第15章 概率（举一反三单元自测·拔尖卷）高一数学苏教版必修第二册

**基本信息** 苏教版高中数学第15章概率单元自测拔尖卷，通过19题分层设计（单选8题、多选3题、填空3题、解答5题），覆盖概率核心概念与应用，考查数学抽象、逻辑推理及数据分析素养，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|概率定义、随机事件、互斥对立事件|结合打靶、彩票等生活情境，辨析概念本质| |多选|3/18|频率与概率关系、事件独立性|通过正八面体、有放回抽取等模型，考查逻辑推理| |填空|3/15|事件概率计算、独立事件|融入商场抽奖、算盘文化情境，体现数学应用| |解答|5/77|频率估计概率、古典概型、数据处理|以发芽试验数据、年龄分布直方图、歌手比赛等为载体，综合考查数据分析与模型构建能力|

第15章 概率（举一反三单元自测·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·广东佛山·月考）下列说法正确的有（   ） ①随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值 ②某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率0.7 ③一位同学做掷硬币试验，掷6次，一定有3次正面朝上 ④某地发行福利彩票，回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解题思路】由概率的概念逐项判断即可. 【解答过程】对于①：随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值，正确； 对于②：某人打靶，射击次，击中次， 那么此人中靶的频率为，但概率不一定为，故错误； 对于③：是一个随机事件，一位同学做掷硬币试验，掷次，不一定有次“正面朝上”，故错误； 对于④：是一个随机事件，买这种彩票，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故错误； 故选：B. 2．（5分）（24-25高一·全国·课后作业）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（    ） A．事件“都是红色卡片”是随机事件 B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件 D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件 【答案】C 【解题思路】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断. 【解答过程】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片， 在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确； 在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确； 在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误； 在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确． 故选：C． 3．（5分）（24-25高一下·河北邢台·期末）一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（    ） A．“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球” B．“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球” C．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球” D．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球” 【答案】C 【解题思路】由互斥，对立事件定义分析各选项可得答案. 【解答过程】A选项，“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”是对立事件，故A错误； B选项，“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”可以同时发生，不是互斥事件，故B错误； C选项，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”是互斥且不对立事件，故C正确； D选项，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件，故D错误. 故选：C. 4．（5分）（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116  785  812  730  134  452  125  689  024  169 334  217  109  361  908  284  044  147  318  027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】查出20个随机数中表示今后3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数的个数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【解答过程】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有： 116  812  730  217  109  361  284  147  318  027共10个， 故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是， 故选：B. 5．（5分）（24-25高一下·云南保山·期末）一个盒子中装有6个除颜色外都相同的小球，其中3个白球，2个红球，1个黑球．若从中任取2个球，那么至少取到1个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】用，，表示3个白球，用，表示2个红球，用c表示黑球，列举法求解古典概型的概率. 【解答过程】用，，表示3个白球，用，表示2个红球，用c表示黑球， 则该试验的样本空间可表示为 ，共有15个样本点． 其中至少取到1个红球包含9个样本点，分别为 ， 故所求概率为， 故选：D． 6．（5分）（2025高三·全国·专题练习）据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，则下列说法正确的是（    ） A．和是互斥事件但不是对立事件 B．和是互斥事件不是对立事件 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据互斥事件、对立事件的概念与性质逐项判断即可. 【解答过程】事件“选择一门文科学科”，包含“选择政治学科”、“选择历史学科”、“选择地理学科”， 所以事件“选择政治学科”，包含于事件，故事件、可以同时发生，不是互斥事件，A错； 事件“选择一门理科学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生， 且必有一个事件发生，故和是互斥事件也是对立事件，B错； 由题意可知，，所以，C错； 事件事件“选择生物学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生， 故和是互斥事件，所以，D对. 故选：D. 7．（5分）（24-25高一下·广东云浮·期末）掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件不相互独立 D．事件与事件互斥 【答案】C 【解题思路】根据题意列出事件A，事件B，再根据对立事件、独立事件、互斥事件的概念判断即可. 【解答过程】依题意，可用表示掷两枚骰子得到的点数，则， 对于， 而， 显然事件A与事件互斥但不对立，如，但，故A错误； 对于B，易得，故， 因为，所以， 而，则，则， 即事件与事件不相互独立，故B错误； 对于C，，而，则， 因为，所以，而 ， 所以事件A与事件不相互独立，故C正确； 对于D，由以上分析可知，那么事件与事件不互斥，故D错误. 故选：C. 8．（5分）（24-25高一下·重庆·期末）新高考中数学多项选择题的评分规则是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对得6分，若两个正确选项，只选对一个正确项得3分，有选错的得0分；若有三个正确选项，只选对一个得2分，只选对两个选项得4分，有选错的得0分，我们假定不会出现四个选项都正确的情况”现已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，均随机选择选项，下列表述错误的是（    ） A．若甲只选一个选项，能得3分的概率是 B．若乙选两个选项，能得6分的概率是 C．若丙至少选一个选项，能得分的概率是 D．若丁至少选两个选项，能得分的概率是 【答案】C 【解题思路】利用古典概型，求出各种情况的概率进行判断即可. 【解答过程】对于A，“甲同学仅随机选一个选项，能得3分”为事件, 甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率，A正确； 对于B，“乙同学仅随机选两个选项，能得6分”为事件， 乙同学仅随机选两个选项，能得6分的概率，B正确； 对于C，“丙同学仅随机至少选择一个选项，能得分”为事件， ， 丙同学仅随机至少选择一个选项，能得分的概率，C错误； 对于D，“丁同学仅随机至少选择两个选项，能得分”为事件G， 所以丁同学仅随机至少选择两个选项，能得分的概率，D正确. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·山东济宁·月考）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（   ） A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确. C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 【答案】ACD 【解题思路】根据频率与概率的关系，结合各选项的描述判断正误. 【解答过程】对于A：从中任取100件，可能有10件，A错误； 对于B：10000次的界定没有科学依据，"不一定很准确"的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近， 但并非试验次数越多，频率就等于概率，B正确. 对于C：多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，C中描述不符合概率定义，C错误； 对于D：做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，D错误； 故选：ACD. 10．（6分）（24-25高一下·安徽合肥·期末）一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A． B．事件与互斥 C．两两独立 D． 【答案】ABD 【解题思路】根据互斥事件的概念以及相关公式和古典概型与事件独立的乘法公式进行计算与判断即可. 【解答过程】由题意：事件的样本点为：，事件的样本点为，事件的样本点为. 所以的样本点为：，所以，故A正确； 因为的样本点为：，所以的样本点为，又的样本点为，所以事件与互斥，故B正确； 因为的样本点为，所以，，. 因为，所以事件，不相互独立，故C错误； 因为，的样本点为，所以，又，所以，故D正确. 故选：ABD. 11．（6分）（24-25高一下·安徽·期末）在一个不透明的袋子中，装有大小､材质相同的2个红球和3个绿球，从袋中依次抽取2个球，记“第次取到红球”，“第次取到绿球”，其中，则下列说法正确的是（    ） A．若有放回地抽取，则 B．若有放回地抽取，则 C．若不放回地抽取，则 D．若不放回地抽取，则 【答案】BCD 【解题思路】列举出所有可能性结合古典概型概率公式计算依次判断即可. 【解答过程】给大小、材质相同的2个红球编号为，3个绿球编号为， 若有放回抽取，则样本空间为：，共包含25个样本点， 其中第一次摸到红球，有，其中包含10个样本点， 第二次摸到红球，有，其中包含10个样本点， 第一次摸到绿球，有，其中包含15个样本点， 第二次摸到绿球，有，其中包含15个样本点， 所以，，故A错误； 因为事件有，其中包含6个样本点， 所以，故B正确； 若不放回抽取，则样本空间为 ，共含有20个样本点， 因为事件有，其中包含6个样本点， 所以，故C正确； 因为事件有，其中包含14个样本点， 所以，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·福建福州·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则__________. 【答案】 【解题思路】利用对立事件的概率公式求出，再利用互斥事件的加法公式求出，最后结合并事件的概率公式求解即可. 【解答过程】由对立事件的概率公式得， 由互斥事件的加法公式得， 而，得到，解得， 由并事件的性质得. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高一下·江苏无锡·月考）某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为___________. 【答案】 【解题思路】根据古典概型，分情况计算求解. 【解答过程】由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为，，共36种情况， 两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况： ①第一次与第二次都中二等奖，其包含的情况为，概率为； ②第一次中一等奖，第二次中三等奖，其包含的情况为，概率为； ③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为，概率为， 所以该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率为. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一上·辽宁·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则__________. 【答案】 【解题思路】利用古典概型的概率公式计算出、，即可求出的值. 【解答过程】因为只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示或， 因为个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上， 所以所得的四位数的个数为个， 能被整除的四位数，数字和各出现个，这样的四位数有：、、、、、，共个， 所以， 能被整除的四位数，个位数为，则这样的四位数为：、、、、、、、，共个， 所以， 所以，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·全国·课堂例题）某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表． 每批粒数 2 5 10 70 130 700 1500 2000 3000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 637 1370 1786 2709 发芽的频率 (1)请完成上述表格（保留三位小数）； (2)该油菜籽发芽的概率约为多少？ 【答案】(1)表格见解析 (2)0.900 【解题思路】（1）利用频率计算方法分别求解，然后填入表格即可； （2）结合频率与概率的关系，利用概率的定义求解即可. 【解答过程】（1）表格中的数据从左向右分别为，，，， ，，，，， 故填入题表中的数据依次为1.000，0.800，0.900，0.857，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903． 填表如下： 每批粒数 2 5 10 70 130 700 1500 2000 3000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 637 1370 1786 2709 发芽的频率 1.000 0.800 0.900 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 （2）观察表格中发芽频率的数据，随着试验次数的增加，发芽频率在0.900附近波动， 所以由（1）估计该油菜籽发芽的概率约为0.900． 16．（15分）（24-25高一·全国·随堂练习）设某人向一个目标连续射击3次，用事件表示随机事件“第i次射击命中目标”（，2，3），指出下列事件的含义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析． 【解题思路】（1）根据事件交的定义说明； （2）根据事件的交与补的定义说明； （3）根据事件并与补的定义说明； （4）根据事件补与交的定义说明． 【解答过程】（1）表示第1次和第2次都击中目标； （2）表示第3次未击中目标， 表示第1次和第2次都击中目标且第3次未击中目标； （3）表示第1次或第2次击中目标，事件第1次和第2次都未击中目标； （4）表示第()次未击中目标， 表示3次都未击中目标． 17．（15分）（24-25高一下·福建厦门·期末）某商场开展促销活动，每消费调500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件.判断事件与是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)不相互独立，理由见解析 【解题思路】（1）写出所有的样本点，再根据古典概率公式即可得出答案； （2）利用独立性事件同时发生的乘法公式及互斥事件发生的加法公式计算，再验证与是否相等即可判断. 【解答过程】（1）记三个红球分别为，，，两个白球分别为，，蓝球为， 则6个球中一次摸出两球的样本空间为： ， 则，且每个样本点出现的可能性相等，所以这是一个古典概型.     记事件“甲获得一等奖”，则，，     所以，所以甲获得一等奖的概率为. （2）记事件“乙第次摸得两个红球”，事件“乙第次摸得一红一蓝两个球”， 事件“乙第次摸得一白一蓝两个球”，事件“乙第次未摸到蓝球”，其中，2. 由（1）知； ，；     ，；     ，.     则，，与相互独立. 所以.     因为，且事件，，两两互斥，两次抽奖相互独立， 所以 .     因为，且，互斥，两次抽奖相互独立， 所以.     所以，所以事件与事件不相互独立. 18．（17分）（25-26高二上·四川成都·期中）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组． (1)求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数； (2)估计抽出的100名志愿者年龄的众数、中位数； (3)若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人．求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率． 【答案】(1)，150 (2)； (3) 【解题思路】（1）由直方图频率和为1，列方程求，再根据直方图求500名志愿者中年龄在的人数； （2）由众数及中位数的计算公式即可求解； （3）由分层抽样的等比例抽取的性质求出6名志愿者的分布，再应用古典概型的概率求法求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 【解答过程】（1）由直方图知：，可得， ∴估计500名志愿者中年龄在的人数为. （2）由频率分布直方图可得众数为， 前两个小矩形的面积为，第三个小矩形的面积为， 所以中位数在内，为. （3）由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为， 知6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自， 不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者分别为， 则抽取两人的基本事件有， ，共15种， 恰好来自同一组的基本事件有，，共4种， ∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 19．（17分）（25-26高一上·江西九江·期末）在某歌手大赛中，每位参赛选手均必须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为；在第二轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为p，q．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否通过互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮通过的概率． (2)若甲、乙都恰好有一轮通过的概率为，甲、乙两轮都通过的概率为． （i）求p，q的值； （ii）求甲、乙两人至少有一人两轮都通过的概率． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【解题思路】（1）根据互斥事件、相互独立事件的概率计算； （2）（i）记事件“甲、乙都恰好有一轮通过”，事件“甲、乙两轮都通过”，分别表示，，求出； （ii）记事件“甲两轮都通过”，事件“乙两轮都通过”，事件“甲、乙两人至少有一人两轮都通过”，由或，计算得解. 【解答过程】（1）设事件“甲通过第一轮比赛”，事件“甲通过第二轮比赛”， 事件“乙通过第一轮比赛”，事件“乙通过第二轮比赛”， 由题知相互独立，且． 记事件“乙恰好有一轮通过”，则，   又互斥， 所以当时， ， 即当时，乙恰好有一轮通过的概率为. （2）（i）记事件“甲、乙都恰好有一轮通过”，事件“甲、乙两轮都通过”， 则 ，①         ，②     由①②，得，解得.       （ii）记事件“甲两轮都通过”，事件“乙两轮都通过”，事件“甲、乙两人至少有一人两轮都通过”， 则，    则．    或. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 概率（举一反三单元自测·拔尖卷） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·广东佛山·月考）下列说法正确的有（   ） ①随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值 ②某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率0.7 ③一位同学做掷硬币试验，掷6次，一定有3次正面朝上 ④某地发行福利彩票，回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（5分）（24-25高一·全国·课后作业）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（    ） A．事件“都是红色卡片”是随机事件 B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件 D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件 3．（5分）（24-25高一下·河北邢台·期末）一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（    ） A．“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球” B．“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球” C．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球” D．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球” 4．（5分）（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116  785  812  730  134  452  125  689  024  169 334  217  109  361  908  284  044  147  318  027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高一下·云南保山·期末）一个盒子中装有6个除颜色外都相同的小球，其中3个白球，2个红球，1个黑球．若从中任取2个球，那么至少取到1个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（2025高三·全国·专题练习）据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，则下列说法正确的是（    ） A．和是互斥事件但不是对立事件 B．和是互斥事件不是对立事件 C． D． 7．（5分）（24-25高一下·广东云浮·期末）掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件不相互独立 D．事件与事件互斥 8．（5分）（24-25高一下·重庆·期末）新高考中数学多项选择题的评分规则是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对得6分，若两个正确选项，只选对一个正确项得3分，有选错的得0分；若有三个正确选项，只选对一个得2分，只选对两个选项得4分，有选错的得0分，我们假定不会出现四个选项都正确的情况”现已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，均随机选择选项，下列表述错误的是（    ） A．若甲只选一个选项，能得3分的概率是 B．若乙选两个选项，能得6分的概率是 C．若丙至少选一个选项，能得分的概率是 D．若丁至少选两个选项，能得分的概率是 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·山东济宁·月考）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（   ） A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确. C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 10．（6分）（24-25高一下·安徽合肥·期末）一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A． B．事件与互斥 C．两两独立 D． 11．（6分）（24-25高一下·安徽·期末）在一个不透明的袋子中，装有大小､材质相同的2个红球和3个绿球，从袋中依次抽取2个球，记“第次取到红球”，“第次取到绿球”，其中，则下列说法正确的是（    ） A．若有放回地抽取，则 B．若有放回地抽取，则 C．若不放回地抽取，则 D．若不放回地抽取，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·福建福州·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则__________. 13．（5分）（24-25高一下·江苏无锡·月考）某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为___________. 14．（5分）（24-25高一上·辽宁·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·全国·课堂例题）某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表． 每批粒数 2 5 10 70 130 700 1500 2000 3000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 637 1370 1786 2709 发芽的频率 (1)请完成上述表格（保留三位小数）； (2)该油菜籽发芽的概率约为多少？ 16．（15分）（24-25高一·全国·随堂练习）设某人向一个目标连续射击3次，用事件表示随机事件“第i次射击命中目标”（，2，3），指出下列事件的含义： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（15分）（24-25高一下·福建厦门·期末）某商场开展促销活动，每消费调500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件.判断事件与是否相互独立，并说明理由. 18．（17分）（25-26高二上·四川成都·期中）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组． (1)求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数； (2)估计抽出的100名志愿者年龄的众数、中位数； (3)若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人．求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率． 19．（17分）（25-26高一上·江西九江·期末）在某歌手大赛中，每位参赛选手均必须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为；在第二轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为p，q．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否通过互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮通过的概率． (2)若甲、乙都恰好有一轮通过的概率为，甲、乙两轮都通过的概率为． （i）求p，q的值； （ii）求甲、乙两人至少有一人两轮都通过的概率． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $