第五章 图形的轴对称章节复习（2大考点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理图形的轴对称知识体系，以对比表格呈现轴对称图形与轴对称的区别联系，结合性质要点（对应点连线垂直平分等）构建逻辑脉络，突出概念辨析和性质应用的重难点，发展几何直观与空间观念。 讲义亮点在于分层练习设计，如折叠问题（典例4）、桌球反弹（变式1）等题型，培养推理意识与应用意识。典例搭配变式题满足不同层次学生，助力掌握性质推理与实际建模，为教师实施精准复习教学提供支持。

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第五章图形的轴对称章节复习 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点！轴对称图形 知识清单 知识点2轴对称和轴对称图形的性质 题型】轴对称图形的识别 题型2根据轴对称的特征求解 图形的轴对称 题型3求对称轴条数 题型4折叠问题 题型精讲 题型5轴对称作图 题型6生活中的轴对称图形问题 题型7简单的轴对称图形 强化训练 教学目标、教学重难点 1.认识轴对称与轴对称图形，能识别并找出对称轴，理解二者的联系与区别，发展几 何直观。 2.探索轴对称基本性质，掌握对应点连线被对称轴垂直平分、对应线段与角相等，能 教学目标 画简单图形的对称图形。 3.掌握线段垂直平分线、角平分线及等腰三角形的性质，能运用轴对称解决简单几何 问题，体会对称美。 1.重点 (1)理解轴对称与轴对称图形的概念，能准确识别并确定对称轴，掌握轴对称的核心 性质，这是全章知识基础。 教学重难点 (2)掌握线段垂直平分线、角平分线及等腰三角形的性质，能运用性质进行计算、推 理与尺规作图，解决实际问题。 2.难点 1/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)辨析轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系，准确理解“垂直平分”的含 义，在复杂图形中识别对应元素。 (2)灵活运用轴对称性质及简单轴对称图形的性质进行推理证明，规范尺规作图，将 实际问题转化为轴对称模型求解。 知识清单 知识点01轴对称图形 一、轴对称图形 轴对称图形的定义 一个图形沿着某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直 线就是它的对称轴. 要点诠释： 轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合.一个轴对称图形的对称轴不一 定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定， 二、轴对称 1.轴对称定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线 成轴对称，这条直线叫做对称轴.两个图形中的对应点，叫做关于这条直线的对称点： 要点诠释： 1.轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合. 2.成轴对称的两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，他们的形状相同，大小不变. 2.轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和 轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来， 若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称. 知识点02轴对称与轴对称图形的性质 轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴垂直平分任何一对对应点所连线段； 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也垂直平分任何一对对应点所连线段， 四、对称轴的作法 在成轴对称的两个图形中，分别联结两对对应点，取中点，联结两个中点所得的直线就是对称轴. 要点诠释： 在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的 对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分， 2/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 那么这两个图形关于这条直线对称 五、线段和角都是轴对称图形。 近 线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴. 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 (简称中垂线，midperpendicular人. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 题型精讲 题型01轴对称图形的识别 【典例1】(24-25八年级上·重庆北碚期末)下列图形中是轴对称图形的是() 【变式1】(25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末)下列图形中，不是轴对称图形的是() ① ④ ⑤ A.①⑤ B.②⑤ C.④⑤ D.①③ 【变式2】25-26八年级上·山东滨州期末)下列图形：线段、角、正方形、圆，其中轴对称图形的个数为 【变式3】(25-26八年级上河南濮阳·期末)围棋起源于中国，古代称为“弈”.如图是两位同学的部分对弈 图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点的位置，则所得的对弈图（不考虑颜色）是轴 对称图形.（填写A,B,C,D中的一处即可，A,B,C,D位于棋盘的格点上）· 3/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ○O-B- C-D 题型02根据轴对称图形的特征进行求解 【典例2】(25-26八年级上·福建厦门·期末)如图，ABC与aDEF关于直线I对称，下列所连线段中，能 被直线1垂直平分的是() A.CE B.BE C.BD D.AD 【变式1】(25-26八年级上·河北衡水·期末)木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器 时代.如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线I对称，点O在直线1上，点A和点D为 对称点，点B和点C为对称点，若∠AOD=150°，∠BOC=30°，则∠AOB的度数为() A.309 B.40 C.50° D.60 【变式2】(25-26八年级上·河北邯郸期末)如图，ABC中，∠BAC=56°，点D在边BC上.分别作点D 关于AB,AC的对称点E,F,连接AE,AF,则∠EAF的度数等于 B4 D 【变式3】(25-26八年级上广西崇左期末)如图，在ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,点M,N 分别是线段BD、BC上的动点，AB>BD且S△ABc=10,AB=5,则CM+MN的最小值为 4/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 W 题型03求对称轴条数 【典例3】(25-26七年级上·山东威海期末)如图所示的图形，对称轴的条数有() A.1条 B.3条 C.5条 D.10条 【变式1】(25-26七年级上·山东淄博·期末)下列图形中，对称轴条数最多的是() 【变式2】(25-26八年级上·山东滨州·期末)古有诗云“刺绣五纹添弱线，吹葭六琯动浮灰”，描述的便是我 国民间传统艺术一刺绣，如图所示的刺绣图案的对称轴有（) A.1条 B.2条 C.4条 D.6条 【变式3】(24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期末)圆有无数条对称轴，半圆只有1条对称轴 题型04折叠问题 【典例4】(25-26八年级上·山东滨州期末)如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是 ABC的高的是() 5/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D D E 【变式1】(25-26七年级上·湖北随州·期末)将长方形ABCD沿BE折叠，得到如图所示图形，若 ∠DEA'=40°，则∠AEB的大小是() E D A.40° B.140° C.20° D.70 【变式2】(25-26七年级上·江苏南京·期末)如图，一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在 D,C'的位置，若∠AED'=36°，则∠EFB= ---1D D C 【变式3】(22-23七年级上·广东广州期末)阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线. A 折叠 0∠ OC为折痕 OA与OB重合KA恋 图1 D A --B B 图2 图3 (1)如图1，若LA0B=58°，则∠B0C= 6/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A,点B落在点B,连接OA' ①如图2，当点B在OA'上时，求∠COD的大小： ②如图3，当点B在∠C0A'的内部时，连接0B',若LA0C=44°，∠B0D=61°，求LA'0B'的度数. 题型05轴对称作图 【典例5】(25-26八年级上湖北宜昌·期末)如图是由小正方形组成的6×6网格，图中ABC的三个顶点都 是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示. 图1 图2 图3 (1)在图1中画出ABC关于直线AC对称的△ADC: (2)在图2中画出ABC的BC边上的中线AE; (3)在图3中画出格点F,使∠ABF=90°： (4)求ABC的面积， 【变式1】(25-26八年级上·四川广元期末)如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的长方形网格中， ABC的三个顶点A、B、C都在格点上。 图1 图2 (1)在图1中画出与ABC关于直线I成轴对称的△AB,C: (2)在直线1上找一点P,使得。PAB的周长最小.（不需要计算，在图2上直接标记出点P的位置即可） 【变式2】(25-26八年级上江西萍乡期末)如下图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个ABC ,请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法） 7/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)作ABC关于直线MN对称的△A,B,C; (②)在直线MN上找一点P,使得PA+PB最短. 【变式3】(25-26七年级下·全国期末)如图，下列正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度， 我们把每个小正方形的顶点称为格点，点O,M,N,A,B,C都在格点上，请仅用无刻度的直尺在所 给的网格中按下列要求画图， B 图① 图② (1)在图①中，以OM,ON(OM=ON)为邻边画一个四边形，使第四个顶点在格点上，并且所画的四边 形是轴对称图形： (2)在图②中，画出ABC关于直线I成轴对称的△A'B'C'. 题型06生活中的轴对称图形问题 【典例6】(24-25七年级下·山西晋中·期末)在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P 放在张角为60°的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P)的个数是 () A.4 B.5 C.6 D.7 【变式1】(25-26七年级上山东威海·期末)如图，桌球的桌面上有M,N两个球，若要将球M射向桌面的 一边，反弹一次后击中球N,则A,B,C,D四个点中，可以反弹击中球N的是() 8/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 才BcD A.点A B.点B C.点C D.点D 【变式2】(22-23八年级上·辽宁铁岭期末)如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 7225E 【变式3】(25-26八年级上·全国·单元测试)小明上午在理发店时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分 针的位置如图所示，此时的时间是 题型07简单的轴对称图形 【典例7】(24-25八年级下·江西九江期末)如图，已知ABC,∠ACB=90°，AC=BC,用尺规作 ∠ACB的平分线，下列四种作法中，正确的有() KXX A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 【变式1】(25-26九年级上江西九江·期末)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC,BA上分别 截取BE,BD,使BE=BD;分别以D,E为圆心、以大于)DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点 F,作射线BF交AC于点G,若BC=4,AB=5,P为AB上一动点，则GP取最小值时AP的长是() G A.0 B.1 【变式2】(25-26八年级上江西南昌·期末)如图，在ABC中，AB=AC=8,BC=5,线段AB的垂直平 9/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 分线交AB于点E,交AC于点D,求△BDC的周长. 【变式2】(25-26八年级上江西赣州期末)如图，点M,N是∠AOB内部两点.利用尺规作图（保留作 图痕迹，不要求写作法). A i N B (1)作∠AOB的角平分线0C; (2)在角平分线上找一点P,使PM+PN最小. 强化训练 一、单选题 1.(25-26七年级下·全国期末)很多大学的校徽设计会融入数学元素.下列大学的校徽内圆的图案是轴对 称图形的是() G A. B D 898 2.(25-26八年级上江苏南京·阶段检测)如图，在ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点 E,连接AD.若ABC的周长是13Cm,AE=2cm,则△ABD的周长是() A.9cm B.10cm C.11cm D.12cm 3.(24-25七年级上·全国·期末)如图， ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，P为MN上任一点(P不与 10/14 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AA'共线)，下列结论中错误的是() M A.△AA'P是等腰三角形 B.MN垂直平分AA C.ABC与△A'B'C'的面积相等 D.直线AB,AB的交点不一定在MN上 4.(25-26七年级上山东泰安期末)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC,BA上分别截取BE ,BD,使BE=BD;分别以D,E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CB1内交于点F:作射 线BF交AC于点G,若CG=1,P为AB上一动点，则GP的最小值为() G A.2 B.1 C. D.无法确定 5.(25-26七年级上·山东济南期末)如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处， BE交AD于点F,再将△DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB,则∠EDF的度数 为() D G A.15° B.18° C.20° D.24° 二、填空题 6.(25-26七年级上·上海期末)如图所示，把ABC沿直线DE翻折后得到aADE,如果∠A'EC=36°，那 么∠A'ED=度. 11/14 厨学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 7.(25-26七年级上山东泰安期末)如图，已知ABC的周长是18cm,∠ABC和∠ACB的角平分线交于 点O,OD⊥BC于点D,若OD=3cm,则ABC的面积是cm2. B D C 8.(25-26七年级上·上海浦东新·期末)如图是3×3的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的 三角形称为格点三角形.在该网格中存在 个格点三角形与三角形ABC成轴对称。 B 9.(25-26七年级上安徽六安期末)如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，BD、BE为折痕，点A、 C、B共线，若∠ABE=20°，则∠DBC的度数为 B A: 10.(24-25七年级下山西晋中.期末)如图，等腰ABC的底边BC长为6.面积是24，腰AB的垂直平分 线EF分别交AB、AC于点E、F,若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周 长的最小值为 D 12/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 X :AB的垂直平分线为EF, D A,B关于EF对称， ∴.BM+DM=AM+DM≥AD, :当A,M,D三点共线时，BM+DM=AD, :等腰ABC,点D为底边BC的中点， :AD⊥BC,BD=BC=3, 2×61D=24, .AD=8, △BDM的周长的最小值为BD+BM+DM=BD+AD=3+8=11: 故答案为：11. 三、解答题 11.(25-26七年级上北京期末)如图，平面内直线AB外有两个点C和D,请按要求完成下列问题： c A B D (I)画射线AC,线段AD; (2)尺规作图（保留作图痕迹）：反向延长线段AD,并在此延长线上取一点E,使DE=2AD; (3)画∠BAC的平分线AF,并在此角平分线上取一点P,使得PB+PC最小. 12.(25-26七年级上山东淄博·阶段检测)如图，在ABC中，边AB的垂直平分线交BC于点D,边AC 的垂直平分线Z交BC于点E,Z与Z相交于点O,ADE的周长为9cm. 13/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求线段BC的长. (2)若∠BAC=118°，求∠DAE的度数 13.(24-25七年级下·河南驻马店·期末)如图：在正方形网格上有一个△ABC. M (1)画出△ABC关于直线MN的对称图形△A,B,C; (②)若在MN上存在一点Q,使得QA+QC的值最小，请在图中画出点Q的位置； (3)若网格上最小正方形的边长为1，求△ABC的面积. 14.(25-26七年级上江西抚州·期末)点O,E分别是长方形纸片ABCD边AB,AD上的点，沿OE,0C翻折， 点A落在点A!处，点B落在点B处 C D A A ---·B A----- 0 O 图1 图2 (①)如图1，当点B恰好落在线段OA'上时，求∠C0E的度数： (2)如图2，当点B落在∠B0A'的内部时，若LA'0B'=30°，求∠C0E的度数. 14/14 第五章 图形的轴对称章节复习 教学目标 1. 认识轴对称与轴对称图形，能识别并找出对称轴，理解二者的联系与区别，发展几何直观。 2. 探索轴对称基本性质，掌握对应点连线被对称轴垂直平分、对应线段与角相等，能画简单图形的对称图形。 3. 掌握线段垂直平分线、角平分线及等腰三角形的性质，能运用轴对称解决简单几何问题，体会对称美。 教学重难点 1.重点 （1）理解轴对称与轴对称图形的概念，能准确识别并确定对称轴，掌握轴对称的核心性质，这是全章知识基础。 （2）掌握线段垂直平分线、角平分线及等腰三角形的性质，能运用性质进行计算、推理与尺规作图，解决实际问题。 2.难点 （1）辨析轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系，准确理解“垂直平分”的含义，在复杂图形中识别对应元素。 （2）灵活运用轴对称性质及简单轴对称图形的性质进行推理证明，规范尺规作图，将实际问题转化为轴对称模型求解。 知识点01 轴对称图形 一、轴对称图形 轴对称图形的定义 一个图形沿着某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴． 要点诠释： 　　轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定． 二、轴对称 1．轴对称定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴．两个图形中的对应点，叫做关于这条直线的对称点． 　　要点诠释： 1．轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合． 2．成轴对称的两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，他们的形状相同，大小不变． 2．轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称． 知识点02轴对称与轴对称图形的性质 　　轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴垂直平分任何一对对应点所连线段； 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也垂直平分任何一对对应点所连线段． 四、对称轴的作法 在成轴对称的两个图形中，分别联结两对对应点，取中点，联结两个中点所得的直线就是对称轴． 要点诠释： 在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等．成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上．如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称． 五、线段和角都是轴对称图形。 题型01 轴对称图形的识别 【典例1】（24-25八年级上·重庆北碚·期末）下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A，C，D选项中的图形不是轴对称图形，故A，C，D不符合题意； B选项中的图形是轴对称图形，故B符合题意． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A．①⑤ B．②⑤ C．④⑤ D．①③ 【答案】A 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，图②③④是轴对称图形，图①⑤不是轴对称图形． 【变式2】（25-26八年级上·山东滨州·期末）下列图形：线段、角、正方形、圆，其中轴对称图形的个数为_____． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，判断每个图形是否为轴对称图形即可，轴对称图形的关键是确定对称轴． 【详解】解：线段是轴对称图形，有两条对称轴；角是轴对称图形，有一条对称轴；正方形是轴对称图形，有四条对称轴；圆是轴对称图形，有无数条对称轴．因此，所有四个图形都是轴对称图形，故个数为4． 故答案为：4 【变式3】（25-26八年级上·河南濮阳·期末）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 _______ 的位置，则所得的对弈图（不考虑颜色）是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） ． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义判断白方落子的位置即可． 【详解】解：根据轴对称的性质可知：当白方落子于点A时，可以构成轴对称图形， 故答案为：A． 题型02 根据轴对称图形的特征进行求解 【典例2】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质；根据对称点所连线段被对称轴垂直平分，即可得到答案． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴对称点所连线段被对称轴垂直平分， ∴能被直线垂直平分的是， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·河北衡水·期末）木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、角的和与差，根据轴对称可知，，因为，，，即可求出的度数． 【详解】解：由轴对称可知，， ，，， ， ． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，中，，点在边上．分别作点关于，的对称点，连接，则的度数等于___________． 【答案】/112度 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 根据轴对称的性质得到，，再由角的和差计算求解即可． 【详解】解：∵点关于，的对称点， ∴，， ∵ ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，三角形的面积，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 题型03 求对称轴条数 【典例3】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图所示的图形，对称轴的条数有（    ） A．1条 B．3条 C．5条 D．10条 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线是对称轴． 过正五边形和五角星的顶点作对边的垂线，可得对称轴，即可解答． 【详解】解：如图，它的对称轴的条数是5条． 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·山东淄博·期末）下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称图形的对称轴的条数，熟练掌握此知识点是关键．逐项分析轴对称图形的对称轴的条数，即可得出答案． 【详解】解：A.是轴对称图形，共有4条对称轴； B.是轴对称图形，共有3条对称轴； C.是轴对称图形，共有4条对称轴； D.是轴对称图形，共有6条对称轴， 对称轴条数最多的是D选项的图形． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·山东滨州·期末）古有诗云“刺绣五纹添弱线，吹葭六琯动浮灰”，描述的便是我国民间传统艺术—刺绣，如图所示的刺绣图案的对称轴有（    ） A．1条 B．2条 C．4条 D．6条 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此即可判断． 【详解】解：如图所示，共有4条对称轴， 故选：C． 【变式3】（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）圆有无数条对称轴，半圆只有1条对称轴______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义即可得出答案，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：圆有无数条对称轴，半圆只有1条对称轴，正确， 故答案为：． 题型04 折叠问题 【典例4】（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由折叠可知是的角平分线，故不符合题意； B、由折叠可知是的中线，故不符合题意； C、由折叠可知不是的高线，故不符合题意； D、由折叠可知是的高线，故符合题意． 【变式1】（25-26七年级上·湖北随州·期末）将长方形沿折叠，得到如图所示图形，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的计算和翻折变换，注意翻折过程中不变的角和边，根据邻补角先求出，然后根据翻折可知进而求解． 【详解】解：∵， ∴， 由翻折可知，， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在的位置，若，则___________． 【答案】/度 【分析】先由折叠可知，，再根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 由折叠可知，． ∵， ∴． 【变式3】（22-23七年级上·广东广州·期末）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则___________； (2)折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，当点在上时，求的大小； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题主要考查了折叠的性质，角平分线定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握折叠的性质． （1）根据折叠性质，求出结果即可； （2）①根据折叠得出，，根据，得出，即可求出结果； ②根据折叠得出，，再求出即可． 【详解】（1）解：由折叠知，， ， ． （2）解：①由折叠知，， ， 由折叠知，， ， 点落在， ， ， ，即； ②由折叠知，，， ， ， ， 即． 题型05 轴对称作图 【典例5】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图是由小正方形组成的网格，图中的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示． (1)在图1中画出关于直线对称的； (2)在图2中画出的边上的中线； (3)在图3中画出格点F，使； (4)求的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4) 【分析】本题考查了画轴对称图形、画中线、求三角形的面积等知识，熟练掌握网格作图是解题关键． （1）结合网格特点画出点关于直线的对称点，再连接即可得； （2）结合网格特点画出的中点，连接即可得； （3）如图（见解析），结合网格特点找出，根据全等三角形的性质即可得； （4）利用一个正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得． 【详解】（1）解：如图1，即为所求． （2）解：如图2，中线即为所求． （3）解：如图3，格点即为所求． （4）解：的面积为． 【变式1】（25-26八年级上·四川广元·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的长方形网格中，的三个顶点A、B、都在格点上． (1)在图1中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点，使得的周长最小．（不需要计算，在图2上直接标记出点的位置即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了利用轴对称变换作图； （1）依据轴对称的性质，即可得到与关于直线成轴对称的； （2）点B关于直线l的对称点，连接交直线l于P，则的周长最小． 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：点P即为所求： 【变式2】（25-26八年级上·江西萍乡·期末）如下图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个．请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)作关于直线对称的； (2)在直线上找一点P，使得最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作轴对称图形以及轴对称的性质； （1）分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）连接，与直线的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，点P即为所求． ∵和关于对称， ∴， ∴， 当三点在一条直线上时最短为． 【变式3】（25-26七年级下·全国·期末）如图，下列正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点，，，，，都在格点上．请仅用无刻度的直尺在所给的网格中按下列要求画图． (1)在图①中，以，（）为邻边画一个四边形，使第四个顶点在格点上，并且所画的四边形是轴对称图形； (2)在图②中，画出关于直线成轴对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出一个符合题意的图形； （2）直接利用轴对称图形的性质得出一个符合题意的图形. 【详解】（1）解：如图①，四边形即为所求．（答案不唯一） 。 （2）解：如图②，即为所求． 【点睛】本题考查的是一道关于轴对称图形的题目，解决本题的关键是需结合轴对称图形的知识进行画图． 题型06 生活中的轴对称图形问题 【典例6】（24-25七年级下·山西晋中·期末）在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质，解答即可． 【详解】解：根据题意得：一次反射成像有2个，即， 两次反射成像有2个，即， 三次反射成像有1个，即， 如图， 即可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是6个． 故选：C 【变式1】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． 过直线作点N的对称点，连接，根据图形，即可求解． 【详解】解：根据题意可知球的两段运动轨迹与直线的夹角相等， 如图，过直线作点N的对称点，连接， 根据图形可知经过点C，且，， 符合题目要求， 反弹击中球的是点C． 故选：C． 【变式2】（22-23八年级上·辽宁铁岭·期末）如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是______．    【答案】3265 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此分析并作答． 【详解】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是3265， 故答案为：3265． 【点睛】此题考查了镜面对称，正确理解对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）小明上午在理发店时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时的时间是________． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称的原理与性质．解题的关键是掌握镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右对换，且关于镜面对称．据此解答． 【详解】解：小明上午在理发店理发时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时时间是． 故答案为：． 题型07 简单的轴对称图形 【典例7】（24-25八年级下·江西九江·期末）如图，已知，，，用尺规作的平分线，下列四种作法中，正确的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图、角平分线的性质．根据等腰直角三角形的特殊性可知斜边中垂线，斜边上的高，做一个的角都是角的平分线，即可解题； 【详解】解：①根据图像可知是的平分线，正确； ②根据图像可知是 的垂直平分线， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴是的平分线，正确； ③根据图像可知是的高， ∵是等腰直角三角形 ∴是的平分线，正确； ④根据图像可知是做一个 等于另一个角， ∵， ∴ ∴是的平分线，正确； 故选：D. 【变式1】（25-26九年级上·江西九江·期末）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，为上一动点，则取最小值时的长是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、垂线段最短、全等三角形的判定和性质，过点G作于点H，证明，得到，则，利用垂线段最短可知，当点P与点H重合时，有最小值，即此时． 【详解】解：如图，过点G作于点H，则， ∵， ∴ 由作图可知，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 根据垂线段最短可知，当点P与点H重合时，有最小值，即此时， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在中， ，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，求的周长． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长． 【变式2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，点，是 内部两点．利用尺规作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)作 的角平分线； (2)在角平分线上找一点，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，关键是熟练运用作图方法解题， （1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，与边、分别相交于两点，再以这两点为圆心，以大于两点间距离为半径画弧，在内部相交于点，作射线即为的平分线； （2）找到点关于的对称点，连接交于点，则此时的值最小． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示：点即为所求： 一、单选题 1．（25-26七年级下·全国·期末）很多大学的校徽设计会融入数学元素．下列大学的校徽内圆的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，由此问题可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 2．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长是，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到两端的距离相等． 先根据垂直平分线的性质得出，再根据的周长是，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴的周长=． 故选：A． 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线，的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可，解题的关键是掌握轴对称的性质． 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴，垂直平分，与的面积相等，故B、C选项正确； ∴是等腰三角形，故A选项正确； 直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D选项错误； 故选：D． 4．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若为上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，垂线段最短，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．由作法可知，平分，由垂线段最短可知，当时有最小值，再利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作法可知，平分， 由垂线段最短可知，当时有最小值， ， ， 即的最小值为1， 故选：B． 5．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，交于点，再将沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握以上性质． 假设，根据翻折的性质和角平分线的性质表示出相关角，列出，然后进行求解即可． 【详解】解：假设， 根据翻折的性质可得，， ∵平分， ∴， ∴， 根据翻折的性质可得，， ∵四边形为长方形， ∴， 解得， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26七年级上·上海·期末）如图所示，把沿直线翻折后得到，如果，那么______度． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，根据折叠的性质可得，再根据平角的定义和已知条件解答即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵把沿直线翻折后得到， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是_____． 【答案】27 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题关键是将三角形分成三个等高的三角形，利用周长来求面积．先利用角平分线的性质得到O点到各边的距离相等，再将三角形分成3个三角形，将它们的面积相加即可． 【详解】解：过点O作于点E，过点O作于点F，连接，如图所示： ∵点O为与的平分线的交点，且， ∴， ∵，的周长是， ∴ ； 故答案为：． 8．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图是的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．在该网格中存在___________个格点三角形与三角形成轴对称． 【答案】5 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称的性质，难点在于确定出对称轴的不同位置．根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向、纵向、上斜及下斜四种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与三角形成轴对称的格点三角形，从而得解． 【详解】解：如图，存在4个格点三角形与三角形成轴对称． 故答案为：5． 9．（25-26七年级上·安徽六安·期末）如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，为折痕，点、、B共线，若，则的度数为________． 【答案】/70度 【分析】首先由折叠的性质求出，然后求出，然后由折叠的性质求解． 【详解】解：由折叠得， ∴ 由折叠得，． 10．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 【答案】11 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级上·北京·期末）如图，平面内直线外有两个点C和D，请按要求完成下列问题： (1)画射线，线段； (2)尺规作图（保留作图痕迹）：反向延长线段，并在此延长线上取一点E，使； (3)画的平分线，并在此角平分线上取一点P，使得最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作射线、线段，作一条线段等于已知线段，作已知角的平分线，两点之间线段最短．熟练掌握作直线、射线、线段，两点之间线段最短是解题的关键． （1）根据直线、射线的定义作图即可； （2）作出，即可； （3）根据作已知角的平分线的作法画出角平分线，连接交射线于点P，即可． 【详解】（1）解：如图，射线，线段即为所求； （2）解：如图，点E即为所求； （3）解：如图，角平分线，点P即为所求． 12．（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为． (1)求线段的长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质得出，再根据即可得出结论； （2）先根据三角形的内角和求得，再根据等腰三角形的性质可得，进而计算即可． 【详解】（1）解：∵直线分别是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的周长为，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 13．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图：在正方形网格上有一个． (1)画出关于直线的对称图形； (2)若在上存在一点，使得的值最小，请在图中画出点的位置； (3)若网格上最小正方形的边长为，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查作图-轴对称变换，勾股定理，轴对称最短路径问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型. （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可; （2）连接交直线于点，连接，点即为所求; （3）利用割补法求三角形的面积即可. 【详解】（1）解：如图，即为所求; （2）解：如图，点即为所求; （3）解：的面积. 14．（25-26七年级上·江西抚州·期末）点分别是长方形纸片边上的点，沿翻折，点A落在点处，点B落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质、几何图形中角度的计算，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． （1）由折叠的性质，得到，，然后根据即可求解； （2）先求出，由折叠的性质，得到，，求出，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：由折叠的性质，得到，， 因为， 所以， 即． （2）解：因为， 所以， 由折叠的性质，得， 所以， 所以． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $