7.1复数的概念（分层作业+7题型）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学复数概念同步练，分层梯度清晰，从基础概念辨析到几何意义应用，螺旋式巩固知识，培养抽象能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |刷基础|实部虚部、分类、相等|选择填空为主，强化概念辨析，夯实运算基础| |提能力|复平面、向量关系、复数模|综合题型，结合几何直观，提升知识迁移能力| |破难关|模的几何意义|情境化问题，深化逻辑推理，发展创新意识|

7.1 复数的概念 刷基础 题型一 复数的实部与虚部 1．复数（为虚数单位）的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 2．复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 3．已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 4．的实部与虚部互为相反数，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 5．以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是____________． 题型二 复数的分类及其应用 6．“复数为纯虚数”是“”的（    ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 7．下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 8．已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．已知复数（i为虚数单位），求适合下列条件的实数m的值； (1)z为实数； (2)z为虚数； (3)z为纯虚数. 10．已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 题型三 复数相等及其应用 11．已知为虚数单位，为实数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．若，是虚数单位，，则等于（    ） A． B． C． D． 13．已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 14．已知，则实数________，________． 15．方程的实数解________. 提能力 题型一 复平面内的点与复数的关系 16．在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 17．在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 18．在平行四边形中，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数是________； 19．复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 20．在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上，分别求实数的取值范围． 题型二 向量与复数的关系 21．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 22．已知复数，设在复平面内对应的向量分别为，则（    ） A． B．3 C．5 D． 23．已知复数，，且，在复平面内对应的点分别为，，设复平面原点为，若向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 24．在复平面内，复数，对应的向量分别为，则下列说法正确的是（    ） A．的实部与虚部相等 B． C．向量对应的复数为 D．若在复平面内对应的点位于第三象限，则的取值范围为 25．在复平面内，已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，．求： (1)向量对应的复数； (2)向量对应的复数； (3)点对应的复数． 题型三 复数的模及其计算 26．若复数满足，则（    ） A． B．13 C． D．5 27．若，，则（   ） A． B． C． D．不能确定 28．设，其中，是实数，则（    ） A．4 B． C． D．2 29．若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 30．已知是坐标原点，向量，对应的复数分别为，，则________． 破难关 题型 复数模的几何意义的应用 31．已知复数z在复平面内满足，则复数对应的点Z的集合所形成图形的面积为（   ） A． B． C． D． 32．若复数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．7 33．设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 34．已知复数满足，则（   ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最大值 35．已知复数，则复数的模的最大值为_____________，最小值为_____________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1 复数的概念 刷基础 题型一 复数的实部与虚部 1．复数（为虚数单位）的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据虚部的定义求解即可. 【详解】复数的虚部为，所以复数的虚部为. 2．复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 【答案】B 【分析】利用复数的虚部与实部的定义求解. 【详解】复数的实部为，虚部为， 故选：B. 3．已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据复数的实部、虚部定义计算可得结果. 【详解】易知复数的实部为，虚部为； 所以，解得. 故选：B 4．的实部与虚部互为相反数，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由实部和虚部互为相反数，结合二倍角公式可构造关于的一元二次方程，解方程求得，根据特殊角三角函数值和的范围可求得结果. 【详解】由题意得：，， 解得：或，，或或， 故选：ACD. 5．以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是____________． 【答案】 【分析】根据复数的概念求解即可. 【详解】复数的虚部为2，的实部为，故新复数为． 故答案为： 题型二 复数的分类及其应用 6．“复数为纯虚数”是“”的（    ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】根据纯虚数的概念分析可知. 【详解】由纯虚数的概念可知，若复数为纯虚数，则且，故“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件. 故选：B 7．下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】对于①，当时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当时，即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断. 【详解】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误； 对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误； 对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误； 对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确. 故选：. 8．已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以，所以，所以， 解得或，所以实数a的取值范围是. 9．已知复数（i为虚数单位），求适合下列条件的实数m的值； (1)z为实数； (2)z为虚数； (3)z为纯虚数. 【答案】(1)或； (2)且； (3). 【分析】根据复数的有关概念依次求解即可. 【详解】（1）当为实数时，，解得或； （2）当为虚数时，，解得且； （3）当为纯虚数时，，解得. 10．已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 【答案】(1) (2)或 (3)且 【分析】（1）根据复数为实数的条件，列方程和不等式组m的值； （2）根据复数为纯虚数的条件，列方程和不等式求m的值； （3）根据复数为虚数的条件，列不等式组求m的值即可. 【详解】（1）当且时，复数为实数，解得， 所以时，复数为实数； （2）当且且时，复数为纯虚数， 解得或， 所以或时，复数为纯虚数； （3）当且时，复数为虚数，解得且， 所以且时，复数为虚数. 题型三 复数相等及其应用 11．已知为虚数单位，为实数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由复数相等可列出方程组求解. 【详解】由题意， 所以，解得，所以. 故选：D. 12．若，是虚数单位，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数相等可得，，进而即得. 【详解】因为， 所以，，即，， 所以． 故选：D． 13．已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据复数相等求解出，然后再判断出能满足条件的方程即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 因此所选方程的两根为，仅有符合要求， 故选：A. 14．已知，则实数________，________． 【答案】 2 【分析】根据复数相等的定义，列出方程组，即可得答案. 【详解】因为， 所以，解得 故答案为：；2 15．方程的实数解________. 【答案】 【分析】由复数相等条件可构造方程组求得结果. 【详解】由得：，解得：. 故答案为：. 提能力 题型一 复平面内的点与复数的关系 16．在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，构造方程得解. 【详解】∵复数对应的点在虚轴上，∴，∴或. 故选：A. 17．在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点的对称性得出复数对应点进而得出复数. 【详解】在复平面内，对应的点关于实轴对称点为，则. 故选：B. 18．在平行四边形中，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数是________； 【答案】 【分析】设出的坐标，解法一：根据复数的几何意义，结合平行四边形性质求解；解法二：根据复数的几何意义，结合向量相等求解. 【详解】由题意可得, 设的坐标为， 解法一：平行四边形中，对角线互相平分，即与中点坐标相同， 所以，解得，故点对应的复数是. 解法二：由于，可得， 故，故点对应的复数是. 19．复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或或 (3) 【分析】（1）结合复数的几何意义与第四象限的点的特点计算即可得； （2）结合复数的几何意义与第一象限或第三象限的点的特点计算即可得； （3）由题意可得，计算即可得. 【详解】（1）由题意，复数在复平面内对应的点为． 当点位于第四象限时，则，即， 故或； （2）当点位于第一象限或第三象限时， 则， 即， 故或或． （3）当点位于直线上，则，解得． 20．在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上，分别求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【分析】（1）当复数在虚轴上时，其实部为0，列式即可解出答案； （2）当复数在第二象限时，其实部小于0，虚部大于0，列式即可解出答案； （3）当复数在第二、四象限时，实部与虚部异号，列式即可解出答案； （4）当复数在上时，其实部等于虚部，列式即可解出答案. 【详解】（1）复数的实部为，虚部为, 由题意可得，解得或； （2）由题意可得，解得； （3）由题意可得， 或； （4）由题意可得，解得． 题型二 向量与复数的关系 21．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点的坐标，由对称求出点的坐标，进而求出对应的复数. 【详解】依题意，，则点， 所以向量对应的复数为. 故选：D 22．已知复数，设在复平面内对应的向量分别为，则（    ） A． B．3 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义求得，根据平面向量数量积坐标运算计算即可. 【详解】复数，则， 所以， 故. 故选：B 23．已知复数，，且，在复平面内对应的点分别为，，设复平面原点为，若向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的几何意义得，，然后利用向量的共线坐标运算列式即可求解. 【详解】由复数的几何意义可知对应点，即. 对应点，即. 若与共线，则，解得. 故选：A. 24．在复平面内，复数，对应的向量分别为，则下列说法正确的是（    ） A．的实部与虚部相等 B． C．向量对应的复数为 D．若在复平面内对应的点位于第三象限，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】根据复数对应点计算判定C，D，根据复数运算及模长计算可判断选项A，B. 【详解】复数，对应的向量分别为， 则对应的，实部与虚部互为相反数，A选项错误； ，所以，B选项正确； 向量对应的复数为，C选项正确； 若， 在复平面内对应的点位于第三象限，则，则的取值范围为，D选项错误； 故选：BC 25．在复平面内，已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，．求： (1)向量对应的复数； (2)向量对应的复数； (3)点对应的复数． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）由复数写出对应点的坐标，从而得相应向量的坐标，由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数； （2）由复数写出对应点的坐标，从而得相应向量的坐标，由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数； （3）由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数. 【详解】（1）复平面内平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，， ∴向量对应的复数，向量对应的复数为． ， ∴向量对应的复数为． （2）， ∴向量对应的复数为． （3）， ∴向量对应的复数为， ∴点对应的复数为． 题型三 复数的模及其计算 26．若复数满足，则（    ） A． B．13 C． D．5 【答案】A 【详解】由得 27．若，，则（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据复数的模长公式即可求解. 【详解】，． ，． 故选：B 28．设，其中，是实数，则（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据复数相等求出、的值，代入求模即可. 【详解】由得，，所以，， 解得，，所以. 故选：C. 29．若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用复数模的定义，列式计算得解. 【详解】依题意，，解得. 故选：B 30．已知是坐标原点，向量，对应的复数分别为，，则________． 【答案】2 【分析】根据复数的几何意义得出向量，的坐标，结合平面向量的减法可得出向量的坐标，由此可得出向量的模． 【详解】由题可知，，， ，所以， 故答案为：2． 破难关 题型 复数模的几何意义的应用 31．已知复数z在复平面内满足，则复数对应的点Z的集合所形成图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合复数的几何意义求解即可. 【详解】因为所以复数对应的点表示的是以为半径的圆， 所以面积为. 故选：B. 32．若复数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【分析】首先根据复数减法的模的几何意义求点的轨迹，再根据点与圆的位置关系求最值. 【详解】设，则， 又表示点与原点的距离，故的最小值为. 故选：B 33．设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数减法的几何意义可知图形为圆环，求圆环面积即可. 【详解】表示复平面内点到的距离，又，所以点的集合形成的图形为圆环，面积为，    故选：C. 34．已知复数满足，则（   ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最大值 【答案】C 【分析】设，根据复数的模得到，再计算，即可得解. 【详解】设，由， 则，所以， 解得，所以，当且仅当时取等号， 所以有最小值，无最大值． 故选：C 35．已知复数，则复数的模的最大值为_____________，最小值为_____________． 【答案】 6 4 【分析】根据复数的几何意义及两点间的距离公式求解即可. 【详解】令，则． 因为，所以， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如图， 易知，圆上的点A所对应的复数的模最大，为，圆上的点B所对应的复数的模最小，为， 所以复数的模的最大值和最小值分别为6和4． 故答案为：6；4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $