第6章 导数及其应用 阶段性双测卷1 B卷 素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂单元双测卷（人教B版）

数 新高考 第六章 导数及其应用 学 阶段性双测卷一（导数、利用导数研究函数的性质） 同步单元双测卷 B卷·素养提升卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40 4 5.已知函数f(x)= e+1 十x3+sinx,其导函数 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 为f(x),则f(2020)+f'(2020)+f(-2020) 1.已知函数f(x)=ax2一x十1，若 一f(-2020)的值为 ) 整 imf1+4)-f =3,则实数a的值为( A.4040 B.4 △x0 △x A.2 B.1 C.2 D.0 C.-1 D.-2 6.(2018·全国I卷)设函数f(x)=x3十(a一1) 2.若函数)=cosx+2a()则f()片 x2+ax,若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在 如 ()的大小关系是 点(0,0)处的切线方程为 ) A()-(》 A.y=-2x B.y=- B()() C.y=2x D.y=x cf()>() D.不确定 7.原子有稳定和不稳定两种.不稳定的原子除天 3.近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系 然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生 列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调 碎片形成，这些不稳定的元素在放出α、3、Y等 控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提 出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内 射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为 完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与 “衰变”.这种不稳定的元素就称为放射性同位 时间的函数关系如图所示，则在以下四种房产 素.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已 供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐 经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了 步提高的是 显著经济效益.假设在放射性同位素针234的 Q 衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间t(单 位：天)满足函数关系N(t)=N,2,其中N。为 t=0时针234的含量.已知t=24时，钍234含 4.如图，y=f(x)是可导函数，直线1：y=x十2 曾 量的瞬时变化率为-8ln2,则N(120)=() 是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)= A.12贝克 B.121n2贝克 xf(x),g'(x)是g(x)的导函数，则g'(3)= C.6贝克 D.6ln2贝克 8.直线l:y=kx十b是曲线f(x)=ln(x+1)和曲 y=kx+2 线g(x)=ln(ex)的公切线，则b= ( A.2 A.-1 B.0 e C.2 D.4 C.In D.In(2e) 21 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20 16.已知曲线C1:f(x)=一e-2x,曲线C2:g(x) 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 =ax十cOsx. 要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有 选错的得0分.) 1)若前线C在x=0处的切线与C在1=受 9.下列四个命题中错误的是 处的切线平行，则实数a= A.曲线y=x3在原点处没有切线 (2)若曲线C上任意一点处的切线为l,总存 B.若函数f(x)=√，则f'(0)=0 在C,上一点处的切线L2,使得11⊥12，则实数 C.加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数 D.函数y=x的导函数的值恒非负 a的取值范围为 10.已知点A(1,2)在函数f(x)=ax3的图象上， 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出 则过点A的曲线C：y=f(x)的切线方程是 文字说明、证明过程或演算步骤.) ( ) 17.(本小题满分10分)函数y=mx3+2.x十1在点 A.6x-y-4=0 B.x-4y+7=0 (1,m十3)处的切线为1. C.4x-y+7=0 D.3.x-2y+1=0 (1)若l与直线y=3x平行，求实数m的值： 11.已知函数f(x)=√瓦-lnx,若f(x)在x=x 和x=x2(x1≠x2)处切线平行，则 () (2)若1与直线y=一2x垂直，求实数m A.1十1=1 =2 的值. √x1√x2 B.x1x2<128 C.1+x2<32 D.x+x>512 12.下列命题正确的有 () A.若f(x)=x sin x+cos2a,则f(x)=sinx -x cos a+2 sin 2a B.设函数f(x)=xlnx,若f(x,)=2,则x。 =e C.已知函数f(x)=3x2e2x,则f(1)=12e D.设函数f(x)的函数为f'(x),且f(x)=x +3xf(2)+1nx,则f(2)=-9 题号 12 3456789101112 答案 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共 20分.) 1B.已知由线y=3女上一点P(2,号 ,则过点P 的切线方程为 14.已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比，如 果车轮启动后转动第一圈需要0.8$，求转动 开始后第3.2s时的瞬时角速度 15.如图，已知y=f(x)是可导函数，直线1是曲线 yf(x)在x=4处的切线，令g(x)=f2 则g(4) Q4,5) y=f(x) 22 18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=√元，g(x) 19.(本小题满分12分)已知直线x+2y一4=0与 =alnx,a∈R,若曲线y=f(x)与曲线y=g 抛物线y2=4x相交于A,B两点，O是坐标原 (x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值 点，试在抛物线的曲线AOB上求一点P,使 及该切线的方程. △APB的面积最大. 23 20.(本小题满分12分)已知a,b,c∈R,函数f(x) 21.(本小题满分12分)记f(x),g(x)分别为函 =(x一a)(x一b)(x一c)的导函数为f(x). 数f(x),g(x)的导函数.若存在x,∈R,满足f (1)若b=c,求曲线y=f(x)在点(b,f(b)处 (x)=g()且f(xn)=g'(x。),则称x。为函 的切线方程； 数f(x)与g(x)的一个“S点” 2求7a+7o+7a的值. (1)证明：函数f(x)=x与g(x)=x2十2x一2 不存在“S点”； (2)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=lnx存在 “S点”，求实数a的值 24参考答案 第六章阶段性双测卷一 =k,可得2=名为=g(2)=2-1h6,即点 1 B卷·素养提升卷 1.A[根据题意，函数f(x)=a.x2-x十1，其导数f(x) B(六2-h: =2a.x-1,则f(1)=2a-1, 将，点B的坐标代入直线I的方程可得2一lnk=k· 1 又由1imf1+4）-f①=3，即f1)=2a-1=3, △x +b=b+1,.b=1-lnk,② 解可得a=2.] 2.B[因为f)=osx+2zf(答）} 联立①@可得=2，b=1-h2=ln气.] 9.ABC[A中，y=3x2,x=0时，y=0,.y=x3在原 所以f(x)=一 m+2f()故f() 点处的切线为y=0:B中，f(x)在x=0处导数不存 在；C中，s(t)对时间t的导数为瞬时速度；D,中y= im若+2f(晋)解得f()合 5.x≥0.所以命题ABC为假命题，D为真命题.] 所以f(x)=-sinx十1≥0，因此，函数f(x)=cosx 10.AD[因为，点A(1,2)在函数f(x)=ax3的图象上， 十x单调递增： 所以a=2.设切点P(x0),则由fx)=2x3得，f(x) 故f(晋)f()门 =6.x2,即=6x,所以在点P处的切线方程为：y一 2x8=6.x8(x-x0),即y=6x8x-4x8.而点A(1,2) 3.B[单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速 在切线上，.2=6.x8-4x8,即，2.x(x0-1)-(x6 度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会 越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图 D=(0-1D2(20+1D=0,解得=1或w=, 象应一直下凹的.] .切线方程为：6x-y-4=0和3x-2y十1=0.] 4.B[将点(3,1)代入直线的方程y=kx十2得3k十2= 1得=了所以3)==合由子点3,1在 1.AD[由发定知f)-石6>0，因为 f(x)在x=x1和x=x2（x1卡x2)处切线平行，所以 函数y=f(x)的图象上，则f(3)=1,对函数g(x)= xf(x)求导得g'(x)=f(x)+xf(x),∴g'(3)=f(3) f()=f(2),即、1-⊥=1 +3fr8)=1+3×(司）=0，故选R] 厉分A正确， 得+1=1， 后名化商 6.B[函教f2)++sin f(r)+f(- 由基本不等式及≠，可得宁店十后 1+1> 4 e++e+=4f()= (e+1)2+3.x2+cos x,f(x)-f'(-x)=0,f(2020)+f(2020)+f( 1,即x1x2>256,B错误：x1十x2>2V1四 N/x1x2 2020)-f(-2020)=4.] >32,C错误：x+x>2x1x2>512,D正确.故 6.D[因为函数f(x)是奇函数，所以a-1=0,解得a 选AD.] =1,所以f(x)=x3+x,f(x)=3x2+1, 12.BD A,f'(z)=sin r+x cos x- 所以f'(0)=1,f(0)=0, 所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y一 2sin2x,故A错误；对B,f(x)=lnx+1→f(xo) f(0)=f(0)x,化简可得y=x,故选D.] =lnxo+1=2→xo=e,故B正确；对C,f(x) 7.A[N()=-92.2东·N,所以-8n2 3.x2e2x→f(x)=6.xe2x+6.x2e2x→f(1)=12e2,故C 24 错误；对D,f(x)=x2+3xf(2)+lnx→f(x)=2.x -是·合·N=8,v)=N2 +3f(2)+子f(2)=一号故D正病] 384·2克，N(120)=384·2号=12（贝克）] 13.解析：1)当p为切点时，由y=(兮）=2，得 8.C[设直线l与曲线f(x)=ln(x+1)相切于点A (x1y1),直线1与曲线g(x)=ln(e2x)相切于点g y'|x=2=4,即过点P的切线方程的斜率为4. g:f)=1n+1.则f()-由 则所求的切线方程是y一号=4-2》，即12x一3 f市可得-片 -16=0. (2)当P点不是切点时，设切点为Q(x0yo), 则y1=f(x1)=ln(x1+1)=-l1nk,即点 A(-n小 则切线方程为y一子6=6红一， 将点A的坐标代入直线1的方程可得一lnk=k· 因为切线过点P(2,)起P点的坐标代入以上切 一+b,可得b=k-lnk-1,0 线方程，求得x0=一1或x0=2(即点P,舍去)，所以 k :g(x)=ln(e2x)=2+lnk,则g(x)=1,由g'(r2) 切点为Q(1,-吉）即所求切线方粒为3x一)十 2=0. 51 数学B版·选择性必修第三册 综上所述，过点P的切线方程为12x-3y一16=0 19.解：因为|AB|为定值，所以要使△APB的面积最大， 或3x-3y+2=0. 只要点P到AB的距离最大，即，点P是抛物线的平 答案：12.x-3y-16=0或3.x-3y十2=0 行于AB的切线的切点即可.设P(x,y),由图知，点 14.解析：设时间为t时，车轮旋转的角度为f(t),f(t)= P在x轴下方的图象上，所以y=一2√x,所以y= k2,由题意知2x=k·0.82,则k=25x.所以f() 8 答，则f0-29,了(a.2)=20xads,即给动 由y2=4x(y<0),得y=一4，所以当，点P的坐标为 开始后第3.2s时的瞬时角速度为20rrad/s (4,一4)时，△APB的面积最大， 答案：20xrad/s 15.解析：g(x) []-f@由巴图 20.解：(1)若b=c,则f(x)=(x-a)(x-b)2,所以 f(x)=(x-b)2+(x-a)·2(x-b),则f(b)=(b 象可知，直线1经过点P(0,3)和Q(4,5),故k1= -b)2+(b-a)·2(b-b)=0,即曲线y=f(x)在点 音-合由学教的几何湾义可得了(4=名国为 (b,f(b)处的切线斜率为0， 又f(b)=(b-a)(b-b)2=0, Q(4,5)在曲线y=f(x)上，故f(4)=5.故g(4)= 所以所求切线方程为：y=0. 4×f(4)-f(4) 4x-5 (2)由f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)得 3 42 42 16 f(x)=(x-b)(x-c)+(.x-a)[(x-b)(x-c)]'= 答案：是 (x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b),所 以f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-a)(b-c), 16.解析：(1)f(x)=一e一2，则曲线C在x=0处的 f'(c)=(c-a)(c-b), 切线的斜率k1=f'(0)=-3,g'(x)=a-sinx,C2 1 1 1 1 在=受处的切线的斜率妇=公（受 =a-1,依题 因此子a+70+70=a-0a-可 1 1 意有a-1=-3,即a=-2: (b-a)(b-c) (c-a)(c-b) a-b (2)曲线C1上任意一点处的切线的斜率1=f(x) 11 十 1 1 =-e7-2, a-c b-c) (c-a)(c-b) a-b 则与垂童的直线的钟季为。十(（0，合）片 b-a 1 1 a-0-+a-cw-=-a--+ 而过C2上一点处的切线的斜率k2=g'(x)=a一sinx 1 ∈[a-1,a+1], a-c)(b-c=0. /a-1≤0 21.解：(1)函数f(x)=x,g(x)=x2十2x-2,则f(x)= 依题意必 {a+1≥解得-1. 2 1,g(x)=2x+2 答案：一2 [ 由f)=8x)且f(x)=g(x,得=x+2x-2 1=2x+2 17.解：(1)由题意得：y=3mx2+2 ,此方程组无解， ∴.在(1，m十3)处切线斜率k=3m十2 因此，f(x)与g(x)不存在“S点” 切线与y=3x平行，.3n十2=3，解得m= 3 (2)函数f(x)=ax2-1,g(x)=lnx,则f(x)= (2)由(1)知，切线斜率k=3m十2， 2ax,g'()=1 x :切线与y=一2x垂直，(3m+2)·（合) 1 设x0为f(x)与g(x)的“S点”，由f(x0)=g(x0)且 -1,解得m=0. ax8-1=In xo 18.解：设两曲线的交点为(x0,y%),f(x) 2Gg'() f（xo)=g'(x0),得 1 ，即 2ax0-0 a x x0, az6-1=ln0,(*) o=aln ro, (2a.x=1 由已知得 解得 (a= -a 2e,两条曲线 得lnx0=一 （xo=e2. ，即0=e,则a (2 xo o 2(e)2=2 的交点坐标为(e2,e), 当a=号时0=e幸满足方程组(*)，即10为f) 切线的斜率为k=∫(e2)=2e,所以切线方程为y一e 与g(x)的“S点” (x-e2),即x-2ey十e2=0. 2e 因此，a的值为号 52