培优02 马尔科夫链模型4种重难题型（专项训练）数学人教A版选择性必修第三册

培优02 马尔科夫链模型4种重难题型 题型1 集合的含义及表示 设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者（）向左或者向右平移一个单位 若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得： 另一方面，由于，代入上式可得：. 进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得： 题型1 传球模型 1．（多选）甲、乙、丙三名球员进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A：因为从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，所以， 又接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，所以，A正确； 对于B：因为第次触球者是甲的概率为， 所以，故当时，， 当时，，可知，故B错误； 对于C：由选项B中等式，可得，C正确； 对于D：因为，即，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以 所以，故； 故； 故选：ACD 2．（多选）现有甲、乙、丙、丁四人组队传球，其中甲、乙为队，丙、丁为队．已知甲、乙传给队友的概率为，丙、丁传给队友的概率为，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员．现从甲开始传球，设传球次数为（且），则（    ） A．传球次后，球在甲手中的概率和球在乙手中的概率始终相等 B．时，球在乙手中的概率为 C．传球次后，球在队成员手中的概率恒为一个常数 D．设球在乙手中的概率为，则 【答案】BCD 【详解】对于B：由已知，甲传给乙、丙、丁的概率分别为；乙传给甲、丙、丁的概率分别为； 丙传给甲、乙、丁的概率分别为；丁传给甲、乙、丙的概率分别为； 传球的路线可能是①甲-乙-丙-乙；②甲-乙-甲-乙；③甲-乙-丁-乙；④甲-丙-甲-乙；⑤甲-丙-丁-乙；⑥甲-丁-甲-乙；⑦甲-丁-丙-乙. 其概率为，B正确； 对于C：设传球次后，球在A队成员手中的概率为，在B队成员手中的概率为， 则，所以，所以，所以是常数列，C正确； 对于D：当传球3次时，球在甲手中，传球的可能路线①甲-乙-丙-甲；②甲-乙-丁-甲；③甲-丙-丁-甲；④甲-丙-乙-甲；⑤甲-丁-丙-甲；⑥甲-丁-乙-甲. 其概率为， 所以球在A队成员手中的概率为. 由C可知，传球次后，球在A队成员手中的概率为，在B队成员手中的概率为， 所以，整理得， 所以是公比为的等比数列. 当时，，整理得，D正确； 对于A：由时，球在乙手中的概率为，结合C可知球在甲手中的概率为，故两个概率不相等，A错误. 故选：BCD. 3．某篮球教练带领、两名篮球运动员训练篮球的接球与传球.首先由教练第一次传球给、中的某位运动员，然后该运动员再传回给教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了运动员，且教练第次传球传给运动员的概率为. (1)若， （ⅰ）求，； （ⅱ）求的表达式. (2)若.证明： 【答案】(1)（i）；；（ii）. (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）（i），，. （ii）由已知可得递推关系， 化简得：，设，解得， 所以，， 又因为， 是以为首项，为公比的等比数列， ，. （2），，化简得：， 设，解得， 所以， 从而得到的表达式：， 因为，所以单调递减且大于零， 从而                                4．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人． (1)求2次传球后球在甲手中的概率； (2)n次传球后球在甲手中的概率为． 证明：（i）为等比数列； （ii）当时，． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】 【详解】（1）依题意，传球2次后球在甲手中包括两种情况，即：甲乙甲和甲丙甲，所以传球2次后球在甲手中的概率为． （2）证明：（i）记表示事件“经过次传球后，球在甲的手中”， 设次传球后球在甲手中的概率为，， 则有， 所以 ， 即，， 所以，且， 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列． （ii）， 所以， 当为大于1的奇数时，， 当为正偶数时，， 综上所述，当时，． 5．个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，球在乙手中的概率记为． (1)求； (2)求； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由题意知， ， 所以； （2）由题意知，， 所以， 所以， 则； （3）由题意知， 则， 所以，（当时取等号） 所以. 题型2 摸球模型 6．某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第次摸球抽中奖品的概率为． (1)求的值； (2)探究数列的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 【答案】(1)， (2)，第二次，证明见解析 【分析】 【详解】（1）记该顾客第次摸球抽中奖品为事件，依题意，，． . （2）因为， 所以， 所以， 所以， 又因为，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故． 证明：当n为奇数时，， 当n为偶数时，，则随着n的增大而减小， 所以，． 综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大. 7．一个不透明的盒子里有质地、大小相同的8个小球，其中2个红球、6个黑球，不放回地从盒子里依次随机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球. (1)求停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球的概率； (2)停止摸球时，记总的摸球次数为，求的分布列与数学期望； (3)若将这8个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有1个红球、3个黑球.现从甲乙两袋中分别任取一球交换放入另一袋中，重复次这样操作后，设甲袋子中恰有1个红球的概率为，求. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】 【详解】（1）依题意停止时恰好取了4次，前3次为2个黑球1个红球，第4次为红球， 其概率为. （2）依题意. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 故分布列为： X 2 3 4 5 6 7 P 期望. （3）依题意有甲袋始终有4个小球，重复次这样操作后，记甲袋子中恰有2个红球的概率为，恰有0个红球的概率为，则. 令， 即数列是以为首项，公比为的等比数列， .当时满足等式. 8．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，其中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为. (1)求，，的值； (2)求的值（用n表示）； (3)求的数学期望. 【答案】(1)，， (2) (3)1 【分析】 【详解】（1）根据题意可得恰有0个黑球的概率为， 根据古典概型可得，， 所以. （2）由题意得， 进一步整理可以得到下式： 又 故可以确定是以首项为，公比为的等比数列， 所以 ； （3）由题意可得①， ②， ①-②，得， 因为，所以. 所以，的概率分布列为： 0 1 2 ， 所以的数学期望为定值1. 9．桌上有除颜色外其他没有任何区别的7个黑球和7个白球，现将3个黑球和4个白球装入不透明的袋中.第一次从袋中任取一个球，若取出的是黑球则放入一个白球，若取出的是白球则放入一个黑球，本次操作完成.第二次起每次取球、放球的规则和第一次相同. (1)求第2次取出黑球的概率; (2)记操作完成次后袋中黑球的个数为变量. （i）求的概率分布列及数学期望; （ii）求的数学期望. 【答案】(1) (2)（i）分布列见解析，；（ii） 【分析】 【详解】（1）记第次取出的球是黑球为事件， 则， 根据全概率公式得 . 所以第2次取出黑球的概率为. （2）（i）由题知得的可能取值为：1，3，5， 则; 故的分布列为: 1 3 5 所以. （ii）设第次完成操作后袋中黑球数为 则 也可以按如下方法得出递推关系: 即，由此得， 又因为， 所以构成以为首项，为公比的等比数列， 所以，即 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点之一是找到与的关系，其次需要类比数列中构造等比数列的方法求通项公式，属于较难题目，对推理能力要求较高. 10．袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且添加一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记作 的数学期望记为 (1)求随机变量的分布列； (2)设用含的式子表示 (3)求 【答案】(1) 4 5 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）根据题意的可能取值为， 即一次摸球摸到白球，， 即一次摸球摸到黑球，， 所以的分布列为 4 5 （2）设第次摸球摸到黑球为事件，的取值可能为4，5，6， 则，     ，     ，     所以． （3）由（2）及得， ，   所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列，     所以，即. 题型3 游走模型 11．（多选）4月19日，在北京亦庄人形机器人半程马拉松比赛中，来自荣耀的齐天大圣队以50分26秒夺得冠军，超越了乌干达名将基普利莫在今年3月里斯本半程马拉松赛中创造的57分20秒的人类男子半马世界纪录，标志着机器人发展有了重大突破．现有甲、乙、丙、丁四台机器人通过移动棋子进行灵敏度训练，其中甲、乙为白队，丙、丁为黑队．已知白队（甲、乙）将棋子移向同组机器人的概率为，黑队（丙、丁）将棋子移向同组机器人的概率为，将棋子移向不同组机器人时，等可能移向对方组各机器人.现从甲开始移动棋子，设移动次数为且，则下列选项正确的是（   ） A．移动次后，棋子在甲处和在乙处的概率始终相等 B．当时，棋子在乙处的概率为 C．移动次后，棋子在白队中的概率恒为常数 D．设棋子在乙处的概率为，则 【答案】BCD 【详解】对于AB：由已知，甲将棋子移动到乙、丙、丁的概率分别为； 乙将棋子移动到甲、丙、丁的概率分别为； 丙将棋子移动到甲、乙、丁的概率分别为； 丁将棋子移动到甲、乙、丙的概率分别为； 时，棋子在甲处，移动的可能路线①甲-乙-丙-甲；②甲-乙-丁-甲；③甲-丙-丁-甲；④甲-丙-乙-甲；⑤甲-丁-丙-甲；⑥甲-丁-乙-甲． 其概率为， 时，棋子在乙处，移动的可能路线①甲-乙-丙-乙；②甲-乙-甲-乙；③甲-乙-丁-乙；④甲-丙-甲-乙；⑤甲-丙-丁-乙；⑥甲-丁-甲-乙；⑦甲-丁-丙-乙． 其概率为，A错误， B正确； 对于C：设移动次后，棋子在白队手中的概率为，在黑队成员手中的概率为， 则，所以，所以，所以是常数列，C正确； 对于D：由C可知，移动棋子次后，棋子在白队成员手中的概率为，在黑队成员手中的概率为， 所以，整理得， 所以是公比为的等比数列． 当时，，整理得，D正确. 12．如图，已知在正方体顶点处有一质点．若点每次都会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点的初始位置位于点处，点移动次后仍在侧面的概率为，则______；满足的最小值为______． 【答案】 ； 【详解】在正方体中，每一个顶点有3个相邻的点，其中两个在同一底面， 当点在左侧面时，随机移动一次仍在左侧面的概率为； 当点在右侧面时，随机移动一次在左侧面的概率为． 所以，． 依题意可知， 所以， 所以是首项为为首项，公比为的等比数列， 所以， 若，则，即． ，， 的最小值为． 故答案为：；. 13．在数轴上，一个质点从原点0出发，每次移动遵循以下规则：如果当前位于点，则向右移动到点的概率为，向左移动到点的概率为；规定质点到达点时被吸收（不再移动），到达点-1时也被吸收（不再移动）．设表示质点从点出发，最终被点吸收的概率，规定，则___________． 【答案】 【详解】当时，由一步转移得，整理得. 设，则，所以. 又，所以，即，得. 于是，且. 又，所以. 14．已知正四面体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点的初始位置位于顶点A处，记点移动n次后仍在底面上的概率为． (1)求的值． (2)求证：数列是等比数列，并求的表达式． 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【分析】 【详解】（1）由题意，质点的初始位置为A，A不在底面上． 移动1次后，质点的位置． 从顶点A出发，有3条棱，分别通向， 这三个顶点都在底面上．故． 移动2次后，质点的位置． 第1次移动后，质点必在三点之一，且等可能性，概率均为； 若第1次到了B（概率）：从B出发，有3条棱，分别通向． 其中在底面，A不在．所以从B出发，下一步仍在底面的概率为； 若第1次到了C或情况与B完全对称，下一步仍在底面的概率也为； 由全概率公式得． （2）由题意知移动n次后，质点在底面上的概率为．则质点在顶点A的概率为． 若第n次后在底面（概率），且第次移动后仍留在底面． 从底面任意一点出发，有2条棱连向底面另两点，1条棱连向A，故留在底面的概率为； 若第n次后在顶点A（概率），且第次移动后到达底面． 从A出发，3条棱都连向底面，故到达底面的概率为1． 由全概率公式得， 令，即， 得．则， 所以数列是以为公比的等比数列，又． 所以，得. 15．已知侧棱与底面边长相等的正四棱锥的高为. (1)现有一蚂蚁从点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动1个单位，求2秒后该蚂蚁与点的距离为2的概率； (2)假设有若干只蚂蚁，据统计，其中的蚂蚁只可能从点出发，另外的蚂蚁既可能从点出发，又可能从点出发.若蚂蚁只可能从点出发，则记1分；若既可能从点出发，又可能从点出发，则记2分.假设每只蚂蚁从哪个点出发相互独立，视频率为概率. （i）从蚂蚁中随机抽取只蚂蚁，记这只蚂蚁的合计得分恰为分的概率为，求； （ii）从若干蚂蚁中随机抽取一些蚂蚁，记这些蚂蚁的合计得分恰为分的概率为，随着抽取蚂蚁的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）是， 【分析】 【详解】（1）设底面边长为，则侧棱长也为，由勾股定理可知： . 若该蚂蚁沿着移动，则2秒后该蚂蚁与点的距离为0； 若该蚂蚁沿着或移动，则2秒后该蚂蚁与点的距离为2； 若该蚂蚁沿着移动，则2秒后该蚂蚁与点的距离为. 设蚂蚁到点的距离为2为事件，. （2）（i）每只蚂蚁有的概率得1分，有的概率得2分. 从而只蚂蚁的总得分为当且仅当恰有一只蚂蚁得2分， 故，所以. 设，则，作差即得， 所以. （ii）由于每只蚂蚁至少记分1分，所以抽取的这些蚂蚁的总得分恰为分，必然是至多抽取了只蚂蚁. 在得分为分的前提下，再抽取一只蚂蚁，只能得到分或分，这两者是对立事件， 抽取若干蚂蚁得分分，记为事件，得分分的事件记为， ，， 由对立事件的概率关系可得： ，， 因为，所以是以为首项、为公比的等比数列， 所以，当时，， 所以. 题型4 其他模型 16．在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式. 【答案】(1) (2)①② 【分析】 【详解】（1）由题意可知：随机变量的可能值为0，1，2，3， 若，则3轮都失败，则； 若，则3轮中只有1轮成功，； 若，则3轮中只有2轮成功，； 若，则3轮都成功，； 所以. （2）①设第轮试验使用A型号机器人为事件， 则，，， 由全概率公式可得， 即，则， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以； ②设第轮得分期望为，则， 所以前轮期望总得分为. 17．某同学在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练.规则如下：该同学从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑.设他第天晨跑的概率为. (1)求，的值； (2)求数列的通项公式； (3)若，都是离散型随机变量，则，记该同学前天晨跑的天数为，求. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由题意，第1天一定晨跑，故， 第1天晨跑，第2天晨跑的概率为​，因此​， 第3天晨跑分两种情况： 若第2天晨跑，则第3天晨跑概率为； 若第2天不晨跑，由规则"不能连续两天不跑"，第3天一定晨跑，概率为1. 因此. （2）对，按第天是否晨跑分类，同理得递推关系， 设，对比递推式得， 因此是首项为​，公比为的等比数列， 所以整理得通项公式： （3）设为第天晨跑的指示变量（晨跑为1，否则为0），则， 由期望的线性性质， . 18．某无人机执行飞行挑战任务，规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都执行失败，则挑战结束；每一个阶段系统随机分配一个低空任务或高空任务，分配到低空任务的概率为，分配到高空任务的概率为.已知该无人机成功完成低空任务与高空任务的概率分别为和，且各阶段任务完成情况相互独立. (1)求该无人机在一个阶段中成功完成任务的概率； (2)记为该无人机在执行完第个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率. ①求，； ②证明：数列单调递减.若对系统分配任务进行设置，在执行完第个阶段任务后，当时，系统停止分配任务，求该无人机最多能挑战多少个阶段的任务? 【答案】(1) (2)①；②证明见解析，6个 【分析】 【详解】（1）设事件“分配到低空任务”，则“分配到高空任务”， 事件“在一个阶段中成功完成任务”， 依题意，，，，， 因此， 所以该无人机在一个阶段任务中成功完成任务的概率为. （2）①设事件“该无人机在第个阶段中成功完成任务”，则， 当时，挑战显然不会终止，即， 又各阶段完成任务与否相互独立， 故当时，则第1、2阶段至少成功完成一次，， ， 同理. ②设事件“第个阶段任务结束时挑战仍然未结束”， 当时，第个阶段任务结束时挑战仍然未结束的情况有两种： （i）第阶段成功，且第阶段结束时挑战未终止； （ii）第阶段失败，且第阶段成功，且第阶段结束时挑战未终止， 因此第个阶段任务结束时挑战仍然未结束的事件可表示为， 而各阶段任务成功与否相互独立， 因此， 当时，， 当时，，要证数列单调递减，只需证， 即， 当时，，，， 当时，，由于，故. 因此，对于，都有，从而. 当时，, 为单调递减数列. 由当时，，经计算，， 所以该无人机最多能挑战6个阶段的任务. 19．某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． (1)求小王答3道题后积分小于6的概率； (2)设小王答4道题后积分为X，求； (3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为（，1，2，…，12）时，最终积分为12的概率为，则，． （i）证明：数列为等比数列； （ⅱ）求的值． 【答案】(1) (2) (3)（i）证明见解析；（ⅱ） 【分析】 【详解】（1）小王答3道题后积分小于6，则小王3题都答错，或答对1题，答错2题， 故所求概率为. （2）设小王答对的题数为，则他答错的题数为， 所以． 由题意知，所以，所以． （3）（i）当小王的积分为时，若小王接下来一题答对， 则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为． 由全概率公式有， 整理可得． 又，所以为等比数列． （ii）由（i）可得， 所以， 又，所以． 所以. 20．在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）求和，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 【答案】(1) (2)（i），，证明见解析；（ii）和见解析，能提高. 【分析】 【详解】（1）每次随机选择一种方案，则三种方案被选中的概率均为， 设物流提前送达为事件D，则. （2）（i）第一次随机选择，则， 若第一次提前送达，概率为，若第一次未提前送达，则概率为， 则，， 由题意得， ，， 则 ， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （ii）由（i）得①， 同理 ，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以②， ①②联立得， 设第n次提前送达事件为 则 ， 随着n增大，逐渐增大，且， 所以当时，， 因此从第2次起，智能自适应调度系统逐步提高物流提前送达的概率. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优02 马尔科夫链模型4种重难题型 题型1 集合的含义及表示 设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者（）向左或者向右平移一个单位 若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得： 另一方面，由于，代入上式可得：. 进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得： 题型1 传球模型 1．（多选）甲、乙、丙三名球员进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 2．（多选）现有甲、乙、丙、丁四人组队传球，其中甲、乙为队，丙、丁为队．已知甲、乙传给队友的概率为，丙、丁传给队友的概率为，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员．现从甲开始传球，设传球次数为（且），则（    ） A．传球次后，球在甲手中的概率和球在乙手中的概率始终相等 B．时，球在乙手中的概率为 C．传球次后，球在队成员手中的概率恒为一个常数 D．设球在乙手中的概率为，则 3．某篮球教练带领、两名篮球运动员训练篮球的接球与传球.首先由教练第一次传球给、中的某位运动员，然后该运动员再传回给教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了运动员，且教练第次传球传给运动员的概率为. (1)若， （ⅰ）求，； （ⅱ）求的表达式. (2) 若.证明： 4．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人． (1)求2次传球后球在甲手中的概率； (2)n次传球后球在甲手中的概率为． 证明：（i）为等比数列； （ii）当时，． 5．个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，球在乙手中的概率记为． (1)求； (2)求； (3)比较与的大小，并说明理由． 题型2 摸球模型 6．某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第次摸球抽中奖品的概率为． (1)求的值； (2)探究数列的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 7．一个不透明的盒子里有质地、大小相同的8个小球，其中2个红球、6个黑球，不放回地从盒子里依次随机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球. (1)求停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球的概率； (2)停止摸球时，记总的摸球次数为，求的分布列与数学期望； (3)若将这8个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有1个红球、3个黑球.现从甲乙两袋中分别任取一球交换放入另一袋中，重复次这样操作后，设甲袋子中恰有1个红球的概率为，求. 8．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，其中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为. (1)求，，的值； (2)求的值（用n表示）； (3)求的数学期望. 9．桌上有除颜色外其他没有任何区别的7个黑球和7个白球，现将3个黑球和4个白球装入不透明的袋中.第一次从袋中任取一个球，若取出的是黑球则放入一个白球，若取出的是白球则放入一个黑球，本次操作完成.第二次起每次取球、放球的规则和第一次相同. (1)求第2次取出黑球的概率; (2)记操作完成次后袋中黑球的个数为变量. （i）求的概率分布列及数学期望; （ii）求的数学期望. 10．袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且添加一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记作 的数学期望记为 (1)求随机变量的分布列； (2)设用含的式子表示 (3)求 题型3 游走模型 11．（多选）4月19日，在北京亦庄人形机器人半程马拉松比赛中，来自荣耀的齐天大圣队以50分26秒夺得冠军，超越了乌干达名将基普利莫在今年3月里斯本半程马拉松赛中创造的57分20秒的人类男子半马世界纪录，标志着机器人发展有了重大突破．现有甲、乙、丙、丁四台机器人通过移动棋子进行灵敏度训练，其中甲、乙为白队，丙、丁为黑队．已知白队（甲、乙）将棋子移向同组机器人的概率为，黑队（丙、丁）将棋子移向同组机器人的概率为，将棋子移向不同组机器人时，等可能移向对方组各机器人.现从甲开始移动棋子，设移动次数为且，则下列选项正确的是（   ） A．移动次后，棋子在甲处和在乙处的概率始终相等 B．当时，棋子在乙处的概率为 C．移动次后，棋子在白队中的概率恒为常数 D．设棋子在乙处的概率为，则 12．如图，已知在正方体顶点处有一质点．若点每次都会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点的初始位置位于点处，点移动次后仍在侧面的概率为，则______；满足的最小值为______． 13．在数轴上，一个质点从原点0出发，每次移动遵循以下规则：如果当前位于点，则向右移动到点的概率为，向左移动到点的概率为；规定质点到达点时被吸收（不再移动），到达点-1时也被吸收（不再移动）．设表示质点从点出发，最终被点吸收的概率，规定，则___________． 14．已知正四面体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点的初始位置位于顶点A处，记点移动n次后仍在底面上的概率为． (1)求的值． (2)求证：数列是等比数列，并求的表达式． 15．已知侧棱与底面边长相等的正四棱锥的高为. (1)现有一蚂蚁从点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动1个单位，求2秒后该蚂蚁与点的距离为2的概率； (2)假设有若干只蚂蚁，据统计，其中的蚂蚁只可能从点出发，另外的蚂蚁既可能从点出发，又可能从点出发.若蚂蚁只可能从点出发，则记1分；若既可能从点出发，又可能从点出发，则记2分.假设每只蚂蚁从哪个点出发相互独立，视频率为概率. （i）从蚂蚁中随机抽取只蚂蚁，记这只蚂蚁的合计得分恰为分的概率为，求； （ii）从若干蚂蚁中随机抽取一些蚂蚁，记这些蚂蚁的合计得分恰为分的概率为，随着抽取蚂蚁的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 题型4 其他模型 16．在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式. 17．某同学在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练.规则如下：该同学从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑.设他第天晨跑的概率为. (1)求，的值； (2)求数列的通项公式； (3)若，都是离散型随机变量，则，记该同学前天晨跑的天数为，求. 18．某无人机执行飞行挑战任务，规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都执行失败，则挑战结束；每一个阶段系统随机分配一个低空任务或高空任务，分配到低空任务的概率为，分配到高空任务的概率为.已知该无人机成功完成低空任务与高空任务的概率分别为和，且各阶段任务完成情况相互独立. (1)求该无人机在一个阶段中成功完成任务的概率； (2)记为该无人机在执行完第个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率. ①求，； ②证明：数列单调递减.若对系统分配任务进行设置，在执行完第个阶段任务后，当时，系统停止分配任务，求该无人机最多能挑战多少个阶段的任务? 19．某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． (1)求小王答3道题后积分小于6的概率； (2)设小王答4道题后积分为X，求； (3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为（，1，2，…，12）时，最终积分为12的概率为，则，． （i）证明：数列为等比数列； （ⅱ）求的值． 20．在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）求和，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $