第10章 三角恒等变换（举一反三讲义·培优篇）高一数学苏教版必修第二册

该高中数学讲义以三角恒等变换为核心，通过八大压轴题型系统构建知识体系，将化简求值、辅助角公式应用等要点按“基础方法-综合应用-实际问题”递进梳理，清晰呈现公式推导、题型关联等重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，如辅助角公式求函数最值、三角形形状判断等题型，融合运算能力与推理意识培养。实际应用题（如扇形内接矩形面积最值）强化模型意识，基础题巩固方法，压轴题提升思维，助力教师实施精准教学，学生自主复习时可按需突破。

第10章 三角恒等变换全章八大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 利用三角恒等变换化简、求值 1．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据二倍角正弦公式计算结合弦化切计算求出，再结合两角和正切公式计算求解. 【解答过程】因为且，， 则，所以， ，所以， 则． 故选：D. 2．（2025·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解题思路】根据三角恒等变换公式即可得出答案. 【解答过程】原式 . 故选：B. 3．（24-25高一下·青海海南·期末）已知，则（    ） A． B．2 C． D．2或 【答案】B 【解题思路】由两角差正切公式可得，再由同角三角函数基本关系及二倍角公式化简求解. 【解答过程】由，得，解得， 而. 故选：B. 4．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，则 . 【答案】 【解题思路】逆用两角差的余弦公式求出的值，再利用二倍角的余弦公式即可求解. 【解答过程】∵， ∴. 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海虹口·月考）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用同角三角函数平方关系求，由，利用两角差的正弦公式即可求解； （2）由（1）得，进而求，利用二倍角公式求，最后利用诱导公式和两角和的余弦公式即可求解. 【解答过程】（1）由有，又， 所以， 所以 ； （2）由（1）有，，所以， 所以， 所以， 所以. 题型2 辅助角公式的应用 1．（24-25高一下·云南保山·期末）当时，函数取得最小值，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知条件，利用辅助角公式，结合三角恒等变换，化简得到，由得到和的关系，从而得解 【解答过程】 其中，，， 依题意得，，， ，，，， ， 故选：C． 2．（24-25高一下·江苏盐城·月考）（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】利用两角和的余弦公式将转化为，展开后借助辅助角公式化简即可求解. 【解答过程】 . 故选：D. 3．（24-25高一下·四川宜宾·期末）已知函数，则（   ） A．若函数相邻两条对称轴的距离为，则 B．当，时，的值域为 C．当时，是的对称中心 D．若在内有且仅有两个零点，则 【答案】B 【解题思路】利用辅助角公式可得，根据周期公式以及函数图象可判断A错误，结合正弦函数图象性质可得B正确，将代入检验可得C错误，根据整体代换法以及正弦函数图象性质，结合零点个数限定出不等式，解得，可得D错误. 【解答过程】易知， 对于A，若函数相邻两条对称轴的距离为，即可得，因此可得，即A错误； 对于B，当，可得， 当时，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 又 所以的值域为，即B正确； 对于C，当时，，将代入检验可得， 显然不是的对称中心，即C错误； 对于D，若，可得， 若在内有且仅有两个零点，可得，解得， 因此D错误. 故选：B. 4．（24-25高一下·重庆·月考）已知函数（）在区间上单调递减，且存在唯一实数，使得，则的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调性及最小值条件列出不等式求解. 【解答过程】函数， 当时，，由在上单调递减， 得，解得，又，则，， 当时，，由存在唯一实数，使得， 得，解得，因此， 所以的取值范围为为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知函数的最小正周期为. (1)求的值及函数的单调递增区间； (2)当时，求的值域. 【答案】(1)2，，. (2). 【解题思路】（1）利用诱导公式以及辅助角公式对函数化简，结合函数的周期求得，再利用整体代入求出函数的递增区间即可； （2）根据的范围，求得的范围，根据正弦函数的性质即可求解. 【解答过程】（1）因为， 所以 ， 由，得； 所以， 由， 得，. 故函数的单调增区间为，. （2），. . 函数的值域为. 题型3 给值求值型问题 1．（24-25高三上·江苏徐州·期中）已知，，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】运用降幂公式及角的变换，结合两角和与差的余弦公式化简即可求解. 【解答过程】已知, 则 故选：D. 2．（24-25高三上·辽宁·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，利用辅助角公式，二倍角公式及其诱导公式综合化简求值即可 【解答过程】由于 ， 代入原式中得：，解得：； 又. 故选：D. 3．（24-25高一上·河南洛阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【解题思路】由已知利用诱导公式可求得的值，进而利用三角函数恒等变换的应用化简所求即可求解． 【解答过程】因为， 所以， 所以，解得或舍去， 则 ． 故选：D． 4．（24-25高一下·陕西榆林·期末）已知，则 . 【答案】 【解题思路】利用两角和差公式以及辅助角公式整理可得，再利用倍角公式运算求解. 【解答过程】因为， 即， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知，其中 (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据，然后利用两角差的余弦代入即可． （2）根据，利用倍角公式算出代入即可求解． 【解答过程】（1）由题意得： ，， ， （2），， ， . 题型4 给值求角型问题 1．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用三角恒等变换的应用可得，结合两角和的正切公式计算即可求解. 【解答过程】由， 得，所以， 又，所以， 即， 整理得，即， 所以一个钝角一个锐角，所以， 所以， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据平方关系和商数关系求出，再根据求出，注意求得的范围，再根据结合两角和的正切公式即可得解. 【解答过程】角，由得， 则，又因为在上单调递增，则， 而， 同理有， 所以， 且，得. 故选：A. 3．（24-25高三·全国·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据，的范围即可求出结果. 【解答过程】由已知可将，， 则， ， ，即或． 又，所以， 所以，所以选项A，B错误， 即，则，所以．则C错，D对， 故选：D. 4．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为 . 【答案】 【解题思路】由条件可得，从而得到的值，再由的范围，即可得到结果. 【解答过程】因为，，则， 所以， 则， 且，，， 则. 故答案为：. 5．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先利用两角和的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式结合商数关系化弦为切即可得解； （2）先利用利用二倍角的余弦公式结合商数关系化弦为切求出，再利用两角差的正弦公式求出的正弦值，并求出的范围，即可得解. 【解答过程】（1）由， 解得， 所以； （2）， 由，，得， 所以 ， 因为，， 所以，所以， 又，， 所以，所以， 所以， 所以． 题型5 三角恒等变换的化简问题 1．（24-25高二下·浙江舟山·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由三角恒等变换化简得出，由求出的取值范围，根据正弦型函数的单调性可得出关于的不等式组，结合可求得的取值范围. 【解答过程】， 因为，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以， 即，解得， 由可得，又因为，，故，则. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 2．（24-25高一下·山东德州·期末）已知函数，是偶函数，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用偶函数定义化简解出的值，将的值代入，通过三角恒等变换化简，利用正弦函数的有界性求出最大值. 【解答过程】由是偶函数，得， 展开整理得，所以， 又，，得，解得， 所以 ， 当时，取得最大值. 故选：C. 3．（24-25高一下·山东威海·期中）已知函数，则（    ） A． B．的最大值为2 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】D 【解题思路】利用两角和的正弦公式与二倍角公式将函数化为，即可判断选项A，B；利用对称轴公式即可判断C；利用正弦函数的单调性即可判断选项D； 【解答过程】 对于选项A：由上边推导知选项A错误； 对于选项B：由以上推导得到最大值为，故选项B错误； 对于选项C：令，不存在整数k使得，故选项C错误； 对于选项D:当时，，正弦函数在区间上单调递增，故选项D正确； 故选：D. 4．（24-25高一下·四川泸州·期中）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【解题思路】（1）利用三角恒等变换将原函数化成正弦型函数，借助于正弦函数的单调性即可求得函数的递增区间； （2）利用三角函数平移伸缩变换求出，运用函数与方程的转化思想，结合正弦函数的图象性质即可求解． 【解答过程】（1）因， 令，解得， 函数的单调递增区间为； （2）将函数的图象向右平移个单位，可得的图象， 再将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图象， 若函数在上有两个零点， 则与在上有两个交点， 由，得，由，得， 所以结合正弦函数性质可得，在上单调递增，在上单调递减， 因为，，， 所以要使与在上有两个交点，只要， 故m的取值范围为． 5．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知函数的两条相邻对称轴的距离为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． ①若，且，求的值； ②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【解题思路】（1）利用二倍角公式、辅助角公式对解析式进行化简，结合函数图象的对称性求出的值，即得函数解析式； （2）根据三角函数图象的平移伸缩变换得到的解析式，①由题求得，结合的范围，求得，通过凑角后利用和角的正弦公式求解即得；②先将问题转化为函数和函数的图象在区间上有且只有2个交点，通过数形结合即可求得参数范围. 【解答过程】（1）因 ， 由函数的相邻两条对称轴的距离为，所以函数的周期． 则．∴． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得． 再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到． ①∵，∴． ∵则，则， ∴ ． ②由题知，方程在上恰有两个不同的实数解， 可转化为函数和函数的图象在区间上有且只有2个交点． 由可得，作出函数在上的图象如图： 当时，； 当时， ；当时，.    由图可知：实数的取值范围是． 题型6 利用三角恒等变换判断三角形的形状 1．（24-25高一下·河北沧州·期末）在中，，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 【答案】C 【解题思路】利用两角和的余弦公式以及诱导公式可得出，结合角的取值范围可得出结论. 【解答过程】因为，则， 所以，，因为，故为钝角， 故为钝角三角形. 故选：C. 2．（24-25高一下·河北邢台·月考）关于x的方程有一根为1，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解题思路】将1代入，根据二倍角公式和两角差的余弦公式，整理可得 ，即，根据角的范围，即可求出结果. 【解答过程】因为1是的根， 所以， 又 ， 所以有，， 整理可得，，即. 因为，，，所以. 则由可得，，所以. 所以一定是等腰三角形. 故选：A. 3．（24-25高一下·吉林·期末）在中，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【解题思路】由二倍角公式可得，，再根据诱导公式可得，然后利用两角和与差的余弦公式，即可将化简成，所以，即可求得答案． 【解答过程】因为， ， 所以，，即， 因为，所以 所以，即为等腰三角形. 故选：A． 4．（24-25高三上·宁夏中卫·期中）在中，若，则这个三角形的形状是 ． 【答案】等腰三角形 【解析】利用公式，利用两角和差的正弦公式，化简，并判断三角形的形状. 【解答过程】， ， 代入条件可得，即， 即， 所以三角形是等腰三角形. 故答案为：等腰三角形. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知是的两个内角，向量，． (1)是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由． (2)求的最大值，并判断此时的形状． 【答案】(1)是， (2)，等腰钝角三角形． 【解题思路】（1）由向量运算以及三角恒等变换即可求解； （2）由三角恒等变换以及基本不等式即可求解. 【解答过程】（1）由条件得，因， 则， 即， 则， 即， 故得为定值． （2）， 由（1）知，因， 故，， 从而， 取等号的条件是，即当时取得最大值， 此时为等腰钝角三角形． 题型7 三角恒等式的证明 1．（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由两角差的正弦公式化简得出，等式两边同时除以，化简可得出结论成立； （2）由已知条件得出，即为，再结合两角和的余弦公式可证得结论成立. 【解答过程】（1）因为，所以， 两边同时除以，得，即. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）应用二倍角正余弦公式化简，即可证； （2）应用和差角余弦公式整理化简，即可证； （3）应用平方关系、辅助角公式化简，即可证. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用商数关系，综合运用和差角正余弦公式、平方关系整理化简，即可证. 【解答过程】由题设，， 从而，得， 则， 得， 则， 进而得，即， 所以． 4．（24-25高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)证明见详解 (4)证明见详解 【解题思路】（1）左边直接使用和差公式化简，右边用二倍角公式展开，然后化简可证； （2）对左边先用余弦二倍角公式，然后再使用正弦二倍角公式化简即可证明； （3）对左边配方后，使用平方关系式和正弦二倍角公式化简即可得证； （4）对左边使用和差公式展开，然后通分化简，再由正切二倍角公式可证. 【解答过程】（1）因为左边， 右边， 所以左边=右边，原等式成立. （2）因为左边右边， 所以，原等式成立. （3）因为左边右边， 所以，原等式成立. （4）因为左边右边， 所以，原等式成立. 5．（24-25高一下·四川凉山·期末）（1）①借助两角和差公式证明： . ②在中，求证：.   （2）若，，求的值. 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析； （2） 【解题思路】（1）①由，，再结合余弦的和差公式即可得证； ②由题意得，由（1）的结论和二倍角公式化简得，再用和差化积公式计算得，结合即可证明； （2）同理①可计算得，由题意得，，两式相除可得，再运用化弦为切得即可求解. 【解答过程】（1）①，， 即. ②在中，，则， 即，结合①结论， 又， ， 又， 即. （2）同①有 ， 又，， ①，②， ②①式得， 即. 题型8 三角恒等变换的实际应用 1．（24-25高一下·四川南充·月考）如图，在扇形OPQ中，半径、圆心角，且，（），C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记，当矩形ABCD的面积S取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用三角函数先表示出，再利用二倍角公式及辅助角公式进行化简求最值，由取最值时的条件，结合和差公式求出，然后由二倍角公式和平方关系可得. 【解答过程】由题意，因为半径为1，所以，， 因为，，所以， 所以，所以， 所以， ，其中， 当时，取最大值，则， 所以， 所以，解得，， 因为，所以，满足题意， 所以当矩形的面积最大时，. 故选：A. 2．（24-25高一下·山东淄博·期末）如图，某城市有一条公路从正西方沿通过市中心后转到北偏东的上，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在、上分别设置两个出口、．若要求市中心与的距离为千米，则线段最短为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】D 【解题思路】过点作，垂足为点，设，，且，，计算得出，利用两角差的正切公式以及基本不等式可求得的最小值. 【解答过程】过点作，垂足为点，设，，且，， 由题意可得，， 所以， ， 因为， 令，则 ， 当且仅当时，等号成立， 故（千米）. 故选：D. 3．（24-25高一下·湖南·开学考试）某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为的圆内做一个关于圆心对称的“”型图形，“”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设为圆心，，记矩形的面积为，则的最大值为 . 【答案】 【解题思路】过点作，垂足为，设交于点，则、分别为、的中点，设四边形为横向矩形，可得出，，利用三角恒等变换化简的表达式，利用正弦型函数的最值可求得的最大值. 【解答过程】过点作，垂足为，设交于点， 则、分别为、的中点. 设四边形为横向矩形，如图所示， 由题意可知，， 因为，，所以， 所以. 所以矩形的面积 ，其中，且为锐角， 因为，则， 故当时，即当时，取得最大值为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·河北承德·月考）如图，扇形的半径为，圆心角为，是弧上的动点（不含点、），作交于点，作交于点，同时以为斜边，作，且．    (1)求的面积的最大值； (2)从点出发，经过线段、、、，到达点，求途经线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，则，，求出、的长，利用三角形的面积公式以及二倍角的正弦公式可求得的面积的最大值； （2）计算出线段、、、的长，令，可得出，利用二次函数的基本性质可求得途径线段长度的最大值. 【解答过程】（1）解：设，则，， 在中，，，则， ， 所以，， 因为，则， 当时，即当时，的面积取最大值，且最大值为. （2）解：过点作，垂足为点，    因为，，，则四边形为矩形， 所以，，， 因为，，则为等腰直角三角形，则， 所以，，，， 所以， ， 令， 因为，则，则， 所以，，， 所以，， 所以，， 故当时，取最大值， 因此，从点出发，经过线段、、、，到达点，求途径线段长度的最大值为. 5．（24-25高一下·江苏淮安·期中）现某公园内有一个半径为米扇形空地，且，公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个矩形的老年活动场所，如下图所示有两种情况可供选择. (1)若选择图一，设，请用表示矩形的面积，并求面积最大值 (2)如果选择图二，求矩形的面积最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）（参考数据，） 【答案】(1)，矩形面积的最大值为 (2)矩形面积的最大值为，第一种方案更优. 【解题思路】（1）计算出、关于的表达式，利用三角恒等变换可得出矩形面积的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得矩形面积的最大值； （2）取中点，连接，设，设，其中，计算出、关于的表达式，利用三角恒等变换可得出矩形面积的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得矩形面积的最大值，与方案一中矩形的面积比较大小，可得出结论. 【解答过程】（1）解：由题得，则， 则， 所以，， 所以矩形面积为 ， 因为，则，故当时，即当时， 矩形的面积取最大值，且最大值为. （2）解：取中点，连接，设，如下图所示： 设，其中，由圆的几何性质可知， ，， 因为四边形为矩形，则且， 因为，则，且，所以，四边形为矩形， 所以，，即为的中点， 又因为，则，所以，， 所以，， 所以，， 所以，， 则矩形的面积为 ，其中， 因为，则， 所以当，即时取最大值，矩形的面积取最大值，且最大值为 ， ，则，所以第一种方案更优. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 三角恒等变换全章八大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 利用三角恒等变换化简、求值 1．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（   ） A． B．1 C． D．2 3．（24-25高一下·青海海南·期末）已知，则（    ） A． B．2 C． D．2或 4．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，则 . 5．（24-25高一下·上海虹口·月考）已知. (1)求的值； (2)求的值. 题型2 辅助角公式的应用 1．（24-25高一下·云南保山·期末）当时，函数取得最小值，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏盐城·月考）（   ） A．1 B． C． D．2 3．（24-25高一下·四川宜宾·期末）已知函数，则（   ） A．若函数相邻两条对称轴的距离为，则 B．当，时，的值域为 C．当时，是的对称中心 D．若在内有且仅有两个零点，则 4．（24-25高一下·重庆·月考）已知函数（）在区间上单调递减，且存在唯一实数，使得，则的取值范围为 . 5．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知函数的最小正周期为. (1)求的值及函数的单调递增区间； (2)当时，求的值域. 题型3 给值求值型问题 1．（24-25高三上·江苏徐州·期中）已知，，则（） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·辽宁·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河南洛阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．0 4．（24-25高一下·陕西榆林·期末）已知，则 . 5．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知，其中 (1)求； (2)求． 题型4 给值求角型问题 1．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知角，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三·全国·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为 . 5．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值． 题型5 三角恒等变换的化简问题 1．（24-25高二下·浙江舟山·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东德州·期末）已知函数，是偶函数，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东威海·期中）已知函数，则（    ） A． B．的最大值为2 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 4．（24-25高一下·四川泸州·期中）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求实数m的取值范围． 5．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知函数的两条相邻对称轴的距离为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． ①若，且，求的值； ②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 题型6 利用三角恒等变换判断三角形的形状 1．（24-25高一下·河北沧州·期末）在中，，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 2．（24-25高一下·河北邢台·月考）关于x的方程有一根为1，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 3．（24-25高一下·吉林·期末）在中，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 4．（24-25高三上·宁夏中卫·期中）在中，若，则这个三角形的形状是 ． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知是的两个内角，向量，． (1)是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由． (2)求的最大值，并判断此时的形状． 题型7 三角恒等式的证明 1．（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 2．（25-26高一上·全国·课前预习）证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，求证：． 4．（24-25高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（24-25高一下·四川凉山·期末）（1）①借助两角和差公式证明： . ②在中，求证：.   （2）若，，求的值. 题型8 三角恒等变换的实际应用 1．（24-25高一下·四川南充·月考）如图，在扇形OPQ中，半径、圆心角，且，（），C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记，当矩形ABCD的面积S取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东淄博·期末）如图，某城市有一条公路从正西方沿通过市中心后转到北偏东的上，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在、上分别设置两个出口、．若要求市中心与的距离为千米，则线段最短为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 3．（24-25高一下·湖南·开学考试）某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为的圆内做一个关于圆心对称的“”型图形，“”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设为圆心，，记矩形的面积为，则的最大值为 . 4．（24-25高一下·河北承德·月考）如图，扇形的半径为，圆心角为，是弧上的动点（不含点、），作交于点，作交于点，同时以为斜边，作，且．    (1)求的面积的最大值； (2)从点出发，经过线段、、、，到达点，求途经线段长度的最大值． 5．（24-25高一下·江苏淮安·期中）现某公园内有一个半径为米扇形空地，且，公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个矩形的老年活动场所，如下图所示有两种情况可供选择. (1)若选择图一，设，请用表示矩形的面积，并求面积最大值 (2)如果选择图二，求矩形的面积最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）（参考数据，） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $