专题01 二元一次方程组的概念与解法8重难点题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级下册

专题01 二元一次方程组的概念与解法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据二元一次方程的定义求参数 1 题型二、二元一次方程（组）的解 1 题型三、判断是否是二元一次方程组 2 题型四、代入消元法解二元一次方程组 2 题型五、加减消元法解二元一次方程组 3 题型六、已知二元一次方程组的解的情况求参数 3 题型七、二元一次方程组的特殊解法 3 题型八、构造二元一次方程组求解 4 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据二元一次方程的定义求参数 1．（24-25六年级下·上海闵行·期末）已知是关于、的二元一次方程，则________． 2．（24-25六年级下·上海宝山·期末）若是关于、的二元一次方程，则的值为__________． 3．（24-25六年级下·上海·月考）已知关于x，y的方程是二元一次方程，则______． 题型二、二元一次方程（组）的解 4．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）方程组的解（    ）方程的解． A．一定是 B．一定不是 C．不一定是 D．以上都不对 5．（24-25六年级下·上海普陀·期末）下列方程组中，解为的方程组是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25六年级下·上海青浦·期末）已知是二元一次方程的一个解，则________． 7．（25-26六年级下·上海静安·期中）已知是方程的解，则________． 题型三、判断是否是二元一次方程组 8．（25-26六年级下·上海静安·期中）下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26六年级下·上海·期中）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25六年级下·上海青浦·期末）下列方程中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 题型四、代入消元法解二元一次方程组 11．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）解方程组：． 12．（24-25六年级下·上海金山·期末）解方程组： 13．（24-25六年级下·上海·期末）解二元一次方程组： 14．（24-25六年级下·上海·期末）解方程组：． 题型五、加减消元法解二元一次方程组 15．（25-26六年级下·上海静安·期中）解方程组： 16．（24-25六年级下·上海·期中）解方程组：． 17．（25-26六年级下·上海·期中）如果方程组的解也是二元一次方程的解，求 题型六、已知二元一次方程组的解的情况求参数 18．（25-26六年级下·上海·期中）如果方程组，中与的值相等，那么的值为___________． 19．（25-26六年级下·上海·期中）关于，的方程组有无数多个解，则___． 20．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）满足，且，则___________． 题型七、二元一次方程组的特殊解法 21．（25-26六年级下·上海·期中）解方程组：． 22．（25-26六年级下·上海·期中）阅读下列解方程组的方法，然后解决问题． 解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法比较简便． 解：由①②，得，所以．③ 将③，得．④ ②，得，将代入③，得，所以原方程组的解是 (1)请采用上面的方法解方程组 (2)已知关于的方程组，该方程组的解为___________． 23．（24-25六年级下·上海闵行·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 题型八、构造二元一次方程组求解 24．（25-26六年级下·上海静安·期中）设有个数，它们每个数的值只能取三个数中的一个，且，则的值为_____． 25．（25-26六年级下·上海静安·期中）对于有理数，规定新运算：，其中、是常数，已知，，求的比值． 26．（24-25六年级下·上海·期中）规定：形如与的两个关于，的方程互为“共轭二元一次方程”，其中，由这两个方程组成的方程组叫做“共轭方程组”，其中常数，称为“共轭系数”． (1)由方程和它的“共轭二元一次方程”组成的“共轭方程组”的解为 ； (2)若关于，的二元一次方程组是“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数； (3)若关于，的“共轭方程组”有无数多个解，求共轭系数，应满足的条件． 一、单选题 1．（24-25六年级下·上海·期中）已知方程组，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）下列叙述中错误的是（   ）． A．只含有两个未知数且含未知数的项的次数是一次的方程组叫做二元一次方程组 B．两个二元一次方程不一定能组成一个二元一次方程组 C．二元一次方程组可以由两个一元一次方程组成 D．任意一对数都是二元一次方程的一组解 3．（23-24六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 4．（24-25六年级下·上海·期末）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A．8 B．5 C．11 D． 5．（24-25六年级下·上海闵行·期末）下列二元一次方程组中，方程组的解为的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25六年级下·上海闵行·期末）二元一次方程的自然数解的对数有（   ）． A．2对 B．3对 C．4对 D．无数对 二、填空题 7．（25-26六年级下·上海静安·期中）方程组的解为______． 8．（24-25六年级下·上海松江·期末）写出一组解是的一个二元一次方程：_____． 9．（24-25六年级下·上海·期末）是关于的二元一次方程，则实数________． 10．（24-25六年级下·上海闵行·期末）若是方程的解，则______． 11．（25-26六年级下·上海·期中）如图，现有五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程．若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则所取的两张卡片为___________．（填字母） 12．（25-26六年级下·上海静安·期中）已知关于的方程组，都为自然数的解有_____对． 三、解答题 13．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）解方程组： 14．（24-25六年级下·上海·期中）解方程组：． 15．（25-26六年级下·上海·期中）解方程组： (1) (2) (3) 16．已知方程的正确解应该是，某生解题时把c看错了，得到的解为.试求a、b、c的值. 17．甲、乙两人解同一个关于的方程组，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求与的值； (2)求的值． 18．对于三个数、、，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数． (1)若，则的值为______． (2)若．则_______． 19．（24-25六年级下·上海·月考）情境  小海在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组 尝试（1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面解题过程补充完整． 解：设，，则原方程组可化为_______，解关于，的方程组，得， 所以，解这个方程组，得_____； 迁移（2）利用上述方法解方程组 20．（24-25六年级下·上海宝山·期末）阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为， 解得，即，解得． 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③， 把方程①代入③得，，则； 把代入①得，，所以方程组的解为：． 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于a，b的方程组：的解； (2)若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 21．（25-26六年级下·上海静安·期中）阅读以下材料，回答相关问题： 材料1：对于已知的二元一次方程组（※），我们已经学会用代入消元法或者加减消元法求解，但对于一些x，y系数及常数项的数值较大且互质的情况，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量很大，且易出现运算错误，比如解方程组，采用下面的解法会比较简单： ②－①，得，所以，③ ③，得，④ ①－④，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)解方程组： 材料2：有些方程组只要求一个关于未知数的代数式的值，例如：对于前面的（※）方程，求的值，我们可以先解方程组得x，的值，再代入得到答案，其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．对于一些方程数不足以解出每个未知数的方程（不定方程），这种“整体思想”更为重要，比如已知方程组（▲），求的值，两个方程无法确切解出三个未知数，但①－②可得． (2)对于方程组，利用“整体思想”求的值，若①②可得，则__________，__________． 材料3：从另一个角度考虑，如果联立两个独立的二元一次方程能解出两个未知数，我们可以把其中一个未知数当成“已知数”来解方程，将另外两个未知数用它来表示．例如：对于上述（▲）方程：①－②消去可得，①－②消去可得，代入． (3)已知，且，则__________． (4)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，5块橡皮和6本日记本共需96元，买39支铅笔，6块橡皮和10本日记本共需174元，则购买4支铅笔，16块橡皮和8本日记本共需__________元． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二元一次方程组的概念与解法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据二元一次方程的定义求参数 1 题型二、二元一次方程（组）的解 2 题型三、判断是否是二元一次方程组 3 题型四、代入消元法解二元一次方程组 4 题型五、加减消元法解二元一次方程组 5 题型六、已知二元一次方程组的解的情况求参数 7 题型七、二元一次方程组的特殊解法 8 题型八、构造二元一次方程组求解 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据二元一次方程的定义求参数 1．（24-25六年级下·上海闵行·期末）已知是关于、的二元一次方程，则________． 【答案】 【详解】解：∵是关于、的二元一次方程， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 2．（24-25六年级下·上海宝山·期末）若是关于、的二元一次方程，则的值为__________． 【答案】1 【详解】解：由关于，的方程是二元一次方程， 故， ， 解得，且， 故， 故答案为：1． 3．（24-25六年级下·上海·月考）已知关于x，y的方程是二元一次方程，则______． 【答案】 【详解】解：关于，的方程是二元一次方程， 且， ，， ． 故答案为：． 题型二、二元一次方程（组）的解 4．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）方程组的解（    ）方程的解． A．一定是 B．一定不是 C．不一定是 D．以上都不对 【答案】A 【详解】解：对于方程组， ∵方程组的解是能使方程组中两个方程同时成立的未知数的值， ∴方程组的解一定满足其中的每一个方程， 而是方程组中的第一个方程， ∴方程组的解一定是方程的解． 故选：A ． 5．（24-25六年级下·上海普陀·期末）下列方程组中，解为的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A、把代入第一个方程，等式成立， 代入第二个方程，等式成立．所以该选项正确； B、把代入第一个方程，等式不成立．所以该选项错误； C、把代入第一个方程，等式不成立．所以该选项错误； D、把代入第二个方程，等式不成立．所以该选项错误． 故选：A． 6．（24-25六年级下·上海青浦·期末）已知是二元一次方程的一个解，则________． 【答案】 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．（25-26六年级下·上海静安·期中）已知是方程的解，则________． 【答案】2 【详解】解：将代入方程中， 得， 即， 则． 题型三、判断是否是二元一次方程组 8．（25-26六年级下·上海静安·期中）下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 二元一次方程组需要满足三个条件：①方程组总共含有两个未知数；②每个方程都是整式方程；③每个方程中未知数的次数为1． 对各选项判断如下： A 选项中第二个方程不是整式方程，故A 选项不符合要求； B 选项中方程组共含两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数次数都为1，符合二元一次方程组定义，故B选项符合要求； C 选项中方程组共含三个未知数，不符合二元一次方程组定义，故C选项不符合要求； D 选项中第二个方程的项次数为2，不符合二元一次方程组定义，故D选项不符合要求． 9．（25-26六年级下·上海·期中）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二元一次方程组的定义为：由一次方程组成，且方程组中共含有两个未知数的整式方程组，叫做二元一次方程组. A中方程组仅含有两个未知数，所有方程都是一次整式方程，是二元一次方程组； B中方程组含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； C中方程组仅含有两个未知数，所有方程都是一次整式方程，是二元一次方程组； D中方程组仅含有两个未知数，所有方程都是一次整式方程，是二元一次方程组． 10．（24-25六年级下·上海青浦·期末）下列方程中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项中的方程组有三个未知数，故不符合题意； B选项中的方程组属于二元一次方程组，故符合题意； C选项中的方程组中的不是一次方程，故不符合题意； D选项中的方程中的第一个方程的分母含未知数，不是整式方程，故不符合题意． 故选：B． 题型四、代入消元法解二元一次方程组 11．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 由②得：③ 将③代入①得：， 解得：， 将代入③得：， 原方程组的解为：． 12．（24-25六年级下·上海金山·期末）解方程组： 【答案】 【详解】解： 由①得，③， 将③代入②得，， 解得：， 将代入③得，， ∴原方程组的解为：． 13．（24-25六年级下·上海·期末）解二元一次方程组： 【答案】 【详解】解：把①代入②得：， 解得， 把代入①得：， ∴方程组的解为． 14．（24-25六年级下·上海·期末）解方程组：． 【答案】 【详解】解：由②，得③， 把③代入①，得， 解得：， 把代入③，得， 所以原方程组的解是． 题型五、加减消元法解二元一次方程组 15．（25-26六年级下·上海静安·期中）解方程组： 【答案】 【详解】解： ，得： ， ， 解得：， 将代入，得： ， ， 解得：． ． 16．（24-25六年级下·上海·期中）解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：． 17．（25-26六年级下·上海·期中）如果方程组的解也是二元一次方程的解，求 【答案】 【详解】解：∵方程组的解也是二元一次方程的解， ∴方程组的解也是二元一次方程的解， 由①②得：，解得， 将代入②得：，解得， 将代入方程得：， 解得． 题型六、已知二元一次方程组的解的情况求参数 18．（25-26六年级下·上海·期中）如果方程组，中与的值相等，那么的值为___________． 【答案】1 【详解】解：与相等， ，即， 解得， 把代入得： ， 解得． 19．（25-26六年级下·上海·期中）关于，的方程组有无数多个解，则___． 【答案】 【详解】解：根据题意可知，方程组中的两个方程相同，据此可得 解方程组，得 所以，． 20．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）满足，且，则___________． 【答案】 【详解】解： 得：，解得， 把滴入①得：，解得， ∴原方程组的解为， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 题型七、二元一次方程组的特殊解法 21．（25-26六年级下·上海·期中）解方程组：． 【答案】 【详解】解：令， 原方程组为， 得，解得， 将代入得，解得， ， 得，解得， 将代入得，解得， ． 22．（25-26六年级下·上海·期中）阅读下列解方程组的方法，然后解决问题． 解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法比较简便． 解：由①②，得，所以．③ 将③，得．④ ②，得，将代入③，得，所以原方程组的解是 (1)请采用上面的方法解方程组 (2)已知关于的方程组，该方程组的解为___________． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ，得． ∴③． 将，得， ，得． 把代入③，得， ∴原方程组的解为； （2）解：， ，得， ， 将，得， ，得． 解得， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 23．（24-25六年级下·上海闵行·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， 得， ， 把代入②，得， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ， ∵， ， 解得； （3）解：∵， ∴， 解得：， ， ， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ， 解得：． 题型八、构造二元一次方程组求解 24．（25-26六年级下·上海静安·期中）设有个数，它们每个数的值只能取三个数中的一个，且，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：设个数中含有a个2，b个， 根据题意得， ， 解得， ∴． 25．（25-26六年级下·上海静安·期中）对于有理数，规定新运算：，其中、是常数，已知，，求的比值． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴． 26．（24-25六年级下·上海·期中）规定：形如与的两个关于，的方程互为“共轭二元一次方程”，其中，由这两个方程组成的方程组叫做“共轭方程组”，其中常数，称为“共轭系数”． (1)由方程和它的“共轭二元一次方程”组成的“共轭方程组”的解为 ； (2)若关于，的二元一次方程组是“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数； (3)若关于，的“共轭方程组”有无数多个解，求共轭系数，应满足的条件． 【答案】(1) (2)共轭系数为， (3)，可取任意数或， 【详解】（1）解：由题意得：方程的“共轭二元一次方程”为：， 解方程组得：， 故答案为：； （2）解：由题意得：，解得， 故， 故共轭系数为，； （3）解：由消去得③， 原方程组有无数解，则方程③有无数个解，则， 则或． 一、单选题 1．（24-25六年级下·上海·期中）已知方程组，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解； 得：， ∴， 故选：B． 2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）下列叙述中错误的是（   ）． A．只含有两个未知数且含未知数的项的次数是一次的方程组叫做二元一次方程组 B．两个二元一次方程不一定能组成一个二元一次方程组 C．二元一次方程组可以由两个一元一次方程组成 D．任意一对数都是二元一次方程的一组解 【答案】D 【详解】解：A． 只含有两个未知数且未知数的次数是一次的方程组叫做二元一次方程组，该选项正确，不符合题意； B．两个不同未知数的二元一次方程不能组成一个二元一次方程组，两个相同未知数的二元一次方程能组成一个二元一次方程组，即两个二元一次方程不一定能组成一个二元一次方程组，该选项正确，不符合题意； C．二元一次方程组可以由两个一元一次方程组成，该选项正确，不符合题意； D．任意一对数不一定是二元一次方程的一组解，该选项错误，符合题意； 故选D． 3．（23-24六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】解：方程组中是二元二次方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故符合题意； 方程组中不是整式方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：A． 4．（24-25六年级下·上海·期末）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A．8 B．5 C．11 D． 【答案】C 【详解】解：∵是方程的一组解， ∴， ∴ ， 故选：C． 5．（24-25六年级下·上海闵行·期末）下列二元一次方程组中，方程组的解为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A.， ①+②，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴原方程组的解为； B.， ②①，得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为； C.， ①+②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为； D.， ①+②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为． 故选：B． 6．（24-25六年级下·上海闵行·期末）二元一次方程的自然数解的对数有（   ）． A．2对 B．3对 C．4对 D．无数对 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，共有4对自然数解． 故选：C． 二、填空题 7．（25-26六年级下·上海静安·期中）方程组的解为______． 【答案】 【详解】解： ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 方程组的解为． 8．（24-25六年级下·上海松江·期末）写出一组解是的一个二元一次方程：_____． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解；符合题意的二元一次方程可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（24-25六年级下·上海·期末）是关于的二元一次方程，则实数________． 【答案】1 【详解】解：因为是关于的二元一次方程， 所以， 解得； 故答案为：1． 10．（24-25六年级下·上海闵行·期末）若是方程的解，则______． 【答案】3 【详解】解：因为是方程的解， 把代入方程中，可得． ， 所以， 故答案为3． 11．（25-26六年级下·上海·期中）如图，现有五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程．若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则所取的两张卡片为___________．（填字母） 【答案】B 和 C 【详解】解：A卡片：将代入方程左边，右边， 左边右边，则不是的解； B卡片：将代入方程左边，右边， 左边右边，则是的解； C卡片：将代入方程左边，右边， 左边右边，则是的解； D卡片：将代入方程左边，右边， 左边右边，则不是的解； E卡片：将代入方程左边，右边， 左边右边，则不是的解； 综上可知：是B卡片上的方程和C卡片上的方程的解，即是二元一次方程组的解． 12．（25-26六年级下·上海静安·期中）已知关于的方程组，都为自然数的解有_____对． 【答案】3 【详解】解：， 得，， 整理得，， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 那么继续往后取自然数，均小于0，不符合题意， ∴都为自然数的解有对． 三、解答题 13．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）解方程组： 【答案】 【详解】解：， 将方程的两边同乘以12，得， 则方程组变形为， ①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 14．（24-25六年级下·上海·期中）解方程组：． 【答案】 【详解】解：将原方程组进行化简整理可得： ， 得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 15．（25-26六年级下·上海·期中）解方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：方程组可变形为， 由②①得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． （2）解：方程组可变形为， 将②代入①得：， 解得， 将代入②得：， 所以方程组的解为． （3）解：方程组可变形为， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 16．已知方程的正确解应该是，某生解题时把c看错了，得到的解为.试求a、b、c的值. 【答案】，， 【详解】解：将代入得： 解得： 将、代入 得： 得： 解得： 将代入①得： 解得： ∴，， 17．甲、乙两人解同一个关于的方程组，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求与的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)0 【详解】（1）解：根据题意，将代入②，得：， 即， 将代入①，得：， 即； （2）解：由（1）得：，， ． 18．对于三个数、、，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数． (1)若，则的值为______． (2)若．则_______． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：若，则，符合题意， 若，则，，不符合题意 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 即， 整理得， 得， 即， 故答案为：． 19．（24-25六年级下·上海·月考）情境  小海在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组 尝试（1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面解题过程补充完整． 解：设，，则原方程组可化为_______，解关于，的方程组，得， 所以，解这个方程组，得_____； 迁移（2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【详解】解：（1）设，，则原方程组可化为， 解关于，的方程组，得， 所以，解这个方程组，得； （2）设，，则原方程组可化为， 解关于，的方程组，得， 所以，解这个方程组，得． 20．（24-25六年级下·上海宝山·期末）阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为， 解得，即，解得． 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③， 把方程①代入③得，，则； 把代入①得，，所以方程组的解为：． 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于a，b的方程组：的解； (2)若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， 设，， ∴原方程可以化为， 用得：，解得， 把代入到①得：，解得， ∴方程组的解为，即， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：∵， 设， ∴原方程化为：， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴， 解得； 21．（25-26六年级下·上海静安·期中）阅读以下材料，回答相关问题： 材料1：对于已知的二元一次方程组（※），我们已经学会用代入消元法或者加减消元法求解，但对于一些x，y系数及常数项的数值较大且互质的情况，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量很大，且易出现运算错误，比如解方程组，采用下面的解法会比较简单： ②－①，得，所以，③ ③，得，④ ①－④，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)解方程组： 材料2：有些方程组只要求一个关于未知数的代数式的值，例如：对于前面的（※）方程，求的值，我们可以先解方程组得x，的值，再代入得到答案，其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．对于一些方程数不足以解出每个未知数的方程（不定方程），这种“整体思想”更为重要，比如已知方程组（▲），求的值，两个方程无法确切解出三个未知数，但①－②可得． (2)对于方程组，利用“整体思想”求的值，若①②可得，则__________，__________． 材料3：从另一个角度考虑，如果联立两个独立的二元一次方程能解出两个未知数，我们可以把其中一个未知数当成“已知数”来解方程，将另外两个未知数用它来表示．例如：对于上述（▲）方程：①－②消去可得，①－②消去可得，代入． (3)已知，且，则__________． (4)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，5块橡皮和6本日记本共需96元，买39支铅笔，6块橡皮和10本日记本共需174元，则购买4支铅笔，16块橡皮和8本日记本共需__________元． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： 得，， 则 则 将③代入①得，， 解得， 将代入③得，， ∴原方程组的解为； （2）解：∵方程组，①②可得 可得 解得； ∴ （3）解： 得，，解得； 将代入②得，，解得， ∴； （4）解：设铅笔，橡皮和日记本的单价分别为元， 由题意得， 设， 则 解得， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $