专题11.1 不等式（高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级下册

专题11.1 不等式 教学目标 1.理解不等式的定义，能够区分等式与不等式，识别常见不等符号：＞、＜、≥、≤、≠； 2.能根据题目文字描述，准确列出一元不等式，掌握常见不等关系词语：大于、小于、不大于、不小于、至多、至少等； 3.掌握不等式的五条基本性质，理解每条性质的含义，重点掌握不等式两边同乘负数，不等号方向改变的核心考点； 4.能够利用不等式性质对不等式进行简单变形、比较代数式大小，解决基础判断、填空、选择题。 教学重难点 1.重点 （1）认识五种不等符号，区分等式与不等式，能将简单文字描述转化为不等式； （2）熟记不等式基本性质，能利用性质对不等式进行简单变形。 2.难点 （1）掌握不等式乘除负数变号规则，做题容易遗漏出错； （2）难以准确翻译“至少、至多”等文字，容易写错不等符号。 知识点01 不等式的概念 1.不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 注意： 凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 2.常用不等号的意义和读法 名称 符号 读法 意义 例子 小于号 < 小于 表示左边的量比右边的量小 x<5 大于号 > 大于 表示左边的量比右边的量大 x>2 小于或 ≤ ①小于或等于; 表示左边的量“不大于”右边的量 x≤3 等于号 ②不大于 大于或 ≥ ①大于或等于; 表示左边的量“不小于”右边的量 x≥-1 等于号 ②不小于 不等号 ≠ 不等于 表示左边的量“不等于”右边的量 x≠-3 3.易错点提示： (1)不等号具有方向性，不等号两边的式子不能随意交换， (2)有些不等式中不含未知数，如3<4，-1>-2：有些不等式中含有未知数，如2x>5中，x表示未知数， (3)对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们就说不等式成立：否则，不等式不成立 【即学即练】 1．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）给出下列5个式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：不等式有①；②；⑤，共3个． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的定义，含有不等号的表达式是不等式．选项A含有“”，因此是不等式；其他选项不符合定义． 本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的概念是解题的关键． 【详解】解：A、表达式中含有，是不等式，符合题意； B、是代数表达式，无不等号，不符合题意； C、是等式，有等号但无不等号，不是不等式，不符合题意； D、是等式，有等号但无不等号，不是不等式，不符合题意； 故选：A． 知识点02 列不等式表示不等关系 1.列不等式 列不等式就是用不等式表示不等关系 2.列不等式通常有以下两种情形 (1)根据数量关系列不等式. (2)根据实际问题列不等式。 3.列不等式的基本步骤 (1)认真审题，分清题目中包含的数量间的大小关系： (2)将题目中的不同数量用代数式表示出来； (3)用不等号以及运算符号连接所列的代数式，列出不等式 4.常见的不等式基本语音与符号 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a>0 a是负数 a<0 a是非正数 a≤0 a是非负数 a≥0 a,b同号 ab>0 a,b异号 ab<0 【即学即练】 3．（25-26七年级下·江苏南京·阶段练习）某日的最高气温是，最低气温是，则当天气温t（）的变化范围是________． 【答案】 【分析】根据题意，将实际问题中的气温变化范围转化为不等式表示即可得到答案． 【详解】解：由题意得当天气温（℃）的变化范围是． 4．（25-26七年级下·江苏淮安·月考）用不等式表示“的平方与的平方的和不小于与的积的4倍”：_______________． 【答案】 【分析】先分别表示出a的平方与b的平方的和，再表示出a与b的积的4倍，根据“不小于”的不等关系列出不等式． 【详解】解：用不等式表示“的平方与的平方的和不小于与的积的4倍”：． 知识点03 不等式的基本性质 1. 不等式的基本性质1： 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 即：如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c. 2. 不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 即：如果a>b,c>0,那么ac>bc或> 如果a>b,c<0,那么ac<bc或< 3.注意事项 要正确理解“不等号的方向不变”和“不等号的方向改变”的含义： 例如“不等号的方向不变”指的是如果原来是“>”，那么结果仍是“>”。“不等号的方向改变”指的是如果原来是“>”，那么变化后将成为“<”;如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥” 4.解题技巧 （1）运用不等式的基本性质1时，需要注意不等式的两边必须同加或同减，且必须是同一个数或同 一个整式，不等号方向不变； （2）用不等式的基本性质2将不等式变形时，要特别注意不等式两边都乘（或除以）同一个负数的情况，此时不等号的方向必须改变 【即学即练】 5．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如果，那么下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于选项A：不等式两边同时乘以，不等号方向不变，可得，故A正确； 对于选项B：不等式两边同时除以，不等号方向不变，可得，故B正确； 对于选项C：不等式两边同时减去，不等号方向不变，可得，故C正确； 对于选项D：不等式两边同时乘以，不等号方向改变，可得，故D错误． 6．（25-26七年级下·江苏南通·期末）若，则下列各式中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质（性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）逐一判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，原式正确，故此选项不符合题意； B．∵， ∴， ∴，原式正确，故此选项不符合题意； C．∵， ∴， ∴，原式错误，故此选项符合题意； D．∵， ∴，原式正确，故此选项不符合题意． 题型01 不等式的定义 1．下列表达式中是不等式的有（   ）个 ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，解题思路是根据不等式的定义逐个判断式子，统计符合要求的个数即可，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式． 【详解】解：根据不等式的定义逐个判断： ∵ ① 用不等号连接，是不等式； ② 用不等号连接，是不等式； ③ 用等号连接，是等式，不是不等式； ④ 是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤ 用等号连接，是等式，不是不等式； ⑥ 用不等号连接，是不等式； ∴ 符合不等式定义的共有3个. 2．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的定义，熟记不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义，用不等号（如 ）连接的式子是不等式，逐一判断每个式子即可． 【详解】解：①，使用 ，是不等式； ②，使用 ，是不等式； ③，使用，是等式，不是不等式； ④，使用，是不等式； ⑤没有不等号，不是不等式； ⑥，使用，是不等式． ∴ 不等式有①②④⑥，共个． 故选：C． 3．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（     ） A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．运用不等式的定义进行判断． 【详解】解：①，是不等式； ②，是不等式； ③，不是不等式； ④，不是不等式； ⑤，是不等式； ⑥，是不等式． 故选：D 4．在下列数学式子：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义， 根据不等式的定义，用不等号（如）连接的式子属于不等式，逐一判断每个式子是否符合条件． 【详解】解：① 使用了“<”，是不等式； ② 使用了“>”，是不等式； ③ 是等式，不是不等式； ④ 是代数式，不含不等号，不是不等式； ⑤ 使用了“≥”，是不等式． 故选：B． 题型02 用不等式表示不等关系 5．“a的9倍与b的的和是正数”可表示为______． 【答案】 【分析】先分别表示出的9倍与的，再根据和为正数的条件列出不等式． 【详解】解： 的倍为，的为，因为两个式子的和是正数，正数都大于， 因此可得不等式：． 6．用不等式表示： (1)x的4倍与3的差是正数：________________． (2)a与b的积小于7：________________． (3)a，b两数的平方和大于10：_____________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查列不等式，关键是根据题意正确找出不等关系． （1）根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得； （2）根据积的定义列出不等式即可得； （3）根据平方和的定义列出不等式即可得． 【详解】（1）解：的4倍与3的差是正数，即差大于0，因此不等式为． 故答案为：． （2）解：与的积小于7，即乘积小于7，因此不等式为． 故答案为：． （3）解：与的平方和大于10，即平方和大于10，因此不等式为． 故答案为：． 7．“a与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题列出不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． “a与1的差”表示为，“小于”用<表示，“b的2025倍”表示为． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 8．已知，两边同时除以，得到的不等式为______． 【答案】​​ 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质即可求解，能熟记不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴​， 故答案为：． 题型03 用不等式表示实际问题 9．惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，气温转暖，渐有春雷，今年惊蛰这一天太原市的最高气温是，最低气温是，则当天我市气温t（）满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最高气温和最低气温的实际含义，气温不低于最低气温，不高于最高气温，包含端点值，即可得到正确结果． 【详解】解：∵当天太原市的最高气温是，最低气温是， ∴气温（单位）满足：不低于最低气温，不高于最高气温可得． 10．假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为千米/时，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据题意确定车辆行驶的车道，观察对应的交通标志牌，读出最高限速和最低限速，即可确定车速的取值范围． 【详解】解：由题意可知，爸爸开小型车走中间车道，观察图片可知，中间车道为“小型车道”，其对应的限速标志显示：最高限速为千米/时，最低限速为千米/时， ∴车速的取值范围是． 11．如图，在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，你知道通过该桥洞的车高的范围吗？表示为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的定义，根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 12．某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下： 一次性购物的金额 促销方式 不超过200元 全部九折 超过200元 不超过200元的部分九折，超过200元的部分八折 某顾客在该超市一次性购得标价为x元的商品． (1)该顾客得到的优惠不超过18元．请列出不等式． (2)该顾客得到的优惠超过30元．请列出不等式． 【答案】(1)当时，；当时， (2) 【分析】本题考查列不等式，理解题意，根据数量关系列出不等式是解题的关键． （1）分和两种情况，根据不同的促销方式分别列出不等式即可； （2）该顾客得到的优惠超过30元时，，根据对应的促销方式列出不等式即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，，即． （2）解：当时，得到优惠为（元）， ∵该顾客得到的优惠超过30元， ∴， ∴， 即． 题型04 不等式的基本性质 13．如果，那么下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、∵， ∴，该选项不等式正确，符合题意； 、∵， ∴ ，该选项不等式错误，不符合题意； 、∵， ∴ ，该选项不等式错误，不符合题意； 、∵， ∴ ，该选项不等式错误，不符合题意． 14．若 ，则下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项，∵不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， ∴，A变形错误； B选项，∵不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变， ∴，B变形错误； C选项，∵不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变， ∴，C变形正确； D选项，∵不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变， ∴，D变形错误. 15．若关于的不等式可化为，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，不等号方向发生改变，说明不等式两边除以的系数为负数，据此建立关于的不等式求解即可． 【详解】解： 关于的不等式可化为，不等号方向发生改变， 由不等式的性质3可知，系数， 解得． 16．下列式子是否正确？为什么？ (1)若，则； (2)若，则； (3)若，则． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)不正确，理由见解析 (3)不正确，理由见解析 【分析】（）根据不等式的基本性质解答即可判断求解； （）根据不等式的基本性质解答即可判断求解； （）根据不等式的基本性质解答即可判断求解； 本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：正确，理由如下： 根据不等式的基本性质，不等式的两边都减去，不等号的方向不变， 所以，故（）正确； （2）解：不正确，理由如下： 根据不等式的基本性质，不等式的两边都乘，不等号的方向不变， 所以，故（）不正确； （3）解：不正确，理由如下： 根据不等式的基本性质，不等式的两边都乘，不等号的方向改变， 所以，故（）不正确． 题型05 利用不等式的基本性质求解不等式 17．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）运用不等式的性质1进行作答即可； （2）运用不等式的性质1进行作答即可； （3）运用不等式的性质2进行作答即可； （4）运用不等式的性质3进行作答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴由不等式的性质1得： ∴； （2）解：∵， ∴由不等式的性质1得： ∴； （3）解：∵， ∴由不等式的性质2得： ∴； （4）解：∵， ∴由不等式的性质3得： ∴． 18．根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键，注意不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）不等式两边先同时加1，然后不等式两边同时除以2即可； （2）不等式两边同时除以即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．将下列不等式化成“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查不等式的性质，掌握性质是解决问题的关键． （1）不等式两边同时减去即可, （2）不等式两边同时乘即可, （3）不等式两边同时减去，整理后不等式两边同时除以4即可． 【详解】（1）解：不等式两边同时减去，解得； （2）不等式两边同时乘， 得， 整理得：； （3）不等式两边同时减去， 得， 整理得， 不等式两边同时除以4，得． 20．把下列不等式化成或（为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键；不等式基本性质1： 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 不等式基本性质2 ：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 不等式基本性质3 ：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质求解即可． （2）根据不等式的性质求解即可． （3）根据不等式的性质求解即可． （4）根据不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：， 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上5，不等号的方向不变， 所以， 得：． （2）解：， 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都减去，不等号的方向不变， 所以， 得． （3）解：， 根据不等式的基本性质2，不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变， 所以， 得． （4）解：， 根据不等式的基本性质3，不等式的两边都除以，不等号的方向改变， 所以， 得． 题型06 利用不等式进行大小比较 21．仿例：已知，试比较与a的大小． 方法一 解：因为，，所以． 方法二 解：因为，，所以，所以 根据仿例，请解答：已知，试比较与大小，用两种方法解答． 【答案】 ，方法见解析 【分析】本题使用两种方法比较大小，方法一利用不等式的基本性质推导结果，方法二利用作差法，通过判断差的正负得到大小关系． 【详解】解：方法一：， 不等式两边同乘以负数，不等号方向改变 ； 方法二： 计算两式的差 ． 22．（1）已知，比较与的大小． 解：，且（已知）， ________（依据：________）， ________（依据：________）． （2）若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1），不等式的性质2，，不等式的性质1；（2），理由见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是熟知不等式的性质，并能根据性质对不等式进行变形． （1）根据不等式的性质分析即可求解； （2）根据不等式的性质分析即可求解． 【详解】解：（1），且（已知）， （依据：不 等 式 的 性 质 2 ）， （依据：不 等 式 的 性 质 1）， 故答案为：，不等式的性质2，，不等式的性质1； （2），理由如下： ，且（已知）， （依据：不等式的性质3）， （依据：不等式的性质1）． 23．根据等式和不等式的性质，可以得到：若，则 ；若，则b；若，则．这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式的值的大小． (1)若 则 （填“>”“=”或“<”）． (2)已知 ，试比较A，B的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了不等式的性质，整式的加减运算，注意比较两个数大小的方法：若，则；若，则；若，则，另外也考查了非负数的性质． （1）把原式化为，再移项即可得到答案； （2）利用作差法计算，再利用非负数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 24．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若，则；若，则；若，则．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请运用这种方法尝试解决下面的问题： （1）比较与的大小； （2）若，比较a、b的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接用减去得出的结果与0进行比较即可得到答案； （2）直接解不等式即可. 【详解】解：（1）， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了整式的减法运算，解不等式，不等式的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 1．已知，则下列不等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质逐一变形即可判断各选项． 【详解】解：已知 ，移项可得，∴A正确； 对两边同乘，得 ，移项得 ，与 矛盾，∴B错误； 对，两边同除以，不等号方向改变，得 ，与C选项一致，∴C正确； 对，展开得，两边加得，与已知条件一致，∴D正确． 2．若，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．据此逐一判断选项可得到结论． 【详解】解：A、，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，，A一定正确，不符合题意； B、，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，得，不等式两边同加，不等号方向不变，，B一定正确，不符合题意； C、当，时，满足，但，，此时，因此C不一定正确，符合题意； D、，，D一定正确，不符合题意． 3．如果，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可得到正确结果． 【详解】解：A、，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，，A错误； B、举反例：若，满足，此时，，B错误； C、，不等式两边同时乘，不等号方向改变，得，不等式两边同时加，不等号方向不变，，C错误； D、，不等式两边同时减，不等号方向不变，，D正确． 4．下列说法正确的是（  ） A．若，，则 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果、、、都是负数，且，，那么 【答案】C 【分析】因为要判断每个选项的正误，所以需分别对每个选项运用不等式的基本性质或举反例验证．对于选项A，若要判断且时，是否成立，可通过举反例，比如选取具体数值代入验证关系是否成立．对于选项B，若，需考虑负数的情况，通过举反例判断是否恒成立．对于选项C，因为，根据不等式两边乘正数不等号方向不变的性质，推导和是否成立．对于选项D，因为、、、都是负数且，，根据不等式两边乘负数不等号方向改变的性质，推导和的大小关系，或举反例验证． 【详解】选项A：可举反例：，满足, ， 但， ∴A错误． 选项B：可举反例：，满足， 但，， ∴B错误． 选项C：已知，所有数均为正数： ∵，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，得； ∵，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，得； ∴， ∴C正确． 选项D：负数中，数值越大绝对值越小， 可举反例：， 满足条件， 但， ∴D错误 ． 5．若，且，则的最小整数值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将代入化简得，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小整数值为2． 6．如果，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：由可知，，， ∴， 由可知，，， ∴， ∴． 7．的2倍与的差大于1，可列不等式：___________． 【答案】 【详解】解：根据题意，可列不等式为． 8．已知，，化简____ ． 【答案】 【分析】本题考查含字母的绝对值的化简，先分别判断绝对值里面的代数式的正负，然后去绝对值，最后合并同类项即可 ． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴， ∵，， ∴，得 ， ∴， ∴ ， ∴原式 ． 故答案为：． 9．已知不等式的正整数解为1，2，3． （1）当为整数时，的值为_____． （2）当为实数时，的取值范围为_____． 【答案】 3 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，借助数轴利用数形结合的思想得到的取值范围是解题关键． （1）根据题意可将在数轴上表示出来，利用数形结合的思想即可求出的取值范围，由于为整数，即可求出的值； （2）由（1）即可求出答案． 【详解】解（1）将不等式在数轴上表示出来，如图所示， ∵的正整数解为，的正整数解为， ∴， 又为整数， ， 故答案为：； （2）由（1）可知，的取值范围是． 故答案为：． 10．已知a，b为有理数，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④，，则；⑤若，则．其中正确的是______．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了有理数的性质、平方运算、倒数关系、绝对值比较及不等式性质的综合应用，解题的关键是通过举反例或逻辑推导验证每个结论的正确性，尤其要注意符号对运算结果的影响． 通过对每个结论逐一分析：①利用平方相等的两数关系判断；②由分式等式推导出两数关系验证；③通过举正负不同的有理数反例判断；④结合两数大小和和的符号分析绝对值关系；⑤根据给定的、范围，利用不等式性质比较各代数式大小． 【详解】解：①由，根据平方性质，互为相反数的两数平方相等，故，①正确； ②由得（），故，②正确； ③若，，满足，但，故③错误； ④因且，若，则，矛盾，故，④正确； ⑤由，得，；，即；，即；， 故，⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 11．已知实数、、满足，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据得，把代入，得，再整理即可证明． 【详解】证明：， ． 把代入，得， ， ． ． 12．代数推理．下面是华师版七年级下册数学教材中的部分内容． 例2利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： 如果，，那么； 解：因为，所以．① 又因为，所以．② 由①②，可得． (1)请类比以上推理，利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： 如果a、b、c、d都是正数，、且，那么； (2)根据上述性质解决问题： ①若，，则的取值范围是________； ②若y是正数，且，，则________0．（填“”，“”或“”） 【答案】(1)见详解 (2)①② 【分析】（1）由不等式的基本性质得，，即可得证； （2）：①由（1）得，即可求解； ②由不等式的基本性质得，，即可得证． 【详解】（1）解：a、b、c、d都是正数，、且， ，， ； （2）解：①由题意得， ； ②y是正数，且，， ，， ， ． 13．阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，， 又，…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： 的取值范围是， 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是____________； (2)若，，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）按照题干示范的步骤，先分别求出和的取值范围，再将两个范围相加即可求解； （）按照题干示范的步骤，先分别求出和的取值范围，再根据不等式性质求出和的取值范围，再将两个范围相加即可求解； 本题考查了不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得②， 由①②得：， ∴的取值范围是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得②， 由不等式性质，②乘得③， ①乘得④， ③④，得， ∴的取值范围是． 14．阅读与思考下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下面是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例1  已知，试比较与的大小． 解：∵，，∴．（依据1） ∴（依据2） 例2  已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得 任务： (1)小敏日记中的“依据1”是___________，“依据2”是___________； (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例2的推理过程，比较与的大小关系． 【答案】(1)不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变； (2) 【分析】本题考查了不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）联系上下文，结合不等式的性质进行分析，即可作答． （2）模仿题干过程，先由，，得，再结合，，则，即可作答． 【详解】（1）解：不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变； 不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变； （2）解：依题意，∵，， ∴①， 又∵，， ∴②， 由①②可得：． 15．【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小： 若，则； 若，则； 若，则． (1)【理解】若，比较代数式和的大小； (2)【运用】若，试比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差法求解即可； （2）利用作差法求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以； （2）解：， 因为， 则， 所以， 即， 所以． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.1 不等式 教学目标 1.理解不等式的定义，能够区分等式与不等式，识别常见不等符号：＞、＜、≥、≤、≠； 2.能根据题目文字描述，准确列出一元不等式，掌握常见不等关系词语：大于、小于、不大于、不小于、至多、至少等； 3.掌握不等式的五条基本性质，理解每条性质的含义，重点掌握不等式两边同乘负数，不等号方向改变的核心考点； 4.能够利用不等式性质对不等式进行简单变形、比较代数式大小，解决基础判断、填空、选择题。 教学重难点 1.重点 （1）认识五种不等符号，区分等式与不等式，能将简单文字描述转化为不等式； （2）熟记不等式基本性质，能利用性质对不等式进行简单变形。 2.难点 （1）掌握不等式乘除负数变号规则，做题容易遗漏出错； （2）难以准确翻译“至少、至多”等文字，容易写错不等符号。 知识点01 不等式的概念 1.不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 注意： 凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 2.常用不等号的意义和读法 名称 符号 读法 意义 例子 小于号 < 小于 表示左边的量比右边的量小 x<5 大于号 > 大于 表示左边的量比右边的量大 x>2 小于或 ≤ ①小于或等于; 表示左边的量“不大于”右边的量 x≤3 等于号 ②不大于 大于或 ≥ ①大于或等于; 表示左边的量“不小于”右边的量 x≥-1 等于号 ②不小于 不等号 ≠ 不等于 表示左边的量“不等于”右边的量 x≠-3 3.易错点提示： (1)不等号具有方向性，不等号两边的式子不能随意交换， (2)有些不等式中不含未知数，如3<4，-1>-2：有些不等式中含有未知数，如2x>5中，x表示未知数， (3)对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们就说不等式成立：否则，不等式不成立 【即学即练】 1．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）给出下列5个式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 列不等式表示不等关系 1.列不等式 列不等式就是用不等式表示不等关系 2.列不等式通常有以下两种情形 (1)根据数量关系列不等式. (2)根据实际问题列不等式。 3.列不等式的基本步骤 (1)认真审题，分清题目中包含的数量间的大小关系： (2)将题目中的不同数量用代数式表示出来； (3)用不等号以及运算符号连接所列的代数式，列出不等式 4.常见的不等式基本语音与符号 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a>0 a是负数 a<0 a是非正数 a≤0 a是非负数 a≥0 a,b同号 ab>0 a,b异号 ab<0 【即学即练】 3．（25-26七年级下·江苏南京·阶段练习）某日的最高气温是，最低气温是，则当天气温t（）的变化范围是________． 4．（25-26七年级下·江苏淮安·月考）用不等式表示“的平方与的平方的和不小于与的积的4倍”：_______________． 知识点03 不等式的基本性质 1. 不等式的基本性质1： 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 即：如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c. 2. 不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 即：如果a>b,c>0,那么ac>bc或> 如果a>b,c<0,那么ac<bc或< 3.注意事项 要正确理解“不等号的方向不变”和“不等号的方向改变”的含义： 例如“不等号的方向不变”指的是如果原来是“>”，那么结果仍是“>”。“不等号的方向改变”指的是如果原来是“>”，那么变化后将成为“<”;如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥” 4.解题技巧 （1）运用不等式的基本性质1时，需要注意不等式的两边必须同加或同减，且必须是同一个数或同 一个整式，不等号方向不变； （2）用不等式的基本性质2将不等式变形时，要特别注意不等式两边都乘（或除以）同一个负数的情况，此时不等号的方向必须改变 【即学即练】 5．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如果，那么下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·江苏南通·期末）若，则下列各式中错误的是（  ） A． B． C． D． 题型01 不等式的定义 1．下列表达式中是不等式的有（   ）个 ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（     ） A．5 B．2 C．3 D．4 4．在下列数学式子：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型02 用不等式表示不等关系 5．“a的9倍与b的的和是正数”可表示为______． 6．用不等式表示： (1)x的4倍与3的差是正数：________________． (2)a与b的积小于7：________________． (3)a，b两数的平方和大于10：_____________________． 7．“a与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为______． 8．已知，两边同时除以，得到的不等式为______． 题型03 用不等式表示实际问题 9．惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，气温转暖，渐有春雷，今年惊蛰这一天太原市的最高气温是，最低气温是，则当天我市气温t（）满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 10．假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为千米/时，则的取值范围为______． 11．如图，在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，你知道通过该桥洞的车高的范围吗？表示为_________． 12．某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下： 一次性购物的金额 促销方式 不超过200元 全部九折 超过200元 不超过200元的部分九折，超过200元的部分八折 某顾客在该超市一次性购得标价为x元的商品． (1)该顾客得到的优惠不超过18元．请列出不等式． (2)该顾客得到的优惠超过30元．请列出不等式． 题型04 不等式的基本性质 13．如果，那么下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 14．若 ，则下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 15．若关于的不等式可化为，则的取值范围是_____． 16．下列式子是否正确？为什么？ (1)若，则； (2)若，则； (3)若，则． 题型05 利用不等式的基本性质求解不等式 17．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式． (1) (2) 19．将下列不等式化成“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)． 20．把下列不等式化成或（为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型06 利用不等式进行大小比较 21．仿例：已知，试比较与a的大小． 方法一 解：因为，，所以． 方法二 解：因为，，所以，所以 根据仿例，请解答：已知，试比较与大小，用两种方法解答． 22．（1）已知，比较与的大小． 解：，且（已知）， ________（依据：________）， ________（依据：________）． （2）若，比较与的大小，并说明理由． 23．根据等式和不等式的性质，可以得到：若，则 ；若，则b；若，则．这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式的值的大小． (1)若 则 （填“>”“=”或“<”）． (2)已知 ，试比较A，B的大小． 24．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若，则；若，则；若，则．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请运用这种方法尝试解决下面的问题： （1）比较与的大小； （2）若，比较a、b的大小． 1．已知，则下列不等式错误的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如果，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（  ） A．若，，则 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果、、、都是负数，且，，那么 5．若，且，则的最小整数值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．如果，那么的取值范围是______． 7．的2倍与的差大于1，可列不等式：___________． 8．已知，，化简____ ． 9．已知不等式的正整数解为1，2，3． （1）当为整数时，的值为_____． （2）当为实数时，的取值范围为_____． 10．已知a，b为有理数，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④，，则；⑤若，则．其中正确的是______．（填序号） 11．已知实数、、满足，，求证：． 12．代数推理．下面是华师版七年级下册数学教材中的部分内容． 例2利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： 如果，，那么； 解：因为，所以．① 又因为，所以．② 由①②，可得． (1)请类比以上推理，利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： 如果a、b、c、d都是正数，、且，那么； (2)根据上述性质解决问题： ①若，，则的取值范围是________； ②若y是正数，且，，则________0．（填“”，“”或“”） 13．阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，， 又，…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： 的取值范围是， 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是____________； (2)若，，，求的取值范围． 14．阅读与思考下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下面是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例1  已知，试比较与的大小． 解：∵，，∴．（依据1） ∴（依据2） 例2  已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得 任务： (1)小敏日记中的“依据1”是___________，“依据2”是___________； (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例2的推理过程，比较与的大小关系． 15．【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小： 若，则； 若，则； 若，则． (1)【理解】若，比较代数式和的大小； (2)【运用】若，试比较的大小． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $