专题11.4 一元一次不等式组（高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级下册

专题11.4 一元一次不等式组 教学目标 1.理解一元一次不等式组及其解集的概念； 2.掌握解一元一次不等式组的步骤，会利用数轴求解不等式组； 3.能准确判断不等式组解集的四种情况。 教学重难点 1.重点 （1）掌握一元一次不等式组的解法，会用数轴求解不等式组，并确定不等式组的解集。 2.难点 （1）理解不等式组解集的含义，熟练区分四种解集情况，准确利用数轴找公共部分。 知识点01 一元一次不等式组 1.一元一次不等式组的定义：把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等 式组. 2.注意：(1)不等式组中不等式的个数可以是两个，也可以是多个. (2)不等式组中各个不等式必须含有同一个未知数. 3.归纳：判断一个不等式组是不是一元一次不等式组，需满足两个条件： (1)组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同： (2)不等式组中的不等式至少有2个，也可以多于2个 【即学即练】 1．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）下列属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏·月考）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 不等式组的解集 1.不等式组的解集 不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集 几个不等式解集的公共部分，通常利用数轴来确定. 2.利用数轴表示不等式组的解集 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的情况 3.利用数轴确定不等式组的解集的步骤 (1)将两个一元一次不等式的解集在同一条数轴上分别正确 地表示出来（表示时注意空心圆圈与实心圆点的区别). (2)确定数轴上的公共部分，若有公共部分，则公共部分就是此不等式组的解集；若没有公共部分，此时，我们说这个不等式组无解。 知识点03 解不等式组 1.解不等式组 求不等式组解集的过程叫做解不等式组， 2.解一元一次不等式组的步骤 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集； (2)把各个不等式的解集在数轴上表示出来； (3)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集，如果各个不等式的解集没有 公共部分，那么说这个一元一次不等式组无解. 3.解一元一次不等式组与解二元一次方程组的区别 解一元一次不等式组是“先分后合”，即先解不等式组中的每个不等式，再确定公共部分：解二元一次方程组是“先合再分”，即先将两个方程转化为一个方程，再分别求出两个来知数的值 4.确定一元一次不等式组解集的常用方法 (1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集.如果没有公共部分，则这个不 等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握. （2）口诀法：求不等式组的解集时，可记住以下规律： 同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了 【即学即练】 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）解不等式组： 4．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）求不等式组：的所有整数解． 知识点04 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 【即学即练】 5．（25-26七年级下·江苏·月考）求不等式组：的所有整数解． 6．（2026·江苏宿迁·一模）不等式组的整数解之和为______． 题型01 一元一次不等式组的定义 1．下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列各式不是一元一次不等式组的是（   ）． A． B． C． D． 3．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有(　　) ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 解一元一次不等式组 5．解不等式组． 6．解不等式组． 7．解不等式组：，并在数轴上表示出这个不等式组的解集． 8．解不等式组； 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得___________； (2)解不等式②，得___________； (3)把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为__________． 题型03 在数轴上表示一元一次不等式组的解集 9．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 10．解不等式组：并将其解集在数轴上表示出来． 11．解不等式组：，并求出它的正整数解． 12．下面是东东同学在学习解不等式（组）的过程中遇到的问题，请认真阅读并帮助东东完成相应任务． 解不等式． 解：，…第一步 ，…第二步 ，…第三步 ，…第四步 …．第五步 (1)①以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的； ②该题第________步出现错误，错误的原因是________； (2)请你根据平时的学习经验，就不等式的求解过程给其他同学提一条建议．________． (3)张老师将以上不等式与不等式组成不等式组，请你帮助东东同学完善下列解不等式组的过程． 解不等式①，得________； 解不等式②，得________； 把不等式①和②的解集在同一数轴上表示出来； ∴原不等式组的解集为________． 题型04 求一元一次不等式组的整数解 13．关于x的不等式组的整数解的和为（   ） A． B． C． D． 14．写出不等式组的一个整数解为_____． 15．解不等式组，并求出它的所有整数解． 16．计算：解不等式组，并写出该不等式组的偶数解． 题型05 已知一元一次不等式组的解集求字母 17．不等式的解集是，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．若关于的不等式组解集为，则的取值范围为_____． 20．已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集． 题型06 已知一元一次不等式组的解情况求字母 21．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 22．若整数使关于的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的整数的值之和为（   ） A．6 B．8 C．9 D．7 23．关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是______． 24．已知关于的不等式组． (1)当时，求这个不等式组的解集，写出所有正整数解； (2)如果不等式组只有3个整数解，求的取值范围． 题型07 一元一次不等式组与方程组综合问题 25．关于的方程组，且满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 26．关于x、y的方程组，且x、y满足，求a的取值范围； 27．已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 28．已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 题型08 解特殊的一元一次不等式组 29．整体思想方法是一种重要的数学思想方法，在数学领域有着广泛的应用．在解决某些数学问题时，运用整体思想可以化难为易，使得计算简便． 例如：用整体思想方法解方程组：， 观察方程组发现两个方程中都包含，因此我们把看成一个整体，将整体代入到方程②中，得：，易得．把代入①得：，∴原方程组的解为． (1)请你使用上述方法解方程组：； (2)请你使用上述方法解混合不等式组： 30．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： (1)已知关于a，b，c的三元一次方程组，则 ； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于p，q的二元一次方程组的解为 ； (3)关于x，y的二元一次方程组满足，求k的取值范围． 31．综合实践课上，嘉嘉和淇淇讨论用不同方法求代数式的值． 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 小嘉：我的思路是联立①②组成方程组，解得x，y的值，再代入代数式求值． 小淇：我认为小嘉的思路很正确，但计算量比较大．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形利用“整体思想”求得代数式的值，例如，由可得的值，由可得的值． 根据以上对话内容，回答下列问题． (1)根据小淇的思路，_______ _______ (2)已知关于x，y的方程组（m是常数），利用整体思想，解决下列问题． ①若，求m的值； ②若，求m的取值范围． 32．阅读下列材料并解决问题： 爱动脑筋的小明在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法，过程如下： 解：将方程②变形：，即③； 把方程①代入③，得：，所以； 把代入①得，，所以方程组的解为． 我们称小明的这种解法叫“整体代入法” (1)请用“整体代入法”解方程组； (2)若关于的不等式组恰好有2个整数解，求的取值范围．说明：，为（1）中方程组的解． 题型09 一元一次不等式组的新定义问题 33．对于任意实数、定义一种新运算：ab＝ab－a－b＋2．例如，26＝12－2－6＋2＝6．请根据上述定义解决问题：若m＜（3x）＜5，并且这个关于x的不等式组的解集中只有2个整数解，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是_____． 35．定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 36．对于任意有理数，，定义一种新运算：，例如：．请回答下列问题： (1)________，________； (2)若，，求的值； (3)若的解集只有个整数解，求的取值范围． 1．不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 2．已知一元一次不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 4．若关于、的方程组中未知数、满足，且关于的不等式组恰好有三个整数解，则符合条件的所有整数的和是（    ） A． B． C．11 D．9 5．若关于的不等式与不等式的解集相同，则满足（   ） A． B． C． D． 6．不等式组的整数解有______个． 7．已知不等式组的解集是，则的取值范围是__________． 8．若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围为______． 9．若关于的不等式组有解，且关于的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为______． 10．对于任何数，符号表示不大于的最大整数，例如：． （1）_______． （2）如果，则满足条件的所有整数的和为_______． 11．解不等式组：． 12．解不等式（组） (1)． (2)． (3)解不等式组，并写出所有的正整数解． 13．下面是东东同学在学习解不等式（组）的过程中遇到的问题，请认真阅读并帮助东东完成相应任务． 解不等式． 解：，…第一步 ，…第二步 ，…第三步 ，…第四步 …．第五步 (1)①以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的； ②该题第________步出现错误，错误的原因是________； (2)请你根据平时的学习经验，就不等式的求解过程给其他同学提一条建议．________． (3)张老师将以上不等式与不等式组成不等式组，请你帮助东东同学完善下列解不等式组的过程． 解不等式①，得________； 解不等式②，得________； 把不等式①和②的解集在同一数轴上表示出来； ∴原不等式组的解集为________． 14．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 15．定义：若一个不等式组有解且解集是，则称为的“绝对距离”．若的绝对距离是不等式组的一个解，则称对于 “绝对包含”．例如：已知不等式组和．解集：，其绝对距离为；的解集：，因为，所以是的解，对于绝对包含． (1)已知关于的不等式组， ①这个不等式组的解集是______． ②这个不等式组的绝对距离是______． ③结合不等式组，判断：不等式组______（填“是”或“不是”）对绝对包含； (2)已知关于的不等式组，不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组，若存在整数，使得不等式组对于不等式组绝对包含，求满足条件的所有整数的和． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.4 一元一次不等式组 教学目标 1.理解一元一次不等式组及其解集的概念； 2.掌握解一元一次不等式组的步骤，会利用数轴求解不等式组； 3.能准确判断不等式组解集的四种情况。 教学重难点 1.重点 （1）掌握一元一次不等式组的解法，会用数轴求解不等式组，并确定不等式组的解集。 2.难点 （1）理解不等式组解集的含义，熟练区分四种解集情况，准确利用数轴找公共部分。 知识点01 一元一次不等式组 1.一元一次不等式组的定义：把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等 式组. 2.注意：(1)不等式组中不等式的个数可以是两个，也可以是多个. (2)不等式组中各个不等式必须含有同一个未知数. 3.归纳：判断一个不等式组是不是一元一次不等式组，需满足两个条件： (1)组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同： (2)不等式组中的不等式至少有2个，也可以多于2个 【即学即练】 1．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）下列属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式组的定义，需由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成，逐一判断各选项． 【详解】解：A、包含等式，不是全由不等式组成，不符合题意； B、包含不等式，其中未知数的次数为，不是一元一次不等式，不符合题意； C、含有和两个未知数，不是一元，不符合题意； D、两个不等式都只含一个未知数，且未知数的次数为，都是一元一次不等式，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，解题关键是抓住“一元”（一个未知数）和“一次”（未知数次数为）两个核心特征，同时确保组内全是不等式． 2．（25-26七年级下·江苏·月考）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组，解题的关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 利用一元一次不等式组定义逐个判断解答即可． 【详解】A．，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故不符合题意； B．，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组，故不符合题意； C．，是一元一次不等式组，故符合题意； D．，含有分式不等式，不是一元一次不等式组，故不符合题意； 故选：C． 知识点02 不等式组的解集 1.不等式组的解集 不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集 几个不等式解集的公共部分，通常利用数轴来确定. 2.利用数轴表示不等式组的解集 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的情况 3.利用数轴确定不等式组的解集的步骤 (1)将两个一元一次不等式的解集在同一条数轴上分别正确 地表示出来（表示时注意空心圆圈与实心圆点的区别). (2)确定数轴上的公共部分，若有公共部分，则公共部分就是此不等式组的解集；若没有公共部分，此时，我们说这个不等式组无解。 知识点03 解不等式组 1.解不等式组 求不等式组解集的过程叫做解不等式组， 2.解一元一次不等式组的步骤 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集； (2)把各个不等式的解集在数轴上表示出来； (3)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集，如果各个不等式的解集没有 公共部分，那么说这个一元一次不等式组无解. 3.解一元一次不等式组与解二元一次方程组的区别 解一元一次不等式组是“先分后合”，即先解不等式组中的每个不等式，再确定公共部分：解二元一次方程组是“先合再分”，即先将两个方程转化为一个方程，再分别求出两个来知数的值 4.确定一元一次不等式组解集的常用方法 (1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集.如果没有公共部分，则这个不 等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握. （2）口诀法：求不等式组的解集时，可记住以下规律： 同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了 【即学即练】 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）解不等式组： 【答案】 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 4．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）求不等式组：的所有整数解． 【答案】所有整数解为：，，，，． 【分析】先求出两个不等式的解集，得出不等式组的解集，然后再写出整数解即可． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， ∴所有整数解为，，，，． 知识点04 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 【即学即练】 5．（25-26七年级下·江苏·月考）求不等式组：的所有整数解． 【答案】、0、1 【详解】解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为， ∴整数解为、0、1． 6．（2026·江苏宿迁·一模）不等式组的整数解之和为______． 【答案】0 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，再找出解集范围内的整数解，计算整数解的和即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为 ∴不等式组的整数解为，，， ∴整数解之和为． 题型01 一元一次不等式组的定义 1．下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据一元一次不等式组的定义，即由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，对每个不等式组逐一判断即可． 【详解】解：只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ②只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ③含有两个未知数x和y，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ④只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ⑤未知数x的最高次数为2和3，不是1次，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ∴符合条件的有①②④，共3个， 故选：B． 2．下列各式不是一元一次不等式组的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组． 根据一元一次不等式组的定义进行解答． 【详解】解：A．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误； B．该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项正确； C．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误； D．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误． 故选：B． 3．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 4．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有(　　) ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：①⑤是一元一次不等式组，②③④不是一元一次不等式组， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键． 题型02 解一元一次不等式组 5．解不等式组． 【答案】 【分析】先分别求出各不等式的解集，再根据解集的规律“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”取公共部分得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解为：． 6．解不等式组． 【答案】不等式组的解集为 【分析】分别求解两个一元一次不等式，再求出其公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式①， 去括号得 移项，合并同类项得； 解不等式② 去分母得 移项，合并同类项得 系数化为1得； 不等式组的解集为． 7．解不等式组：，并在数轴上表示出这个不等式组的解集． 【答案】 【分析】首先分别求得各不等式的解集，然后在数轴上表示出来，数轴上的公共部分即是原不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 在数轴上表示出这个不等式组的解集，如下： 8．解不等式组； 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得___________； (2)解不等式②，得___________； (3)把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为__________． 【答案】(1) (2) (3)数轴见解析 (4) 【分析】（1）根据一元一次不等式的解法进行计算即可； （2）根据一元一次不等式的解法进行计算即可； （3）将（1）和（2）得不等式表示在数轴上即可； （4）根据数轴判断解集即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得； （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 解得； （3）解：数轴如图所示： （4）解：由数轴可知，不等式组的解集为． 题型03 在数轴上表示一元一次不等式组的解集 9．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】 ，解集表示在数轴上见详解 【分析】根据不等式的性质分别求出不等式组中各不等式的解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”即可得到解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集为，解集表示在数轴上如图所示， 10．解不等式组：并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为，数轴见解析 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 11．解不等式组：，并求出它的正整数解． 【答案】不等式组的解集是，不等式组的正整数解为 【分析】先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再求出两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后从解集中筛选出正整数即可． 【详解】解：， 解不等式，得：； 解不等式，得：； 即不等式组的解集为：，其正整数解为． 12．下面是东东同学在学习解不等式（组）的过程中遇到的问题，请认真阅读并帮助东东完成相应任务． 解不等式． 解：，…第一步 ，…第二步 ，…第三步 ，…第四步 …．第五步 (1)①以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的； ②该题第________步出现错误，错误的原因是________； (2)请你根据平时的学习经验，就不等式的求解过程给其他同学提一条建议．________． (3)张老师将以上不等式与不等式组成不等式组，请你帮助东东同学完善下列解不等式组的过程． 解不等式①，得________； 解不等式②，得________； 把不等式①和②的解集在同一数轴上表示出来； ∴原不等式组的解集为________． 【答案】(1)①不等式的基本性质2；②五，不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号 (2)解一元一次不等式时需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变 (3)；；见解析； 【详解】（1）解：①以上解题过程中，第一步是依据不等式的基本性质2进行变形的； ②该题第五步出现错误，错误的原因是不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号； （2）解：解一元一次不等式时需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变； （3）解不等式①，得； 解不等式②，得； 把不等式①和②的解集在同一数轴上表示出来： ∴原不等式组的解集为． 题型04 求一元一次不等式组的整数解 13．关于x的不等式组的整数解的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再找出解集范围内的整数，计算整数解的和即可． 【详解】解∶解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集为， ∴该解集范围内的整数解只有， ∴整数解的和为． 14．写出不等式组的一个整数解为_____． 【答案】（或） 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再确定不等式组的解集.最后在解集中找出一个整数解即可． 【详解】解：， 由不等式①得：， 由不等式②得：，即， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为1和2，任取一个即可． 15．解不等式组，并求出它的所有整数解． 【答案】 ，所有整数解为0，1，2，3 【详解】解：， 由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为0，1，2，3. 16．计算：解不等式组，并写出该不等式组的偶数解． 【答案】 不等式组的解集为，偶数解为 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，从而可得不等式组的偶数解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的偶数解为：，． 题型05 已知一元一次不等式组的解集求字母 17．不等式的解集是，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集是，不等式方向改变， ∴， 解得． 18．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式含参问题．先正确的解出每一个不等式，然后根据口诀（同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到）或数轴来找参数的范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得：． 不等式组的解集为， ， 解得：． 19．若关于的不等式组解集为，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再根据不等式组解集的确定法则，得到关于a的不等式，计算求解即可． 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得， 不等式组的解集为， ∴， ∴． 20．已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集． 【答案】 【分析】根据已知条件，判断出，再求得不等式的解集． 【详解】解：∵不等式的解集是， ，， ，整理得：， 把代入得，整理得：， ， ， ， ， ． 题型06 已知一元一次不等式组的解情况求字母 21．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式组无解说明两个不等式没有公共解集，据此推导参数a的取值范围即可． 【详解】解：∵关于的一元一次不等式组无解， ∴两个不等式没有公共解集， 可得． 22．若整数使关于的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的整数的值之和为（   ） A．6 B．8 C．9 D．7 【答案】C 【分析】先求得不等式组的解集为，根据题意得到，据此求解即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有且只有3个整数解，即、0、1， ∴，解得， ∵是整数， ∴的取值为、0、1、2、3、4． ∴满足条件的整数的值之和为． 23．关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别解出两个不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，即可确定a的取值范围 【详解】解：解不等式组 解不等式，得 解不等式，移项得，系数化为得 不等式组的解集为 不等式组有且只有三个整数解， 不等式组的三个整数解为，， 24．已知关于的不等式组． (1)当时，求这个不等式组的解集，写出所有正整数解； (2)如果不等式组只有3个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)；正整数解为1 (2) 【分析】（1）先把代入原不等式组，再分别解出每个不等式，最后求出不等式组的解集，即可得出正整数解为1； （2）分别解出每个不等式，求出不等式组的解集，为，再根据该不等式组只有3个整数解，可确定其整数解为1，0，，从而得到关于的不等式，解出的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，则不等式组为， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为 即正整数解为1． （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 该不等式组只有3个整数解， 该不等式组的3个整数解为，0，1， ， 解得． 题型07 一元一次不等式组与方程组综合问题 25．关于的方程组，且满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组，进而用含的式子表示，得到关于的不等式组，求解即可； （2）根据已知等式得到代入，再结合（1）所得的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：将原方程组整理为， 由得，解得：， 由得，解得：， ， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， 由（1）可知，， ， 即的取值范围是． 26．关于x、y的方程组，且x、y满足，求a的取值范围； 【答案】 【分析】利用代入消元法，得出，再代入不等式求解即可． 【详解】解：， 由得：， ， ， ． 27．已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质可得，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； ∵方程组的解满足为非正数，为负数， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴不等式的两边同时除以时，不等号的方向发生了改变， ∴， ∴， ∴， 又∵m为整数， ∴． 28．已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 【答案】(1) (2) (3)5、6、7 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握计算方法是解此题的关键． （1）由加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，计算即可得解； （2）利用加减消元法得出，根据，得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）解：， 由得：， ∵方程组的解集满足， ∴， 解得：； （3）解：∵ ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为5或6或7． 题型08 解特殊的一元一次不等式组 29．整体思想方法是一种重要的数学思想方法，在数学领域有着广泛的应用．在解决某些数学问题时，运用整体思想可以化难为易，使得计算简便． 例如：用整体思想方法解方程组：， 观察方程组发现两个方程中都包含，因此我们把看成一个整体，将整体代入到方程②中，得：，易得．把代入①得：，∴原方程组的解为． (1)请你使用上述方法解方程组：； (2)请你使用上述方法解混合不等式组： 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）仿照已知整体代入法求出方程组的解即可； （）仿照已知整体代入法求出混合不等式组的解集即可； 本题考查的是代入法解二元一次方程和混合不等式组，正确理解整体的数学思想是解题的关键． 【详解】（1）将整体代入得：，解得：， 把代入得：．解得：， ∴方程组的解是； （2）将整体代入得：，解得：． 由得， ∴， ∴， ∴混合不等式组的解是． 30．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： (1)已知关于a，b，c的三元一次方程组，则 ； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于p，q的二元一次方程组的解为 ； (3)关于x，y的二元一次方程组满足，求k的取值范围． 【答案】(1)7 (2) (3)或 【分析】本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把三个方程相加，然后在方程的两边同时除2即可得出答案． （2）由题意可知关于和的方程组的解，从而列关于p和q的二元一次方程组并求解即可． （3）解方程组求得，，由，得到，即可得到或，再进行解不等式组，即可作答． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：； 故答案为：7． （2）解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为，且关于p，q的二元一次方程组 ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：， 得，即 得， ∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 31．综合实践课上，嘉嘉和淇淇讨论用不同方法求代数式的值． 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 小嘉：我的思路是联立①②组成方程组，解得x，y的值，再代入代数式求值． 小淇：我认为小嘉的思路很正确，但计算量比较大．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形利用“整体思想”求得代数式的值，例如，由可得的值，由可得的值． 根据以上对话内容，回答下列问题． (1)根据小淇的思路，_______ _______ (2)已知关于x，y的方程组（m是常数），利用整体思想，解决下列问题． ①若，求m的值； ②若，求m的取值范围． 【答案】(1),19 (2)①；② 【分析】（1）利用得出的值，利用得出的值即可； （2）①根据方程组得出，求出，根据，列出关于m的方程，解关于m的方程即可； ②由得：，根据，得出，解关于m的方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 由得：； （2）①解：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②由得：， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解不等式组，解题的关键是找出方程的关系并运用“整体思想”解方程． 32．阅读下列材料并解决问题： 爱动脑筋的小明在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法，过程如下： 解：将方程②变形：，即③； 把方程①代入③，得：，所以； 把代入①得，，所以方程组的解为． 我们称小明的这种解法叫“整体代入法” (1)请用“整体代入法”解方程组； (2)若关于的不等式组恰好有2个整数解，求的取值范围．说明：，为（1）中方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将第二个方程变形为，再把第一个方程代入变形后的方程即可求得b，从而求得b； （2）由，得不等式组为，解不等式组得 ，由不等式组恰好有2个整数解得 ，从而求的取值范围． 【详解】（1）解： ， 将方程②变形： ，即 ③； 把方程①代入③得，． 解得； 把代入①得，． 所以方程组的解为． （2）解：，． 不等式组为 解不等式得，． 不等式组的解集为 ． 不等式组恰好有2个整数解． 不等式组的整数解为：2，3． ． 解得 ． 【点睛】本题主要考查了特殊方法解二元一次方程组及解一元一次不等式组，由不等式组整数解的情形判断参数的取值范围是解题的关键． 题型09 一元一次不等式组的新定义问题 33．对于任意实数、定义一种新运算：ab＝ab－a－b＋2．例如，26＝12－2－6＋2＝6．请根据上述定义解决问题：若m＜（3x）＜5，并且这个关于x的不等式组的解集中只有2个整数解，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干中的定义求出（3x），再由关于x的不等式组的解集中只有2个整数解即可得到答案． 【详解】（3x） 只有两个整数解， 这两个解为2、1， 将x=1与x=0代入2x-1， ． 故选;D． 【点睛】本题考查新定义与一元一次不等式的整数解，正确理解新定义、掌握一元一次不等式的解法时关键． 34．对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，理解新定义运算的运算法则是本题的关键． 根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意求出的取值范围． 【详解】解：根据题意得， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中有3个整数解， ， 解得：， 故答案为：． 35．定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）依据题意，由不等式组的解集是，不等式组的解集是，进而可以判断得解； （2）依据题意，由关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，则或，进而计算可以得解； （3）依据题意，由是的“相容不等式组”，则，可得，又和的整数解相同，可得，进而可得，最后即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相斥不等式组”． 故答案为：． （2）由题意，关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， 或． 或． （3）由题意，是的“相容不等式组”， ． ． 的整数解为，且和的整数解相同， ． ． ． 综上所述：． 36．对于任意有理数，，定义一种新运算：，例如：．请回答下列问题： (1)________，________； (2)若，，求的值； (3)若的解集只有个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)； (3)． 【分析】（1）根据新运算计算即可； （2）由新运算，结合已知可得，，解得，，代入计算即可； （3）由新运算，结合已知可得的解集只有个整数解，可得，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴，． （2）解：∵， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵的解集只有个整数解， ∴的解集只有个整数解， ∴的解集只有个整数解， ∴， ∴． 1．不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了（无解）”确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴原不等式组的解集为． 2．已知一元一次不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“同小取小”的法则，列不等式求解即可． 【详解】解：∵一元一次不等式组的解集为， ∴ ， 解得． 3．已知关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，再根据整数解的和为9确定符合条件的整数解，进而得到a的取值范围． 【详解】解：由不等式组可得解集为． ∵所有整数解的和为9，且，因此符合条件的整数解为2，3，4． 若，则整数解包含1，此时所有整数解的和为，因此． 若，则整数解不包含2，此时所有整数解的和为，因此． 综上，的取值范围是． 4．若关于、的方程组中未知数、满足，且关于的不等式组恰好有三个整数解，则符合条件的所有整数的和是（    ） A． B． C．11 D．9 【答案】B 【分析】首先解方程组得到，然后根据求出；然后解不等式组得到，然后根据不等式组恰好有三个整数解，进而求解即可． 【详解】解： 得，， ∵ ∴ ∴； 解不等式组得， ∵关于的不等式组恰好有三个整数解， ∴三个整数解为，0，1， ∴， ∴， ∴ ∴整数，， ∴． ∴符合条件的所有整数的和是． 5．若关于的不等式与不等式的解集相同，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别解两个不等式的解集，再根据两个解集相同，列式计算即可求出的值． 【详解】解：解不等式， ， ， ， ， ， 解不等式， ， ， ， ， ， 两个不等式的解集相同， ，解得． 6．不等式组的整数解有______个． 【答案】 5 【分析】先分别解两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，再找出解集中所有的整数解，统计整数解的个数即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为，共个． 7．已知不等式组的解集是，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得出答案即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 当时，解得；当时，（不符合题意）． ∵不等式组的解集是， ∴， 解得， 所以a的取值范围是． 8．若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查由一元一次不等式组的解集情况求参数，根据不等式组无解的条件，推导得到的取值范围即可． 【详解】解：∵关于的一元一次不等式组无解， ∴两个不等式没有公共解集， 可得， 故答案为：． 9．若关于的不等式组有解，且关于的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为______． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组有解确定的取值范围，再解关于的一元一次方程，根据方程有非负整数解找出符合条件的整数，最后计算所有符合条件的整数的和． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得：， 化简方程得， ∵， ∴， ∴方程的解为， ∵方程有非负整数解，且不满足方程， ∴为正整数，即为负整数，且是的因数， ∵， ∴， ∴的可能取值为， ∴对应整数为． ∴符合条件的所有整数的和为． 10．对于任何数，符号表示不大于的最大整数，例如：． （1）_______． （2）如果，则满足条件的所有整数的和为_______． 【答案】 6 【分析】（1）先求出，，再代入计算即可； （2）根据题意可得，解不等式组，再求和即可． 【详解】解：（1）由题意得： ． （2）∵， ∴， 解得， ∴满足条件的所有整数为和， ∴满足条件的所有整数的和为． 11．解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共解集即可得答案． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 12．解不等式（组） (1)． (2)． (3)解不等式组，并写出所有的正整数解． 【答案】(1) (2) (3)；它的正整数解为1，2，3． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得 系数化为1，得 （2）解：， ， ， ， ， （3）解：， 由，得， 由，去分母得， 解得； 则不等式组的解集为； 它的正整数解为1，2，3． 13．下面是东东同学在学习解不等式（组）的过程中遇到的问题，请认真阅读并帮助东东完成相应任务． 解不等式． 解：，…第一步 ，…第二步 ，…第三步 ，…第四步 …．第五步 (1)①以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的； ②该题第________步出现错误，错误的原因是________； (2)请你根据平时的学习经验，就不等式的求解过程给其他同学提一条建议．________． (3)张老师将以上不等式与不等式组成不等式组，请你帮助东东同学完善下列解不等式组的过程． 解不等式①，得________； 解不等式②，得________； 把不等式①和②的解集在同一数轴上表示出来； ∴原不等式组的解集为________． 【答案】(1)①不等式的基本性质2；②五，不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号 (2)解一元一次不等式时需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变 (3)；；见解析； 【详解】（1）解：①以上解题过程中，第一步是依据不等式的基本性质2进行变形的； ②该题第五步出现错误，错误的原因是不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号； （2）解：解一元一次不等式时需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变； （3）解不等式①，得； 解不等式②，得； 把不等式①和②的解集在同一数轴上表示出来： ∴原不等式组的解集为． 14．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1)实数的取值范围为 (2)整数的值为 【分析】（1）将方程组的两个方程相加，可得，结合，可列出关于m的不等式，求解即可； （2）根据不等式的解集为得到，再结合（1）可求出m的取值范围，找出整数m即可解答． 【详解】（1）解： ，得， ∴． ， ， ∴． （2）解：不等式可变形为． ∵的解集为， ， ， 由（1）有， ∴ ∴整数的值为． 15．定义：若一个不等式组有解且解集是，则称为的“绝对距离”．若的绝对距离是不等式组的一个解，则称对于 “绝对包含”．例如：已知不等式组和．解集：，其绝对距离为；的解集：，因为，所以是的解，对于绝对包含． (1)已知关于的不等式组， ①这个不等式组的解集是______． ②这个不等式组的绝对距离是______． ③结合不等式组，判断：不等式组______（填“是”或“不是”）对绝对包含； (2)已知关于的不等式组，不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组，若存在整数，使得不等式组对于不等式组绝对包含，求满足条件的所有整数的和． 【答案】(1)①；②；③是 (2) (3) 【分析】（1）根据不等式组的解法及“绝对包含”的意义求解即可； （2）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围； （3）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和． 【详解】（1）解：①解不等式组， 不等式的解集为：， 不等式的解集为：， ∴这个不等式组的解集是； ②， 这个不等式组的绝对距离是； ③∵不等式组的解集为，且，即是不等式组的解， ∴不等式组是对绝对包含； （2）解：解不等式组得， ∵不等式组的绝对距离是：， ∵不等式组， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组对于不等式组绝对包含， ∴是的解，即， 解得：， ∴的取值范围为； （3）解：解不等式组得， ∵不等式组的绝对距离是：， ∵不等式组， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组对于不等式组绝对包含， ∴是的解，即， 解得：， ∵为整数， ∴整数的取值为，，，， ∴满足条件的所有整数的和为：． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $