第六章 导数及其应用（高效培优单元自测·提升卷）数学人教B版选择性必修第三册

第六章 导数及其应用（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．函数的导数为（   ） A． B． C． D． 2．若直线是曲线的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 3．若经过点的直线与曲线相切，也与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 4．函数的大致图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   5．已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数，则（   ） A．是函数的一个极值点 B．是函数的一个极值点 C．直线是曲线在处的切线 D．直线是曲线在处的切线 10．已知可导函数的导函数为，则（　　） A．有2个极值点 B．有3个零点 C．只可能在或者时取得最小值 D．对恒成立 11．已知是定义在上的函数，是的导函数，给出如下四个结论，其中正确的是（    ） A．若，且，则的解集为 B．若，且，则函数有极小值0 C．若，且，则不等式的解集为 D．若，则 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程为__________． 13．若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是______________． 14．若函数在上有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的差为______. 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）已知直线l过点，并且与曲线相切. (1)若曲线，求直线l的方程； (2)若曲线，且与l相切于点，求的值. 16．（15分）已知函数． (1)若函数在区间上存在单调递增区间，求实数a的取值范围； (2)当时，函数在区间上的最小值为，求a的值． 17．（15分）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上有唯一极值点，求的取值范围. 18．（17分）已知函数，． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意恒成立，求整数的最小值． 19．（17分）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； (3)若在上存在零点，求的取值范围. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 导数及其应用（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．函数的导数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 所以. 2．若直线是曲线的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为，所以，解得. 3．若经过点的直线与曲线相切，也与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设曲线的切点为， 则由，可得切线方程为， 因为切线过点，所以，解得， 所以切线方程为； 设曲线的切点为， 由，所以切线的斜率， 因为直线的方程为，可得，解得，即切点为， 所以切线方程为，即， 所以，解得． 4．函数的大致图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】令，则, 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增 所以， 又因为，所以的定义域为 所以，根据复合函数的单调性，在上单调递增，在上单调递减，且 根据以上性质，只有C选项满足. 故选：C 5．已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对函数求导得，，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且时时， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A. 6．已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对函数求导得， 函数在区间上单调递增， 则在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，求导得， 所以在区间上单调递增， 所以，所以要使得在区间上恒成立， 则，所以的最大值为. 7．已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】构造函数，， 当时，，所以，所以在上单调递减， 因为，函数是定义在区间上， 所以，即， 不等式化为，即， 所以，即， 所以不等式解集为. 8．已知，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解法1：因为是上增函数， 则即为， 所以，. 令，则，当时，； 当时，. 所以在单调递减，在单调递增， 故，因此， 即的取值范围是， 故选：B. 解法2：因为是上增函数， 则即为， 所以，. 令，则， 当时，；当时，. 故在单调递减，在单调递增， ，因此， 即的取值范围是， 故选：B. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数，则（   ） A．是函数的一个极值点 B．是函数的一个极值点 C．直线是曲线在处的切线 D．直线是曲线在处的切线 【答案】AC 【详解】由题意知，令，则或， 当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减，因此是函数的一个极值点，A正确； 因为，所以不是函数的极值点，B错误； 当时，，，所以切点为，斜率为，所以切线方程为，即，所以C正确，D错误. 10．已知可导函数的导函数为，则（　　） A．有2个极值点 B．有3个零点 C．只可能在或者时取得最小值 D．对恒成立 【答案】ACD 【详解】由，易知为奇函数，令， 当时，，，故在上单调递增， ，显然函数在上存在唯一零点，易知函数在上存在唯一零点， 由在区间上，，在上，， 故在上单调递减，在上单调递增， 同理可得在上单调递减，在上单调递增， 由，则易知定义域为， 所以可导函数的定义域为， 所以函数存在2个极值点：， 因为在(0,+∞)上有唯一零点且为奇函数，所以有且仅有两个零点， 故A正确，B错误，C正确，D正确． 11．已知是定义在上的函数，是的导函数，给出如下四个结论，其中正确的是（    ） A．若，且，则的解集为 B．若，且，则函数有极小值0 C．若，且，则不等式的解集为 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对选项A：设，因为，且，则， 所以在上为增函数，又因为， 所以当时，，即的解集为，故A正确． 对选项B，设，， 因为，所以当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 故当，取得极小值，极小值为，故B正确． 对选项C，设，． 因为，，所以，在上为增函数． 又因为，所以，所以当时，，故C错误． 对选项D，设，， 因为，所以，在上为增函数． 所以，，即．故D正确 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程为__________． 【答案】 【详解】将曲线化为，求导得，在点的切线斜率， 由点斜式得切线方程：，整理为. 切线与坐标轴的交点为、，围成的三角形三个顶点为、、， 中，直角三角形的外接圆直径为斜边. 斜边的中点为，即圆心，，半径， 因此外接圆的标准方程为：（或展开为）. 13．若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【详解】函数在定义域为R，求导得， 依题意，，即恒成立，而，则， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14．若函数在上有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的差为______. 【答案】9 【详解】函数，求导得， 而，当时，，函数在上单调递增， 则，函数在上没有零点； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而，又在上有且只有一个零点， 则必有，即，解得， 所以，， 当时，由，得或；由，得， 因此在和上单调递增，在上单调递减， 又，则，， 所以函数在上的最大值与最小值的差为. 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．3已知直线l过点，并且与曲线相切. (1)若曲线，求直线l的方程； (2)若曲线，且与l相切于点，求的值. 【答案】(1) (2)3 【分析】 【详解】（1）点不在曲线上， 设切点为. 又，所以直线l的方程为， 由 解得， 所以直线l的方程为，即. （2）由题意知的导数， 则， 解得， 所以. 16．（15分）已知函数． (1)若函数在区间上存在单调递增区间，求实数a的取值范围； (2)当时，函数在区间上的最小值为，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）， 若在区间上存在单调递增区间， 可得当时，有解，即在有解， 因为当时，函数， 所以． （2）令，即， 因为当时，一元二次方程的根的判别式， 所以一元二次方程有两个不相等的实数根，分别设为， 又由，可得， 又由及，可得， 所以和时，，当时，， 可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又由，且函数在区间上的最小值为， 所以，可得． 17．（15分）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上有唯一极值点，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）时，，， ，， 所以所求切线方程为，即； （2）， 令，显然， 因为在区间上有唯一极值点，所以在上有唯一零点，且在零点两侧符号相反， ， ①时，在上恒成立，此时是增函数， 因为，， 所以在上存在唯一变号零点，，从而， 时，，，递减， 时，，，递增， 是在上的唯一极值点． ②时，在上恒成立，从而恒成立，在上递增，无极值点； ③时，，，恒成立，此时恒成立，在上递增，无极值点； 综上，的取值范围是． 18．（17分）已知函数，． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意恒成立，求整数的最小值． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 (3)1 【详解】（1）当时，，定义域为 则，令解得 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减 所以有极大值，无极小值 （2） 若时，在上恒成立，此时在上单调递增； 若时，令，即，解得或（舍去）. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 （3）因为对任意，恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立 设，则 设，，则在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即，则. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上的最大值 因为，所以. 故整数的最小值为1 19．（17分）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； (3)若在上存在零点，求的取值范围. 【答案】(1)极大值为，没有极小值 (2)0 (3) 【分析】 【详解】（1）当时，，定义域是 求导可得 令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 由此可得的极大值为，没有极小值. （2）当时，，定义域是 求导可得 令，定义域是，则 求导可得，当时，，因此在上是增函数， 所以，即在上是增函数，. （3），定义域是 求导可得， 令，定义域是 求导可得 分类讨论， 当时，，因此在上是减函数，； 当时，是负数，因此，在上是减函数，，不符合题目要求； 当时，，，因此存在，使得，即， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 因此，只需要，即时，在上存在零点； 当时，由第一问可知在上是增函数，，不符合题目要求； 当时，，即，在上是增函数，，不符合题目要求， 综上所述，的取值范围是. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $