离相等 请按要求将图纸绘制完成，标注出点的位置（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】此题考查作图与应用设计作图，掌握角平分线的性质及线段垂直平分线的性质是解答此题的关键． 作边的垂直平分线和的平分线，两直线交于点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求． 【变式11-3】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在△中，是边上一点．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中，作的平分线交于点； (2)在图2中，在上找一点，使得． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，尺规作线段垂直平分线． （1）作的角平分线交于点E，则为所求线段； （2）作的垂直平分线交于M，则点M满足条件． 【详解】（1）解：即为所求作线段； （2）解：作的垂直平分线交于M，如下图： 则， ， ∴点M即为所求作． 【题型12 用角平分线性质求线段长】 【例12】如图，中，D是上一点，，则上一点D到的距离为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴D点到和的距离相等， ∵表示D点到的距离，， ∴D到的距离为4． 【变式12-1】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，是的平分线，点D是上一点，点F为直线上的一个动点．若的面积为18，，则线段的长不可能是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质与三角形的面积计算公式，作出辅助线是正确解答本题的关键．过点D作，垂足分别为M，P，利用角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积得出的长，结合“垂线段最短”即可获得答案． 【详解】解：过点D作，垂足分别为M，P， ∵是的平分线， ∴， ∵的面积为18，， ∴， ∴， 选项中只有2不在这一范围内， 故选：D 【变式12-2】（25-26八年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，平分交于，过作于点，且，则的面积为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质得到点到和的距离都是，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题知，因为平分交于， 所以点到和的距离相等． 因为于点，且， 所以点到和的距离都是， 所以 因为，， 所以 故选：A 【变式12-3】如图，，为，平分线的交点，交于，且，则与之间的距离等于________． 【答案】 【分析】过点作，则就是与之间的距离，然后根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴就是与之间的距离． ∵为，平分线的交点，交于， ∴ ∴与之间的距离． 【题型13 画轴对称图形】 【例13】（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是． (1)画出关于直线对称的图形；（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．下同） (2)在直线上找一点，使周长最小； (3)连接、，计算四边形的面积． 【答案】(1)画图见详解； (2)点位置见详解； (3) 【分析】本题考查轴对称图形绘制、最短路径问题（轴对称性质）及图形面积计算，运用转化思想，关键是利用轴对称性质画图和找最短路径，易错点为对称点绘制不准确及面积计算时分割图形错误． （1）根据轴对称性质画对称点然后连接,得到对称图形； （2）利用轴对称性质找的对称点，连接其与交直线得； （3）分割四边形为三角形和梯形等计算面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点P即为所求； （3）解：如图， 由图形可知四边形可以分成两个三角形； 即底是格，高是格，每格长度为， 则； 底是格, 高是格，每格长度为， ， 所以：． 【变式13-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，以图中的直线为对称轴，画出图形的另一半． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作轴对称图．熟练掌握作轴对称图形是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可． 【详解】解：如图所示． 【变式13-2】如图所示，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，四边形在直线的左侧，其四个顶点A，B，C，D都在网格的格点上（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点）． (1)请你在所给的网格中画出四边形，使四边形和四边形关于直线对称，其中点，，，分别是点A，B，C，D的对称点； (2)在（1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出点A到点的距离． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了轴对称变换的知识，掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）根据轴对称的性质，找到各点的对称点，顺次连接即可； （2）结合图形即可得出线段的长度． 【详解】（1）如图，四边形即为所求． （2）由图可知点A和点到直线l的距离都是3网格，即为3，所以点A到点的距离为6． 【变式13-3】（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图：正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图1中作出关于直线对称的；（要求：与与相对应） (2)在图2中，为上一格点，点为上任意一点，先将线段向右平移得到线段，画出线段，再在上找一点，使．（请用无刻度的直尺画图，并保留作图痕迹） 【答案】(1)作图见详解； (2)作图见详解． 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，平移的性质，全等三角形的性质与判定，熟知轴对称作图、平移作图及性质是正确解答此题的关键． （1）根据轴对称图形的特征，找到A、B对应点的位置，描出，再依次连接即可； （2）取格点F，连接，连接并延长交于G，则和点G即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，取格点F，连接，连接并延长交于G，则和点G即为所求． 理由：， ， 在和中， ， ， ． 【思维拓展】 【题型14 等腰三角形的分类讨论】 【例14】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（    ） A． B． C． 或 D．或 【答案】D 【分析】分已知边长为腰长和底边长两种情况讨论，计算对应底边长与腰长后求出“优美比”，同时验证三边能否构成三角形． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当3为腰长时， ∵等腰的周长为10， ∴底边长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”是； ②当3为底边长时， ∵等腰的周长为10， ∴腰长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”是； 综上，“优美比”是或． 【变式14-1】（25-26六年级上·重庆沙坪坝·月考）等腰三角形的一个内角为，则它的另外两个内角分别为（   ） A．， B．， C．，或， D．，或， 【答案】C 【分析】分内角是顶角或底角两种情况讨论，利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个内角为，未说明是顶角还是底角，因此分两种情况讨论； ①当为顶角时，∵三角形内角和为，等腰三角形两底角相等， ∴另外两个底角的度数都为，即另外两个内角为，； ②当为底角时，另一个底角为， ∴顶角为，即另外两个内角为，； 综上，另外两个内角为，或，． 【变式14-2】（25-26七年级下·上海金山·期末）已知等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为_____． 【答案】或 【分析】分为当等腰三角形为锐角三角形时和当等腰三角形为钝角三角形时两种情况，分别画图进行讨论． 【详解】解：如图，当等腰三角形为锐角三角形时， ∵，， ∴， 即． 如图，当等腰三角形为钝角三角形时， ∵，， ∴， ∴． 综上，该等腰三角形的顶角为或． 【变式14-3】等腰三角形的周长是26，一腰上的中线把周长分成的两部分之差为4，则等腰三角形的底边长是______． 【答案】6或 【分析】分两种情况画出图形，设，则，，根据题意列出方程，求出x后根据三角形三边关系进行验证即可． 【详解】解：如图，，是边上的中线，即 设，则，， ①当时， ， ∴，， 此时三边长为10，10，6，符合三角形三边关系定理； ②当时， ， ∴，， 此时三边长为，，，符合三角形三边关系定理； 综上：等腰三角形的底边长是6或． 【题型15 垂直平分线与角平分线综合】 【例15】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE分别交AB，BC于点F，G，连接AG，若AG平分∠CAB，AC＝5，则AB的长为____． 【答案】10 【分析】由角平分线的性质，解得，再根据轴对称图形的性质得到AC=AF，最后根据线段垂直平分线的定义解得，即可解题． 【详解】解：垂直平分 平分 与关于线段AG成轴对称图形 故答案为：10． 【点睛】本题考查轴对称图形、线段垂直平分线的定义、角平分线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式15-1】（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，，平分，，为的垂直平分线，交于点．若，则的长为__________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质．过点作于点，根据角平分线的性质，可得，，再由线段垂直平分线的性质，可得，再结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得，然后根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴，， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【变式15-2】如图，在中，，的垂直平分线交于D点，交于E点，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，从而得到，进而得到，再由角平分线的性质可得，灾后根据直角三角形的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴，，故B选项正确，不符合题意；C选项错误，符合题意； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故D选项正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【变式15-3】如图，已知在中，边的垂直平分线交于点E，再以点B为圆心，任意长为半径画弧交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线恰好交于点．若，，的面积为9，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．30 D．27 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质． 过点E作于点G，根据题意得到，然后根据垂直平分线的性质得到，，然后利用的面积为9求出，进而利用代数求解即可． 【详解】解：过点E作于点G， 由作图可知，射线为的平分线， ， 直线为线段的垂直平分线， ，， 的面积为9， ，， ， ， ， 故选：C． 【题型16 轴对称图形折叠问题求解】 【例16】（25-26七年级下·河北石家庄·月考）在综合实践课上，老师要求验证纸条两边与是否平行，甲、乙、丙三位同学按照如图所示的方式折叠，并测量出部分数据，关于三人的方案及数据，下列判断正确的是（    ） ， A．甲、乙、丙都可行 B．只有甲、乙可行 C．只有乙、丙可行 D．只有乙可行 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理分别对三位同学的方式折叠判断即可． 【详解】解：甲：∵， ∴， 同理可得，， ∴ ∴，故甲可行； 乙：如图， 由折叠得， ∵ ∴ ∴，故乙可行； 丙：由无法判断与是否平行，故丙不可行； 综上所述，只有甲、乙可行． 【变式16-1】（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．角平分线、高线、中线 B．中线、高线、角平分线 C．角平分线、中线、高线 D．中线、角平分线、高线 【答案】A 【分析】本题考查了折叠，三角形的角平分线、高线、中线，根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义，逐个图形分析即可得出答案，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图③得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线， 故选：． 【变式16-2】（25-26八年级下·山东威海·月考）在一次折纸活动中，小林同学选用了常见的纸，如图，他先将纸沿过点E的直线折叠，点B的对应点为点F，折痕为；再沿过点E的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点G，折痕为．已知，则的度数为___________ ． 【答案】/56度 【分析】由题意可知，而，进而可求的度数． 【详解】解：由题意可知， ， ， ， ． 【变式16-3】（25-26九年级下·重庆綦江·月考）如图，在中，，点在上，将沿直线翻折后，点落在点处，边与边相交于点，如果，那么的大小是_______ ． 【答案】70 【分析】由平行线的性质可得，，由折叠的性质可得，进而即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 由折叠得，， ∵ ∴， ∴． 【题型17 等腰三角形多解问题计算】 【例17】（25-26八年级上·河北廊坊·月考）将两个等腰直角三角板和如图所示摆放，其中，当，，三点在同一条直线上时，连接，．下列两个结论： 结论1：； 结论2：． 其中正确的是（   ） A．只有结论1正确 B．只有结论2正确 C．两个都正确 D．两个都错误 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，理解全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据周角可判断结论1，通过证可判断结论2． 【详解】解：， ， 结论1正确； ， ，即， 又，， ， ， 结论2正确， 故选C． 【变式17-1】如图，的平分线相交于点F，过点F作，分别交于点D，E，那么有下列结论：①；②；③的周长等于与的周长之和；④，都是等腰三角形；⑤，其中正确结论的序号有（　　） A．①②④ B．④⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的判定，平行线的性质，三角形外角性质，角的平分线的定义去推理论证即可． 【详解】∵的平分线相交于点F，过点F作， ∴，， ∴， ∴，都是等腰三角形， ∴ 故②④正确；①错误； ∵的周长等于， 与的周长之和为， 故③错误； ∵， 故⑤错误； 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角的平分线的定义即把角分成相等两个角的射线，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【变式17-2】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，为等边三角形，点D是直线上一点，连接，以为边作等边，连接，下面结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质．先求得，由得到，从而得到，据此即可判断． 【详解】解：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴，结论①正确； 在和中， ， ，结论②正确； ， ∴，结论③正确； 根据目前的条件无法证明，结论④错误． 故选：B． 【变式17-3】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，点在直线上，、都是等边三角形，和交于点，和交于点．有如下结论：（1）；（2）；（3）；（4）平分；（5）是等边三角形．其中正确结论有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线定义，恰当运用全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得三角形三边相等，三个角都是，易证，，，为等边三角形，由三角形内角和定理证得，在中，；在上取一点，使，可证得是等边三角形及，据此可进一步来判断各个结论的正确性． 【详解】解：、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， 故（1）正确； 、都是等边三角形， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， 是等边三角形， 故（5）正确； ， ， ， ， ， ， 故（2）错误； ，如图， ， , ，即， 在上取一点，使，则是等边三角形， ， ， ， ， ，故（3）正确； ， ，即， ， ， 平分，故（4）正确． 综上所述，（1）（3）（4）（5）正确， 故选：C． 【题型18 等边三角形性质综合求解】 【例18】如图，点、分别是等边边、上的点，已知，连接、交于点．则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等边三角形的性质得，，再证明得到，则，然后根据三角形外角定理计算的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中 ∴， ∴， ∴． 【变式18-1】如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是边上的动点，E是AC边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先作点关于对称的点，连接，与交于点，根据“将军饮马”模型，得出此时取得最小值，再根据等边三角形的性质可得结果． 【详解】解：如图，作点关于对称的点，连接，与交于点， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴，， ∴点在上， ，， ， 此时，取得最小值． ，， 点为的中点， 平分， ． 【变式18-2】（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到对应线段．点恰好落在上，则的长是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的补角相等，三角形内角和定理等知识，由题意得，，从而可得，又是等边三角形，所以，，则有，然后证明，所以，最后由线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式18-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则等于（    ） A．18 B．21 C．24 D．27 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据等边三角形的性质得出相等的边和角的度数，根据三角形的外角定理求出角的度数，然后利用等角对等边得出相等的边，最后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 【题型19 利用轴对称设计几何图案】 【例19】（25-26八年级上·吉林·期末）如图（1）、（2）分别是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中部分小正方形涂黑，请你用两种不同的方法，分别在两个图中再涂黑两个空白的小正方形，使它（涂黑部分）成为轴对称图形． 【答案】作图见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，准确分析作图是解题的关键． 根据轴对称图形的性质先确定一个对称轴，再找出阴影部分的图形的关键点的对称点，画出图形即可． 【详解】解：如图所示，即为所作图形： 【变式19-1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）请在下列的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中的三角形经过轴对称变换得到的图形，且所画的三角形的顶点都在格点上（如图），并将所画的三角形涂上阴影．（注：所画的三角形不能重复） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案．利用轴对称图形的性质，分别选择不同的直线当对称轴，得到相关图形即可． 【详解】解：如图1和图2所示． 【变式19-2】（24-25八年级上·四川广安·期中）如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件： （1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半； （2）涂黑部分成轴对称图形． 图乙与图丙是一种涂法，请在图中分别设计另外三种涂法．（注：在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图轴对称图形，掌握轴对称的性质是解题关键．根据轴对称的性质作图即可． 【详解】解：如图所示， 【变式19-3】在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中按要求再涂黑一个（或两个）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图形．       A．涂黑一个        B．涂黑一个         C．涂黑两个 【答案】见解析 【分析】本题考查设计轴对称图形，根据轴对称图形的定义，进行作图即可． 【详解】解：答案不唯一，如下： A．涂黑一个，如图所示． B．涂黑一个，如图所示． C．涂黑两个，如图所示． 【题型20 轴对称实际应用最值问题】 【例20】（24-25八年级上·山西朔州·期中）为了响应国家节能减排的号召，某城市大力推广新能源汽车，并计划在市区内新建一批新能源汽车充电站，小王需要在一条城市主干道附近选一个地点建一个充电站C，为附近的两个居民小区A和B的新能源汽车用户提供充电服务，要使两个居民小区的车主到充电站C的行驶距离之和最小，则充电站C的选址正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的最短路径问题，熟练掌握基本知识点是解题关键； 作出点（或点）关于l的对称点即可求解． 【详解】解：选项C中： ∴当三点共线时，的值最小，满足题意； 故选：C 【变式20-1】在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称－最短路线问题、等边三角形的判定和性质．作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，得到的周长的最小值为，再证得为边长为4的等边三角形即可得出答案． 【详解】解：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接， 分别交、于、，如图： ∴，， ∴的周长的最小值为， 由轴对称的性质得：，， ，， ，， ，， 为边长为4的等边三角形， ， 的周长的最小值为4． 故选：A． 【变式20-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在四边形ABCD中，，在、上分别取一点M、N，使的周长最小，则_______． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出的位置是解题关键． 要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于 和的对称点，即可得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：作出A关于 和的对称点，连接，交于M，交于N，则即为的周长最小值． ∵， ∴， ∵由轴对称的性质可得： 且 ∴ ， 故答案为：． 【变式20-3】（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）如图，是等边边上的高，，分别是，边上的两个定点，，，若在上有一动点，使最小，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，轴对称——最短路线问题等知识，由是等边三角形，是边上的高，则，平分，，所以， 作点关于的对称点，则在上，连接，与的交点为，故，即有最小值，为，再证明是等边三角形，所以，从而可得的最小值为，正确地画出图形找到的最小值时点的位置是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形，是边上的高， ∴，平分，， ∴， 如图，作点关于的对称点，则在上，连接，与的交点为， ∴， ∴，即有最小值，为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 图形的轴对称（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材北师大版】 【基础巩固】 1 【题型1 识别轴对称图形】 1 【题型2 识别成轴对称的两个图形】 2 【题型3 轴对称图形的对称轴】 3 【题型4 根据成轴对称图形的特征进行判断】 3 【能力提升】 5 【题型5 求轴对称图形对应线段长度】 5 【题型6 求轴对称图形对应角的度数】 6 【题型7 等腰三角形边角计算】 7 【题型8 等边三角形边角关系计算】 8 【题型9 尺规作线段垂直平分线】 9 【题型10 用线段垂直平分线性质解题】 10 【题型11 尺规作角平分线作图题】 10 【题型12 用角平分线性质求线段长】 12 【题型13 画轴对称图形】 12 【思维拓展】 14 【题型14 等腰三角形的分类讨论】 14 【题型15 垂直平分线与角平分线综合】 14 【题型16 轴对称图形折叠问题求解】 16 【题型17 等腰三角形多解问题计算】 17 【题型18 等边三角形性质综合求解】 18 【题型19 利用轴对称设计几何图案】 19 【题型20 轴对称实际应用最值问题】 21 【基础巩固】 【题型1 识别轴对称图形】 【例1】（25-26七年级上·山东淄博·期中）下列图形：线段、角、长方形、直角三角形、平行四边形、等边三角形、圆，其中一定是轴对称图形的有______个． 【变式1-1】（24-25八年级上·重庆北碚·期末）下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·四川成都·期中）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形，则淇淇放的方形棋子的位置是___________． 【变式1-3】（25-26八年级上·北京·期中）以下是中国七个银行的图标，这些图标中是轴对称图形的是有______个． 【题型2 识别成轴对称的两个图形】 【例2】视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）窗格在中国建筑装饰文化史上蕴含着博大精深的文化韵味．在如图所示的窗格中，可以与图形①成轴对称的图形是______（填序号）．    【变式2-2】国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与_______成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 【变式2-3】如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出__________个． 【题型3 轴对称图形的对称轴】 【例3】等边三角形的对称轴有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【变式3-1】（25-26九年级下·重庆·月考）下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】某车标是一个轴对称图形，有______条对称轴 【变式3-3】平面上不重合的两点的对称轴是____________，角的对称轴是这个角的____________ 【题型4 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例4】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，与关于直线l对称，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．直线l垂直平分 【变式4-2】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，与关于直线对称，连接，，，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上．其中正确的是（　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式4-3】（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【能力提升】 【题型5 求轴对称图形对应线段长度】 【例5】（25-26七年级下·江苏·期中）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若 ，则线段的长为_______． 【变式5-1】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，直线，交于点O，点P关于，的对称点分别为点，．若，，则的周长是（    ）． A．40 B．30 C．28 D．16 【变式5-2】（25-26七年级上·全国·期中）如图，内有一点，，分别是关于，的对称点，连接交于点，交于点．若的周长是，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，在物理实验课上，小华所在小组用两块平面镜和进行成像研究．两块镜子互相平行放置，小球放在两镜之间，其球心为点，点在平面镜中的像为，在平面镜中的像为．已知点到的距离为，到的距离为，则________． 【题型6 求轴对称图形对应角的度数】 【例6】（25-26八年级上·河南安阳·期中）如图，四边形是轴对称图形，直线是它的对称轴，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，与关于直线对称，且，，则_________． 【变式6-2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为______．（用含有的代数式表示） 【变式6-3】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在等边外作射线，使得和在直线的两侧，，点关于直线的对称点为，连接．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型7 等腰三角形边角计算】 【例7】如图，在中，，延长至点D，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，在中，是它的角平分线，，则____________． 【变式7-2】（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，在中，，点D，E，F在的边上，，，则的面积是______． 【变式7-3】（24-25八年级上·吉林·月考）如图，平分，，的延长线交于点E，若，则______度． 【题型8 等边三角形边角关系计算】 【例8】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在等边中，若边上的中线与边上的中线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26八年级下·陕西宝鸡·月考）在等边三角形中，作边上的高，若，则的周长为____________． 【变式8-2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，是等边三角形，若，则________ °． 【变式8-3】如图，是等边的边上的中线，，则的度数为_____． 【题型9 尺规作线段垂直平分线】 【例9】（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得点到点，的距离相等． 【变式9-1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，已知，用尺规作图的方法在边上确定一点，连接，能判断一定是等腰三角形的图形有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-2】据璧山信息网10月26日报道，为了打造“一生之城”，解决人民群众入学难的问题，规划在璧山区璧泉街道观音村修建高新区实验学校．如图，A、B、C三点表示三个小区，若实验学校到这三个小区距离相等，请你在图中用尺规作图确定学校的位置P．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式9-3】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，中，，BD为AC边上的中线． (1)尺规作图：在线段AB上求作一点E，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接DE，求证： 【题型10 用线段垂直平分线性质解题】 【例10】如图，在中，垂直平分，连接，若，则的周长为____________． 【变式10-1】如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26八年级下·山东威海·月考）如图，在中，，是的垂直平分线，连接，，则的度数（　　） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26七年级下·江苏·期中）在中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交边于点，且，则______． 【题型11 尺规作角平分线作图题】 【例11】（25-26八年级上·贵州黔南·期末）如图，锦簇公园有一块三角形菊花地．为了能更好地赏花，现计划在边上找一点D，向边各修一条小路，且使得点D到边的距离相等．请用直尺和圆规作出点D的位置，要求保留作图痕迹，不写作法． 【变式11-1】（25-26八年级上·安徽池州·期末）尺规作图题（不写作法，保留作图痕迹）． 如图，已知和两条公路，、是两个村庄，在美好乡村建设中，为方便广大村民出行方便，拟建立一个公交车站，使车站到两个村庄距离相等即，且到、两条公路的距离相等． 【变式11-2】（25-26八年级上·河北石家庄·月考）项目式学习 主题 素材 位置要求 设计图 任务 如何确定雕像的位置 如图，要在一个四边形的公园中建造一个标志性的雕像 1.到点和点的距离相等； 2.到和边的距离相等 请按要求将图纸绘制完成，标注出点的位置（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式11-3】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在△中，是边上一点．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中，作的平分线交于点； (2)在图2中，在上找一点，使得． 【题型12 用角平分线性质求线段长】 【例12】如图，中，D是上一点，，则上一点D到的距离为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式12-1】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，是的平分线，点D是上一点，点F为直线上的一个动点．若的面积为18，，则线段的长不可能是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式12-2】（25-26八年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，平分交于，过作于点，且，则的面积为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 【变式12-3】如图，，为，平分线的交点，交于，且，则与之间的距离等于________． 【题型13 画轴对称图形】 【例13】（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是． (1)画出关于直线对称的图形；（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．下同） (2)在直线上找一点，使周长最小； (3)连接、，计算四边形的面积． 【变式13-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，以图中的直线为对称轴，画出图形的另一半． 【变式13-2】如图所示，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，四边形在直线的左侧，其四个顶点A，B，C，D都在网格的格点上（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点）． (1)请你在所给的网格中画出四边形，使四边形和四边形关于直线对称，其中点，，，分别是点A，B，C，D的对称点； (2)在（1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出点A到点的距离． 【变式13-3】（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图：正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图1中作出关于直线对称的；（要求：与与相对应） (2)在图2中，为上一格点，点为上任意一点，先将线段向右平移得到线段，画出线段，再在上找一点，使．（请用无刻度的直尺画图，并保留作图痕迹） 【思维拓展】 【题型14 等腰三角形的分类讨论】 【例14】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（    ） A． B． C． 或 D．或 【变式14-1】（25-26六年级上·重庆沙坪坝·月考）等腰三角形的一个内角为，则它的另外两个内角分别为（   ） A．， B．， C．，或， D．，或， 【变式14-2】（25-26七年级下·上海金山·期末）已知等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为_____． 【变式14-3】等腰三角形的周长是26，一腰上的中线把周长分成的两部分之差为4，则等腰三角形的底边长是______． 【题型15 垂直平分线与角平分线综合】 【例15】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE分别交AB，BC于点F，G，连接AG，若AG平分∠CAB，AC＝5，则AB的长为____． 【变式15-1】（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，，平分，，为的垂直平分线，交于点．若，则的长为__________． 【变式15-2】如图，在中，，的垂直平分线交于D点，交于E点，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式15-3】如图，已知在中，边的垂直平分线交于点E，再以点B为圆心，任意长为半径画弧交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线恰好交于点．若，，的面积为9，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．30 D．27 【题型16 轴对称图形折叠问题求解】 【例16】（25-26七年级下·河北石家庄·月考）在综合实践课上，老师要求验证纸条两边与是否平行，甲、乙、丙三位同学按照如图所示的方式折叠，并测量出部分数据，关于三人的方案及数据，下列判断正确的是（    ） ， A．甲、乙、丙都可行 B．只有甲、乙可行 C．只有乙、丙可行 D．只有乙可行 【变式16-1】（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．角平分线、高线、中线 B．中线、高线、角平分线 C．角平分线、中线、高线 D．中线、角平分线、高线 【变式16-2】（25-26八年级下·山东威海·月考）在一次折纸活动中，小林同学选用了常见的纸，如图，他先将纸沿过点E的直线折叠，点B的对应点为点F，折痕为；再沿过点E的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点G，折痕为．已知，则的度数为___________ ． 【变式16-3】（25-26九年级下·重庆綦江·月考）如图，在中，，点在上，将沿直线翻折后，点落在点处，边与边相交于点，如果，那么的大小是_______ ． 【题型17 等腰三角形多解问题计算】 【例17】（25-26八年级上·河北廊坊·月考）将两个等腰直角三角板和如图所示摆放，其中，当，，三点在同一条直线上时，连接，．下列两个结论： 结论1：； 结论2：． 其中正确的是（   ） A．只有结论1正确 B．只有结论2正确 C．两个都正确 D．两个都错误 【变式17-1】如图，的平分线相交于点F，过点F作，分别交于点D，E，那么有下列结论：①；②；③的周长等于与的周长之和；④，都是等腰三角形；⑤，其中正确结论的序号有（　　） A．①②④ B．④⑤ C．③④⑤ D．②④ 【变式17-2】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，为等边三角形，点D是直线上一点，连接，以为边作等边，连接，下面结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式17-3】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，点在直线上，、都是等边三角形，和交于点，和交于点．有如下结论：（1）；（2）；（3）；（4）平分；（5）是等边三角形．其中正确结论有（   ）个 A． B． C． D． 【题型18 等边三角形性质综合求解】 【例18】如图，点、分别是等边边、上的点，已知，连接、交于点．则等于（    ） A． B． C． D． 【变式18-1】如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是边上的动点，E是AC边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式18-2】（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到对应线段．点恰好落在上，则的长是______． 【变式18-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则等于（    ） A．18 B．21 C．24 D．27 【题型19 利用轴对称设计几何图案】 【例19】（25-26八年级上·吉林·期末）如图（1）、（2）分别是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中部分小正方形涂黑，请你用两种不同的方法，分别在两个图中再涂黑两个空白的小正方形，使它（涂黑部分）成为轴对称图形． 【变式19-1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）请在下列的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中的三角形经过轴对称变换得到的图形，且所画的三角形的顶点都在格点上（如图），并将所画的三角形涂上阴影．（注：所画的三角形不能重复） 【变式19-2】（24-25八年级上·四川广安·期中）如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件： （1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半； （2）涂黑部分成轴对称图形． 图乙与图丙是一种涂法，请在图中分别设计另外三种涂法．（注：在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙） 【变式19-3】在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中按要求再涂黑一个（或两个）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图形．       A．涂黑一个        B．涂黑一个         C．涂黑两个 【题型20 轴对称实际应用最值问题】 【例20】（24-25八年级上·山西朔州·期中）为了响应国家节能减排的号召，某城市大力推广新能源汽车，并计划在市区内新建一批新能源汽车充电站，小王需要在一条城市主干道附近选一个地点建一个充电站C，为附近的两个居民小区A和B的新能源汽车用户提供充电服务，要使两个居民小区的车主到充电站C的行驶距离之和最小，则充电站C的选址正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式20-1】在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【变式20-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在四边形ABCD中，，在、上分别取一点M、N，使的周长最小，则_______． 【变式20-3】（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）如图，是等边边上的高，，分别是，边上的两个定点，，，若在上有一动点，使最小，则的最小值为______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $