第七章 随机变量及其分布（单元测试·冲刺卷）数学人教A版选择性必修第三册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第七章 随机变量及其分布·冲刺卷（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 A A C C B C D D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABC ABC CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．72 13． 14．/ / 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）记“从甲箱中任取2件产品，至少取到1件次品”为事件， 则. 2分 故从甲箱中任取2件产品，至少取到1件次品的概率为. 3分 （2）记“从乙箱取出一个正品”为事件，“从甲箱中取出两个正品”为事件， “从甲箱中取出一个正品、一个次品”为事件，“从甲箱中取出两个次品”为事件， 则两两互斥，且， 5分 则，，， 8分 所以. 11分 故取出的这件产品是正品的概率为. 13分 16．【详解】（1）每箱产品中恰有1件不合格品的概率，， 2分 则，令，得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 6分 所以的极大值点. 7分 （2）由（1）知， 若选择方案一，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为， 则 ； 10分 若选择方案二，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为． ； 13分 因为，所以应该选择方案一． 15分 17．【详解】（1）记“此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一球”， 记“第次摸出红球，并且答题正确”，， 记“第次摸出黑球，并且答题正确”，， 记“第次摸出黑球或红球，并且答题错误”，， 2分 所以， 又，，， 5分 所以 ， 7分 同理， 所以. 9分 （2）①第次后游戏停止的情况是：前次答题正确恰好为次， 答题错误次，且第次摸出一球时答题正确， 所以. 11分 ②由①知，， 所以， 13分 令，解得， 令，解得，即， ， 所以的最大值是. 15分 18．【详解】（1）设甲同学答对第题为事件， ① , 2分 ②若甲同学最后一题答错，则有4种情况， ，，，此时， ． 3分 若甲同学最后一题答对，则有4种情况， ，，， ， 4分 ， ． 6分 综上可知：，分布列如下： 0 1 4 16 0.5 0.14 0.3 0.06 7分 （2）若甲第一题进行场外求助，设获奖的概率为， 则． 9分 若甲第二题进行场外求助，获奖的概率为，则， 10分 若甲第三题进行场外求助，设获奖的概率为， 则， 12分 令， 14分 该二次函数开口向下，对称轴为. 因为，函数的最小值在端点处取到， 即，即. ，故选择第1题求助获奖概率最大． 17分 19．【详解】（1）（ⅰ）设“从混合放在一起的零件中随机抽取一件是甲车间生产”，“从混合放在一起的零件中随机抽取一件是乙车间生产”，“从混合放在一起的零件中随机抽取一件是合格品”， 由条件可知，，，，， 3分 ， 得， 所以乙车间加工零件的达标率为； 6分 （ⅱ），，， ，， ， 9分 分布列如下， 0 1 2 3 11分 期望 12分 （2）由，即，则， 所以， 得， ， 所以， 14分 所以， 即， 所以， 得，即， 16分 所以， 所以，得证. 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第七章 随机变量及其分布·冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知随机变量X服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 2．已知随机变量的分布列： 0 1 满足，，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 3．在一个不透明的盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中一次取出2个小球，设事件为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件为“取出的2个小球中最小数字为3”，则（   ） A． B． C． D． 4．甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球（两盒中的球除颜色外没有其他区别）．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，再从乙盒中随机取出两球，则取出的两球都是白球的概率为（　　） A． B． C． D． 5．某同学每次投篮命中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投篮，那么投篮总次数的数学期望为（   ） A．4 B． C．3 D． 6．端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（   ） A．随着的增大，增加，增加 B．随着的增大，增加，减小 C．随着的增大，减少，增加 D．随着的增大，减小，减小 7．为备战乒乓球赛，某体校甲､乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（   ） A．28 B．24 C．32 D．27 8．飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数.在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．若随机变量，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．一个袋中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中随机摸出20个球作为样本．若有放回摸球，用表示样本中黄球的个数，则其分布列；若无放回摸球，用表示样本中黄球的个数，则分布列为．利用统计软件计算出和的分布列的概率值如下表： 0 11 1 12 2 13 3 14 4 15 5 16 6 17 7 18 8 19 9 20 10 则下面选项正确的是（    ） A． B． C．有放回抽样中，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，误差的绝对值不超过0.1的概率约为0.7469； D．无放回抽样中，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，误差的绝对值不超过0.05的概率约为0.50533 11．已知随机变量服从正态分布，设函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．百华实验中学高三年级有学生600人，在某次开学数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为_____人． 13．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次命中的概率为，向乙靶射击两次，每次命中的概率为，该射手每次射击的结果相互独立．该射手完成以上三次射击，恰好命中一次的概率为________． 14．已知某盒中装有 6 个大小、质地一致的乒乓球，其中有 4 个新球 (从未被使用过) 2 个旧球，第一次比赛时从此盒中任取 2 个球来使用．赛后仍将两球放回盒中，第二次比赛时再从此盒中任取 2 个球使用． ①第二次比赛时取出的 2 个球都是新球的概率为 _____． ②在第一次比赛时取出 2 个旧球，赛后将两球放回盒中的条件下，第二次比赛时取出个新球的概率为 _____． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）甲箱的产品中有6件正品和2件次品，乙箱的产品中有5件正品和2件次品． (1)从甲箱中任取2件产品，求至少取到1件次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2件产品放入乙箱，再从乙箱中任取1件产品，求取出的这件产品是正品的概率． 16．（15分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱5件．该产品按箱售卖，每箱30元．用户在使用某箱该产品时，若出现1件不合格品，则工厂赔偿10元；若出现2件不合格品，则工厂赔偿20元；若出现3～5件不合格品，则工厂赔偿30元．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． (1)记每箱产品中恰有1件不合格品的概率为，求的极大值点． (2)工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案．方案一：从每一箱产品中随机抽1件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．方案二：从每一箱产品中随机抽2件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．已知每件产品的检验费用为2元，以（1）中确定的作为p的值，以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二？ 17．（15分）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同.某人做摸球答题游戏.规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题.若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐.此人答对每一道题目的概率均为 当甲罐内无球时，游戏停止.假设开始时乙罐无球. (1)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率； (2)设第 次答题后游戏停止的概率为 问：是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由. 18．（17分）人工智能快速发展、给我们的生活带来极大的便利．2026年某班元旦晚会上，同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏，游戏规则如下：1每位同学依次答题三道，每题答错得0分，答对得相应分值；2第一题系统随机出题，分值为4分；从第二题开始，后面每题根据前一答题情况给出、若前一题答对，则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少0.1，分值加倍；若前一题答错，则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加0.1，分值减半；3答题结束时，若总得分不少于8分，则参与者获得一份奖品，同学们纷纷踊跃参加游戏，已知甲同学答对第一题的概率为． (1)若 ①求甲同学答对第二题的概率； ②记甲同学最后一题的得分为，求的分布列； (2)为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度，答对概率相对前一题减少0.2，分值仍加倍．若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？ 19．（17分）某厂欲将一些零件交给该厂甲、乙两个车间加工，据以往统计发现，甲车间加工零件的达标率为90%. (1)现将甲、乙两车间加工的该种零件按 的比例混合在一起，从混合放在一起的零件中，随机抽取一件，该零件达标的概率为80%. （i）求乙车间加工零件的达标率； （ii）若从混合放在一起的零件中，随机抽取3个，记这3个零件中达标的个数为，求的分布列和期望； (2)乙车间为了争取更多的加工量，着重提高了加工该种零件的达标率，已知在乙车间提高加工达标率的条件下，该厂给乙车间增加加工量的概率为，在乙车间不提高加工达标率的条件下，该厂给乙车间增加加工量的概率为.设事件“乙车间提高了加工该种零件的达标率”，“该厂给乙车间增加加工量”，若，，，证明： 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第七章 随机变量及其分布·冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知随机变量X服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵随机变量X服从二项分布，∴， 故选：A． 2．已知随机变量的分布列： 0 1 满足，，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：由表可得， 又， 可得， 解得4． 故选A． 3．在一个不透明的盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中一次取出2个小球，设事件为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件为“取出的2个小球中最小数字为3”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从装有6个大小质地完全相同的小球的盒中一次取出2个小球，共有种取法， 其中事件， 有9种取法，概率为， 事件，有3种取法，概率为， 所以. 故选：C. 4．甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球（两盒中的球除颜色外没有其他区别）．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，再从乙盒中随机取出两球，则取出的两球都是白球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件表示“从甲盒中取出的是红球”，事件表示“从甲盒中取出的是白球”，事件表示“从乙盒中取出的两球都是白球”. 由全概率公式得，由题意可知，， 当发生时，乙盒中有3个红球，3个白球， 则从乙盒取两球均为白球的概率为， 当发生时，乙盒中有2个红球，4个白球，则从乙盒取两球均为白球的概率为， 代入全概率公式计算可得. 故取出的两球都是白球的概率为. 5．某同学每次投篮命中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投篮，那么投篮总次数的数学期望为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】设投篮总次数的数学期望为，对投中情况分类讨论， 若第一次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为， 该情况发生的概率为，投篮总次数为， 若第一次投中，且第二次没有投中，该情况发生的概率为，投篮总次数为， 若第一次投中，第二次投中，则此情况发生的概率为，投篮总次数为2， 所以，解得． 6．端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（   ） A．随着的增大，增加，增加 B．随着的增大，增加，减小 C．随着的增大，减少，增加 D．随着的增大，减小，减小 【答案】C 【详解】由题意可知，从乙款礼盒里随机取出个粽子， 其中肉粽个数服从超几何分布，，，则， 故从甲款礼盒里随机取一个粽，相当于从含有个肉粽的个粽子中取一粽子， 取到肉粽的个数为， 易知随机变量服从两点分布，故， 所以，随着的增大，减少； ． 随着的增大，增加． 故随着的增大，减少，增加． 故选：C． 7．为备战乒乓球赛，某体校甲､乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（   ） A．28 B．24 C．32 D．27 【答案】D 【详解】由题可得，甲乙两人通过训练的概率为：， 因，由基本不等式，， 当且仅当时，取等号.则 . 又注意到甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为满足二项分布，则期望为： ，结合，可得.故D正确. 故选：D 8．飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数.在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】玩家投掷1次即可到达终点的方法是掷出3点，故. 玩家投掷2次即可到达终点的方法是掷出，，，，，故. 玩家投掷3次即可到达终点的方法是掷出，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故. 设玩家投掷次即可到达终点，那么第次掷得的点数可以为，分别记作，，，，，则玩家投掷次的基本事件是投掷次的倍，能到达终点的掷法：之前的对应，，，，；对应，，，，；对应，，，，；对应，，，，；对应，，，，.是投掷次即可到达终点的倍. 所以是以为首项，以为公比的等比数列.所以. 所以 即 两边同乘以得： 两式相减得：. 故选：D 【点睛】结论点睛：若数列是首项为，公比为的等比数列，当且时，数列的所有项的和为：. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．若随机变量，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由随机变量可知服从正态分布，正态密度曲线对称轴为，方差为， 所以，A说法正确； ，B说法正确； ，C说法正确； ，D说法错误； 故选：ABC 10．一个袋中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中随机摸出20个球作为样本．若有放回摸球，用表示样本中黄球的个数，则其分布列；若无放回摸球，用表示样本中黄球的个数，则分布列为．利用统计软件计算出和的分布列的概率值如下表： 0 11 1 12 2 13 3 14 4 15 5 16 6 17 7 18 8 19 9 20 10 则下面选项正确的是（    ） A． B． C．有放回抽样中，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，误差的绝对值不超过0.1的概率约为0.7469； D．无放回抽样中，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，误差的绝对值不超过0.05的概率约为0.50533 【答案】ABC 【详解】对于A，由题意可知，40个黄球，60个白球，从中随机摸出20个球作为样本． 若有放回摸球，用表示样本中黄球的个数，每次取得黄球的概率都为， 相当于把一次试验重复做20次，所以服从二项分布，即，故A正确； 对于B，若无放回摸球，用表示样本中黄球的个数，则服从超几何分布， ，故B正确； 对于C，有放回抽样中，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例， 由分布列可知误差的绝对值不超过0.1的概率， 即 ， 约为0.7469，故C正确； 对于D，无放回抽样中，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例， 误差的绝对值不超过0.05的概率， 即 ，故D错误. 故选：ABC. 11．已知随机变量服从正态分布，设函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是增函数 【答案】CD 【详解】因为，故，故A错误； 而，故不是偶函数，故B错误； 而， 故，故的图象关于点中心对称，故C正确； 设，则即， 故是上的增函数，故D正确； 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．百华实验中学高三年级有学生600人，在某次开学数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为_____人． 【答案】72 【详解】由于数学成绩近似服从正态分布，且， 所以， 所以， 则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为人. 故答案为：72. 13．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次命中的概率为，向乙靶射击两次，每次命中的概率为，该射手每次射击的结果相互独立．该射手完成以上三次射击，恰好命中一次的概率为________． 【答案】 【详解】记“该射手恰好命中一次”为事件，“该射手射击甲靶命中”为事件，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件． 由题意知，，. 根据事件的独立性和互斥性， 得 ． 故答案为：. 14．已知某盒中装有 6 个大小、质地一致的乒乓球，其中有 4 个新球 (从未被使用过) 2 个旧球，第一次比赛时从此盒中任取 2 个球来使用．赛后仍将两球放回盒中，第二次比赛时再从此盒中任取 2 个球使用． ①第二次比赛时取出的 2 个球都是新球的概率为 _____． ②在第一次比赛时取出 2 个旧球，赛后将两球放回盒中的条件下，第二次比赛时取出个新球的概率为 _____． 【答案】 / / 【详解】设表示“第一次取出个新球”（），表示“第二次取出2个新球”，总取法， ① 求第二次取出2个都是新球的概率： 用全概率公式：， （第一次取0新2旧）：，未使用新球，盒中仍4新2旧，故， （第一次取1新1旧）：，用了1个新球变为旧球，盒中剩3新3旧，故， （第一次取2新0旧）：，用了2个新球变为旧球，盒中剩2新4旧，故， 代入计算： ； ② 条件概率：第一次取2个旧球的条件下，第二次取2个新球的概率： 已知第一次取出2个旧球，没有使用新球，放回后盒中仍然是4个新球、2个旧球， 因此条件概率： . 【点睛】本题考查全概率公式和条件概率，核心逻辑：新球使用后变为旧球，放回后盒中新球数量会发生变化. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）甲箱的产品中有6件正品和2件次品，乙箱的产品中有5件正品和2件次品． (1)从甲箱中任取2件产品，求至少取到1件次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2件产品放入乙箱，再从乙箱中任取1件产品，求取出的这件产品是正品的概率． 【详解】（1）记“从甲箱中任取2件产品，至少取到1件次品”为事件， 则. 2分 故从甲箱中任取2件产品，至少取到1件次品的概率为. 3分 （2）记“从乙箱取出一个正品”为事件，“从甲箱中取出两个正品”为事件， “从甲箱中取出一个正品、一个次品”为事件，“从甲箱中取出两个次品”为事件， 则两两互斥，且， 5分 则，，， 8分 所以. 11分 故取出的这件产品是正品的概率为. 13分 16．（15分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱5件．该产品按箱售卖，每箱30元．用户在使用某箱该产品时，若出现1件不合格品，则工厂赔偿10元；若出现2件不合格品，则工厂赔偿20元；若出现3～5件不合格品，则工厂赔偿30元．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． (1)记每箱产品中恰有1件不合格品的概率为，求的极大值点． (2)工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案．方案一：从每一箱产品中随机抽1件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．方案二：从每一箱产品中随机抽2件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．已知每件产品的检验费用为2元，以（1）中确定的作为p的值，以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二？ 【详解】（1）每箱产品中恰有1件不合格品的概率，， 2分 则，令，得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 6分 所以的极大值点. 7分 （2）由（1）知， 若选择方案一，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为， 则 ； 10分 若选择方案二，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为． ； 13分 因为，所以应该选择方案一． 15分 17．（15分）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同.某人做摸球答题游戏.规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题.若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐.此人答对每一道题目的概率均为 当甲罐内无球时，游戏停止.假设开始时乙罐无球. (1)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率； (2)设第 次答题后游戏停止的概率为 问：是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由. 【详解】（1）记“此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一球”， 记“第次摸出红球，并且答题正确”，， 记“第次摸出黑球，并且答题正确”，， 记“第次摸出黑球或红球，并且答题错误”，， 2分 所以， 又，，， 5分 所以 ， 7分 同理， 所以. 9分 （2）①第次后游戏停止的情况是：前次答题正确恰好为次， 答题错误次，且第次摸出一球时答题正确， 所以. 11分 ②由①知，， 所以， 13分 令，解得， 令，解得，即， ， 所以的最大值是. 15分 18．（17分）人工智能快速发展、给我们的生活带来极大的便利．2026年某班元旦晚会上，同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏，游戏规则如下：1每位同学依次答题三道，每题答错得0分，答对得相应分值；2第一题系统随机出题，分值为4分；从第二题开始，后面每题根据前一答题情况给出、若前一题答对，则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少0.1，分值加倍；若前一题答错，则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加0.1，分值减半；3答题结束时，若总得分不少于8分，则参与者获得一份奖品，同学们纷纷踊跃参加游戏，已知甲同学答对第一题的概率为． (1)若 ①求甲同学答对第二题的概率； ②记甲同学最后一题的得分为，求的分布列； (2)为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度，答对概率相对前一题减少0.2，分值仍加倍．若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？ 【详解】（1）设甲同学答对第题为事件， ① , 2分 ②若甲同学最后一题答错，则有4种情况， ，，，此时， ． 3分 若甲同学最后一题答对，则有4种情况， ，，， ， 4分 ， ． 6分 综上可知：，分布列如下： 0 1 4 16 0.5 0.14 0.3 0.06 7分 （2）若甲第一题进行场外求助，设获奖的概率为， 则． 9分 若甲第二题进行场外求助，获奖的概率为，则， 10分 若甲第三题进行场外求助，设获奖的概率为， 则， 12分 令， 14分 该二次函数开口向下，对称轴为. 因为，函数的最小值在端点处取到， 即，即. ，故选择第1题求助获奖概率最大． 17分 19．（17分）某厂欲将一些零件交给该厂甲、乙两个车间加工，据以往统计发现，甲车间加工零件的达标率为90%. (1)现将甲、乙两车间加工的该种零件按 的比例混合在一起，从混合放在一起的零件中，随机抽取一件，该零件达标的概率为80%. （i）求乙车间加工零件的达标率； （ii）若从混合放在一起的零件中，随机抽取3个，记这3个零件中达标的个数为，求的分布列和期望； (2)乙车间为了争取更多的加工量，着重提高了加工该种零件的达标率，已知在乙车间提高加工达标率的条件下，该厂给乙车间增加加工量的概率为，在乙车间不提高加工达标率的条件下，该厂给乙车间增加加工量的概率为.设事件“乙车间提高了加工该种零件的达标率”，“该厂给乙车间增加加工量”，若，，，证明： 【详解】（1）（ⅰ）设“从混合放在一起的零件中随机抽取一件是甲车间生产”，“从混合放在一起的零件中随机抽取一件是乙车间生产”，“从混合放在一起的零件中随机抽取一件是合格品”， 由条件可知，，，，， 3分 ， 得， 所以乙车间加工零件的达标率为； 6分 （ⅱ），，， ，， ， 9分 分布列如下， 0 1 2 3 11分 期望 12分 （2）由，即，则， 所以， 得， ， 所以， 14分 所以， 即， 所以， 得，即， 16分 所以， 所以，得证. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第七章 随机变量及其分布·冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知随机变量X服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 2．已知随机变量的分布列： 0 1 满足，，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 3．在一个不透明的盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中一次取出2个小球，设事件为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件为“取出的2个小球中最小数字为3”，则（   ） A． B． C． D． 4．甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球（两盒中的球除颜色外没有其他区别）．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，再从乙盒中随机取出两球，则取出的两球都是白球的概率为（　　） A． B． C． D． 5．某同学每次投篮命中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投篮，那么投篮总次数的数学期望为（   ） A．4 B． C．3 D． 6．端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（   ） A．随着的增大，增加，增加 B．随着的增大，增加，减小 C．随着的增大，减少，增加 D．随着的增大，减小，减小 7．为备战乒乓球赛，某体校甲､乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（   ） A．28 B．24 C．32 D．27 8．飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数.在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．若随机变量，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．一个袋中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中随机摸出20个球作为样本．若有放回摸球，用表示样本中黄球的个数，则其分布列；若无放回摸球，用表示样本中黄球的个数，则分布列为．利用统计软件计算出和的分布列的概率值如下表： 0 11 1 12 2 13 3 14 4 15 5 16 6 17 7 18 8 19 9 20 10 则下面选项正确的是（    ） A． B． C．有放回抽样中，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，误差的绝对值不超过0.1的概率约为0.7469； D．无放回抽样中，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，误差的绝对值不超过0.05的概率约为0.50533 11．已知随机变量服从正态分布，设函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．百华实验中学高三年级有学生600人，在某次开学数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为_____人． 13．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次命中的概率为，向乙靶射击两次，每次命中的概率为，该射手每次射击的结果相互独立．该射手完成以上三次射击，恰好命中一次的概率为________． 14．已知某盒中装有 6 个大小、质地一致的乒乓球，其中有 4 个新球 (从未被使用过) 2 个旧球，第一次比赛时从此盒中任取 2 个球来使用．赛后仍将两球放回盒中，第二次比赛时再从此盒中任取 2 个球使用． ①第二次比赛时取出的 2 个球都是新球的概率为 _____． ②在第一次比赛时取出 2 个旧球，赛后将两球放回盒中的条件下，第二次比赛时取出个新球的概率为 _____． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）甲箱的产品中有6件正品和2件次品，乙箱的产品中有5件正品和2件次品． (1)从甲箱中任取2件产品，求至少取到1件次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2件产品放入乙箱，再从乙箱中任取1件产品，求取出的这件产品是正品的概率． 16．（15分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱5件．该产品按箱售卖，每箱30元．用户在使用某箱该产品时，若出现1件不合格品，则工厂赔偿10元；若出现2件不合格品，则工厂赔偿20元；若出现3～5件不合格品，则工厂赔偿30元．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． (1)记每箱产品中恰有1件不合格品的概率为，求的极大值点． (2)工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案．方案一：从每一箱产品中随机抽1件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．方案二：从每一箱产品中随机抽2件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．已知每件产品的检验费用为2元，以（1）中确定的作为p的值，以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二？ 17．（15分）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同.某人做摸球答题游戏.规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题.若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐.此人答对每一道题目的概率均为 当甲罐内无球时，游戏停止.假设开始时乙罐无球. (1)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率； (2)设第 次答题后游戏停止的概率为 问：是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由. 18．（17分）人工智能快速发展、给我们的生活带来极大的便利．2026年某班元旦晚会上，同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏，游戏规则如下：1每位同学依次答题三道，每题答错得0分，答对得相应分值；2第一题系统随机出题，分值为4分；从第二题开始，后面每题根据前一答题情况给出、若前一题答对，则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少0.1，分值加倍；若前一题答错，则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加0.1，分值减半；3答题结束时，若总得分不少于8分，则参与者获得一份奖品，同学们纷纷踊跃参加游戏，已知甲同学答对第一题的概率为． (1)若 ①求甲同学答对第二题的概率； ②记甲同学最后一题的得分为，求的分布列； (2)为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度，答对概率相对前一题减少0.2，分值仍加倍．若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？ 19．（17分）某厂欲将一些零件交给该厂甲、乙两个车间加工，据以往统计发现，甲车间加工零件的达标率为90%. (1)现将甲、乙两车间加工的该种零件按 的比例混合在一起，从混合放在一起的零件中，随机抽取一件，该零件达标的概率为80%. （i）求乙车间加工零件的达标率； （ii）若从混合放在一起的零件中，随机抽取3个，记这3个零件中达标的个数为，求的分布列和期望； (2)乙车间为了争取更多的加工量，着重提高了加工该种零件的达标率，已知在乙车间提高加工达标率的条件下，该厂给乙车间增加加工量的概率为，在乙车间不提高加工达标率的条件下，该厂给乙车间增加加工量的概率为.设事件“乙车间提高了加工该种零件的达标率”，“该厂给乙车间增加加工量”，若，，，证明： 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第5页（共4页） 试题 第6页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $