专题11.5 用一元一次不等式解决问题（高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级下册

专题11.5 用一元一次不等式解决问题 教学目标 1.掌握列一元一次不等式解决实际问题的步骤，能找出题目中的不等关系，列出并求解不等式； 2.经历分析实际问题、建立不等式模型的过程，提升分析问题和数学建模能力。 3.体会数学与生活的联系，培养审题严谨、规范解题的良好习惯。 教学重难点 1.重点 （1）掌握列一元一次不等式解决实际问题的解题步骤。 2.难点 （1）准确找出题目中的不等关系，区分方程等量关系与不等式不等关系。 知识点01 由实际问题列一元一次不等式 1.由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． 2.列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 3.列一元一次不等式解决实际问题首先弄清题中数量关系，用字母表示未知数．再根据题中的不等关系列出不等式． 知识点02 一元一次不等式实际问题的一般步骤 列一元一次不等式解决实际问题与列方程解决实际问题类似，所不同的是一个是列方程，另一个是列不等式.列不等式解决实际问题的一般步骤如下： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及它们的关系，找出题目中的不等关系，要抓住题目中的关键词，如“大于”“小于”“不大于”“不小于”“至少”“最多等词语； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题目中的不等关系列出不等式：无去 (4)解：解出所列不等式的解集； (5)答：检验求得的解或解集是否符合实际意义，并写出答案 【即学即练】 分，平一场得分，负一场得分． (1)若甲队负了场，则甲队的得分能否为分？请说明理由； (2)若乙队保持不败，得分超过分，求乙队至少胜了多少场？ 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)场 【分析】（1）设甲胜场，则平场，根据得分列方程求出，根据为非负整数，即可得出答案； （2）设乙胜了场，根据乙队保持不败，得分超过分，列不等式，求出，即可得答案． 【详解】（1）解：设甲队胜了场， ∵甲队负了场， ∴平的场次为场， ∵胜一场得分，平一场得分，负一场得分， ∴， 解得：， ∵为非负整数， ∴甲队的得分不能为分． （2）解：设乙胜了场， ∵乙队保持不败， ∴平的场次为场， ∴， 解得：． ∴至少胜5场． 2．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）某商场购进了A，B两种型号的耳机．已知购进每个A型耳机元，购进每个B型耳机元．若该商场准备购进个这两种型号的耳机，总费用不超过元，那么最多可购进B型耳机多少个？ 【答案】最多可购进B型耳机个 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设购进x个B型耳机，则购进个A型耳机，利用，结合总价不超过元，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】解：设购进B型耳机x个，则A型耳机个．依题意得 ， ， ， ． 答：最多可购进B型耳机个 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）宿迁市出租车收费标准是：起步价元（千米以内），千米后每千米收取元，某乘客乘坐该市出租车行驶了千米 (1)请用含的代数式表示他应该支付的车费（要求通过计算简化） (2)若该乘客乘坐千米，那他应该支付多少钱？ (3)小明只有元，他打算乘坐出租车，请问他最多能坐多远路程． 【答案】(1)元 (2)元 (3)千米 【分析】本题考查了列代数式、代数式求值以及一元一次不等式： （1）先计算超出千米的路程费用，再与起步价相加得到总车费； （2）将行驶路程代入第（1）问的代数式计算； （3）根据总车费小于等于元列一元一次不等式求解最多路程． 【详解】（1）根据题意得： 答：他应该支付的车费为元． （2）当时，（元） 答：他应该支付元． （3）根据题意得： 解得： 的最大值为 答：他最多能坐千米． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）课题小组在研究学生购餐时发现，售餐窗口开始前，约有200人排队等候，接下来，会不断有新同学加入购餐队伍，假设队伍中的学生每人买一份且买到后立即离开，食堂目前开放了3个窗口售餐，每分钟每个窗口出售20份餐； (1)售餐开始后，前分钟平均每分钟有30人进入食堂排队购餐，若分钟后排队等候的还剩为50人，请求出此时的值； (2)为缩短学生排队购饭时间，课题小组向学校建议可增设售餐窗口，若要售餐5分钟后，所有排队的学生都能买到饭，以便后来的同学随到随买，至少要增加几个窗口？ 【答案】(1) (2)至少增加1个窗口 【分析】本题考查一元一次方程，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据分钟后排队等候的还剩为50人，列出一元一次方程，求解即可； （2）设要增加m个窗口，根据要售餐5分钟后所有排队的学生都能买到饭，以便后来的同学随到随买，列出一元一次不等式，求出m的取值范围，再由m为正整数，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 解得． 答：的值为5． （2）解：设要增加m个窗口，依题意，得 ， 解得， ∵m为正整数， ∴m的最小值为1． 答：至少要增加1个窗口． 5．（24-25七年级下·江苏常州·月考）（1）佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为 十位数字与个位数字与时看到的刚好颠倒 比看到的两位数中间多了个 求佳佳看到的两位数列二元一次方程组求解 （2）哪吒为助力陈塘关振兴，自瑶池仙圃购得“混天仙桃”千克，收购价每千克金因东海龙族作祟，运输途中仙桃遭海水侵蚀，质量损耗，为保障陈塘关防务建设及民生改善，利润率不能低于，则销售单价至少为每千克多少金？列不等式求解 【答案】（1）佳佳看到的两位数是；（2）销售单价至少为每千克金 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设佳佳看到的两位数的十位数字为，个位数字为，根据每隔一段时间看到的里程碑上的数描述，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设销售单价为每千克金，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设佳佳看到的两位数的十位数字为，个位数字为， 由题意得：， 解得：， 答：佳佳看到的两位数是； 设销售单价为每千克金， 由题意得：， 解得：， 答：销售单价至少为每千克金． 6．（24-25七年级下·江苏南京·期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 (1)小明家2月份用水量为，应缴纳水费______元； (2)为节约用水，小明家计划3月份的水费不超过92元，3月份最多能用多少水？ (3)已知小红家2月份和3月份共缴纳水费176元，这两个月的用水量一共是，且2月份用水量少于3月份．求小红家2月份、3月份用水量分别是多少？ 【答案】(1)65 (2)小明家3月份最多能用水 (3)小红家2月份的用水量是，3月份用水量是 【点睛】本题考查一元一次方程、一元一次不等式的应用；能够理解题意，根据不同的取值范围列出相应的方程、代数式或不等式是解题的关键． （1）根据用水量，代入不同的单价，计算出应缴纳的水费； （2）根据应缴纳的水费范围列出不等式，求解用水量的范围，即可找出用水量的最大值； （3）分类进行讨论计算． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， 应缴纳水费65元． 故答案为：65． （2）设小明家3月份能用水， （元），， ． 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：小明家3月份最多能用水; （3）设小红家2月份的用水量为，则小红家3月份的用水量为， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：， （）． 答：小红家2月份的用水量是，3月份用水量是． 7．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）“故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州．”在2024年扬州“烟花三月”国际经贸旅游节来临之际，东关街某商店老板计划购进A、B两款茉莉花造型陶瓷手链进行销售．已知A、B两款手链的进价和售价如表所示． A款手链 B款手链 进价（元/个） 18 15 售价（元/个） 25 20 (1)若该商店老板购进A、B两款手链共50个，花费855元，求购进A、B两款手链各多少个；（请用二元一次方程组解决问题） (2)若该商店老板购进A、B两款手链共40个，卖完全部手链后要保证利润不低于268元，求至少购进A款手链多少个． 【答案】(1)A款手链购进35个，B款手链购进15个； (2)A款手链至少购进34个． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用： （1）设A款手链购进x个，B款手链购进y个，根据“购进A、B两款手链共50个，花费855元”，列出方程组，即可求解； （2）设A款手链购进m个，根据“购进A、B两款手链共40个，卖完全部手链后要保证利润不低于268元”，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设A款手链购进x个，B款手链购进y个，则： 解得： 答：A款手链购进35个，B款手链购进15个． （2）解：设A款手链购进m个，则： 解得： 答：A款手链至少购进34个． 题型01 销售问题 1．某电商平台甲、乙、丙三个直播间的促销活动如下表所示： 直播间 活动方案 甲 全场六折 乙 “满100送100”（如：购买190元商品，赠100元购物券：购买200元商品，赠200元购物券） 丙 “满100减50”（如：购买190元商品，只需付140元：购买200元商品，只需付100元） 请根据上述信息，解答下列问题： (1)甲、乙两个直播间同时出售一款标价为380元的破壁机和标价为300多元的空气炸锅，小明妈妈想买这两件厨房用品，小明通过计算发现在甲直播间同时购买这两件商品与在乙直播间先买破壁机再买空气炸锅所花的钱是相同的，求空气炸锅的标价． (2)在甲、丙两个直播间标价均为元（）的商品，当的取值范围是多少时，到甲直播间购买更合算？ 【答案】(1)370 (2)当或时，到甲直播间购买更合算． 【分析】（1）设这种空气炸锅的标价为y元，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）先求出甲直播间：全场六折，实际花费为元． 丙直播间：“满100减50”，分两种情况：①当时，②当时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：设空气炸锅的标价为y元，由题意，得 ， 解得， 答：空气炸锅的标价为370元． （2）解：甲直播间：全场六折，实际花费为元． 丙直播间：“满100减50”，分两种情况： ①当时，不满足满减条件，实际花费为x元，要使甲直播间更合算，即甲的花费<丙的花费， ∴， 解得， ∴， ②当时，满足满减条件，实际花费为元，要使甲直播间更合算，即甲的花费<丙的花费， ∴， 解得 ∴， 综上所述，当或时，到甲直播间购买更合算． 2．近年来，我国人形机器人不断取得新的突破，许多中学生也在心中种下了一个科技梦．某玩具店有A，B两款热销的机器人玩具，若购买1个A款机器人玩具和2个B款机器人玩具共花费280元，购买2个A款机器人玩具比购买1个B款机器人玩具多花费160元． (1)求A，B两款机器人玩具的单价； (2)某机器人社团计划购买A，B两款机器人玩具共14个（两款都购买），恰逢该玩具店周年店庆，A款机器人玩具打八折，B款机器人玩具打九折．若预算不超过1200元，则最多购买A款机器人玩具多少个？ 【答案】(1)A款单价为120元，B款单价为80元． (2)最多购买8个A款机器人玩具 【分析】（1）设A款机器人玩具的单价为元，B款机器人玩具的单价为元，根据题意列二元一次方程组，据此求解即可； （2）设购买A款机器人玩具个，根据题意列出不等式，据此求解即可． 【详解】（1）解：设A款机器人玩具的单价为元，B款机器人玩具的单价为元， 根据题意，得方程组：， 解得， 答：所以A款单价为120元，B款单价为80元； （2）解：设购买A款机器人玩具个， 打折后单价：A款元；B款元； 根据题意得， 解得， 答：最多购买8个A款机器人玩具． 3．某网店借助直播平台开展“直播带货”直销活动．他们用元购进一批酥梨和黄梨，销售完后共获利元，酥梨和黄梨的进价和售价如表： 酥梨（元） 黄梨（元） 进价 售价 (1)求该网店购进酥梨和黄梨分别是多少？ (2)该网店第二次以原价购进酥梨和黄梨，购进黄梨数量不变，而购进酥梨的数量是第一次的倍．酥梨按原售价出售，而黄梨让利销售．若酥梨和黄梨销售完毕，要使第二次销售活动获利不少于元，求黄梨最低售价为多少元？ (3)在（2）的条件下，网店在获得的利润取最小值时，决定售出的酥梨每千克捐出元，黄梨每千克捐出元给慈善机构，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值（精确到）． 【答案】(1)该网店购进酥梨，黄梨 (2)黄梨最低售价为元 (3)的最大值约为 【分析】（1）设该网店购进酥梨，黄梨，根据“用元购进一批酥梨和黄梨，销售完后共获利元”，列方程求解即可； （2）设黄梨售价为元，根据利润列不等式求解即可； （3）在（2）的条件下，酥梨每千克的利润为，黄梨每千克的利润为，根据题意列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设该网店购进酥梨，黄梨， 依题意得：， 解得：， 答：该网店购进酥梨，黄梨； （2）设黄梨售价为元， 依题意得， 解得． 答：黄梨最低售价为元； （3）依题意得， 解得， 答：的最大值约为． 4．山西孝义皮影戏是国家级非物质文化遗产，其造型古朴、雕刻精湛，深受大众喜欢．某非遗体验馆计划定制一批皮影文创，用于研学活动和非遗文化推广．已知定制2个传统人物皮影和1个动物皮影共需200元，定制3个传统人物皮影和2个动物皮影共需320元． (1)求一个传统人物皮影和一个动物皮影的价格分别是多少元． (2)该体验馆计划定制两种皮影共70个，为丰富研学活动的展示内容，馆方希望在总费用不超过5100元的前提下，尽可能多定制传统人物皮影，求最多可定制多少个传统人物皮影． 【答案】(1)一个传统人物皮影的价格为80元，一个动物皮影的价格为40元 (2)57个 【分析】（1）设一个传统人物皮影的价格为x元，一个动物皮影的价格，根据题意找出等量关系列出方程组并求解即可； （2）设定制m个传统人物皮影，则定制个动物皮影，根据不等关系列出不等式求解最大整数解． 【详解】（1）解：设一个传统人物皮影的价格为x元，一个动物皮影的价格为y元， 由题意得，， 解得， ∴一个传统人物皮影的价格为80元，一个动物皮影的价格为40元． （2）解：设定制m个传统人物皮影，则定制个动物皮影， 由题意得，， 解得：， ∵m取最大值，且为正整数， ， ∴最多可定制57个传统人物皮影． 题型02 利润（率）问题 5．某商场销售、两种商品，售出件种商品与售出件种商品所得利润共元，件商品的利润比件商品的利润的倍少元． (1)求每件种商品和每件种商品售出后所得利润分别是多少元； (2)由于需求量大，A、B两种商品很快售完，商场决定再一次购进、两种商品共件．如果将这件商品全部售完后所得利润不低于元，且A种商品至多购进件，求商场有哪几种购进方案； (3)在（2）的条件下，若每件种商品售价元，每件种商品售价元，用（2）中获得的最大利润全部用于再购进、两种商品，直接写出再次购进、两种商品总数最多的方案． 【答案】(1)每件A种商品售出后所得利润为200元，每件B种商品售出后所得利润为100元 (2)商场有三种购进方案：方案一：购进A种商品6件，B种商品28件；方案二：购进A种商品7件，B种商品27件；方案三：购进A种商品8件，B种商品26件 (3)再次购进A、B两种商品总数最多的方案为购进A种商品0件，B种商品35件 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及最大利润下的购买方案． （1）设每件种商品利润为元，每件种商品利润为元，列方程组求解； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，根据利润要求和不等式条件确定购进方案； （3）利用最大利润计算再购进方案，通过比较进价最大化购买件数． 【详解】（1）设每件种商品利润为元，每件种商品利润为元． 根据题意，得 解得． 答：每件种商品利润为元，每件种商品利润为元． （2）设购进种商品件，则购进种商品件． 总利润为， 根据利润不低于元，得， 解得． ∵种商品至多购进件，故， ∴ ， ∵为整数， ∴当时，种商品件；当时，种商品件；当时，种商品件． 答：商场有三种购进方案： 方案一：购进种商品件，种商品件； 方案二：购进种商品件，种商品件； 方案三：购进种商品件，种商品件． （3）由（2）知，最大利润对应，利润为元． 每件种商品售价元，利润元，故进价为元； 每件种商品售价元，利润元，故进价为元． 设用元再购进种商品件，种商品件， 根据题意得， 化简得． 总件数，为了使最大化，应尽可能多购进进价低的种商品． 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，； ∴随增大而减小，故最大为，此时，． ∴ 再次购进、两种商品总数最多的方案为购进种商品件，种商品件． 6．某商家在线上销售甲、乙两种纪念品．为了吸引顾客，该商家推出两种促销方案A和B，且每天只能选择其中一种方案进行销售．方案A，B分别对应的甲、乙两种纪念品的单件利润（单位：元）如表： 甲纪念品单件利润 乙纪念品单件利润 方案A 10 18 方案B 16 14 该商家每天限量销售甲、乙两种纪念品共100件，且当天全部售完． (1)某天采用方案A销售，当天销售甲、乙两种纪念品所获得的利润共1360元，求甲、乙两种纪念品当天分别销售多少件？ (2)某天销售甲、乙两种纪念品，要使采用方案B当天所获得的利润不低于采用方案A当天所获得的利润，求甲种纪念品当天的销量至少是多少件？ 【答案】(1)甲、乙两种纪念品当天分别销售55件，45件 (2)甲种纪念品当天的销售至少40件 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确分析等量关系． （1）设甲为x件，乙为y件，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设甲 为x件，乙为y件，根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲为x件，乙为y件， 解得， ∴甲、乙两种纪念品当天分别销售55件，45件； （2）解：设甲 为x件，乙为y件， 解得， 答：甲种纪念品当天的销售至少40件． 7．“云健身”火了，也带动了小型居家健身器材的热销，某网店A，B两种健身器材的销量最高．已知售出2件A种健身器材和3件B种健身器材所得利润为700元，且售出每件A种健身器材的利润是每件B种健身器材利润的2倍． (1)求每件A种健身器材和B种健身器材的利润；（用二元一次方程组的知识解答） (2)由于需求量大，A，B两种健身器材很快售完，该店决定再次购进A，B两种健身器材共80件．如果将这80件健身器材全部售完后所得利润不低于10 000元，那么该店至少需要购进多少件A种健身器材？ 【答案】(1)每件种健身器材的利润为200元，每件种健身器材的利润为100元 (2)该店至少需要购进20件种健身器材 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出二元一次方程组和一元一次不等式． （1）设每件种健身器材的利润为元，每件种健身器材的利润为元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进件种健身器材，则购进件B种健身器材，根据总利润售出每件商品的利润销售数量结合总利润不低于元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设每件种健身器材的利润为元，每件种健身器材的利润为元， 由题意得：， 解得． 答：每件种健身器材的利润为200元，每件种健身器材的利润为100元． （2）解：设需要购进件种健身器材，则购进件种健身器材， 由题意得， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为20． 答：该店至少需要购进20件种健身器材． 8．某商场销售A、两种商品，售出1件A种商品所得利润为200元，售出3件种商品和5件种商品所得利润为1100元． (1)求每件种商品售出后所得利润； (2)由于需求量大，A、两种商品很快售完，该商场决定再一次购进A、两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么该商场至少需购进多少件种商品？ 【答案】(1)售出每件种商品所得利润为100元 (2)该商场至少需购进6件种商品 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、正确列出一元一次方程和不等式成为解题的关键． （1）设售出每件种商品所得利润为元，然后根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设购进件A种商品，则购进件种商品，然后根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设售出每件种商品所得利润为元， 依题意得： 解得：． 答：售出每件种商品所得利润为100元． （2）解：设购进件A种商品，则购进件种商品， 依题意，得：．解得：． 为整数． 的最小值为6． 答：该商场至少需购进6件种商品． 题型03 最大利润问题 9．某商店从工厂购进甲、乙两种产品进行销售，购进件甲产品和件乙产品需要成本元，购进件甲产品和件乙产品需要成本元销售时，每件甲产品售价为元，每件乙产品售价为元． (1)求每件甲、乙产品的成本价； (2)若商店从工厂购进甲、乙两种产品共件，其中甲产品不超过件，且全部销售完以后利润不低于元，请问有哪几种购进方案？哪种方案的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)每件甲产品的成本为元，每件乙产品的成本为元 (2)共有种方案，分别是：方案：购进甲产品件、乙产品件；方案:购进甲产品件、乙产品件；方案:购进甲产品件、乙产品件；方案购进甲产品件、乙产品件利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）设每件甲产品的成本价为元，每件乙产品的成本价为元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设购进甲产品件，则购进乙产品件，设利润为元，则，根据题意列关于的一元一次不等式组并求其解集，从而求出符合条件的的值，进而分别写出写出这些方案，计算对应利润并比较大小即可． 【详解】（1）解：设每件甲产品的成本价为元，每件乙产品的成本价为元． 根据题意得：， 解得：， 答：每件甲产品的成本价为元，每件乙产品的成本价为元； （2）设购进甲产品件，则购进乙产品件，设利润为元， 则， 根据题意得：， 解得：， 为非负整数， ，，， 当时，件， 当时，（件）， 当时，（件）， 共有种方案，分别是： 方案：购进甲产品件、乙产品件，利润为（元）， 方案: 购进甲产品件、乙产品件，利润为（元）， 方案: 购进甲产品件、乙产品件，利润为， ， 方案购进甲产品件、乙产品件利润最大，最大利润是元． 10．近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，代数式求值等知识，设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，根据第二次进货总价不高于16800元列出一元一次不等式得出．再设利润为w元，则，把的整数代入计算并发现规律即可求解． 【详解】解：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装， 由题意可得， 解得：， 设利润为w元，则， 当时，把代入（元）， 当时，把代入（元） … 可知随着m的增大，利润越来越小， ∴当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 11．猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 类别价格 款玩偶 款玩偶 进货价（元/个） 40 35 销售价（元/个） 58 45 (1)第一次小李用1900元购进了两款玩偶共50个，求两款玩偶各购进多少个． (2)第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)A款玩偶购进30个，B款玩偶购进20个 (2)按照A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是380元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，代数式的表示及最值，解题关键是厘清题意，找出数量关系，区分等式和不等式的地方． （1）设A款玩偶购进x个，根据两款玩偶的总数量，总成本及进价，即可列出方程求解； （2）设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进个，根据两款购进的数量要求列出不等式，求出a的范围；再根据两款玩偶的进价和售价，表示出利润，结合a的范围，即可求解． 【详解】（1）解：设A款玩偶购进x个，则B款玩偶购进个 由题意，得 解得： 答：A款玩偶购进30个，B款玩偶购进20个； （2）设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进个， 由题意，得， 解得， ∴a最大值为10 设获利y元，则 ∵一个加数300不变，当另一个加数最大时，和y最大． ∴时，最大，此时y最大值为380元， ∴时，此时y最大值为元 此时B款玩偶为：（个） 答：按照A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是380元． 12．近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”全球票房达到了一百五十四亿，某商家推出种哪吒纪念娃娃、种敖丙纪念娃娃．已知购进3件种娃娃和购进4件种娃娃的费用相同；每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多3元，且种娃娃售价为18元/个，种娃娃售价为12元/个． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过2400元的资金购进、两种娃娃共250个，若这250个娃娃全部售完，选择哪种进货方案商家获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个A种娃娃的进价是12元，每个B种娃娃的进价是9元 (2)当购进50个A种娃娃，200个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是900元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，代数式的值，找准等量关系，正确的列出方程组，不等式，代数式，是解题的关键： （1）设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，根据购进3件种娃娃和购进4件种娃娃的费用相同；每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多3元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，根据题意，列出不等式，求出的取值范围，设这250个娃娃全部售完获得的总利润为w元，用m的代数式表示w，得到变化规律，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个A种娃娃的进价是12元，每个B种娃娃的进价是9元； （2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃， 根据题意得：， 解得：． 设这250个娃娃全部售完获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w的值随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）． 答：当购进50个A种娃娃，200个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是900元． 题型04 积分问题 13．项目学习：体育比赛计分 某校积极推进“阳光体育”工程，在七、八年级共11个班中开展篮球友谊赛，采取单循环赛（每个班与其他班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛），平局进行加时比赛分出胜负． 下表是其中两个球队的积分： 队名 胜（场数） 负（场数） 积分 蓝天队 6 4 22 雄鹰队 4 6 18 用方程（组）或不等式完成下列三个任务： (1)任务一：根据上表内容求出该比赛的计分规则（即胜一场积几分，负一场积几分） (2)任务二：梦想队想让自己队的胜场积分与负场积分相同，他们能实现吗？请说明理由； (3)任务三：雄狮队了解到，该校上届获得冠军的战王队积分是24分．雄狮队想要在本届比赛中超越上届冠军（计分规则不变），请直接写出他们至少要胜多少场． 【答案】(1) 胜一场积3分，负一场积1分 (2) 不能实现，见解析 (3) 至少要胜8场 【分析】（1）任务一：设胜一场积x分，负一场积y分，根据表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）任务二：设梦想队胜了m场，则负了场，根据梦想队想让胜场积分与负场积分相同，列出一元一次方程，解方程，即可得出结论； （3）任务三：设他们要胜n场，则负场，根据该校上届获得冠军的积分是24分，雄狮队在本届比赛中想要超越上届冠军，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：任务一：设胜一场积x分，负一场积y分， 由题意，得， 解得， 答：胜一场积3分，负一场积1分； （2）解：任务二：不能实现，理由如下： 设梦想队胜了m场，则负了场， 由题意，得， 解得， ∵2.5不是整数，不符合题意， ∴不能实现； （3）解：任务三：设他们要胜n场，则负场， 由题意，得， 解得， ∵n是整数， ∴n取8． 答：至少胜8场． 14．项目学习：体育比赛计分 某校积极推进“阳光体育”工程，在七、八年级共11个班中开展篮球友谊赛，采取单循环赛（每个班与其他班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛），平局进行加时比赛分出胜负． 下表是两个球队的积分： 队名 胜场 负场 积分 蓝天队 6 4 16 雄鹰队 4 6 14 用方程（组）或不等式完成下列三个任务： 任务一： 根据上表你能知道比赛的计分规则吗？（即胜一场积几分？负一场积几分？） 任务二： 梦想队想让胜场积分与负场积分相同，他们能实现吗？请说明理由． 任务三： 据了解该校上届获得冠军的积分是17分，请你帮雄狮队算一算，在本届比赛中想要超越上届冠军，他们至少要胜多少场？ 【答案】任务一：胜一场积2分，负一场积1分；任务二：不能，见解析；任务三：至少胜8场 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，读懂题意找到关系式是解题的关键． 任务一：设胜一场积x分，负一场积y分，根据表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可； 任务二：设梦想队胜了m场，则负了场，根据梦想队想让胜场积分与负场积分相同，列出一元一次方程，解方程，即可得出结论； 任务三：设他们要胜n场，则负场，根据该校上届获得冠军的积分是17分，雄狮队在本届比赛中想要超越上届冠军，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：任务一：设胜一场积分，负一场积分， 依题意，得：， 解得： 答：胜一场积2分，负一场积1分 任务二：不能 理由如下：设胜场，则负场， 依题意，得：， 解得：不是整数，不符合题意． 任务三：设胜场，则负场， 依题意，得． 解得： 因为是整数， 取8， 答：至少胜8场． 15． 问题背景 体育比赛中蕴含着丰富的数学知识，数学老师带领学生开展项目学习“体育比赛计分”，结合相关调研数据完成任务． 调研 调研：某次篮球联赛积分 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 东方 光明 雄鹰 卫星 钢铁 调研：球赛出线是我们经常谈及的话题，它是指比赛中参赛队伍通过比赛成绩达到规定条件获得晋级下一轮比赛的资格．篮球赛单循环赛一般按积分确定名次，经调研，某次篮球赛赛制积分规则与调研相同． 问题解决 任务 根据调研中的数据回答问题： （1）某次篮球联赛积分中，胜一场积______分，负一场积______分，卫星队的积分为______分； （2）求雄鹰队的胜场数和负场数． 任务 根据调研中的数据回答问题：某次篮球赛中，火炬队与月亮队要争夺出线权．火炬队当时的战绩是胜负，后面还要比赛场；月亮队当时的战绩是胜负，后面还要比赛场． （3）火炬队已经获得积分为______分； （4）火炬队为确保出线，在后面的比赛中至少要胜多少场？ 【答案】（1），，；（2）雄鹰队胜了场，负了场；（3）；（4）火炬队为确保出线，在后面的比赛中至少要胜场． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程或不等式是关键． 依据题意，由钢铁队比赛场，负场，积分为分，则可得负一场积分，又前进队比赛场，胜场，负场，积分为分，则胜一场积分，从而可得卫星队胜了场，负了场的积分，即可得解； 依据题意，设雄鹰队胜了场，则负了场，则，进而计算可以得解； 依据题意，火炬队的积分为：分，即可得解； 依据题意，设火炬队在后面的比赛中要胜场，则，则，结合为正整数，即可判断得解． 【详解】解：由题意，钢铁队比赛场，负场，积分为分， 负一场积分， 前进队比赛场，胜场，负场，积分为分， 胜一场积分， 卫星队胜了场，负了场，积分分， 故答案为：，，； 由题意，设雄鹰队胜了场，则负了场， ． 解得：， ， ∴雄鹰队胜了场，负了场； 由题意，火炬队的积分为：分， 故答案为：； 由题意，设火炬队在后面的比赛中要胜场， ， 解得：， 又为正整数， 可取的最小值为， 火炬队为确保出线，在后面的比赛中至少要胜场． 16．我市某校为了落实“阳光体育活动”，在八年级开展了篮球赛．比赛规则是：八年级10个班级每个班级派出一支队伍参赛，赛制采用的是单循环积分赛（每个班级都与其他9个班级进行一场比赛），胜一场记2分，负一场记1分，然后按照积分高低进行排名．赛程过半，小明所在的班级已经进行了5场比赛，积9分． (1)求小明所在班级胜、负的场次各是多少； (2)根据分析，总积分超过15分才能确保进入前两名，小明的班级若想进入前两名在剩下的比赛中至少还要取得几场胜利？ 【答案】(1)小明所在的班级胜4场，负1场 (2)小明的班级若想进入前两名在剩下的比赛中至少还要取得3场胜利 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．（1）设小明所在班级胜了场，负了场，根据小明所在的班级已经进行了5场比赛，积9分，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设小明的班级在剩下的比赛中还要胜场，根据总积分超过15分才能确保进入前两名，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设小明所在的班级胜场，负场，依题意得 解得， 答：小明所在的班级胜4场，负1场． （2）设小明的班级在剩下的比赛中还要胜场，依题意得 解得， 为正整数， 答：小明的班级若想进入前两名在剩下的比赛中至少还要取得3场胜利． 题型05 方案设计问题 17．近年来，我国的农业正在由传统农业向现代化农业转变．在科技兴农合作社，种田大户张叔叔购买1架A型无人机和3架B型无人机共用了20000元；种田大户李伯伯购买2架A型无人机和4架B型无人机共用了32000元． (1)求1架A型无人机和1架B型无人机的价格分别为多少元？ (2)经营农庄的小刘需要购买A，B两种型号的无人机共10架，计划投资不超过50000元，那么A型无人机最多能购买多少架？ 【答案】(1)1架A型无人机的价格为8000元，1架B型无人机的价格为4000元 (2)最多能购买2架A型无人机 【分析】（1）根据“购买1架A型无人机和3架B型无人机共用了20000元；购买2架A型无人机和4架B型无人机共用了32000元”列方程组求解即可； （2）根据“投资不超过50000元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设1架A型无人机的价格为x元，1架B型无人机的价格为y元， 由题意得 解得 答：1架A型无人机的价格为8000元，1架B型无人机的价格为4000元； （2）解：设购买A型无人机m架，则购买B型无人机架， 由题意得， 解得， ∵m为非负整数， ∴m最大可取2， 答：最多能购买2架A型无人机． 18．问题情境：“海丝起点，清新福建”福建山水秀丽，风景优美，是全国知名的旅游目的地．某旅游团组织到福建旅游，准备为每位团员购买1件某景区的纪念品挂件，该景区有两家销售该纪念品的商店，标价均为20元/件，且都在进行促销活动．甲商店规定：一次性购买金额不超过300元的不优惠，一次性购买金额超过300元的，超过部分按标价的六折优惠．乙商店规定：全部按标价的八折售卖．设该旅游团有团员n人． 问题解决： (1)当时，在甲商店的购买金额为______元；在乙商店的购买金额为______元． (2)当时． ①分别求在甲、乙两商店的购买金额．（用含n的代数式表示） ②你认为选择哪家商店支付的费用较少，请说明理由． 【答案】(1)300，240 (2)①甲、乙两商店的购买金额分别为元，元；②当时，选择乙商店；当时，选择甲商店；当时，两家商店费用相同 【分析】（1）根据优惠方案求解即可； （2）①根据两种优惠方案即可列代数式；②分类讨论，解不等式或方程即可． 【详解】（1）解：当时，（元）， 此时购买金额不超过300元， 故在甲商店的购买金额为300元； 在乙商店的购买金额为（元）； （2）解：当时，①， 则甲商店购买金额为元； 乙商店购买金额为：（元）； ②当时，解得， ∴当时，甲商店费用少； 当时，解得， ∴当时，乙商店费用少； 当时，解得， ∴当时，甲、乙商店费用一样， 答：当时，选择乙商店；当时，选择甲商店；当时，两家商店费用相同． 19．某中学为改善教学条件，计划采购一批智慧教学设备，有A、B两种型号的智能交互一体机可供选择．已知购买2台A型一体机和1台B型一体机共需20000元，购买3台A型一体机和2台B型一体机共需34000元 (1)求A型一体机和B型一体机的单价各是多少元； (2)根据教学需求，该校计划采购A型和B型一体机共20台，且总预算不超过144000元，问最多可购买B型一体机多少台？ 【答案】(1)A型一体机单价为6000元，B型一体机单价为8000元； (2)最多可购买B型一体机12台． 【分析】（1）设A型一体机的单价是元，B型一体机的单价是元，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设购进B型一体机台，则购进A型一体机台，根据题意列出不等式，据此求解即可． 【详解】（1）解：设A型一体机的单价是元，B型一体机的单价是元， 依题意，得：， 解得：． 答：A型一体机单价为6000元，B型一体机单价为8000元； （2）解：设购进B型一体机台，则购进A型一体机台， 依题意，得：， 解得：． 为整数， 的最大值为12． 答：最多可购买B型一体机12台． 20．根据以下学习素材，完成下列任务： 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒3斤 每盒4斤 现在需要对斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这32斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为元．若要将购买包装盒的成本控制在10元以内，请你设计出所有符合要求的分装方案，并说明理由． 【答案】所有符合要求的分装方案为：方案一：精包装4盒，简包装5盒；方案二：精包装8盒，简包装2盒 【分析】本题考查二元一次方程与一元一次不等式的实际应用，设出两种包装的盒数，根据总重量得到等量关系列出方程，再根据成本限制列出不等式，结合盒数为正整数的条件即可求出所有符合要求的方案． 【详解】解：设分装时使用精包装盒，简包装盒，其中为正整数． 依题意得： 由①得， 代入②得： 不等式两边同乘得： 整理得解得 又因为是正整数，所以，即，解得 结合为正整数，可得是的倍数， 因此符合条件的取值为：当时，；当时，，均满足要求． 答：符合要求的分装方案是精包装4盒简包装5盒，或精包装8盒简包装2盒． 题型06 行程问题 21．甲、乙两车从相距210千米的A、B两地相向而行，且均保持匀速行驶，甲的行驶速度为60千米/时，乙的行驶速度为30千米/时．若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，原地检修用了30分钟后继续按原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/时？ 【答案】乙车要比原来的行驶速度至少提高15千米/时 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．设乙车比原来的行驶速度提高m千米/时，，利用路程=速度×时间，结合乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设乙车比原来的行驶速度提高m千米/时， 根据题意得：， 解得， 的最小值为15． 答：乙车要比原来的行驶速度至少提高15千米/时． 22．甲、乙两车分别从相距210千米的A、B两地相向而行，甲、乙两车均保持匀速行驶．若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇；若乙车比甲车提前1小时出发，则乙车出发后3小时两车相遇． (1)求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，甲车原地检修用了30分钟后继续原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/小时？ 【答案】(1)甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时 (2)乙车要比原来的行驶速度至少增加15千米/小时 【分析】（1）设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时，然后根据甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇；若乙车比甲车提前1小时出发，则乙车出发后3小时两车相遇列出方程组求解即可； （2）设乙车要比原来的行驶速度增加千米/小时，然后根据乙车再经过不超过1小时与甲车相遇即乙车再经过1小时两车所走的所有路程之和要大于等于210千米列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时， 根据题意，得 解得． 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时． （2）解：设乙车要比原来的行驶速度增加千米/小时， 根据题意，得． 解得． 答：乙车要比原来的行驶速度至少增加15千米/小时． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程组，找到不等关系列出不等式是解题的关键． 23．某中学中午学生食堂工作人员开始给学生打饭时，已有名学生在排队等候打饭，开始打饭后，继续有学生到食堂排队打饭，设到食堂打饭学生人数按固定的速度增加，工作人员打饭的速度也是固定的.若只开放一个窗口，则需30分钟才可将排队等候打饭的学生全部打饭完毕；若开放两个窗口，则只需10分钟便可将排队等候打饭的学生全部打饭完毕． (1)若设每分钟有个学生到食堂打饭，每个窗口每分钟打饭个学生，请用含有的代数式表示和，写出简要步骤． (2)某中学实施分年级下课就餐，如果要在5分钟内将排队等候打饭的学生全部打饭完毕，以使高中学生能到食堂就可以打到饭，至少要同时开放几个窗口？ (3)因有一窗口刷卡的机器不能正常工作，所以只能在（2）问中所得的结果下少开1个窗口，仍然要求5分钟将排队等候打饭的学生全部打饭完毕，因此加快每个窗口的工作人员打饭的速度，设打饭的速度为原先的倍，请计算的值． 【答案】(1)，， (2)至少要同时开放4个窗口 (3) 【分析】（1）可参照水池注水问题，根据题意列出二元一次方程组，应用消元法，分别消去，即可求解， （2）设至少需要开放个窗口，根据题意出不等式，将（1）中结论代入，即可求解， （3）根据题意列式，将（1）中结论代入，即可求解， 本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：合理利用前面得到的结论，消去变量，得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：整理得：， ①②可得：，整理得：， ②①可得：，整理得：， 故答案为：，， （2）设5分钟将排队等候打饭的学生全部打饭完毕，至少要开放个窗口， 由题意可得：， 将，代入得：，解得：， 为正整数， 的最小值为4， 故答案为：至少要同时开放4个窗口， （3）由（2）可知，此时开放的窗口有3个，要求5分钟打完排队的学生， 以可列方程： 将，代入得：，解得：， 故答案为：． 24．甲、乙两车分别从相距200千米的A、B两地相向而行，甲乙两车均保持匀速行驶，若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇． (1)求甲乙两车的速度（单位：千米/小时）是多少． (2)若甲乙两车同时按原速度行驶了1小时，甲车发生故障不动了，为了保证乙车再经过不超过2小时与甲车相遇，乙车提高了速度，求乙车提速后的速度至少是每小时多少千米？ 【答案】(1)甲车的速度为，乙车的速度为 (2)乙车提速后的速度至少是每小时60千米 【分析】（1）设甲车的速度为，乙车的速度为，根据“若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇”列出方程组，即可求解； （2）设乙车提速后的速度为，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设甲车的速度为，乙车的速度为， 根据题意得，解得， 答：甲车的速度为，乙车的速度为； （2）解：设乙车提速后的速度为， 根据题意得， 解得， 答：乙车提速后的速度至少是每小时60千米． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程组或不等式是解题的关键． 题型07 工程问题 25．某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 【答案】(1)天 (2)天 【分析】（）由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天，设甲乙两队合作完成这项工程需要天，由题意列出一元一次不等式解答即可求解； （）设乙工程队工作的总天数为天，由题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天， 设甲乙两队合作完成这项工程需要天， 由题意得，， 解得， 答：甲乙两队合作完成这项工程最少需要天； （2）解：设乙工程队工作的总天数为天， 由题意得，， 解得， 答：乙工程队工作的总天数为天． 26．根据以下素材，探索完成任务 素材1 某乡政府为巩固脱贫攻坚与乡村振兴有效衔接赋能，营造营销便利环境，促进乡村特色产品的销售；准备在辖区内新建一条长600米的公路； 素材2 计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程； 素材3 若甲工程队每天的施工费用为0.6万元，甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元； 任务1 设甲、乙两个工程队每天分别施工x和y米．则甲工程队单独施工10天完成的工程量是______米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是______米；（用含有字母的代数式表示） 任务2 求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？ 任务3 求乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？ 【答案】任务1：，；任务2：甲工程队每天施工30米，乙工程队每天施工20米；任务3：0.4万元 【分析】本题主要考查列代数式，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用． 任务一：根据题意可得答案； 任务二：根据若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程，列出方程组，解方程组求解即可； 任务三：设乙工程队每天的施工费用为a万元，根据甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元列不等式，解不等式可求解． 【详解】解：任务一：甲工程队单独施工10天完成的工程量是米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是米； 任务二：由题意得：， 解得：， 答：甲工程队每天施工30米，乙工程队每天施工20米； 任务三：设乙工程队每天的施工费用为a万元， 由题意得：， 解得， 答：乙工程队每天的施工费用最多为0.4万元． 27．甲、乙两个工程队参与修建一小段长的高速公路，甲、乙两队一起修建12天可以完工．若甲队单独修建5天后乙队加入，两队再一起修建4天，刚好能够完成该工程的一半． (1)甲、乙两队每天各能修建多少米？ (2)若乙队参与修建该工程的时间不超过10天，则甲队至少需要修建多少天才能完成该工程？ 【答案】(1)， (2)15天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用． （1）根据题意列出二元一次方程组，解方程即可； （2）设甲队需要修建m天才能完成该工程，根据乙队参与修建该工程时间不超过10天列出不等式，可求解． 【详解】（1）解：设甲队每天修建，乙队每天修建． 依题意，得， 解得， 故甲队每天能修建，乙队每天能修建； （2）解：设甲队需要修建天才能完成该工程． 依题意，得， 解得． 故甲队至少需要修建15天才能完成该工程． 28．综合与实践 某乡政府为巩固脱贫攻坚与乡村振兴有效衔接赋能，营造营销便利环境，促进乡村特色产品的销售；准备在辖区内新建一条长600米的公路，计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程，设甲、乙两个工程队每天分别施工x和y米． 【问题分析】（1）甲工程队单独施工10天完成的工程量是 米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是 米；甲、乙两个工程队同时共同施工m天完成的工程量是 米；（用含有字母的代数式表示） 【问题解决】（2）求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？ 【问题拓展】（3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，当甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，若甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元，则乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？ 【答案】（1），，；（2）甲工程队每天施工30米，乙工程队每天施工20米；（3）0.4万元 【分析】本题主要考查列代数式，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用． （1）根据题意可得答案； （2）根据若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程，列出方程组，解方程组求解即可； （3）设乙工程队每天的施工费用为a万元，根据甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元列不等式，解不等式可求解． 【详解】解：（1）甲工程队单独施工10天完成的工程量是米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是米；甲、乙两个工程队同时共同施工m天完成的工程量是米， 故答案为：；；； （2）由题意得：， 解得：， 答：甲工程队每天施工30米，乙工程队每天施工20米； （3）设乙工程队每天的施工费用为a万元， 由题意得：， 解得， 答：乙工程队每天的施工费用最多为0.4万元． 题型08 图表信息问题 29．综合与实践 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售的全过程．同学们了解到，该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒3斤，每盒售价25元 每盒5斤，每盒售价30元 (1)在活动中，学生共卖出了1100斤草莓，销售总收入为8000元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？ (2)现在需要对90斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这90斤草莓整盒分装完，设分装成m盒精包装，则分装________盒简包装．（用含m的代数式表示） (3)在（2）的条件下，每个精包装盒的成本为2元，每个简包装盒的成本为1元，若购买包装盒的成本不能超过26元，请你设计出符合要求的分装方案，并说明理由． 【答案】(1)精包装销售了200盒，则简包装销售了100盒 (2) (3)精包装分装5盒，简包装分装15盒，理由见解析 【分析】（1）设精包装销售了x盒，则简包装销售了y盒，根据共卖出了1100斤草莓，销售总收入为8000元，列出二元一次方程组求解即可； （2）根据对90斤草莓进行分装，列代数式即可； （3）根据每个精包装盒的成本为2元，每个简包装盒的成本为1元，包装盒的成本不能超过26元，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设精包装销售了x盒，则简包装销售了y盒， 根据题意得， 解得， 答：精包装销售了200盒，则简包装销售了100盒． （2）解：依题意得，简包装的盒数为； （3）解：根据题意得， 解得， ∵m和均为正整数， ∴，， 答：精包装分装5盒，简包装分装15盒． 30．某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳、器械等多种文体活动，现有三种收费方式，详情见下表： 收费方式 详细介绍 日卡 日卡一张30元（当天不限制文体活动时间） 会员卡 办卡需210元，每活动1小时收费4元 普通卡 进入文体中心要收取10元/日，可免费进行文体活动2小时，超过2小时后每小时需收费5元 （注：不足一个小时的按一小时计算） (1)小明打算这周六去文体中心活动5小时，最少需要花费_____元； (2)小明打算一个月（30天）都去文体中心活动，每天活动的时间为小时（为正整数，且），对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，哪种更划算？ 【答案】(1)25 (2)当时，选择普通卡更划算；当时，选择普通卡或会员卡都一样；当时，选择会员卡更划算 【分析】（1）分别计算出三种收费方式下活动5小时的费用，然后比较大小，得出最少花费； （2）根据会员卡和普通卡各自的收费规则，分别列出一个月的费用代数式，通过比较这两个代数式的大小关系，分情况讨论在不同活动时长下哪种收费方式更划算即可． 【详解】（1）解：分别计算三种收费方式的花费： 日卡：30元； 会员卡：元； 普通卡：元； ， 最少需要花费25元． （2）解：设使用会员卡所收费用为元，使用普通卡所收费用为元， 则， 当时，则，即， 当时，则时，即， 当时，则时，即， 综上所述，当时，选择普通卡更划算；当时，选择普通卡或会员卡都一样；当时，选择会员卡更划算． 31．某商店购进甲、乙两种型号的手机支架进行销售，甲种型号支架的进价为30元/个，乙种型号支架的进价为45元/个，下表是近两周甲、乙两种型号手机支架的销售情况． 销售时段 销售数量 销售收入 甲种型号 乙种型号 第一周 3个 5个 420元 第二周 5个 10个 800元 (1)求甲、乙两种型号手机支架的销售单价； (2)设该商店购进甲、乙两种型号手机支架共60个，总利润不低于800元，则至多购进甲种支架多少个？ 【答案】(1)甲种型号手机支架的销售单价为40元/个，乙种型号手机支架的销售单价为60元/个 (2)至多购进甲种支架20个 【分析】（1）通过设未知数，根据两周的销售收入条件列出二元一次方程组求解销售单价； （2）设购进甲种支架的数量，结合进价、售价算出单个利润，再根据总利润不低于800元的要求列出一元一次不等式，求解得到甲种支架的最大购进数量． 【详解】（1）解：设甲种型号手机支架的销售单价为元/个，乙种型号手机支架的销售单价为元/个， 根据表格中的销售情况，可得方程组 ， 解得 ， 答：甲种型号手机支架的销售单价为40元/个，乙种型号手机支架的销售单价为60元/个； （2）解：设购进甲种支架个，则购进乙种支架个， 甲单个利润为（元）， 乙单个利润为（元） 根据总利润不低于800元，列不等式得 ， 解得 ， 答：至多购进甲种支架20个． 32．某文体书店销售，两种跳绳，购买2条种跳绳和3条种跳绳共计35元，购买6条种跳绳和4条种跳绳共计80元． (1)求种跳绳和种跳绳每条的价钱； (2)现该文体书店对，两种跳绳开展促销活动，活动方案如表（两种促销方案不能同时使用）： 方案 内容 促销方案一 买一条种跳绳，赠送一条种跳绳 促销方案二 买种或种跳绳都打八折 某校为了准备跳绳比赛，计划购买，两种跳绳，且种跳绳比种跳绳多买20条．请问购买种跳绳的多少条时，该校选择促销方案一合适． 【答案】(1)种跳绳每条10元，种跳绳每条5元 (2)购买种跳绳多于10条时，该校选择促销方案一合适. 【分析】（1）设种跳绳每条元，种跳绳每条元，根据已知条件列出方程组求出两种跳绳的单价； （2）分别计算两种促销方案的花费，通过比较花费来确定合适的方案． 【详解】（1）解：设种跳绳每条元，种跳绳每条元， 根据题意得，，解得， 答：种跳绳每条10元，种跳绳每条5元． （2）解：设购买种跳绳条，则购买种跳绳条， 促销方案一的花费： ∵购买条种跳绳，获赠条种跳绳，还需购买条种跳绳， ∴（元）， 促销方案二的花费：（元）， 当，解得， ∴当时，即购买种跳绳多于10条时，该校选择促销方案一合适． 题型09 阶梯收费问题 33．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费、水价分两个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过，下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整），已知该居民月份和月份的用水量总和为，且月份的用水量超过月份，但不超过月份的倍． (1)设该居民月份的用水量为，求的取值范围； (2)该居民月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民月份的生活用水水费比月份多元，求该居民月份的用水量． 居民生活用水消费明细 计费日期2025-7-1至2025-7-31 自来水费 污水处理费 用水量/ 单价/（元/） 金额/元 用水量/ 单价/（元/） 金额/元 阶段一： 阶段一： 阶段二：▲ ▲ 阶段二：▲ ▲ 本期实付金额（大写） ▲ （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 【答案】(1) (2)元 (3) 【分析】（1）根据“月用水量超过月且不超过其倍”的条件，列出关于的不等式组，求解得到的取值范围； （2）先根据阶梯水价规则写出月总水费的函数表达式，再利用一次函数单调性，在的取值范围内取最大值计算最多水费； （3）分“月用水量超”和“不超”两种情况，分别列方程求解月用水量，筛选出符合条件的解． 【详解】（1）解：根据题意可知，月份的用水量为， 可得， 解，可得； 解，可得． 则的取值范围为． （2）解：据（1）可知，， 该居民月份的生活用水费为， 由，则随的增加而增大， 故当，取得最大值， 即该居民月份的生活用水水费最多需要缴纳元． （3）解：据（1）可知，该居民月份的用水量的取值范围为， 当，月份的用水量超过了， 则该居民月的水费为， 月的水费为， 可得， 解得，不符合题意； 当，月份的用水量未超过， 则该居民月的水费为， 月的水费为， 可得， 解得，故该居民月的用水量为． 34．某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 (1)小明家2月份用水量为，应缴纳水费______元； (2)为节约用水，小明家计划3月份的水费不超过92元，3月份最多能用多少水？ (3)已知小红家2月份和3月份共缴纳水费176元，这两个月的用水量一共是，且2月份用水量少于3月份．求小红家2月份、3月份用水量分别是多少？ 【答案】(1)65 (2)小明家3月份最多能用水 (3)小红家2月份的用水量是，3月份用水量是 【点睛】本题考查一元一次方程、一元一次不等式的应用；能够理解题意，根据不同的取值范围列出相应的方程、代数式或不等式是解题的关键． （1）根据用水量，代入不同的单价，计算出应缴纳的水费； （2）根据应缴纳的水费范围列出不等式，求解用水量的范围，即可找出用水量的最大值； （3）分类进行讨论计算． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， 应缴纳水费65元． 故答案为：65． （2）设小明家3月份能用水， （元），， ． 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：小明家3月份最多能用水; （3）设小红家2月份的用水量为，则小红家3月份的用水量为， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：， （）． 答：小红家2月份的用水量是，3月份用水量是． 35．根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从年月日起执行居民生活用电“阶梯电价”收费标准，具体收费标准见下表．若年月份，该市一户居民用电千瓦时，交电费元， 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过千瓦时 超过千瓦时但不超过千瓦时的部分 超过千瓦时的部分 (1)若一户居民用电千瓦时，交电费______元； (2)若一户居民某月用电量超过千瓦时，设用电量为千瓦时，请你用含的代数式表示这户居民应交的电费； (3)试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民一月用电多少千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元？ 【答案】(1) (2)元 (3)不超过千瓦时 【分析】（）根据用电量不超过千瓦时的电费价格为元/千瓦列式计算即可； （）据题意列出方程求出的值，再列代数式表示即可； （）设居民一月用电千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元，根据电费的阶梯价格列不等式求解即可． 【详解】（1）解：， ∴交电费元， 故答案为； （2）解：由题意得，， 解得， 即超过千瓦时候不超过千瓦时的电费价格为元/千瓦时， ∴当一户居民某月用电量超过千瓦时，这户居民应交的电费为元； （3）解：设居民一月用电千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元， 当时，由题意可知，其当月的平均电价每千瓦时均不超过元； 当时，由题意得，， 解得， ∴居民一月用电不超过千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元． 【点睛】本题考查了有理数乘法的应用，一元一次方程的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，根据题意正确列式是解题的关键． 36．为实现可持续发展，资源循环利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计算方案，具体如下表所示： 档次 月用电量（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 1档 0.49 2档 0.54 3档 0.79 例：若某住户8月的用电量为300千瓦时，则需缴电费（元）． (1)若圆圆家某月用电量为千瓦时，请用含的代数式表示，当时，应缴电费为__________元，当时，应缴电费为__________元； (2)若圆圆家9月共缴电费元，求该月圆圆家的用电量． (3)圆圆家10月用电的平均费用最高为0.50元/千瓦时，请根据题意列方程并求10月最大用电量． 【答案】(1)， (2)该月圆圆家的用电量为千瓦时 (3)10月最大用电量为250千瓦 【分析】（1）本题考查了代数式的列法，解题的关键是当时，应缴电费的计算； （2）本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确列出方程式； （3）本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出不等式并求解． 【详解】（1）根据题意，当时，应缴电费（元）； 当时，应缴电费（元）， 故答案为：，； （2）根据（1）的结论，当时，应缴电费（元）， 当时，应缴电费（元）， ∵， ∴圆圆家9月用电量的范围为， ∴， ∴， ∴该月圆圆家的用电量为千瓦时； （3）根据（2）的结论，当时，平均电价（元/千瓦时）， ∵， ∴圆圆家10月用电量的范围为， ∴，即， ∴， ∴10月最大用电量为250千瓦． 【点睛】本题考查了代数式、一元一次方程、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程、一元一次不等式的性质，从而完成求解． 题型10 几何问题 37．用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 【答案】平行于墙的一边长为，且． 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 用总长度减去垂直于墙的两边长，再求出自变量的取值范围，可得答案． 【详解】解：平行于墙的一边长为，且， 解得， 所以平行于墙的一边长为，且． 38．如图，嘉琪设计了个一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为______个单位长度，x的值为______； (2)当时，求点M表示的数； (3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长； 【答案】(1)8，6 (2)点表示的数是 (3)机器人变成彩色的总时长为8秒 【分析】本题考查了数轴、线段的中点、一元一次不等式的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据数轴的性质可得，由此即可得； （2）先判断出点只能在点的右侧，再根据线段和差可得，然后根据数轴的性质求解即可得； （3）先确定，求出点表示的数为，点表示的数为，再分三种情况：①，②和③，根据建立不等式求解即可得． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数分别为，， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∵点表示的数为， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：∵，，且点在点的右侧， ∴点只能在点的右侧，位置如图所示： ∴， ∴， ∵点表示的数为，且点在点的右侧， ∴点表示的数是． （3）解：∵点表示的数分别为， ∴， 由题意得：点从点运动到点所需时间为秒， ∴当时，点在上，点在点处，此时，即， ∴当机器人之间的距离小于等于2个单位长度时，， ∴当机器人的运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 令，解得． ①当时，点在点的左侧，未追上点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴此时； ②当时，点与点重合，，符合题意； ③当时，点在点的右侧，超过点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴此时； 综上，当机器人之间的距离小于等于2个单位长度时，， ∵当机器人之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人变成彩色， ∴机器人变成彩色的总时长为（秒）， 答：机器人变成彩色的总时长为8秒． 39．如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当______时，点运动到点； (2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）； (3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示； (4)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)的取值范围为或或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，合理分类讨论是解题的关键． （1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）求出，分点在上运动和点在上运动两种情况，分别列式即可； （3）分点在上，点在上，点在上，三种情况讨论，分别根据三角形的面积公式列式即可； （4）分，，三种情况讨论，分别根据列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵，以的速度沿运动， ∴点运动到点的时间为， 故答案为：； （2）解：∵，为的中点， ∴， ∴点运动到点的时间为， 点运动到点的时间为， ∴当点在上运动时，， 当点在上运动时，， 综上，； （3）解：当点在上时，即， 根据题意，得； 当点在上时，即， 根据题意，得， 当点在上时，即， 根据题意，得， ∴； （4）解：当时， 根据题意，得， 解得； 当时， 根据题意，得， 解得； 当时， 根据题意，得， 解得； 综上，的取值范围为或或． 40．如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论． （1）先求出运动的路程，再根据时间路程速度，即可求解； （2）分两种情况：当在上运动时，当在上运动时，根据三角形的面积公式列方程即可求解； （3）根据当时，，当时，，即可求解． 【详解】（1）解：，， 点整个运动过程中，路程为， 点整个运动过程中，所需时间为秒， 故 答 案 为：； （2）当在上运动时，， 解 得：， 当在上运动时，， 解得：， 综上可得的值为或； （3）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上可得：． 1．某农户投入元种植千克蔬菜，在生长过程中有的蔬菜因病虫害受损无法售卖．若要使总收益比成本至少高，则每千克蔬菜的售价至少为多少元？设每千克蔬菜的售价为元，下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意知这批蔬菜可卖元，根据“总收益比成本至少高”即可列出不等式． 【详解】解：设每千克蔬菜的售价为元， 依题意，得：． 2．把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式．则横线上的条件应该是（  ） A．每人分8本，则剩余6本 B．每人分8本，则恰好可多分给6个人 C．每人分6本，则剩余8本 D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分6本 【答案】B 【分析】根据不等式各部分的实际意义，结合x表示原同学人数，分析不等式中每个代数式对应的实际含义，即可判断横线上的条件． 【详解】解：∵设有名原同学，给出的不等式为 ， ∴代表每人分本，代表比原人数多个人，即可以多分给个人， ∴横线上的条件为每人分本，则恰好可多分给个人． 3．某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 【答案】18 【分析】设这个队答对了道题，则答错或不答道题，根据总得分基础分答对的题目数答错或不答的题目数，结合总得分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：设这个队答对了道题，则答错或不答道题， 根据题意得： ， 展开整理得 解得 的最小值为，即这个队至少答对了道题． 4．如图为万达影城的价目表，某社团20人去此影城看电影，打算用比赛奖金1000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买______盒爆米花． 【答案】4 【分析】先确定电影票的固定花费，再根据饮料和爆米花的优惠方式，设出爆米花数量，结合总奖金限制列不等式，通过求解不等式得出爆米花的最大数量． 【详解】解：设可买盒爆米花， 由题意得，， 解得：， ∴x最大为4． 5．王老板以每件80元的价格购进一批卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，王老板准备打折出售，但要求利润率不低于，则该卫衣至多可以打________折． 【答案】八/ 【分析】设该卫衣打折销售，根据利润率的计算公式列出不等式求解． 【详解】解：设该卫衣打折销售， 根据题意，得， 整理得， 解得， 因此该卫衣至多可以打折． 6．某市出租车的收费标准是：起步价14元（即行驶距离不超过3千米都付14元），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米按1千米计）．小乐从家乘出租车到商场，付了车费24元．设小乐的家到商场的距离为千米，那么的范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式求解是解题的关键．已知总车费24元大于起步价14元，说明行驶距离千米；算出超出起步价的费用为元，以及算出超出3千米的距离最多为千米，再进行分析计算，即可作答． 【详解】解：依题意，超出起步价的费用为：元， 超过3千米的距离最多为千米， ∵“不足1千米按1千米计”， ∴若超出3千米的距离不超过4千米，总车费最多为元，小于24元，不符合题意， 因此超出3千米的实际距离满足：超出的距离； 总距离超出的距离； 因此可得 即． 7．某校“棋乐无穷”社团前两次购买的两种材质的象棋采购如下表（象棋的售价一直不变）； 塑料象棋 玻璃象棋 总价（元） 第一次（盒） 1 3 26 第二次（盒） 3 2 29 (1)若该社团计划再采购这两种材质的象棋各5盒，则需要多少元？ (2)若该社团准备购买这两种材质的象棋共50盒，且要求塑料象棋的数量不多于玻璃象棋数量的3倍，玻璃象棋至少要购进多少盒？ 【答案】(1)采购这两种材质的象棋各5盒需要60元 (2)玻璃象棋至少要购进13盒． 【分析】（1）设一盒塑料象棋的售价是元，一盒玻璃象棋的售价是元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设玻璃象棋要购进盒，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设一盒塑料象棋的售价是元，一盒玻璃象棋的售价是元， 依题意得，， 解得， （元， 所以采购这两种材质的象棋各5盒需要60元； （2）设玻璃象棋要购进盒， 解得， 因为为正整数， 最小取13 答∶玻璃象棋至少要购进13盒． 8．端午节之前，小明准备买粽子过节，若在当地某超市购买2盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需支付380元，而在某团购群购买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需支付520元．对比发现，甲品牌粽子每盒的团购价相当于超市价的八折，乙品牌粽子每盒的团购价相当于超市价的七五折． (1)甲、乙两种品牌粽子每盒的超市价分别是多少元？ (2)小明打算在团购群购买这两种品牌的粽子，其中乙品牌粽子比甲品牌粽子多3盒，总花费不超过1200元，问小明最多能买多少盒甲品牌粽子？ 【答案】(1)甲品牌粽子的超市价为每盒70元，乙品牌粽子的超市价为每盒80元． (2)小明最多可以买8盒甲品牌粽子 【分析】（1）设甲品牌粽子的超市价为每盒x元，乙品牌粽子的超市价为每盒y元，根据“在超市购买2盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需支付380元，在某团购群购买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需支付520元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设买甲品牌粽子a盒，则买乙品牌粽子盒，根据总价=单价×数量结合总花费不超过1200元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲品牌粽子的超市价为每盒x元，乙品牌粽子的超市价为每盒y元，依题意得： ， 解得：． 答：甲品牌粽子的超市价为每盒70元，乙品牌粽子的超市价为每盒80元． （2）解：设买甲品牌粽子a盒，则买乙品牌粽子盒， 依题意，得：， 解得：， ∴a的最大整数解为． 答：小明最多可以买8盒甲品牌粽子． 9．2026年3月14日是第七个国际数学日，为了传扬数学文化，我校开展了相关竞赛活动，小鸣帮助王老师提前在线上平台计划购买玩偶与徽章等文创品作为奖品．线上平台无促销活动时，玩偶和徽章的销售单价各是20元、15元．线上平台有促销活动时，活动信息如下： 方式一：购买50元会员卡后所有商品打8折；方式二：非会员所有商品打9折． (1)王老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共30个，其中购买玩偶m个（），则按方式一和方式二购买分别需要多少元？（结果均用含m的代数式表示） (2)请你帮王老师算一算，在（1）的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一购买更划算？ 【答案】(1)方式一：元；方式二：元； (2) 【分析】（1）先求出总价，再根据方式一和方式二的促销方式计算即可； （2）根据方式一的费用比方式二的费用少列不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵购买玩偶和徽章共30个，其中购买玩偶m个（）， ∴购买徽章个， ∵玩偶和徽章的销售单价各是20元、15元， ∴总价为元， 方式一：元； 方式二：元； （2）解：∵选择方式一购买更划算， ∴， 解得：， ∵， ∴． 10．“疫情无情，人间有爱”．为扎实做好复工复课工作，教育局准备租借甲、乙两种型号的车为全市各中小学配送防疫物资．已知2辆甲型车和1辆乙型车载满物资一次可运走10吨；用1辆甲型车和2辆乙型车载满物资一次可运走11吨． (1)1辆甲型车和1辆乙型车都载满物资一次可分别运送多少吨？ (2)教育局现有防疫物资37吨需要配送，计划同时租用甲、乙两种型号车共10辆（都要有），一次运完．若设甲型车租了m辆，请你帮教育局设计租车方案； (3)在题（2）的条件下，若1辆甲型车需租金100元/次，1辆乙型车需租金120元/次．设租车总费用为Q元，请用含m的代数式表示Q，并确定哪一种租车方案的费用最少，最少租车费用是多少？ 【答案】(1)1辆甲型车满载物资时一次运3吨，1辆乙型车满载物资时一次运4吨 (2)方案一：租甲型车1辆，乙型车9辆；方案二：租甲型车2辆，乙型车8辆；方案三：租甲型车3辆，乙型车7辆 (3)，方案三：租甲型车3辆，乙型车7辆的费用最少，最少为1140元 【分析】（1）设1辆甲型车满载物资时一次运x吨，1辆乙型车满载物资时一次运y吨．根据2辆甲型车和1辆乙型车载满物资一次可运走10吨；用1辆甲型车和2辆乙型车载满物资一次可运走11吨建立方程组求解即可； （2）设租借甲型车m辆，则租借乙型车辆，根据运送的物资不低于37吨建立不等式求出m的取值范围即可得到答案； （3）分别求出租用甲型车和乙型车的费用，二者求和可表示出Q，再根据（2）所求代入对应的m的值求出三种方案的费用，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设1辆甲型车满载物资时一次运x吨，1辆乙型车满载物资时一次运y吨． 根据题意，得 解得 答：1辆甲型车满载物资时一次运3吨，1辆乙型车满载物资时一次运4吨． （2）解：设租借甲型车m辆，则租借乙型车辆． 由题意得：， 解得 又∵同时租借甲乙两型号车（都要有）， ， ∵m为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有三种方案：方案一：租甲型车1辆，乙型车9辆；方案二：租甲型车2辆，乙型车8辆；方案三：租甲型车3辆，乙型车7辆； （3）解：由题意得， 方案一的费用：（元） 方案二的费用：（元） 方案三的费用：（元）， ∵， ∴方案三：租甲型车3辆，乙型车7辆的费用最少，最少为1140元． 11．随着deepseek的技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的单价多3万元，经过调研发现购买100套甲种型号的机器人和购买130套乙种型号的机器人所花费用一样． (1)求甲、乙两种型号的机器人的单价各多少万元？ (2)图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么购买甲、乙两种型号的智能机器人各多少套，所花资金最少？最少资金是多少万元？ 【答案】(1)甲种型号机器人单价为13万元，乙种型号机器人单价为10万元 (2)购买甲种型号机器人5套、乙种型号机器人5套时所花资金最少，最少资金是115万元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用与一元一次不等式的最值问题，解题关键是根据题意建立方程或不等式模型，结合一次函数单调性求解最优方案． （1）设乙种型号机器人单价为未知数，根据“甲单价比乙多 3 万元”和“100 套甲与 130 套乙费用相等”的等量关系列一元一次方程，求解得到甲、乙单价． （2）设购买甲种机器人数量为未知数，用总套数表示乙种数量，建立总资金的一次函数；根据“资金不低于 114 万元”列不等式求出甲种数量的取值范围，再结合一次函数单调性，找到使总资金最少的购买套数及最少资金． 【详解】（1）解：设乙种型号机器人的单价为万元，则甲种型号机器人的单价为万元． 根据“购买 100 套甲和 130 套乙费用相同”列方程： 展开得 解得 则甲种型号单价为：（万元）． 答：甲种型号机器人单价为13万元，乙种型号为10万元． （2）设购买甲种机器人套，则购买乙种机器人套（，且为整数）． 总资金． 根据资金不低于 114 万元， 列不等式： 解得： 由于为整数， 故． 因为中，随增大而增大， 所以当时，最小． 此时乙种机器人：（套）， 最少资金：（万元）． 答：购买甲、乙各 5 套时资金最少，最少资金为 115 万元． 12．某班计划订购一些乒乓球和乒乓球拍，经调查发现：同一款式的乒乓球和乒乓球拍在甲、乙两家商店标价均相同．其中乒乓球拍每副标价60元，乒乓球每盒标价10元．两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下： 甲商店：买一副球拍赠一盒乒乓球． 乙商店：乒乓球和乒乓球拍都按标价的9折出售． 该班计划订购乒乓球拍5副，乒乓球若干盒（多于5盒），单独在甲商店或者乙商店购买． (1)若订购乒乓球的数量是15盒，如果在乙商店订购，购买乒乓球和乒乓球拍的总费用是________元； (2)当购买乒乓球多少盒时，在甲、乙两家商店购买乒乓球和乒乓球拍的总费用相同？ (3)根据乒乓球的购买盒数，设计一种省钱的订购方案． 【答案】(1)； (2)盒； (3)当购买乒乓球盒数多于盒且少于盒时，选择甲商店省钱；当购买盒乒乓球时，选择甲、乙商店均可；当购买乒乓球盒数多于盒时，选择乙商店省钱． 【分析】本题考查一元一次方程与一元一次不等式的实际应用(方案选择问题)，关键是根据两家商店的优惠规则分别构建总费用的表达式，再通过方程或不等式分析费用高低． （1）根据乙商店“全部9折”的优惠，先计算原价总和，再乘以即可求出总费用； （2）设购买乒乓球的盒数为，分别列出甲、乙两家商店的总费用表达式，令两者相等列一元一次方程求解； （3）通过比较两家商店的费用大小，分三种情况讨论，得出不同购买数量下的省钱方案． 【详解】（1）解：先计算原价总额：(元)， ∴总费用为(元)； 故答案为：； （2）解：设购买乒乓球盒()， 根据题意，在甲商店购买的总费用为：； ∴在乙商店购买的总费用为：； 两家总费用相同，则， 解得； 答：当购买乒乓球盒时，在甲、乙两家商店购买的总费用相同． （3）解：①当甲商店费用小于乙商店费用时，即， 解得， 又∵， ∴当时，在甲商店购买省钱； ②当甲商店费用等于乙商店费用时，即， 解得， ∴当时，两家商店费用相同； ③当甲商店费用大于乙商店费用时，即， 解得， ∴当时，在乙商店购买省钱； 综上，当购买乒乓球盒数多于盒且少于盒时，选择甲商店省钱；当购买盒乒乓球时，选择甲、乙商店均可；当购买乒乓球盒数多于盒时，选择乙商店省钱． 13．某品牌羽毛球拍售价120元/副，羽毛球售价5元/只．王教练计划购买一批羽毛球拍和羽毛球，实体店和网店有不同的促销活动，具体信息如下： 店铺 球拍优惠信息 赠品 配送方式 实体店 球拍打9折 每购买一副球拍赠送一只羽毛球 免费送货上门 网店 若购买球拍不超过10副，不打折；若购买球拍超过10副，则超过部分打8折． 每购买一副球拍赠送两只羽毛球 包邮送货上门 (1)若王教练想要购买20副球拍和40只羽毛球，请你帮王教练分别计算实体店、网店两家店铺优惠后的实际付款金额，判断在哪家店购买更优惠； (2)若王教练计划购买副球拍和只羽毛球，请用含的代数式分别表示在实体店、网店购买时，优惠后的实际付款金额； (3)若王教练有5000元预算，希望尽可能多地购买羽毛球拍，请问最多可购买多少副球拍?购买球拍后剩余的钱还可以购买多少只羽毛球? 【答案】(1)实体店实际付款金额为2260元，网店实际付款金额为2160元，在网店购买更优惠 (2)实体店：元；网店：当时，元；当时，元 (3)最多可购买49副球拍，剩余钱还可以购买11只羽毛球 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，熟练掌握相关性质，准确列出式子为解题关键． （1）根据实体店以及网店的购买原则列式计算即可； （2）根据实体店以及网店的购买原则列式即可； （3）设最多购买x副球拍，根据元钱购买的球拍数量大于10副，则网店购买比较合适，利用网店的购买原则列出不等式即可求出购买球拍的数量，再算出剩余的钱即可求出最后结果． 【详解】（1）解：若在实体店购买则需付款：（元）， 若在网店购买则需付款：（元）， ， 答：实体店实际付款金额为2260元，网店实际付款金额为2160元，在网店购买更优惠； （2）解：在实体店购买则需付款：元， 在网店购买则需付款： 当时，需付款元； 当时，需付款元， 以为购买n副球拍赠送只羽毛球，则无需计算羽毛球费用， 实体店：元；网店：当时，元；当时，元 （3）解：设最多购买x副球拍， 元钱购买的球拍数量大于10副，则网店购买比较合适， ， 解得：， 取整数， 球拍的费用为元， 剩余金额为（元）， ， 最多可购买49副球拍，剩余钱还可以购买11只羽毛球． 14．冬酿酒之于苏州人，犹如香槟酒之于法国人．两者同样需要依照时令产出，就算在苏州本地，冬酿酒也只在冬至前后供应．某超市计划试销两种包装规格的预包装冬酿酒（简装版、精装版），已知精装版冬酿酒每瓶售价比简装版贵38元，购买20瓶精装版和50瓶简装版的总费用为2300元． (1)求精装版和简装版冬酿酒每瓶的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每瓶进价为30元，简装版冬酿酒每瓶进价为15元，超市计划购进两种包装共200瓶，要求试销总利润不低于3700元，该超市精装版冬酿酒至少进多少瓶？ 【答案】(1)精装版冬酿酒每瓶售价60元，简装版冬酿酒每瓶售价22元 (2)该超市精装版冬酿酒至少进100瓶 【分析】本题主要考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意列出对应的方程或不等式是解题的关键． （1）根据题意设出未知数，再根据购买20瓶精装版和50瓶简装版的总费用为2300元，列出方程即可求解； （2）根据题意设出未知数，再根据总利润不低于3700元，列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：设简装版冬酿酒每瓶的售价为x元，则精装版冬酿酒每瓶的售价为元， 根据题意可得：， 解得：，则， ∴精装版冬酿酒每瓶售价60元，简装版冬酿酒每瓶售价22元； （2）解：设该超市购进精装版冬酿酒m瓶，则购进简装版冬酿酒瓶， 根据题意可得：， 解得：， ∴该超市精装版冬酿酒至少进100瓶． 15．每年5月20日是中国学生营养日．某营养餐公司为学生提供的350克早餐食品中，蛋白质总含量为．早餐包括一份牛奶，一份谷物食品和一个鸡蛋．一个鸡蛋的质量约为，蛋白质含量占；谷物食品和牛奶的部分营养成分如表所示： 每100克谷物食品 每100克牛奶 蛋白质 13.0克 蛋白质 3.0克 脂肪 32.4克 脂肪 3.6克 碳水化合物 50.8克 碳水化合物 4.5克 (1)设该份早餐中谷物食品为x克，牛奶为y克，请写出谷物食品中所含的蛋白质为_______克，牛奶中所含的蛋白质为_______克．（用含有x、y的代数式表示） (2)求出x、y的值； (3)该公司为学校提供的营养午餐有A、B两种套餐（每天只提供一种）如下表，为了膳食平衡，建议学生适当的多摄入蔬果量．如果在一周里，学生午餐蔬果摄入总量不少于1060克，那么该校在一周里可以选择A、B套餐各几天？写出所有的方案，（说明：一周按5天计算） 套餐 主食（克） 肉类（克） 蔬果（克） A 150 70 200 B 130 75 220 【答案】(1) (2)的值为的值为100 (3)方案一：A套餐1天，套餐4天；方案二：A套餐2天，B套餐3天；方案三：A套餐0天，B套餐5天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，找准数量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式是解题的关键． （1）根据统计表列出算式即可求解； （2）根据等量关系：蛋白质总含量为克早餐食品，列出方程组，求解即可； （3）设该学校一周里共有天选择套餐，则有天选择套餐，根据“在一周里，学生午餐蔬果摄入总量不少于1060克”，列出一元一次不等式，求出正整数解，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可知，谷物食品中所含的蛋白质为克，牛奶中所含的蛋白质为克， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得：， 答：的值为的值为100； （3）解：设该学校一周里共有天选择套餐，则有天选择套餐， 根据题意得：， 解得：， ∵为非负整数， ∴共有三种方案： 方案一：A套餐1天，B套餐4天； 方案二：套餐2天，套餐3天； 方案三：A套餐0天，B套餐5天． 16．如皋香肠历史悠久，是闻名全国的香肠品种之一．某超市分别以18元/袋、30元/袋的价格购进两种规格的如皋香肠销售，近两天的销售情况如表： 销售时段 销售数量 销售收入 第一天 10袋 6袋 570元 第二天 5袋 8袋 510元 （说明：本题中，两种规格如皋香肠的进价、售价均保持不变） (1)求两种规格香肠的销售单价； (2)若该超市准备用不超过1800元再购进这两种规格香肠共80袋，求规格香肠最多能采购多少袋？ (3)在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，能否实现利润为1035元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A规格销售单价元/袋，B规格销售单价元/袋 (2)B规格香肠最多能采购袋 (3)能，采购A规格香肠55袋，B规格香肠25袋 【分析】（1）根据两天的销售数量和销售收入，设A、B两种规格香肠的销售单价，利用“销售收入 = 销售单价×销售数量”列二元一次方程组求解． （2）设采购B规格香肠的袋数，结合A规格袋数（总袋数 - B规格袋数），根据“采购费用 = 进价×采购数量”以及“费用不超过1800元”列一元一次不等式求解． （3）先算出A、B两种规格香肠的单件利润（销售单价 - 进价），设采购B规格袋数，根据“总利润 = 单件利润×销售数量”列一元一次方程，结合（2）中B规格袋数的取值范围判断是否能实现目标． 本题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式、一元一次方程在实际问题中的应用，熟练掌握方程与不等式的建模思路、求解方法是解题的关键． 【详解】（1）解：设A规格香肠销售单价为元/袋，B规格香肠销售单价为元/袋．由题意可得， 解得， 答：A规格销售单价元/袋，B规格销售单价元/袋． （2）解：设采购B规格香肠袋，则采购A规格香肠袋．由题意可得 解得 ∴B规格香肠最多能采购袋． （3）解：能实现利润为1035元的目标，理由如下： A规格单件利润：（元/袋），B规格单件利润：（元/袋） 设采购B规格香肠袋，则采购A规格香肠袋， 解得， 由（2）知，，符合条件． ∴采购A规格香肠袋，B规格香肠袋，能实现利润为1035元的目标． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.5 用一元一次不等式解决问题 教学目标 1.掌握列一元一次不等式解决实际问题的步骤，能找出题目中的不等关系，列出并求解不等式； 2.经历分析实际问题、建立不等式模型的过程，提升分析问题和数学建模能力。 3.体会数学与生活的联系，培养审题严谨、规范解题的良好习惯。 教学重难点 1.重点 （1）掌握列一元一次不等式解决实际问题的解题步骤。 2.难点 （1）准确找出题目中的不等关系，区分方程等量关系与不等式不等关系。 知识点01 由实际问题列一元一次不等式 1.由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． 2.列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 3.列一元一次不等式解决实际问题首先弄清题中数量关系，用字母表示未知数．再根据题中的不等关系列出不等式． 知识点02 一元一次不等式实际问题的一般步骤 列一元一次不等式解决实际问题与列方程解决实际问题类似，所不同的是一个是列方程，另一个是列不等式.列不等式解决实际问题的一般步骤如下： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及它们的关系，找出题目中的不等关系，要抓住题目中的关键词，如“大于”“小于”“不大于”“不小于”“至少”“最多等词语； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题目中的不等关系列出不等式：无去 (4)解：解出所列不等式的解集； (5)答：检验求得的解或解集是否符合实际意义，并写出答案 【即学即练】 分，平一场得分，负一场得分． (1)若甲队负了场，则甲队的得分能否为分？请说明理由； (2)若乙队保持不败，得分超过分，求乙队至少胜了多少场？ 2．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）某商场购进了A，B两种型号的耳机．已知购进每个A型耳机元，购进每个B型耳机元．若该商场准备购进个这两种型号的耳机，总费用不超过元，那么最多可购进B型耳机多少个？ 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）宿迁市出租车收费标准是：起步价元（千米以内），千米后每千米收取元，某乘客乘坐该市出租车行驶了千米 (1)请用含的代数式表示他应该支付的车费（要求通过计算简化） (2)若该乘客乘坐千米，那他应该支付多少钱？ (3)小明只有元，他打算乘坐出租车，请问他最多能坐多远路程． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）课题小组在研究学生购餐时发现，售餐窗口开始前，约有200人排队等候，接下来，会不断有新同学加入购餐队伍，假设队伍中的学生每人买一份且买到后立即离开，食堂目前开放了3个窗口售餐，每分钟每个窗口出售20份餐； (1)售餐开始后，前分钟平均每分钟有30人进入食堂排队购餐，若分钟后排队等候的还剩为50人，请求出此时的值； (2)为缩短学生排队购饭时间，课题小组向学校建议可增设售餐窗口，若要售餐5分钟后，所有排队的学生都能买到饭，以便后来的同学随到随买，至少要增加几个窗口？ 5．（24-25七年级下·江苏常州·月考）（1）佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为 十位数字与个位数字与时看到的刚好颠倒 比看到的两位数中间多了个 求佳佳看到的两位数列二元一次方程组求解 （2）哪吒为助力陈塘关振兴，自瑶池仙圃购得“混天仙桃”千克，收购价每千克金因东海龙族作祟，运输途中仙桃遭海水侵蚀，质量损耗，为保障陈塘关防务建设及民生改善，利润率不能低于，则销售单价至少为每千克多少金？列不等式求解 6．（24-25七年级下·江苏南京·期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 (1)小明家2月份用水量为，应缴纳水费______元； (2)为节约用水，小明家计划3月份的水费不超过92元，3月份最多能用多少水？ (3)已知小红家2月份和3月份共缴纳水费176元，这两个月的用水量一共是，且2月份用水量少于3月份．求小红家2月份、3月份用水量分别是多少？ 7．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）“故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州．”在2024年扬州“烟花三月”国际经贸旅游节来临之际，东关街某商店老板计划购进A、B两款茉莉花造型陶瓷手链进行销售．已知A、B两款手链的进价和售价如表所示． A款手链 B款手链 进价（元/个） 18 15 售价（元/个） 25 20 (1)若该商店老板购进A、B两款手链共50个，花费855元，求购进A、B两款手链各多少个；（请用二元一次方程组解决问题） (2)若该商店老板购进A、B两款手链共40个，卖完全部手链后要保证利润不低于268元，求至少购进A款手链多少个． 题型01 销售问题 1．某电商平台甲、乙、丙三个直播间的促销活动如下表所示： 直播间 活动方案 甲 全场六折 乙 “满100送100”（如：购买190元商品，赠100元购物券：购买200元商品，赠200元购物券） 丙 “满100减50”（如：购买190元商品，只需付140元：购买200元商品，只需付100元） 请根据上述信息，解答下列问题： (1)甲、乙两个直播间同时出售一款标价为380元的破壁机和标价为300多元的空气炸锅，小明妈妈想买这两件厨房用品，小明通过计算发现在甲直播间同时购买这两件商品与在乙直播间先买破壁机再买空气炸锅所花的钱是相同的，求空气炸锅的标价． (2)在甲、丙两个直播间标价均为元（）的商品，当的取值范围是多少时，到甲直播间购买更合算？ 2．近年来，我国人形机器人不断取得新的突破，许多中学生也在心中种下了一个科技梦．某玩具店有A，B两款热销的机器人玩具，若购买1个A款机器人玩具和2个B款机器人玩具共花费280元，购买2个A款机器人玩具比购买1个B款机器人玩具多花费160元． (1)求A，B两款机器人玩具的单价； (2)某机器人社团计划购买A，B两款机器人玩具共14个（两款都购买），恰逢该玩具店周年店庆，A款机器人玩具打八折，B款机器人玩具打九折．若预算不超过1200元，则最多购买A款机器人玩具多少个？ 3．某网店借助直播平台开展“直播带货”直销活动．他们用元购进一批酥梨和黄梨，销售完后共获利元，酥梨和黄梨的进价和售价如表： 酥梨（元） 黄梨（元） 进价 售价 (1)求该网店购进酥梨和黄梨分别是多少？ (2)该网店第二次以原价购进酥梨和黄梨，购进黄梨数量不变，而购进酥梨的数量是第一次的倍．酥梨按原售价出售，而黄梨让利销售．若酥梨和黄梨销售完毕，要使第二次销售活动获利不少于元，求黄梨最低售价为多少元？ (3)在（2）的条件下，网店在获得的利润取最小值时，决定售出的酥梨每千克捐出元，黄梨每千克捐出元给慈善机构，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值（精确到）． 4．山西孝义皮影戏是国家级非物质文化遗产，其造型古朴、雕刻精湛，深受大众喜欢．某非遗体验馆计划定制一批皮影文创，用于研学活动和非遗文化推广．已知定制2个传统人物皮影和1个动物皮影共需200元，定制3个传统人物皮影和2个动物皮影共需320元． (1)求一个传统人物皮影和一个动物皮影的价格分别是多少元． (2)该体验馆计划定制两种皮影共70个，为丰富研学活动的展示内容，馆方希望在总费用不超过5100元的前提下，尽可能多定制传统人物皮影，求最多可定制多少个传统人物皮影． 题型02 利润（率）问题 5．某商场销售、两种商品，售出件种商品与售出件种商品所得利润共元，件商品的利润比件商品的利润的倍少元． (1)求每件种商品和每件种商品售出后所得利润分别是多少元； (2)由于需求量大，A、B两种商品很快售完，商场决定再一次购进、两种商品共件．如果将这件商品全部售完后所得利润不低于元，且A种商品至多购进件，求商场有哪几种购进方案； (3)在（2）的条件下，若每件种商品售价元，每件种商品售价元，用（2）中获得的最大利润全部用于再购进、两种商品，直接写出再次购进、两种商品总数最多的方案． 6．某商家在线上销售甲、乙两种纪念品．为了吸引顾客，该商家推出两种促销方案A和B，且每天只能选择其中一种方案进行销售．方案A，B分别对应的甲、乙两种纪念品的单件利润（单位：元）如表： 甲纪念品单件利润 乙纪念品单件利润 方案A 10 18 方案B 16 14 该商家每天限量销售甲、乙两种纪念品共100件，且当天全部售完． (1)某天采用方案A销售，当天销售甲、乙两种纪念品所获得的利润共1360元，求甲、乙两种纪念品当天分别销售多少件？ (2)某天销售甲、乙两种纪念品，要使采用方案B当天所获得的利润不低于采用方案A当天所获得的利润，求甲种纪念品当天的销量至少是多少件？ 7．“云健身”火了，也带动了小型居家健身器材的热销，某网店A，B两种健身器材的销量最高．已知售出2件A种健身器材和3件B种健身器材所得利润为700元，且售出每件A种健身器材的利润是每件B种健身器材利润的2倍． (1)求每件A种健身器材和B种健身器材的利润；（用二元一次方程组的知识解答） (2)由于需求量大，A，B两种健身器材很快售完，该店决定再次购进A，B两种健身器材共80件．如果将这80件健身器材全部售完后所得利润不低于10 000元，那么该店至少需要购进多少件A种健身器材？ 8．某商场销售A、两种商品，售出1件A种商品所得利润为200元，售出3件种商品和5件种商品所得利润为1100元． (1)求每件种商品售出后所得利润； (2)由于需求量大，A、两种商品很快售完，该商场决定再一次购进A、两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么该商场至少需购进多少件种商品？ 题型03 最大利润问题 9．某商店从工厂购进甲、乙两种产品进行销售，购进件甲产品和件乙产品需要成本元，购进件甲产品和件乙产品需要成本元销售时，每件甲产品售价为元，每件乙产品售价为元． (1)求每件甲、乙产品的成本价； (2)若商店从工厂购进甲、乙两种产品共件，其中甲产品不超过件，且全部销售完以后利润不低于元，请问有哪几种购进方案？哪种方案的利润最大？最大利润是多少？ 10．近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 11．猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 类别价格 款玩偶 款玩偶 进货价（元/个） 40 35 销售价（元/个） 58 45 (1)第一次小李用1900元购进了两款玩偶共50个，求两款玩偶各购进多少个． (2)第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 12．近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”全球票房达到了一百五十四亿，某商家推出种哪吒纪念娃娃、种敖丙纪念娃娃．已知购进3件种娃娃和购进4件种娃娃的费用相同；每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多3元，且种娃娃售价为18元/个，种娃娃售价为12元/个． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过2400元的资金购进、两种娃娃共250个，若这250个娃娃全部售完，选择哪种进货方案商家获利最大？最大利润是多少元？ 题型04 积分问题 13．项目学习：体育比赛计分 某校积极推进“阳光体育”工程，在七、八年级共11个班中开展篮球友谊赛，采取单循环赛（每个班与其他班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛），平局进行加时比赛分出胜负． 下表是其中两个球队的积分： 队名 胜（场数） 负（场数） 积分 蓝天队 6 4 22 雄鹰队 4 6 18 用方程（组）或不等式完成下列三个任务： (1)任务一：根据上表内容求出该比赛的计分规则（即胜一场积几分，负一场积几分） (2)任务二：梦想队想让自己队的胜场积分与负场积分相同，他们能实现吗？请说明理由； (3)任务三：雄狮队了解到，该校上届获得冠军的战王队积分是24分．雄狮队想要在本届比赛中超越上届冠军（计分规则不变），请直接写出他们至少要胜多少场． 14．项目学习：体育比赛计分 某校积极推进“阳光体育”工程，在七、八年级共11个班中开展篮球友谊赛，采取单循环赛（每个班与其他班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛），平局进行加时比赛分出胜负． 下表是两个球队的积分： 队名 胜场 负场 积分 蓝天队 6 4 16 雄鹰队 4 6 14 用方程（组）或不等式完成下列三个任务： 任务一： 根据上表你能知道比赛的计分规则吗？（即胜一场积几分？负一场积几分？） 任务二： 梦想队想让胜场积分与负场积分相同，他们能实现吗？请说明理由． 任务三： 据了解该校上届获得冠军的积分是17分，请你帮雄狮队算一算，在本届比赛中想要超越上届冠军，他们至少要胜多少场？ 15． 问题背景 体育比赛中蕴含着丰富的数学知识，数学老师带领学生开展项目学习“体育比赛计分”，结合相关调研数据完成任务． 调研 调研：某次篮球联赛积分 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 东方 光明 雄鹰 卫星 钢铁 调研：球赛出线是我们经常谈及的话题，它是指比赛中参赛队伍通过比赛成绩达到规定条件获得晋级下一轮比赛的资格．篮球赛单循环赛一般按积分确定名次，经调研，某次篮球赛赛制积分规则与调研相同． 问题解决 任务 根据调研中的数据回答问题： （1）某次篮球联赛积分中，胜一场积______分，负一场积______分，卫星队的积分为______分； （2）求雄鹰队的胜场数和负场数． 任务 根据调研中的数据回答问题：某次篮球赛中，火炬队与月亮队要争夺出线权．火炬队当时的战绩是胜负，后面还要比赛场；月亮队当时的战绩是胜负，后面还要比赛场． （3）火炬队已经获得积分为______分； （4）火炬队为确保出线，在后面的比赛中至少要胜多少场？ 16．我市某校为了落实“阳光体育活动”，在八年级开展了篮球赛．比赛规则是：八年级10个班级每个班级派出一支队伍参赛，赛制采用的是单循环积分赛（每个班级都与其他9个班级进行一场比赛），胜一场记2分，负一场记1分，然后按照积分高低进行排名．赛程过半，小明所在的班级已经进行了5场比赛，积9分． (1)求小明所在班级胜、负的场次各是多少； (2)根据分析，总积分超过15分才能确保进入前两名，小明的班级若想进入前两名在剩下的比赛中至少还要取得几场胜利？ 题型05 方案设计问题 17．近年来，我国的农业正在由传统农业向现代化农业转变．在科技兴农合作社，种田大户张叔叔购买1架A型无人机和3架B型无人机共用了20000元；种田大户李伯伯购买2架A型无人机和4架B型无人机共用了32000元． (1)求1架A型无人机和1架B型无人机的价格分别为多少元？ (2)经营农庄的小刘需要购买A，B两种型号的无人机共10架，计划投资不超过50000元，那么A型无人机最多能购买多少架？ 18．问题情境：“海丝起点，清新福建”福建山水秀丽，风景优美，是全国知名的旅游目的地．某旅游团组织到福建旅游，准备为每位团员购买1件某景区的纪念品挂件，该景区有两家销售该纪念品的商店，标价均为20元/件，且都在进行促销活动．甲商店规定：一次性购买金额不超过300元的不优惠，一次性购买金额超过300元的，超过部分按标价的六折优惠．乙商店规定：全部按标价的八折售卖．设该旅游团有团员n人． 问题解决： (1)当时，在甲商店的购买金额为______元；在乙商店的购买金额为______元． (2)当时． ①分别求在甲、乙两商店的购买金额．（用含n的代数式表示） ②你认为选择哪家商店支付的费用较少，请说明理由． 19．某中学为改善教学条件，计划采购一批智慧教学设备，有A、B两种型号的智能交互一体机可供选择．已知购买2台A型一体机和1台B型一体机共需20000元，购买3台A型一体机和2台B型一体机共需34000元 (1)求A型一体机和B型一体机的单价各是多少元； (2)根据教学需求，该校计划采购A型和B型一体机共20台，且总预算不超过144000元，问最多可购买B型一体机多少台？ 20．根据以下学习素材，完成下列任务： 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒3斤 每盒4斤 现在需要对斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这32斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为元．若要将购买包装盒的成本控制在10元以内，请你设计出所有符合要求的分装方案，并说明理由． 题型06 行程问题 21．甲、乙两车从相距210千米的A、B两地相向而行，且均保持匀速行驶，甲的行驶速度为60千米/时，乙的行驶速度为30千米/时．若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，原地检修用了30分钟后继续按原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/时？ 22．甲、乙两车分别从相距210千米的A、B两地相向而行，甲、乙两车均保持匀速行驶．若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇；若乙车比甲车提前1小时出发，则乙车出发后3小时两车相遇． (1)求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，甲车原地检修用了30分钟后继续原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/小时？ 23．某中学中午学生食堂工作人员开始给学生打饭时，已有名学生在排队等候打饭，开始打饭后，继续有学生到食堂排队打饭，设到食堂打饭学生人数按固定的速度增加，工作人员打饭的速度也是固定的.若只开放一个窗口，则需30分钟才可将排队等候打饭的学生全部打饭完毕；若开放两个窗口，则只需10分钟便可将排队等候打饭的学生全部打饭完毕． (1)若设每分钟有个学生到食堂打饭，每个窗口每分钟打饭个学生，请用含有的代数式表示和，写出简要步骤． (2)某中学实施分年级下课就餐，如果要在5分钟内将排队等候打饭的学生全部打饭完毕，以使高中学生能到食堂就可以打到饭，至少要同时开放几个窗口？ (3)因有一窗口刷卡的机器不能正常工作，所以只能在（2）问中所得的结果下少开1个窗口，仍然要求5分钟将排队等候打饭的学生全部打饭完毕，因此加快每个窗口的工作人员打饭的速度，设打饭的速度为原先的倍，请计算的值． 24．甲、乙两车分别从相距200千米的A、B两地相向而行，甲乙两车均保持匀速行驶，若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇． (1)求甲乙两车的速度（单位：千米/小时）是多少． (2)若甲乙两车同时按原速度行驶了1小时，甲车发生故障不动了，为了保证乙车再经过不超过2小时与甲车相遇，乙车提高了速度，求乙车提速后的速度至少是每小时多少千米？ 题型07 工程问题 25．某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 26．根据以下素材，探索完成任务 素材1 某乡政府为巩固脱贫攻坚与乡村振兴有效衔接赋能，营造营销便利环境，促进乡村特色产品的销售；准备在辖区内新建一条长600米的公路； 素材2 计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程； 素材3 若甲工程队每天的施工费用为0.6万元，甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元； 任务1 设甲、乙两个工程队每天分别施工x和y米．则甲工程队单独施工10天完成的工程量是______米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是______米；（用含有字母的代数式表示） 任务2 求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？ 任务3 求乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？ 27．甲、乙两个工程队参与修建一小段长的高速公路，甲、乙两队一起修建12天可以完工．若甲队单独修建5天后乙队加入，两队再一起修建4天，刚好能够完成该工程的一半． (1)甲、乙两队每天各能修建多少米？ (2)若乙队参与修建该工程的时间不超过10天，则甲队至少需要修建多少天才能完成该工程？ 28．综合与实践 某乡政府为巩固脱贫攻坚与乡村振兴有效衔接赋能，营造营销便利环境，促进乡村特色产品的销售；准备在辖区内新建一条长600米的公路，计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程，设甲、乙两个工程队每天分别施工x和y米． 【问题分析】（1）甲工程队单独施工10天完成的工程量是 米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是 米；甲、乙两个工程队同时共同施工m天完成的工程量是 米；（用含有字母的代数式表示） 【问题解决】（2）求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？ 【问题拓展】（3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，当甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，若甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元，则乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？ 题型08 图表信息问题 29．综合与实践 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售的全过程．同学们了解到，该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒3斤，每盒售价25元 每盒5斤，每盒售价30元 (1)在活动中，学生共卖出了1100斤草莓，销售总收入为8000元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？ (2)现在需要对90斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这90斤草莓整盒分装完，设分装成m盒精包装，则分装________盒简包装．（用含m的代数式表示） (3)在（2）的条件下，每个精包装盒的成本为2元，每个简包装盒的成本为1元，若购买包装盒的成本不能超过26元，请你设计出符合要求的分装方案，并说明理由． 30．某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳、器械等多种文体活动，现有三种收费方式，详情见下表： 收费方式 详细介绍 日卡 日卡一张30元（当天不限制文体活动时间） 会员卡 办卡需210元，每活动1小时收费4元 普通卡 进入文体中心要收取10元/日，可免费进行文体活动2小时，超过2小时后每小时需收费5元 （注：不足一个小时的按一小时计算） (1)小明打算这周六去文体中心活动5小时，最少需要花费_____元； (2)小明打算一个月（30天）都去文体中心活动，每天活动的时间为小时（为正整数，且），对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，哪种更划算？ 31．某商店购进甲、乙两种型号的手机支架进行销售，甲种型号支架的进价为30元/个，乙种型号支架的进价为45元/个，下表是近两周甲、乙两种型号手机支架的销售情况． 销售时段 销售数量 销售收入 甲种型号 乙种型号 第一周 3个 5个 420元 第二周 5个 10个 800元 (1)求甲、乙两种型号手机支架的销售单价； (2)设该商店购进甲、乙两种型号手机支架共60个，总利润不低于800元，则至多购进甲种支架多少个？ 32．某文体书店销售，两种跳绳，购买2条种跳绳和3条种跳绳共计35元，购买6条种跳绳和4条种跳绳共计80元． (1)求种跳绳和种跳绳每条的价钱； (2)现该文体书店对，两种跳绳开展促销活动，活动方案如表（两种促销方案不能同时使用）： 方案 内容 促销方案一 买一条种跳绳，赠送一条种跳绳 促销方案二 买种或种跳绳都打八折 某校为了准备跳绳比赛，计划购买，两种跳绳，且种跳绳比种跳绳多买20条．请问购买种跳绳的多少条时，该校选择促销方案一合适． 题型09 阶梯收费问题 33．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费、水价分两个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过，下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整），已知该居民月份和月份的用水量总和为，且月份的用水量超过月份，但不超过月份的倍． (1)设该居民月份的用水量为，求的取值范围； (2)该居民月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民月份的生活用水水费比月份多元，求该居民月份的用水量． 居民生活用水消费明细 计费日期2025-7-1至2025-7-31 自来水费 污水处理费 用水量/ 单价/（元/） 金额/元 用水量/ 单价/（元/） 金额/元 阶段一： 阶段一： 阶段二：▲ ▲ 阶段二：▲ ▲ 本期实付金额（大写） ▲ （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 34．某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 (1)小明家2月份用水量为，应缴纳水费______元； (2)为节约用水，小明家计划3月份的水费不超过92元，3月份最多能用多少水？ (3)已知小红家2月份和3月份共缴纳水费176元，这两个月的用水量一共是，且2月份用水量少于3月份．求小红家2月份、3月份用水量分别是多少？ 35．根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从年月日起执行居民生活用电“阶梯电价”收费标准，具体收费标准见下表．若年月份，该市一户居民用电千瓦时，交电费元， 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过千瓦时 超过千瓦时但不超过千瓦时的部分 超过千瓦时的部分 (1)若一户居民用电千瓦时，交电费______元； (2)若一户居民某月用电量超过千瓦时，设用电量为千瓦时，请你用含的代数式表示这户居民应交的电费； (3)试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民一月用电多少千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元？ 36．为实现可持续发展，资源循环利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计算方案，具体如下表所示： 档次 月用电量（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 1档 0.49 2档 0.54 3档 0.79 例：若某住户8月的用电量为300千瓦时，则需缴电费（元）． (1)若圆圆家某月用电量为千瓦时，请用含的代数式表示，当时，应缴电费为__________元，当时，应缴电费为__________元； (2)若圆圆家9月共缴电费元，求该月圆圆家的用电量． (3)圆圆家10月用电的平均费用最高为0.50元/千瓦时，请根据题意列方程并求10月最大用电量． 题型10 几何问题 37．用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 38．如图，嘉琪设计了个一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为______个单位长度，x的值为______； (2)当时，求点M表示的数； (3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长； 39．如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当______时，点运动到点； (2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）； (3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示； (4)当时，请直接写出的取值范围． 40．如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 1．某农户投入元种植千克蔬菜，在生长过程中有的蔬菜因病虫害受损无法售卖．若要使总收益比成本至少高，则每千克蔬菜的售价至少为多少元？设每千克蔬菜的售价为元，下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式．则横线上的条件应该是（  ） A．每人分8本，则剩余6本 B．每人分8本，则恰好可多分给6个人 C．每人分6本，则剩余8本 D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分6本 3．某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 4．如图为万达影城的价目表，某社团20人去此影城看电影，打算用比赛奖金1000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买______盒爆米花． 5．王老板以每件80元的价格购进一批卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，王老板准备打折出售，但要求利润率不低于，则该卫衣至多可以打________折． 6．某市出租车的收费标准是：起步价14元（即行驶距离不超过3千米都付14元），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米按1千米计）．小乐从家乘出租车到商场，付了车费24元．设小乐的家到商场的距离为千米，那么的范围是_________． 7．某校“棋乐无穷”社团前两次购买的两种材质的象棋采购如下表（象棋的售价一直不变）； 塑料象棋 玻璃象棋 总价（元） 第一次（盒） 1 3 26 第二次（盒） 3 2 29 (1)若该社团计划再采购这两种材质的象棋各5盒，则需要多少元？ (2)若该社团准备购买这两种材质的象棋共50盒，且要求塑料象棋的数量不多于玻璃象棋数量的3倍，玻璃象棋至少要购进多少盒？ 8．端午节之前，小明准备买粽子过节，若在当地某超市购买2盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需支付380元，而在某团购群购买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需支付520元．对比发现，甲品牌粽子每盒的团购价相当于超市价的八折，乙品牌粽子每盒的团购价相当于超市价的七五折． (1)甲、乙两种品牌粽子每盒的超市价分别是多少元？ (2)小明打算在团购群购买这两种品牌的粽子，其中乙品牌粽子比甲品牌粽子多3盒，总花费不超过1200元，问小明最多能买多少盒甲品牌粽子？ 9．2026年3月14日是第七个国际数学日，为了传扬数学文化，我校开展了相关竞赛活动，小鸣帮助王老师提前在线上平台计划购买玩偶与徽章等文创品作为奖品．线上平台无促销活动时，玩偶和徽章的销售单价各是20元、15元．线上平台有促销活动时，活动信息如下： 方式一：购买50元会员卡后所有商品打8折；方式二：非会员所有商品打9折． (1)王老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共30个，其中购买玩偶m个（），则按方式一和方式二购买分别需要多少元？（结果均用含m的代数式表示） (2)请你帮王老师算一算，在（1）的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一购买更划算？ 10．“疫情无情，人间有爱”．为扎实做好复工复课工作，教育局准备租借甲、乙两种型号的车为全市各中小学配送防疫物资．已知2辆甲型车和1辆乙型车载满物资一次可运走10吨；用1辆甲型车和2辆乙型车载满物资一次可运走11吨． (1)1辆甲型车和1辆乙型车都载满物资一次可分别运送多少吨？ (2)教育局现有防疫物资37吨需要配送，计划同时租用甲、乙两种型号车共10辆（都要有），一次运完．若设甲型车租了m辆，请你帮教育局设计租车方案； (3)在题（2）的条件下，若1辆甲型车需租金100元/次，1辆乙型车需租金120元/次．设租车总费用为Q元，请用含m的代数式表示Q，并确定哪一种租车方案的费用最少，最少租车费用是多少？ 11．随着deepseek的技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的单价多3万元，经过调研发现购买100套甲种型号的机器人和购买130套乙种型号的机器人所花费用一样． (1)求甲、乙两种型号的机器人的单价各多少万元？ (2)图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么购买甲、乙两种型号的智能机器人各多少套，所花资金最少？最少资金是多少万元？ 12．某班计划订购一些乒乓球和乒乓球拍，经调查发现：同一款式的乒乓球和乒乓球拍在甲、乙两家商店标价均相同．其中乒乓球拍每副标价60元，乒乓球每盒标价10元．两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下： 甲商店：买一副球拍赠一盒乒乓球． 乙商店：乒乓球和乒乓球拍都按标价的9折出售． 该班计划订购乒乓球拍5副，乒乓球若干盒（多于5盒），单独在甲商店或者乙商店购买． (1)若订购乒乓球的数量是15盒，如果在乙商店订购，购买乒乓球和乒乓球拍的总费用是________元； (2)当购买乒乓球多少盒时，在甲、乙两家商店购买乒乓球和乒乓球拍的总费用相同？ (3)根据乒乓球的购买盒数，设计一种省钱的订购方案． 13．某品牌羽毛球拍售价120元/副，羽毛球售价5元/只．王教练计划购买一批羽毛球拍和羽毛球，实体店和网店有不同的促销活动，具体信息如下： 店铺 球拍优惠信息 赠品 配送方式 实体店 球拍打9折 每购买一副球拍赠送一只羽毛球 免费送货上门 网店 若购买球拍不超过10副，不打折；若购买球拍超过10副，则超过部分打8折． 每购买一副球拍赠送两只羽毛球 包邮送货上门 (1)若王教练想要购买20副球拍和40只羽毛球，请你帮王教练分别计算实体店、网店两家店铺优惠后的实际付款金额，判断在哪家店购买更优惠； (2)若王教练计划购买副球拍和只羽毛球，请用含的代数式分别表示在实体店、网店购买时，优惠后的实际付款金额； (3)若王教练有5000元预算，希望尽可能多地购买羽毛球拍，请问最多可购买多少副球拍?购买球拍后剩余的钱还可以购买多少只羽毛球? 14．冬酿酒之于苏州人，犹如香槟酒之于法国人．两者同样需要依照时令产出，就算在苏州本地，冬酿酒也只在冬至前后供应．某超市计划试销两种包装规格的预包装冬酿酒（简装版、精装版），已知精装版冬酿酒每瓶售价比简装版贵38元，购买20瓶精装版和50瓶简装版的总费用为2300元． (1)求精装版和简装版冬酿酒每瓶的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每瓶进价为30元，简装版冬酿酒每瓶进价为15元，超市计划购进两种包装共200瓶，要求试销总利润不低于3700元，该超市精装版冬酿酒至少进多少瓶？ 15．每年5月20日是中国学生营养日．某营养餐公司为学生提供的350克早餐食品中，蛋白质总含量为．早餐包括一份牛奶，一份谷物食品和一个鸡蛋．一个鸡蛋的质量约为，蛋白质含量占；谷物食品和牛奶的部分营养成分如表所示： 每100克谷物食品 每100克牛奶 蛋白质 13.0克 蛋白质 3.0克 脂肪 32.4克 脂肪 3.6克 碳水化合物 50.8克 碳水化合物 4.5克 (1)设该份早餐中谷物食品为x克，牛奶为y克，请写出谷物食品中所含的蛋白质为_______克，牛奶中所含的蛋白质为_______克．（用含有x、y的代数式表示） (2)求出x、y的值； (3)该公司为学校提供的营养午餐有A、B两种套餐（每天只提供一种）如下表，为了膳食平衡，建议学生适当的多摄入蔬果量．如果在一周里，学生午餐蔬果摄入总量不少于1060克，那么该校在一周里可以选择A、B套餐各几天？写出所有的方案，（说明：一周按5天计算） 套餐 主食（克） 肉类（克） 蔬果（克） A 150 70 200 B 130 75 220 16．如皋香肠历史悠久，是闻名全国的香肠品种之一．某超市分别以18元/袋、30元/袋的价格购进两种规格的如皋香肠销售，近两天的销售情况如表： 销售时段 销售数量 销售收入 第一天 10袋 6袋 570元 第二天 5袋 8袋 510元 （说明：本题中，两种规格如皋香肠的进价、售价均保持不变） (1)求两种规格香肠的销售单价； (2)若该超市准备用不超过1800元再购进这两种规格香肠共80袋，求规格香肠最多能采购多少袋？ (3)在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，能否实现利润为1035元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $