第15章 概率（举一反三讲义·培优篇）高一数学苏教版必修第二册

该高中数学概率单元复习讲义通过八大压轴题型框架系统梳理知识体系，涵盖古典概型、统计交汇、频率估计概率等核心内容，以题型分类呈现知识脉络，突出互斥事件、独立事件等重难点的内在联系。 讲义亮点在于精选各地期末及模考真题，分层设计选择、填空、解答题，如“摸球求数字之和为偶数的概率”“分层抽样与概率结合”等实例，培养学生数学思维（推理能力）和数据观念，基础生掌握方法，优秀生深化探究，助力教师精准分层教学。

第15章 概率全章八大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 计算古典概型问题的概率 1．（25-26高一上·重庆云阳·开学考试）不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】列举出所有样本点，然后由古典概型概率公式可得. 【解答过程】从分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球随机摸出两个球的样本空间为： ，共10个样本点， 其中数字之和是偶数的样本点有：，共4个. 所以数字之和是偶数的概率为. 故选：B. 2．（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）小明打算在周末约自己的crush一起出去玩.他精心准备了三种不同的约会方案：方案A（去游乐园）、方案B（看新上映的电影）、方案C（去郊外野餐）.为了增加约到同学的成功率，小明决定每天随机选择一种方案去邀请同学，且选择每种方案的可能性均等.已知小明计划连续邀请同学3天（每天独立选择方案），那么在这3天中，恰好有2天选择同一种约会方案（这2天方案相同，另1天方案不同）的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意列出样本空间，再根据古典概型公式计算即可. 【解答过程】依题意可得样本空间包含， ， ，共27种情况， 其中满足“恰好有2天选择同一种方案”的情况有 ，， ，共18种； 因此所求概率为. 故选：A. 3．（24-25高一下·河南平顶山·期末）现有4名男志愿者和2名女志愿者报名参加第21届文博会的服务工作，从这6名志愿者中随机抽取2人安排在文博会的A展区工作，则抽取的2名志愿者中有一男一女的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】我们需要先求出从这6名男志愿者中随机抽取的2人的所有情况数，再求出抽取的2名志愿者中有一男一女的情况数，利用古典概型公式即可求出. 【解答过程】4名男志愿者用表示，2名女志愿者用表示， 从这6名男志愿者中随机抽取的2人的基本事件有：共15种情况， 其中抽取的2名志愿者中有一男一女的基本事件有：共有8个基本事件， 抽取的2名志愿者中有一男一女的概率. 故选：. 4．（24-25高一下·河南安阳·期末）从装有3个红球和2个黑球的盒子中不放回地一次随机抽取2个球（球除颜色外，其余完全相同），则至少抽到1个黑球的概率为__________． 【答案】 【解题思路】利用列举法可得总样本空间为10个，符合的有7个，利用古典概率即可求解. 【解答过程】设3个红球分别为，2个黑球分别为， 则试验的样本空间为，共10个样本点， 选出的2个球中至少有1个黑球包含的样本点为，共7个， 则所求概率为． 故答案为：. 5．（24-25高一下·天津·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品（标号为），2支二等品（标号为），1支三等品（标号为），若从中不放回地依次随机抽取2支．设事件“两支都是一等品”， “含有三等品”． (1)用圆珠笔的标号列出所有可能的抽取结果； (2)求事件的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2)，． 【解题思路】（1）设6支圆珠笔标号为，列出所有的6支圆珠笔中依次不放回随机抽取2个的样本点构成样本空间即可； （2）列出事件的样本空间，根据古典概型公式即可求解. 【解答过程】（1）设6支圆珠笔标号为， 从这6支圆珠笔中依次不放回随机抽取2个，所有可能的结果有： ， ， 共30种． （2）事件“两支都是一等品” 所有可能结果有：共6种， 所以． 即从6支圆珠笔中，随机抽取两支都是一等品概率为． 事件 “含有三等品”， 所有可能结果有：，共10种， 所以， 即从6支圆珠笔中，随机抽取两支含有三等品概率为． 题型2 古典概型与统计的交汇问题 6．（24-25高一下·福建福州·期末）某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为．按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心．从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人至少有一名来自高二年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据分层抽样的定义求出各年级所抽取的人数，然后利用列举法求概率即可. 【解答过程】由题意可知从高一学生中抽取人，记为， 从高二学生中抽取人，记为， 从高三学生中抽取人，记为， 则从这5人中抽取2人有：，10种情况， 其中至少有一名来自高二年级有，7种情况， 所以所求概率为. 故选：D. 7．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）从某校高一年级学生60名女生中，经调查偏理科的40人，偏文科的20人，利用分层抽样抽取6人，随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据分层抽样得到抽取6人中偏理科和偏文科的人数，利用列举法求古典概型的概率. 【解答过程】60名女生中，偏理科与偏文科的人数比为， 所以分层抽样抽取6人，偏理科的人数为，设为， 偏文科的人数为，设为， 故随机抽取3人，一共有以下情况， ， ， ，共20种情况， 其中至少有2人偏理科的情况为 ， ， 共16种情况，所以随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是. 故选：D. 8．（24-25高一下·辽宁·期中）小张连续9天去快递店拿快递的个数依次为3，1，5，2，3，4，1，4，6.若从这组数据中随机删除1个数后，得到一组新数据，则这组新数据的中位数与原数据的中位数相等的概率为__________. 【答案】 【解题思路】先把数据排序，再分删除的数不同分别求出中位数即可. 【解答过程】将这组数据按照从小到大的顺序排列为1，1，2，3，3，4，4，5，6，则这组数据的中位数为3， 若删除的数字是4或5或6，所得新数据的中位数也是3， 若删除的数字是1或2或3，所得新数据的中位数是3.5， 故所求概率为. 故答案为：. 9．（24-25高一下·江苏常州·期末）某高中在一次高一物理测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了名学生的物理成绩，成绩均在内，将成绩分为，共组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值并估计这名学生物理成绩的第百分位数（精确到）； (2)从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名，求这名学生物理成绩在和内各人的概率. 【答案】(1)，分位数为分； (2). 【解题思路】（1）根据频率之和为求出，再由第百分位数的求法计算即可； （2）由分层抽样确定每层抽取人数，列出基本事件和符合题意的事件，根据古典概型求解. 【解答过程】（1）由题意知，解得，    设第百分位数为， 因为位于之间的频率为，位于之间的频率为， 所以， 令，解得，即第百分位数为. （2）由，得这人中物理成绩在的人数为，分别记为，在的人数为人，分别记为， 在这人中抽取人，共，个基本事件， 这名学生物理成绩在和内各人，共，个基本事件， 故这名学生物理成绩在和内各人的概率为. 10．（24-25高一下·江苏无锡·期末）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． (1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【答案】(1)， (2)平均数为，第80百分位数为. (3) 【解题思路】（1）先求出年龄在内的频率，再求出频数；根据直方图面积为1求解a的值； （2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值； （3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【解答过程】（1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. 由图可得：，解得； （2）平均数为 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. （3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，， ，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，， ，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 题型3 频率估计概率在统计中的应用 11．（2025·四川绵阳·三模）某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B．估计这批产品该项质量指标的众数为45 C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60 D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5 【答案】C 【解题思路】利用各组的频率之和为1，求得的值，判定A；根据众数和中位数的概念判定BC；根据频率估计概率值，从而判定D. 【解答过程】，解得，故A正确； 频率最大的一组为第二组，中间值为，所以众数为45，故B正确； 质量指标大于等于60的有两组，频率之和为，所以60不是中位数，故C错误； 由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5，故D正确. 故选：C. 12．（2025高三·全国·专题练习）某学校在高三年级中抽取200名学生，调查他们课后完成作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图．根据此直方图得出了下列结论，其中不正确的是（    ） A．所抽取的学生中有40人在2.5小时至3小时之间完成作业 B．该校高三年级全体学生中，估计完成作业的时间超过4小时的学生概率为0.1 C．估计该校高三年级学生的平均做作业的时间超过3小时 D．估计该校高三年级有一半的学生做作业的时间在2.5小时至4.5小时之间 【答案】C 【解题思路】根据频率分布直方图结合统计、概率相关知识逐项分析判断. 【解答过程】对于A，在2.5小时至3小时之间的人数为人，故A正确； 对于B，该校高三年级全体学生中，估计完成作业的时间超过4小时的学生概率为，故B正确； 对于C，该校高三年级学生的平均做作业的时间为 ， 故C不正确； 对于D，由图可估计该校高三年级学生做作业的时间在2.5小时至4.5小时之间的频率为， 估计该校高三年级有一半的学生做作业的时间在2.5小时至4.5小时之间，故D正确． 故选：C． 13．（24-25高二·上海·课堂例题）为了了解期末英语的测试成绩，我们抽取了三班学生的英语成绩进行分析，各数据段的分布如图（分数取整数），由此估计这次测验的优秀率（不小于80分）为_________． 【答案】 【解题思路】根据频率分布直方图即可计算出答案 【解答过程】由图可知，的频率为； 的频率为 所以不小于分的频率为 以频率估计概率，这次测验的优秀率为 故答案为：0.56. 14．（25-26高二上·广东江门·月考）树人中学为了了解，两个校区高一年级学生期中考试的物理成绩（百分制），从，两个校区各随机抽取了名学生的物理成绩，将收集到的数据按照，，，，分组，绘制成绩频率分布直方图如图： (1)从校区全体高一学生中随机选取一名，估计这名学生的成绩不低于分的概率； (2)如果把频率视为概率，从校区全体高一学生中随机选取一名，从校区全体高一学生中随机选取两名，求这三名学生中至少有一名学生的成绩不低于分的概率； (3)根据频率分布直方图，分别从中位数和平均数的角度，比较，两个校区的物理成绩． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【解题思路】（1）根据频率分布直方图中的数据算出答案即可； （2）首先求出从校区随机选取一名学生，物理成绩不低于分的概率，然后可算出答案； （3）分别求出两个校区的中位数和平均数，进行比较即可. 【解答过程】（1）从校区抽取的名学生中随机选取一名，这名学生的成绩不低于分的频率为， 利用样本估计总体，频率估计概率，所以从校区全体高一学生中随机选取一名，估计这名学生的成绩不低于分的概率为. （2）由频率分布直方图可得校区随机选取一名学生，物理成绩不低于分的概率约为， 校区随机选取一名学生，物理成绩不低于分的概率约为， 则这三名学生物理成绩都低于分的概率约为， 这三名学生中至少有一名学生成绩不低于分的概率为． （3）校区的中位数是， 校区的中位数是， 因为，所以，校区物理成绩的中位数高于校区物理成绩的中位数； 校区成绩平均数为， 校区成绩平均数为， ，所以，校区物理成绩的平均数高于校区物理成绩的平均数． 15．（25-26高一下·广东广州·月考）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下： (1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率； (2)根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较． 【答案】(1) (2)新养殖法更加优于旧养殖法. 【解题思路】（1）通过计算旧养殖法的箱产量低于50kg的频率来估计其概率； （2）利用平均数进行比较判断即可. 【解答过程】（1）由频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为 ， 所以事件A的概率估计值为； （2）由频率分布直方图可得 旧养殖法100个网箱的箱产量的平均数为 ， 新养殖法100个网箱的箱产量的平均数为 ， 因为， 所以新养殖法更加优于旧养殖法. 题型4 游戏的公平性 16．（24-25高一下·河南许昌·期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 【答案】B 【解题思路】分别计算各选项中小明、小华获胜的概率，若二人获胜的概率相等，则公平，否则不公平，由此得到选项． 【解答过程】对于A，抛掷一枚骰子，一共6种情况，向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概率为，所以游戏公平； 对于B，同时抛掷两枚硬币，一共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 恰有一枚正面向上的概率为，两枚都正面向上的概率为，所以游戏不公平； 对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红的概率为，扑克牌是黑色的概率为，所以游戏公平； 对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，共四种情况， 两人写的数字相同的概率为，两人写的数字不同的概率为，所以游戏公平． 故选：B． 17．（25-26高二上·浙江湖州·月考）某比赛为两运动员制定下列发球规则： 规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球； 规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球； 规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则对甲、乙公平的有（   ） A．规则一，规则二 B．规则一，规则三 C．规则二，规则三 D．规则一，规则二，规则三 【答案】B 【解题思路】计算出三种规则下甲发球和乙发球的概率，当两人发球的概率均为时，该规则对甲、乙公平，由此可得出正确选项. 【解答过程】对于规则一，每人发球的概率都是，是公平的； 对于规则二，记个红球分别为红，红，个黑球分别为黑、黑， 则随机取出个球的所有可能的情况有 （红，红），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（黑，黑），共种， 其中同色的情况有种，所以甲发球的可能性为，不公平； 对于规则三，记个红球分别为红、红、红，则随机取出个球所有可能的情况有 （红，红），（红，红），（红，黑），（红，红），（红，黑），（红，黑），共种， 其中同色的情况有种，所以两人发球的可能性均为，是公平的. 因此，对甲、乙公平的规则是规则一和规则三. 故选：B. 18．（24-25高一·全国·课后作业）下面有三个游戏，其中不公平的游戏是（    ） 取球方式 结果 游戏1 有3个黑球和1个白球，游戏时，不放回地依次取2个球 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜 游戏2 有1个黑球和1个白球，游戏时，任取1个球. 取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙胜. 游戏3 有2个黑球和2个白球，游戏时，不放回地依次取2个球. 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜. A．游戏1和游戏3 B．游戏1 C．游戏2 D．游戏3 【答案】D 【解题思路】分别计算出每个游戏中所给事件的概率，若两事件的概率大小相同则说明此游戏是公平的，否则说明不公平. 【解答过程】对于游戏1，样本点共有12个，取出的2个球同色包含的样本点有6个，其概率是，取出的2个球不同色的概率也是，故游戏1公平； 对于游戏2，样本点共有2个，分析易知，取出的球是黑球和取出的球是白球的概率都是，故游戏2公平； 对于游戏3，样本点共有12个，取出的2个球同色的概率是，取出的2个球不同色的概率是，故此游戏不公平，乙胜的概率大. 故选D. 19．（2025高一·全国·专题练习）晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．（1）班的文娱委员利用分别标有数字的两个转盘（如图），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜．该方案对双方是否公平?为什么?    【答案】该方案对双方是公平的，理由见解析 【解题思路】将各种情况利用表格，列出基本事件个数，再利用古典概型计算两数字之和为偶数或奇数的概率即可判断游戏是否公平． 【解答过程】各种情况如表所示． 转到的数字 4 5 6 7 1 5 6 7 8 2 6 7 8 9 3 7 8 9 10 由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种， 所以（1）班代表获胜的概率，（2）班代表获胜的概率 ，即机会是均等的， 所以该方案对双方是公平的． 20．（24-25高二上·山东日照·开学考试）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1； (2)不公平，理由见解析 【解题思路】（1）根据题设的概率可得关于球数的方程组，求出其解后可得不同颜色的求出. （2）利用列举法可求甲胜或乙胜的概率，从而可判断游戏是否公平. 【解答过程】（1）设盒中红球、黄球、蓝球个数分别为x，y，z，从中任取一球，得到红球或黄球为事件A，得到黄球或蓝球为事件B， 则， 由已知得，解得， 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1； （2）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2个，1个，1个， 用，表示红球，用表示黄球，用表示蓝球， 表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 则样本空间，． 可得， 记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件， 则，所以， 所以， 因为，所以此游戏不公平． 题型5 事件的关系和运算  21．（24-25高一下·全国·随堂练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定的试验过程，分析事件含有的基本事件情况逐项判断即可. 【解答过程】对于A，“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一枚炮弹击中飞机， 另一种是两枚炮弹都击中飞机，即发生，必发生，因此，A正确； 对于B，显然事件是事件的对立事件，因此，B正确； 对于C，“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，因此，C正确； 对于D，包含该试验的所有样本点，为必然事件，而事件表示“两个炮弹都击中飞机或者都没击中飞机”， 因此，D错误. 故选：D. 22．（24-25高一·全国·课后作业）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据事件之间的关系与运算分别判断选项即可. 【解答过程】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中， 则样本空间. 由题意得，，，， 则，，且.即ABC都正确； 又，. .故D不正确. 故选：D. 23．（2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意依次判断各项事件运算对应的含义，即可得. 【解答过程】表示前两次测试成绩均及格，故A错误； 表示后两次测试都没有及格，故B错误； 表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确； 表示三次测试成绩均不及格，故D错误， 故选：C. 24．（2025高一·全国·专题练习）向上抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”，则事件C与A，B的运算关系是__________． 【答案】 【解题思路】根据和事件的关系定义判断即可. 【解答过程】设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”“点数为2或4或6”， 则. 故答案为：. 25．（24-25高一·全国·随堂练习）设某人向一个目标连续射击3次，用事件表示随机事件“第i次射击命中目标”（，2，3），指出下列事件的含义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析． 【解题思路】（1）根据事件交的定义说明； （2）根据事件的交与补的定义说明； （3）根据事件并与补的定义说明； （4）根据事件补与交的定义说明． 【解答过程】（1）表示第1次和第2次都击中目标； （2）表示第3次未击中目标， 表示第1次和第2次都击中目标且第3次未击中目标； （3）表示第1次或第2次击中目标，事件第1次和第2次都未击中目标； （4）表示第()次未击中目标， 表示3次都未击中目标． 题型6 互斥事件、事件的相互独立性的综合应用 26．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立.若甲、乙各罚球一次，则恰有一人命中的概率为（   ） A．0.26 B．0.28 C．0.72 D．0.98 【答案】A 【解题思路】利用独立事件和互斥事件的概率公式求解即可． 【解答过程】设“篮球运动员甲、乙的罚球命中”分别为事件A，B，“恰有一人命中”为事件C， 则 . 故选：A． 27．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）甲、乙、丙三人每人投篮一次，投中的总次数记为X.已知甲、乙、丙投篮命中的概率分别为，，，且甲、乙、丙投篮的结果相互独立，则的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据互斥事件的加法公式、独立事件的乘法公式即可求解. 【解答过程】设甲、乙、丙三人各投篮一次，甲、乙、丙投篮命中分别为事件， ，则为事件， 所以 . 故选：C. 28．（24-25高一下·广东肇庆·期末）“投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意确定基本事件，再应用独立乘法公式及互斥事件加法求概率即可. 【解答过程】第4次仍然由甲投掷分为四类： 第一类，前三次均为甲中，概率为； 第二类，第一次甲中，第二次甲不中，第三次乙不中，概率为； 第三类，第一次甲不中，第二次乙中，第三次乙不中，概率为； 第四类，第一次甲不中，第二次乙不中，第三次甲中，概率为． 所以第4次仍然由甲投掷的概率为． 故选：D. 29．（24-25高一下·安徽合肥·期末）甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现平的情况，先多得2分者为胜方．在平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为_________． 【答案】 【解题思路】根据已知条件，将其分成两种情况，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式计算即得. 【解答过程】在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局包括两种情况： (1)后四球胜方依次是甲、乙、甲、甲，则概率为， (2) 后四球胜方依次是乙、甲、甲、甲，则概率为， 由互斥事件的概率加法公式，所求事件的概率为. 故答案为：. 30．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值； （2）若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对，求出的值，分析可知，事件、相互独立，由独立事件的概率公式可求得的值； （3）记小明没有通过面试为事件，小华通过面试的事件记为，求出这两个事件的概率，记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值. 【解答过程】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错， 所以． （2）若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对， 根据题意则小华3道题都回答且通过面试的概率为， 由题意可知，事件相互独立， 则． （3）记小明没有通过面试为事件， 即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则小明没有通过面试的概率为， 可得小明通过面试的概率为． 记小华通过面试的事件为，由（2）得， 由题意可知，事件相互独立， 记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件为， 则． 题型7 独立事件与其他知识综合 31．（24-25高一下·广东广州·期末）高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了部分学生的成绩进行统计．将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级择优选取的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理？ (2)年级以各学习小组的平均分和方差为团体奖励依据．若某学习小组10位学生测试分数的平均数，标准差，若该小组得分分别为95分和85分的两位学生宣布退赛，求该小组余下8位学生分数的平均数与方差； (3)在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题．已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是．每人回答正确与否相互独立．求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率． 【答案】(1)73分合理； (2)90；38.75 (3) 【解题思路】（1）首先根据频率比值求，再根据频率和为1求，再根据频率计算百分位数，即可求解的值； （2）代入样本平均数和方差公式，即可求解； （3）首先根据独立事件概率公式求乙，丙2人回答正确问题的概率，再结合对立事件概率公式，即可求解. 【解答过程】（1）由题意知，第1组的小长方形的高是第2组的小长方形的高的一半， 所以， 又，解得， 所以，， 择优选取的同学晋级下一轮竞赛，即确定第60百分位数， 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第60百分位数为， 则，解得， 所以晋级分数线划为73分合理； （2）设该小组10位学生的分数分别为，因为， 所以， 所以， 所以， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：， 方差：； （3）记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件， 则，解得， 由乙、丙两人至少一人回答正确的概率是， 则 即． 所以乙、丙两人各自回答正确这道题的概率为和． 有0人回答正确的概率， 有1人回答正确的概率为 ， 所以不少于2人回答正确这道题的概率． 32．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小白鼠随机均分为两组：对照组（不添加药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量（单位：g），这些小白鼠的体重增加量都在内，按照，，，，，分组，得到如下频率分布直方图. (1)估计对照组小白鼠体重增加量的平均数（每组以该组所在区间的中点值为代表）及中位数； (2)求a的值及实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠的只数； (3)现从实验组和对照组中各随机抓取1只小白鼠，用事件A表示“所取2只小白鼠体重增加量均超过20g”，事件B表示“2只小白鼠仅有1只体重增加量不超过25g”，求，，并判断A，B是否相互独立. 【答案】(1)平均数为19，中位数为20 (2)24 (3)，，A，B不相互独立. 【解题思路】（1）应用频率分布直方图平均数及中位数公式计算求解； （2）先应用频率和为1得出参数a，再结合频率计算求解只数； （3）应用独立事件概率乘积公式判断即可. 【解答过程】（1）估计对照组小白鼠体重增加量的平均数为 . 因为， 所以估计对照组小白鼠体重增加量的中位数为20. （2）由， 得， 估计实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠只数为. （3）由题意知，从对照组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量超过20g的概率为0.5，超过25g的概率为0.3，从实验组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量超过20g的概率为0.4，超过25g的概率为0.15， 所以， ， ， ， 因为，所以A，B不相互独立. 33．（24-25高一下·山东德州·期末）在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，我校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估算高一学生的物理平均分数； (2)若根据这次成绩，学校建议70%的学生选报物理，30%的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分？（小数点后保留一位） (3)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试.考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有，，，，五个等级，若两个模块成绩均为，则直接参加；若一个模块成绩为，另一个模块成绩不低于，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加.现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得，，，，的概率分别为；乙在每个模块考试中取得，，，，的概率分别为，甲、乙在实验操作中通过的概率分别为.求甲、乙能同时参加物理竞赛的概率. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再列式估计平均分. （2）利用第分位数的意义，结合频率分布直方图求解. （3）先利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解甲、乙能参加物理竞赛的概率，然后利用独立事件乘法概率公式求解即可. 【解答过程】（1）依题意，，所以； 物理平均分数. （2）由（1）知，， ， 因此第分位数位于，且， 所以他的物理成绩应不低于分较为合适. （3）依题意，甲能参加物理竞赛的概率， 乙能参加物理竞赛的概率， 所以甲、乙能同时参加物理竞赛的概率. 34．（24-25高一下·湖南长沙·月考）为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了100名学生，统计了他们某一周的综合体育活动时间（单位：时），并按照将样本数据分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数； (2)利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率． 【答案】(1)答案见解析，中位数为6.4，平均数为6.2. (2)0.51． 【解题思路】（1）根据频率之和为1，可求出这一组的频率，进而求出矩形的“高度”，补全频率分布直方图，再根据中位数和平均数的概念，用评率分布直方图估计中位数和平均数. （2）利用对立事件概率的关系，结合独立事件计算公式，可求解. 【解答过程】（1）第五组的频率为， 所以该组对应的小矩形高度为，故补全频率分布直方图如下： 设样本数据的中位数为，平均数为. 因为样本数据在的频率为， 样本数据在的频率为， 则，所以，解得， 故估计样本中位数为6.4. 故估计样本平均数为6.2. 由样本估计总体，该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数分别为6.4和6.2． （2）由频率分布直方图可估计该校学生每周综合体育活动时间不低于8小时的频率为. 记事件“抽取的第1名学生每周综合体育活动时间不低于8小时”，“抽取的第2名学生每周综合体育活动时间不低于8小时”，由题意相互独立. 利用频率估计概率，． 记事件“抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时”， 则 所以抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率为0.51． 35．（24-25高三下·云南昆明·月考）某校为促进学生对消防知识及火场自救知识的学习，组织了《消防知识及火场自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）． (1)根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表） (2)按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人成绩都在内的概率； (3)从竞赛成绩在内的学生中选取甲、乙人，组队参加全市中学生消防知识答题比赛，每轮由两人各答一题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲、乙两人在两轮答题比赛中共答对题的概率． 【答案】(1) (2) (3)． 【解题思路】（1）先根据矩形面积之和为计算，再利用频率分布直方图均值公式计算； （2）先根据比例得出两个区间内各抽取人数，再列出样本空间以及事件“这人成绩都在内”所包含的样本点，最后按照古典概型计算其概率即可； （3）先计算甲、乙在两轮比赛中答对题，题的概率，再利用互斥事件和独立事件的概率公式计算. 【解答过程】（1）由题知，解得， 估计本次竞赛的平均成绩为 ． （2）因成绩在、内的学生人数之比为， 则从成绩在内的学生中抽取人，设为， 从成绩在内的学生中抽取人，设为， 设事件“从这人中随机抽取人，这人成绩都在内”， 则样本空间， 则， 事件包含的基本事件有，有， 则， 故从这人中随机抽取人，这人成绩都在内的概率为. （3）设，分别表示事件甲在两轮答题中答对题，题，，分别表示事件乙在两轮答题中答对题，题， 则，， ，， 设“两轮活动甲、乙共答对题”，则， 又与互斥，与，与分别相互独立， 则， 因此，甲、乙在两轮答题比赛中共答对题的概率为． 题型8 概率综合 36．（2025·山东·三模）一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关.则某人连过前三关的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用古典概型的概率公式、对立事件的概率公式求出此人分别过第一关、第二关、第三关的概率，再结合独立事件的概率乘法公式可求得结果. 【解答过程】设这个人过第关的概率为， 过第一关，则抛出的点数构成的集合为，则， 过第二关，则抛两次骰子的点数之和大于，基本事件总数为， 以表示一个样本点， 其中两次点数之和不大于所包含的样本点有：、、、、、，共个， 故， 过第三关，则抛三次骰子的点数之和大于，基本事件总数为， 以表示一个样本点， 其中三次点数之和不大于所包含的样本点有：、、、、 、、、、、、、、、 、、、、、、，共个， 故， 因为这个人过每个关卡是相互独立的，故这个人连过前三关的概率为. 故选：D. 37．（24-25高一下·河北邯郸·期末）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据古典概型的概率公式，结合概率的加法公式求解. 【解答过程】基本事件空间为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36个基本事件. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.共27个， 所以. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，.共11个基本事件. 所以. 事件包含的基本事件有： ，， ， ， ，.共6个基本事件. 所以. 根据概率的加法公式可得： . 故选：D. 38．（25-26高二上·海南儋州·月考）某校高二年级举行数学竞赛，已知甲､乙两名同学获奖的概率分别为和，且两人是否获奖相互独立.求： (1)两人都获奖的概率； (2)两人中恰有一人获奖的概率； (3)两人中至少有一人获奖的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）设甲，乙获奖分别为事件A，B，两人都获奖为事件，然后由独立事件概率乘法公式可得答案； （2）两人中恰有一人获奖为事件，然后由独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式可得答案； （3）两人至少有一人获奖的对立事件为，然后由对立事件概率计算公式可得答案. 【解答过程】（1）设甲，乙获奖分别为事件A，B.则， 两人都获奖为事件，则； （2）两人中恰有一人获奖为事件， 则 ； （3）两人至少有一人获奖的对立事件为，则两人至少有一人获奖的概率为：. 39．（25-26高二上·福建泉州·期中）2025年8月21日、在官方公众号发文称，正式发布模型，此次平级也标志若国产大模型在技术选代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对两部门开展专项技能培训． (1)已知该公司部门有4位领导，部门有2位领导，需要从这6位领导中随机选取2位当组长负责组织培训工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求两位组长都来自于部门的概率； (2)此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）用列举法求得选取2位当组长的总方法数，再求得两位来自于部门的不同结果，利用古典概型概率公式求解； （2）记“甲经过培训合格”，“甲第轮培训达到优秀”，再利用互斥事件的概率加法公式与独立事件的概率乘法公式求解. 【解答过程】（1）记部门的4名领导为，部门的2名领导为， 从这6位领导中随机选取2位当组长，不同结果有： ，共15个， 两位组长都来自于部门的不同结果有：，共6个， 所以两位组长都来自于部门的概率为； （2）记“甲经过培训合格”，“甲第轮培训达到优秀”， 则， ， 则 ， 所以甲经过培训合格的概率为. 40．（25-26高二上·四川宜宾·期中）2025年10月31日中国神舟二十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射.在太空停留期间，航天员们计划开展“天宫课堂”，在空间站进行太空授课，极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣.为此，某校组织了一次“航空知识答题竞赛”活动. (1)在A，B两个班中各选3名同学参加本次知识答题竞赛，经初赛，从6名同学中选2名同学参加复赛，求参加复赛的这2名同学来自同一个班的概率； (2)班进行了三轮初选活动，甲同学每轮合格概率分别为，各轮结果均相互独立，至少两轮合格记为“优秀”，求三轮初选后，甲记为“优秀”的概率 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）列出所有情况和满足题意的情况数，再根据古典概型的计算公式即可得到答案； （2）根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案. 【解答过程】（1）设来自班的3名同学分别为，来自班的3名同学分别为， 则总共有，共15种情况， 其中共有6种情况满足题意, 由古典概型的概率公式可得参加复赛的这2名同学来自同一个班的概率. （2）设甲同学每轮合格分别为事件，甲记为“优秀”为事件， 则， , 则三轮初选后，甲记为“优秀”的概率为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 概率全章八大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 计算古典概型问题的概率 1．（25-26高一上·重庆云阳·开学考试）不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）小明打算在周末约自己的crush一起出去玩.他精心准备了三种不同的约会方案：方案A（去游乐园）、方案B（看新上映的电影）、方案C（去郊外野餐）.为了增加约到同学的成功率，小明决定每天随机选择一种方案去邀请同学，且选择每种方案的可能性均等.已知小明计划连续邀请同学3天（每天独立选择方案），那么在这3天中，恰好有2天选择同一种约会方案（这2天方案相同，另1天方案不同）的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南平顶山·期末）现有4名男志愿者和2名女志愿者报名参加第21届文博会的服务工作，从这6名志愿者中随机抽取2人安排在文博会的A展区工作，则抽取的2名志愿者中有一男一女的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南安阳·期末）从装有3个红球和2个黑球的盒子中不放回地一次随机抽取2个球（球除颜色外，其余完全相同），则至少抽到1个黑球的概率为__________． 5．（24-25高一下·天津·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品（标号为），2支二等品（标号为），1支三等品（标号为），若从中不放回地依次随机抽取2支．设事件“两支都是一等品”， “含有三等品”． (1)用圆珠笔的标号列出所有可能的抽取结果； (2)求事件的概率． 题型2 古典概型与统计的交汇问题 6．（24-25高一下·福建福州·期末）某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为．按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心．从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人至少有一名来自高二年级的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）从某校高一年级学生60名女生中，经调查偏理科的40人，偏文科的20人，利用分层抽样抽取6人，随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·辽宁·期中）小张连续9天去快递店拿快递的个数依次为3，1，5，2，3，4，1，4，6.若从这组数据中随机删除1个数后，得到一组新数据，则这组新数据的中位数与原数据的中位数相等的概率为__________. 9．（24-25高一下·江苏常州·期末）某高中在一次高一物理测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了名学生的物理成绩，成绩均在内，将成绩分为，共组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值并估计这名学生物理成绩的第百分位数（精确到）； (2)从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名，求这名学生物理成绩在和内各人的概率. 10．（24-25高一下·江苏无锡·期末）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． (1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 题型3 频率估计概率在统计中的应用 11．（2025·四川绵阳·三模）某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B．估计这批产品该项质量指标的众数为45 C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60 D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5 12．（2025高三·全国·专题练习）某学校在高三年级中抽取200名学生，调查他们课后完成作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图．根据此直方图得出了下列结论，其中不正确的是（    ） A．所抽取的学生中有40人在2.5小时至3小时之间完成作业 B．该校高三年级全体学生中，估计完成作业的时间超过4小时的学生概率为0.1 C．估计该校高三年级学生的平均做作业的时间超过3小时 D．估计该校高三年级有一半的学生做作业的时间在2.5小时至4.5小时之间 13．（24-25高二·上海·课堂例题）为了了解期末英语的测试成绩，我们抽取了三班学生的英语成绩进行分析，各数据段的分布如图（分数取整数），由此估计这次测验的优秀率（不小于80分）为_________． 14．（25-26高二上·广东江门·月考）树人中学为了了解，两个校区高一年级学生期中考试的物理成绩（百分制），从，两个校区各随机抽取了名学生的物理成绩，将收集到的数据按照，，，，分组，绘制成绩频率分布直方图如图： (1)从校区全体高一学生中随机选取一名，估计这名学生的成绩不低于分的概率； (2)如果把频率视为概率，从校区全体高一学生中随机选取一名，从校区全体高一学生中随机选取两名，求这三名学生中至少有一名学生的成绩不低于分的概率； (3)根据频率分布直方图，分别从中位数和平均数的角度，比较，两个校区的物理成绩． 15．（25-26高一下·广东广州·月考）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下： (1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率； (2)根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较． 题型4 游戏的公平性 16．（24-25高一下·河南许昌·期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 17．（25-26高二上·浙江湖州·月考）某比赛为两运动员制定下列发球规则： 规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球； 规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球； 规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则对甲、乙公平的有（   ） A．规则一，规则二 B．规则一，规则三 C．规则二，规则三 D．规则一，规则二，规则三 18．（24-25高一·全国·课后作业）下面有三个游戏，其中不公平的游戏是（    ） 取球方式 结果 游戏1 有3个黑球和1个白球，游戏时，不放回地依次取2个球 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜 游戏2 有1个黑球和1个白球，游戏时，任取1个球. 取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙胜. 游戏3 有2个黑球和2个白球，游戏时，不放回地依次取2个球. 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜. A．游戏1和游戏3 B．游戏1 C．游戏2 D．游戏3 19．（2025高一·全国·专题练习）晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．（1）班的文娱委员利用分别标有数字的两个转盘（如图），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜．该方案对双方是否公平?为什么?    20．（24-25高二上·山东日照·开学考试）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 题型5 事件的关系和运算  21．（24-25高一下·全国·随堂练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一·全国·课后作业）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 24．（2025高一·全国·专题练习）向上抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”，则事件C与A，B的运算关系是__________． 25．（24-25高一·全国·随堂练习）设某人向一个目标连续射击3次，用事件表示随机事件“第i次射击命中目标”（，2，3），指出下列事件的含义： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型6 互斥事件、事件的相互独立性的综合应用 26．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立.若甲、乙各罚球一次，则恰有一人命中的概率为（   ） A．0.26 B．0.28 C．0.72 D．0.98 27．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）甲、乙、丙三人每人投篮一次，投中的总次数记为X.已知甲、乙、丙投篮命中的概率分别为，，，且甲、乙、丙投篮的结果相互独立，则的概率是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·广东肇庆·期末）“投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25高一下·安徽合肥·期末）甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现平的情况，先多得2分者为胜方．在平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为_________． 30．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 题型7 独立事件与其他知识综合 31．（24-25高一下·广东广州·期末）高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了部分学生的成绩进行统计．将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级择优选取的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理？ (2)年级以各学习小组的平均分和方差为团体奖励依据．若某学习小组10位学生测试分数的平均数，标准差，若该小组得分分别为95分和85分的两位学生宣布退赛，求该小组余下8位学生分数的平均数与方差； (3)在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题．已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是．每人回答正确与否相互独立．求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率． 32．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小白鼠随机均分为两组：对照组（不添加药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量（单位：g），这些小白鼠的体重增加量都在内，按照，，，，，分组，得到如下频率分布直方图. (1)估计对照组小白鼠体重增加量的平均数（每组以该组所在区间的中点值为代表）及中位数； (2)求a的值及实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠的只数； (3)现从实验组和对照组中各随机抓取1只小白鼠，用事件A表示“所取2只小白鼠体重增加量均超过20g”，事件B表示“2只小白鼠仅有1只体重增加量不超过25g”，求，，并判断A，B是否相互独立. 33．（24-25高一下·山东德州·期末）在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，我校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估算高一学生的物理平均分数； (2)若根据这次成绩，学校建议70%的学生选报物理，30%的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分？（小数点后保留一位） (3)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试.考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有，，，，五个等级，若两个模块成绩均为，则直接参加；若一个模块成绩为，另一个模块成绩不低于，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加.现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得，，，，的概率分别为；乙在每个模块考试中取得，，，，的概率分别为，甲、乙在实验操作中通过的概率分别为.求甲、乙能同时参加物理竞赛的概率. 34．（24-25高一下·湖南长沙·月考）为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了100名学生，统计了他们某一周的综合体育活动时间（单位：时），并按照将样本数据分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数； (2)利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率． 35．（24-25高三下·云南昆明·月考）某校为促进学生对消防知识及火场自救知识的学习，组织了《消防知识及火场自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）． (1)根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表） (2)按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人成绩都在内的概率； (3)从竞赛成绩在内的学生中选取甲、乙人，组队参加全市中学生消防知识答题比赛，每轮由两人各答一题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲、乙两人在两轮答题比赛中共答对题的概率． 题型8 概率综合 36．（2025·山东·三模）一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关.则某人连过前三关的概率为（   ） A． B． C． D． 37．（24-25高一下·河北邯郸·期末）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·海南儋州·月考）某校高二年级举行数学竞赛，已知甲､乙两名同学获奖的概率分别为和，且两人是否获奖相互独立.求： (1)两人都获奖的概率； (2)两人中恰有一人获奖的概率； (3)两人中至少有一人获奖的概率. 39．（25-26高二上·福建泉州·期中）2025年8月21日、在官方公众号发文称，正式发布模型，此次平级也标志若国产大模型在技术选代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对两部门开展专项技能培训． (1)已知该公司部门有4位领导，部门有2位领导，需要从这6位领导中随机选取2位当组长负责组织培训工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求两位组长都来自于部门的概率； (2)此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率． 40．（25-26高二上·四川宜宾·期中）2025年10月31日中国神舟二十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射.在太空停留期间，航天员们计划开展“天宫课堂”，在空间站进行太空授课，极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣.为此，某校组织了一次“航空知识答题竞赛”活动. (1)在A，B两个班中各选3名同学参加本次知识答题竞赛，经初赛，从6名同学中选2名同学参加复赛，求参加复赛的这2名同学来自同一个班的概率； (2)班进行了三轮初选活动，甲同学每轮合格概率分别为，各轮结果均相互独立，至少两轮合格记为“优秀”，求三轮初选后，甲记为“优秀”的概率 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $