第八章 成对数据的统计分析（单元测试·冲刺卷）数学人教A版选择性必修第三册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第八章 成对数据的统计分析·冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列变量之间的关系不是相关关系的是（    ） A．光照时间与大棚内蔬菜的产量 B．举重运动员所能举起的最大重量与他的体重 C．某正方形的边长与此正方形的面积 D．人的身高与体重 2．某村庄对该村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示： 每年体检 每年未体检 合计 老年人 7 年轻人 6 合计 50 已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是（    ） A． B． C． D． 3．茶产业不仅是产业发展的新引擎，更是实现乡村振兴的关键力量．某山区农村茶产业合作社统计了村民每户家庭人口数与每户茶产业年收入的情况，已知变量和满足经验回归方程，且变量和一组相关数据统计结果如下表： 每户家庭人口数（人） 3 4 5 6 每户茶产业年收入（万元） 5 8 17 则下列说法错误的是（   ） A． B．变量和呈正相关 C．该经验回归方程必过点 D．若某户家庭人口数为8时，预测该户茶产业的年收入为万元 4．已知变量之间具有线性相关关系，根据5对样本数据求得经验回归方程为，若，，则（　　） A．18 B．3.6 C．2.4 D．1.2 5．我国2016-2024年科幻产业营收（单位：亿元）如下表所示： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 时间变量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 营收 100.0 140.0 456.4 658.7 551.1 829.6 877.5 1132.9 1089.6 根据表中数据建立与的线性回归方程，预测我国2025年科幻产业营收约为（）（参考数据：） A．1310.9亿元 B．1222.1亿元 C．1339.1亿元 D．1443.4亿元 6．设两个相关变量和分别满足，，，2，…，6，若相关变量和可拟合为非线性回归方程，则当时，的估计值为（    ） A．32 B．63 C．64 D．128 7．足球运动是深受学生喜爱的一项体育运动，为了研究是否喜爱足球运动与学生性别的关系，从某高校男女生中各随机抽取80名学生进行调查问卷，得到如下数据（）： 喜爱 不喜爱 男生 女生 若有90%以上的把握认为是否喜爱足球运动与学生性别有关，则m的最小值为（    ） 附：．其中． 0.15 0.10 0.05 0.001 k 2.072 2.706 3.841 6.635 A．17 B．15 C．13 D．11 8．在卡方独立性检验中，，其中为列联表中第行列的实际频数，为假定独立情况下由每行､每列的总频率乘以总频数得到的理论频数，取时，如表所示，则有：，因此：与课本公式等价，故以下列联表的最小值为（    ） 1 2 3 4 30 30 25 45 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．（珍稀动物——白天鹅）每年3，4月间，成批白天鹅从地中海沿岸、南亚等温暖的地方来到天山中部广袤的巴音布鲁克草原，为保护这些白天鹅，某动物保护机构研究了这时期5个区域每1万平方米白天鹅的平均只数y与草原上每1万平方米白天鹅的天敌狼和狐狸的平均只数x之间的对应数据如下表所示： x 10 15 20 25 30 y 11 10 8 6 5 根据表中的数据计算得经验回归方程为，则下列结论正确的是（   ） A．y与x负相关 B．回归直线一定经过点 C．当时， D．当时，残差的绝对值最小 10．昆明市第三中学在课外活动中新增了攀岩项目，为了解学生对攀岩的喜好和性别是否有关，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男、女生人数相同，并绘制如图所示的等高堆积图，则（       ）                      参考公式及数据 其中 a 0.10 0.05 0.010 0.001 xa 2.706 3.841 6.635 10.828 A．参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多 B．参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多 C．若参与调查的男、女生人数均为100，依据的独立性检验，认为对攀岩的喜好和性别有关 D．无论参与调查的男、女生人数为多少，依据的独立性检验，认为对攀岩的喜好和性别有关 11．一组样本数据．其中，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为，分布如图所示，且，则（   ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金.现该企业为了了解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额（单位：亿元）的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额和年盈利额的数据.通过对比分析，建立了两个函数模型：①，②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.令，，经计算得如下数据： 26 215 65 2 680 5.36 11250 130 2.6 12 请从相关系数的角度分析，模型拟合程度更好是___________；利用模型拟合程度更好的模型以及表中数据，建立关于的回归方程为___________；（系数精确到0.01） 附：①相关系数，回归直线中：， 13．某商家统计了某商品最近5个月销量，如表所示，若与线性相关，且经验回归方程为， 时间 1 2 3 4 5 销量万只 5 4.5 4 3.5 2.5 给出下列说法： ①由题中数据可知，变量与负相关 ②当时，残差为 ③可以预测当时销量约为万只 ④经验回归方程中 其中正确的是__________（填序号）. 14．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查．在全校学生中随机抽取（是正整数）个学生，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人． 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：，其中． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据： 天数(序号)x 1 2 3 4 5 每日取件人数 120 100 80 70 55 (1)计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)； (2)从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望. 注: （1）样本的相关系数 （2） 参考数据： 16．（15分）某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中，. (1)依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出所选类型的回归方程. (2)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表： 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？ 参考公式：，，，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17．（15分）某医药研究所为了评估一种新药的疗效，开展了临床试验．研究人员记录了14名志愿者服用不同剂量的药物后，血液中某关键生化指标y（单位：）随给药剂量x（单位：mg）的变化情况．为了寻找最合适的预测模型，研究人员分别利用模型一和模型二对这14组数据进行了拟合，并绘制了相应的残差图（如图所示，图中纵轴为残差，横轴为给药剂量）． (1)观察残差图，判断哪个模型的拟合效果更好，并说明理由； (2)设这14组数据得到的经验回归方程为． （ⅰ）已知样本中的某位志愿者的给药剂量为，生化指标为．若该样本点在拟合效果更优的模型中的残差对应于图中标注的四点之一，请指出该点并说明理由； （ⅱ）若在这14组数据中，给药剂量的标准差为，生化指标的标准差为，求生化指标与给药剂量的相关系数．（结果精确到0.01） 参考公式：相关系数；经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 18．（17分）已知与及与的成对数据如下表，且关于的回归直线方程为． 0.1 0.4 0.9 1.6 2.5 3.6 4.9 1 4 6 8 9 10 1 4 9 16 25 36 49 0 4 7 9 11 12 13 (1)求关于的回归直线方程； (2)由散点图发现可以用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）； (3)又得到一组新数据，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）（2）两个方程哪个拟合效果更好． 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，其回归直线方程为，其中． 19．（17分）为调查大学数学专业的学生对中华优秀传统文化的了解情况，现对某大学的数学专业学生进行抽样调查.已知被调查的男､女生人数均为（为正整数），得到以下列联表： (1)调查结果显示有的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，但没有的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，求的值； (2)当时，采用分层抽样的方式在“了解中华优秀传统文化”的学生中抽取10人. ①从这10人中随机抽取3人进行第二次调查，在第二次调查中，已知至少有2名女生被抽到，求抽到男生的概率； ②在“不了解中华优秀传统文化”的男生中再随机抽取人，然后从这人中随机抽取2人.用随机变量表示抽到“了解中华优秀传统文化”的女生人数，若随机变量的数学期望值不小于，求的最大值. 男生 女生 合计 了解 不了解 合计 参考公式：，其中. 参考数据： 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第5页（共10页） 试题 第6页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第八章 成对数据的统计分析·冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列变量之间的关系不是相关关系的是（    ） A．光照时间与大棚内蔬菜的产量 B．举重运动员所能举起的最大重量与他的体重 C．某正方形的边长与此正方形的面积 D．人的身高与体重 2．某村庄对该村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示： 每年体检 每年未体检 合计 老年人 7 年轻人 6 合计 50 已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是（    ） A． B． C． D． 3．茶产业不仅是产业发展的新引擎，更是实现乡村振兴的关键力量．某山区农村茶产业合作社统计了村民每户家庭人口数与每户茶产业年收入的情况，已知变量和满足经验回归方程，且变量和一组相关数据统计结果如下表： 每户家庭人口数（人） 3 4 5 6 每户茶产业年收入（万元） 5 8 17 则下列说法错误的是（   ） A． B．变量和呈正相关 C．该经验回归方程必过点 D．若某户家庭人口数为8时，预测该户茶产业的年收入为万元 4．已知变量之间具有线性相关关系，根据5对样本数据求得经验回归方程为，若，，则（　　） A．18 B．3.6 C．2.4 D．1.2 5．我国2016-2024年科幻产业营收（单位：亿元）如下表所示： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 时间变量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 营收 100.0 140.0 456.4 658.7 551.1 829.6 877.5 1132.9 1089.6 根据表中数据建立与的线性回归方程，预测我国2025年科幻产业营收约为（）（参考数据：） A．1310.9亿元 B．1222.1亿元 C．1339.1亿元 D．1443.4亿元 6．设两个相关变量和分别满足，，，2，…，6，若相关变量和可拟合为非线性回归方程，则当时，的估计值为（    ） A．32 B．63 C．64 D．128 7．足球运动是深受学生喜爱的一项体育运动，为了研究是否喜爱足球运动与学生性别的关系，从某高校男女生中各随机抽取80名学生进行调查问卷，得到如下数据（）： 喜爱 不喜爱 男生 女生 若有90%以上的把握认为是否喜爱足球运动与学生性别有关，则m的最小值为（    ） 附：．其中． 0.15 0.10 0.05 0.001 k 2.072 2.706 3.841 6.635 A．17 B．15 C．13 D．11 8．在卡方独立性检验中，，其中为列联表中第行列的实际频数，为假定独立情况下由每行､每列的总频率乘以总频数得到的理论频数，取时，如表所示，则有：，因此：与课本公式等价，故以下列联表的最小值为（    ） 1 2 3 4 30 30 25 45 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．（珍稀动物——白天鹅）每年3，4月间，成批白天鹅从地中海沿岸、南亚等温暖的地方来到天山中部广袤的巴音布鲁克草原，为保护这些白天鹅，某动物保护机构研究了这时期5个区域每1万平方米白天鹅的平均只数y与草原上每1万平方米白天鹅的天敌狼和狐狸的平均只数x之间的对应数据如下表所示： x 10 15 20 25 30 y 11 10 8 6 5 根据表中的数据计算得经验回归方程为，则下列结论正确的是（   ） A．y与x负相关 B．回归直线一定经过点 C．当时， D．当时，残差的绝对值最小 10．昆明市第三中学在课外活动中新增了攀岩项目，为了解学生对攀岩的喜好和性别是否有关，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男、女生人数相同，并绘制如图所示的等高堆积图，则（       ）                      参考公式及数据 其中 a 0.10 0.05 0.010 0.001 xa 2.706 3.841 6.635 10.828 A．参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多 B．参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多 C．若参与调查的男、女生人数均为100，依据的独立性检验，认为对攀岩的喜好和性别有关 D．无论参与调查的男、女生人数为多少，依据的独立性检验，认为对攀岩的喜好和性别有关 11．一组样本数据．其中，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为，分布如图所示，且，则（   ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金.现该企业为了了解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额（单位：亿元）的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额和年盈利额的数据.通过对比分析，建立了两个函数模型：①，②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.令，，经计算得如下数据： 26 215 65 2 680 5.36 11250 130 2.6 12 请从相关系数的角度分析，模型拟合程度更好是___________；利用模型拟合程度更好的模型以及表中数据，建立关于的回归方程为___________；（系数精确到0.01） 附：①相关系数，回归直线中：， 13．某商家统计了某商品最近5个月销量，如表所示，若与线性相关，且经验回归方程为， 时间 1 2 3 4 5 销量万只 5 4.5 4 3.5 2.5 给出下列说法： ①由题中数据可知，变量与负相关 ②当时，残差为 ③可以预测当时销量约为万只 ④经验回归方程中 其中正确的是__________（填序号）. 14．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查．在全校学生中随机抽取（是正整数）个学生，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人． 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：，其中． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据： 天数(序号)x 1 2 3 4 5 每日取件人数 120 100 80 70 55 (1)计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)； (2)从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望. 注: （1）样本的相关系数 （2） 参考数据： 16．（15分）某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中，. (1)依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出所选类型的回归方程. (2)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表： 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？ 参考公式：，，，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17．（15分）某医药研究所为了评估一种新药的疗效，开展了临床试验．研究人员记录了14名志愿者服用不同剂量的药物后，血液中某关键生化指标y（单位：）随给药剂量x（单位：mg）的变化情况．为了寻找最合适的预测模型，研究人员分别利用模型一和模型二对这14组数据进行了拟合，并绘制了相应的残差图（如图所示，图中纵轴为残差，横轴为给药剂量）． (1)观察残差图，判断哪个模型的拟合效果更好，并说明理由； (2)设这14组数据得到的经验回归方程为． （ⅰ）已知样本中的某位志愿者的给药剂量为，生化指标为．若该样本点在拟合效果更优的模型中的残差对应于图中标注的四点之一，请指出该点并说明理由； （ⅱ）若在这14组数据中，给药剂量的标准差为，生化指标的标准差为，求生化指标与给药剂量的相关系数．（结果精确到0.01） 参考公式：相关系数；经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 18．（17分）已知与及与的成对数据如下表，且关于的回归直线方程为． 0.1 0.4 0.9 1.6 2.5 3.6 4.9 1 4 6 8 9 10 1 4 9 16 25 36 49 0 4 7 9 11 12 13 (1)求关于的回归直线方程； (2)由散点图发现可以用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）； (3)又得到一组新数据，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）（2）两个方程哪个拟合效果更好． 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，其回归直线方程为，其中． 19．（17分）为调查大学数学专业的学生对中华优秀传统文化的了解情况，现对某大学的数学专业学生进行抽样调查.已知被调查的男､女生人数均为（为正整数），得到以下列联表： (1)调查结果显示有的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，但没有的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，求的值； (2)当时，采用分层抽样的方式在“了解中华优秀传统文化”的学生中抽取10人. ①从这10人中随机抽取3人进行第二次调查，在第二次调查中，已知至少有2名女生被抽到，求抽到男生的概率； ②在“不了解中华优秀传统文化”的男生中再随机抽取人，然后从这人中随机抽取2人.用随机变量表示抽到“了解中华优秀传统文化”的女生人数，若随机变量的数学期望值不小于，求的最大值. 男生 女生 合计 了解 不了解 合计 参考公式：，其中. 参考数据： 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第八章 成对数据的统计分析·冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列变量之间的关系不是相关关系的是（    ） A．光照时间与大棚内蔬菜的产量 B．举重运动员所能举起的最大重量与他的体重 C．某正方形的边长与此正方形的面积 D．人的身高与体重 【答案】C 【详解】C中的两个变量之间是确定的函数关系，A，B，D中的两个变量之间的关系都是相关关系. 故选：C 2．某村庄对该村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示： 每年体检 每年未体检 合计 老年人 7 年轻人 6 合计 50 已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， ，，，， 所以，，，，． 故选：D． 3．茶产业不仅是产业发展的新引擎，更是实现乡村振兴的关键力量．某山区农村茶产业合作社统计了村民每户家庭人口数与每户茶产业年收入的情况，已知变量和满足经验回归方程，且变量和一组相关数据统计结果如下表： 每户家庭人口数（人） 3 4 5 6 每户茶产业年收入（万元） 5 8 17 则下列说法错误的是（   ） A． B．变量和呈正相关 C．该经验回归方程必过点 D．若某户家庭人口数为8时，预测该户茶产业的年收入为万元 【答案】C 【详解】由题知，. 代入，得出， 所以，A选项正确； ，变量和呈正相关，B选项正确； 由题知，，该经验回归方程必过点，C选项错误； 当时，， 故当某户家庭人口数为8时，预测该户茶产业的年收入为25.7万元，D选项正确； 故选：C 4．已知变量之间具有线性相关关系，根据5对样本数据求得经验回归方程为，若，，则（　　） A．18 B．3.6 C．2.4 D．1.2 【答案】B 【详解】根据题意可得，，， 则5对样本数据的样本点中心为， 将其代入方程中得，，则. 故选：B. 5．我国2016-2024年科幻产业营收（单位：亿元）如下表所示： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 时间变量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 营收 100.0 140.0 456.4 658.7 551.1 829.6 877.5 1132.9 1089.6 根据表中数据建立与的线性回归方程，预测我国2025年科幻产业营收约为（）（参考数据：） A．1310.9亿元 B．1222.1亿元 C．1339.1亿元 D．1443.4亿元 【答案】A 【详解】， 所以样本中心点为满足回归方程， 代入得：，计算得： 所以回归方程为. 2025年对应的时间变量，代入回归方程： 因此，预测我国2025年科幻产业营收为1310.9亿元. 故选：A 6．设两个相关变量和分别满足，，，2，…，6，若相关变量和可拟合为非线性回归方程，则当时，的估计值为（    ） A．32 B．63 C．64 D．128 【答案】C 【详解】令，则 ， ，， 所以 ，， 所以，即， 所以当时， . 故选：C. 7．足球运动是深受学生喜爱的一项体育运动，为了研究是否喜爱足球运动与学生性别的关系，从某高校男女生中各随机抽取80名学生进行调查问卷，得到如下数据（）： 喜爱 不喜爱 男生 女生 若有90%以上的把握认为是否喜爱足球运动与学生性别有关，则m的最小值为（    ） 附：．其中． 0.15 0.10 0.05 0.001 k 2.072 2.706 3.841 6.635 A．17 B．15 C．13 D．11 【答案】B 【详解】因为有90%以上的把握认为是否喜爱足球运动与学生性别有关， 所以， 即，因为在，时单调递增， 且，， 所以m的最小值为15. 故选：B. 8．在卡方独立性检验中，，其中为列联表中第行列的实际频数，为假定独立情况下由每行､每列的总频率乘以总频数得到的理论频数，取时，如表所示，则有：，因此：与课本公式等价，故以下列联表的最小值为（    ） 1 2 3 4 30 30 25 45 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知，可将上述列联表补充完整， 30 30 25 45 ，所以， ； ； ； ； ； ； ，① 由，设，，所以 ， 带入①式得： 令，设函数，该函数为对勾函数，函数在区间单调递减，在区间单调递增，而因为，所以当时最接近最小值，故时，时①式取得最小值，为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．（珍稀动物——白天鹅）每年3，4月间，成批白天鹅从地中海沿岸、南亚等温暖的地方来到天山中部广袤的巴音布鲁克草原，为保护这些白天鹅，某动物保护机构研究了这时期5个区域每1万平方米白天鹅的平均只数y与草原上每1万平方米白天鹅的天敌狼和狐狸的平均只数x之间的对应数据如下表所示： x 10 15 20 25 30 y 11 10 8 6 5 根据表中的数据计算得经验回归方程为，则下列结论正确的是（   ） A．y与x负相关 B．回归直线一定经过点 C．当时， D．当时，残差的绝对值最小 【答案】ACD 【详解】对于A，由表格数据可知，随着x的增加，y减少，所以y与x负相关，故A正确； 对于B，因为，， 故样本中心点为，又回归直线必过样本中心点，不一定过点，故B错误； 对于C，由B知，解得，所以回归模型为，故当时，，故C正确； 对于D，残差如下：当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 故当时，残差的绝对值最小，故D正确． 故选：ACD. 10．昆明市第三中学在课外活动中新增了攀岩项目，为了解学生对攀岩的喜好和性别是否有关，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男、女生人数相同，并绘制如图所示的等高堆积图，则（       ）                      参考公式及数据 其中 a 0.10 0.05 0.010 0.001 xa 2.706 3.841 6.635 10.828 A．参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多 B．参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多 C．若参与调查的男、女生人数均为100，依据的独立性检验，认为对攀岩的喜好和性别有关 D．无论参与调查的男、女生人数为多少，依据的独立性检验，认为对攀岩的喜好和性别有关 【答案】AC 【详解】由题意，设参加调查的男、女生人数均为m人，则关于对攀岩的喜好和性别的抽样数据的列联表如下： 单位：人 性别 攀岩 合计 喜欢 不喜欢 男生 0.8m 0.2m m 女生 0.3m 0.7m m 合计 1.1m 0.9m 2m 所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少，A正确，B错误； ，当时，， 所以当参与调查的男、女生人数均为100时，根据的独立性检验，认为对攀岩的喜好和性别有关，C正确， 和有关，当时，，所以D错误． 故选：AC 11．一组样本数据．其中，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为，分布如图所示，且，则（   ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 【答案】ABD 【详解】对于A，经验回归方程中斜率，则样本负相关，A正确； 对于B，原样本均值：，由，得，B正确： 对于C，由图1的数据波动较大可得比更集中，则，C错误； 对于D，由图1的残差平方和较图2的残差平方和大知，处理后拟合效果更好，决定系数变大，D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金.现该企业为了了解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额（单位：亿元）的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额和年盈利额的数据.通过对比分析，建立了两个函数模型：①，②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.令，，经计算得如下数据： 26 215 65 2 680 5.36 11250 130 2.6 12 请从相关系数的角度分析，模型拟合程度更好是___________；利用模型拟合程度更好的模型以及表中数据，建立关于的回归方程为___________；（系数精确到0.01） 附：①相关系数，回归直线中：， 【答案】 模型的拟合程度更好 【详解】设和的相关系数为，和的相关系数为， 由题意，， ， 则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好. 先建立关于的线性回归方程，由，得，即， ， ， 所以关于的线性回归方程为， 所以，则. 故答案为：①模型的拟合程度更好；② 13．某商家统计了某商品最近5个月销量，如表所示，若与线性相关，且经验回归方程为， 时间 1 2 3 4 5 销量万只 5 4.5 4 3.5 2.5 给出下列说法： ①由题中数据可知，变量与负相关 ②当时，残差为 ③可以预测当时销量约为万只 ④经验回归方程中 其中正确的是__________（填序号）. 【答案】①③④ 【详解】由经验回归方程，可知回归直线的斜率，即变量与负相关，同时结合表格，可知销量随着的增大而减小，故①正确； 又由表格可得，， 因样本中心点在回归方程上，则得，故④正确； 则回归方程为，当时，，此时残差为，故②错误； 当时，代入回归方程可得，即可以预测当时销量约为万只，故③正确. 14．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查．在全校学生中随机抽取（是正整数）个学生，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人． 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：，其中． 【答案】 【详解】因为抽取个学生，女生人数是男生人数的， 所以抽取个男生，个女生，为了便于计算，我们令， 设男生人数为，依题意可得列联表如下： 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则，由，解得， 由题知应为6的整数倍， 而根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则男生至少有30人， 故答案为：30. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据： 天数(序号)x 1 2 3 4 5 每日取件人数 120 100 80 70 55 (1)计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)； (2)从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望. 注: （1）样本的相关系数 （2）参考数据： 【详解】（1），， 2分 ， 3分 ， 4分 ， 5分 样本相关系数： ， 7分 因为非常接近1，所以变量x与y之间具有很强的线性相关关系. 8分 （2）5天中取件人数小于100的天数有3天， 从这5天中随机选取3天，的可能取值为1，2，3. ， ， ， 11分 所以的分布列为： 1 2 3 的数学期望 13分 16．（15分）某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中，. (1)依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出所选类型的回归方程. (2)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表： 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？ 参考公式：，，，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）由图可以判断，更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型， 2分 由，得到， 4分 因为，则， 7分 则， 8分 所以，则. 9分 （2）零假设：市民佩戴头盔与性别无关联. 11分 根据列联表中的数据，经计算得到： ， 13分 根据小概率值的独立性检验，我们没有理由认为不成立，即认为市民佩戴头盔与性别没有关联. 15分 17．（15分）某医药研究所为了评估一种新药的疗效，开展了临床试验．研究人员记录了14名志愿者服用不同剂量的药物后，血液中某关键生化指标y（单位：）随给药剂量x（单位：mg）的变化情况．为了寻找最合适的预测模型，研究人员分别利用模型一和模型二对这14组数据进行了拟合，并绘制了相应的残差图（如图所示，图中纵轴为残差，横轴为给药剂量）． (1)观察残差图，判断哪个模型的拟合效果更好，并说明理由； (2)设这14组数据得到的经验回归方程为． （ⅰ）已知样本中的某位志愿者的给药剂量为，生化指标为．若该样本点在拟合效果更优的模型中的残差对应于图中标注的四点之一，请指出该点并说明理由； （ⅱ）若在这14组数据中，给药剂量的标准差为，生化指标的标准差为，求生化指标与给药剂量的相关系数．（结果精确到0.01） 参考公式：相关系数；经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【详解】（1）模型一的拟合效果更好， 1分 理由如下： 模型一残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型二的带状宽度窄，所以模型一的拟合精度更高，经验回归方程的预报精度相应就越高． 3分 （2）（ⅰ）点，理由如下： 因为模型一的拟合效果更好，经验回归方程为， 所以该方程相应于点的残差为，故选点； 5分 （ⅱ）由题可知，， 所以， 8分 由， 10分 ， 12分 所以 ． 15分 18．（17分）已知与及与的成对数据如下表，且关于的回归直线方程为． 0.1 0.4 0.9 1.6 2.5 3.6 4.9 1 4 6 8 9 10 1 4 9 16 25 36 49 0 4 7 9 11 12 13 (1)求关于的回归直线方程； (2)由散点图发现可以用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）； (3)又得到一组新数据，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）（2）两个方程哪个拟合效果更好． 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，其回归直线方程为，其中． 【详解】（1）由表中数据得， 2分 则，， 又关于的回归直线方程为，则， 即关于的回归直线方程为． 5分 （2）若用函数模型拟合与的关系，则令，此时， 7分 则， 9分 即， 又，所以关于的回归方程为． 11分 （3）（1）中关于的回归直线方程为， 所以当时，，残差为， 13分 （2）中关于的回归方程为，所以当时，， 15分 残差为，因为，所以（2）中方程的拟合效果更好． 17分 19．（17分）为调查大学数学专业的学生对中华优秀传统文化的了解情况，现对某大学的数学专业学生进行抽样调查.已知被调查的男､女生人数均为（为正整数），得到以下列联表： (1)调查结果显示有的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，但没有的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，求的值； (2)当时，采用分层抽样的方式在“了解中华优秀传统文化”的学生中抽取10人. ①从这10人中随机抽取3人进行第二次调查，在第二次调查中，已知至少有2名女生被抽到，求抽到男生的概率； ②在“不了解中华优秀传统文化”的男生中再随机抽取人，然后从这人中随机抽取2人.用随机变量表示抽到“了解中华优秀传统文化”的女生人数，若随机变量的数学期望值不小于，求的最大值. 男生 女生 合计 了解 不了解 合计 参考公式：，其中. 参考数据： 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 【详解】（1）被调查的男女生人数均为，其中男生中不了解的有，则了解的有， 其中女生中了解的有，则不了解的有， 2分 则可得列联表如下所示： 男生 女生 合计 了解 不了解 合计 5分 因， 7分 由题意，可知，又，可得； 8分 （2）①当时，了解中华优秀传统文化的男生有人，女生有人， 则采用分层抽样时，在男生中抽取人，女生中抽取人， 再从这10人中随机抽取3人进行第二次调查， 记“至少有2名女生被抽到”为事件A，“抽到男生”为事件B， 则； 11分 ②根据题意可知这人中有4人是了解中华优秀传统文化的女生， 随机抽取2人，随机变量的取值为， ， 14分 则， 16分 依题意，由，解得， 所以的最大值为. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第八章 成对数据的统计分析测试·冲刺卷（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C D C B A C B C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ACD AC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．模型的拟合程度更好 13．①③④ 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1），， 2分 ， 3分 ， 4分 ， 5分 样本相关系数： ， 7分 因为非常接近1，所以变量x与y之间具有很强的线性相关关系. 8分 （2）5天中取件人数小于100的天数有3天， 从这5天中随机选取3天，的可能取值为1，2，3. ， ， ， 11分 所以的分布列为： 1 2 3 的数学期望 13分 16．【详解】（1）由图可以判断，更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型， 2分 由，得到， 4分 因为，则， 7分 则， 8分 所以，则. 9分 （2）零假设：市民佩戴头盔与性别无关联. 11分 根据列联表中的数据，经计算得到： ， 13分 根据小概率值的独立性检验，我们没有理由认为不成立，即认为市民佩戴头盔与性别没有关联. 15分 17．【详解】（1）模型一的拟合效果更好， 1分 理由如下： 模型一残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型二的带状宽度窄，所以模型一的拟合精度更高，经验回归方程的预报精度相应就越高． 3分 （2）（ⅰ）点，理由如下： 因为模型一的拟合效果更好，经验回归方程为， 所以该方程相应于点的残差为，故选点； 5分 （ⅱ）由题可知，， 所以， 8分 由， 10分 ， 12分 所以 ． 15分 18．【详解】（1）由表中数据得， 2分 则，， 又关于的回归直线方程为，则， 即关于的回归直线方程为． 5分 （2）若用函数模型拟合与的关系，则令，此时， 7分 则， 9分 即， 又，所以关于的回归方程为． 11分 （3）（1）中关于的回归直线方程为， 所以当时，，残差为， 13分 （2）中关于的回归方程为，所以当时，， 15分 残差为，因为，所以（2）中方程的拟合效果更好． 17分 19．【详解】（1）被调查的男女生人数均为，其中男生中不了解的有，则了解的有， 其中女生中了解的有，则不了解的有， 2分 则可得列联表如下所示： 男生 女生 合计 了解 不了解 合计 5分 因， 7分 由题意，可知，又，可得； 8分 （2）①当时，了解中华优秀传统文化的男生有人，女生有人， 则采用分层抽样时，在男生中抽取人，女生中抽取人， 再从这10人中随机抽取3人进行第二次调查， 记“至少有2名女生被抽到”为事件A，“抽到男生”为事件B， 则； 11分 ②根据题意可知这人中有4人是了解中华优秀传统文化的女生， 随机抽取2人，随机变量的取值为， ， 14分 则， 16分 依题意，由，解得， 所以的最大值为. 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $