精品解析：福建福州市清华附中福州学校2025-2026学年下学期九年级期中考试 数学

2025-2026学年第二学期初三期中考试 数学 一、单选题（本题共10题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．） 1. 下图所示的零件的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从正面看到的即可得出答案 【详解】解：根据主视图是从正面看到的，主视图为： 故选：D 2. 为计数方便，某果园以每筐水果为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．“”表示的实际千克数是（ ） A. 3 B. 22 C. 25 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正负数的应用，首先要知道以谁为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负，由此用正负数解答问题． 【详解】解：由题意，得 “”表示的实际千克数是千克． 故选B． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 4. 如图所示的是一杆杆秤，杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、秤钩、提绳等组成．在称物品时，提绳AB与秤砣绳CD互相平行，若，则的度数为（ ） A. 92° B. 90° C. 88° D. 86° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平角的定义，平行线的性质求解． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ 故选：C 【点睛】本题考查平角的定义，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式运算，掌握“，，”是解题的关键． 【详解】解：A.，不能进行运算，结论错误，不符合题意； B.，结论错误，不符合题意； C.，结论错误，不符合题意； D.，结论正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，平分，点P是上一点，于点M，点N是射线上的一个动点．若，，则的最小值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用所学知识是解决本题的关键． 先根据勾股定理求出，再根据垂线段最短可得当时，的值最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等得，从而得解． 【详解】解：∵于点M，，， ∴， 当时，的值最小， ∵平分，， ∴， ∵， ∴的最小值为3． 故选：B． 7. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干，若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得的钱数与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系．设第一次分钱的人数为人，则第二次分钱的人数为人，根据两次每人分得的钱数相等，可建立方程． 【详解】解：设第一次分钱的人数为， 根据题意得：， 故选：C． 8. 如图，有两个除所标数字外构造完全相同的转盘A 和B，游戏规定：两人各选择一个转盘转一次，指向的数字较大者获胜，则选择转盘A获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单事件的概率，画树状图或用列表法是解题的关键． 将可能的情况通过列表法表示出来，进行判断胜的可能性有几种，除以所有的可能性即可． 【详解】解：转盘指向的数字的可能性如下表所示： B的数字 A的数字 8 4 3 9 A胜 A胜 A胜 5 B胜 A胜 A胜 2 B胜 B胜 B胜 故获胜的概率为． 故选B． 9. 如图，内接于，，，则半径为（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，连接常用的辅助线是解题关键．连接，由圆周角定理可求出，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴． 设， ∵， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴半径为． 故选D． 10. 如图，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，点，直角顶点，点在第二象限．将沿轴正方向平移后得到，点的对应点恰好落在双曲线上，则平移的距离等于（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形全等的判定与性质、反比例函数的性质、平移的性质，由题意得，，作轴于，证明得出，设将沿轴正方向平移个单位后得到，得出，，结合反比例函数的性质求出的值即可得解． 【详解】解：∵点，， ∴，， 如图：作轴于， 则， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设将沿轴正方向平移个单位后得到， ∴，， ∵点的对应点恰好落在双曲线上， ∴， 解得：， ∴平移的距离为， 故选：B． 二、填空题（本题共6题，每小题4分，共24分．请在答题卡的相应位置填写．） 11. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出关于n的方程是解此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和． 设这个多边形的边数为n，根据题意得出，求出即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则， 解得：， 故答案为：6． 12. 据报道，截至2026年2月17日8时，2026年央视春晚境内新媒体端点播触达总数约16200000000次，将16200000000写成科学记数法为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 13. 如图，数轴上的点分别对应实数，则__________0.(用“”“”或“”填空) 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴可得，进而即可求解． 【详解】解：由数轴可得 ∴ 【点睛】本题考查了实数与数轴，有理数加法的运算法则，数形结合是解题的关键． 14. 小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图，这周小明活动时间的中位数是______ 【答案】63 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，根据折线统计图和中位数的计算方法进行求解即可得出答案． 【详解】解：把这组数由小到大排列，，，，，，，， 则中位数为： 故答案为：． 15. 台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，某球员击位于的中点E处的球，球沿射向边，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出发到入袋的时间等于______（用含m和v，的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解，，，，再证明，再利用相似三角形的性质与勾股定理可得答案． 【详解】解：∵一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，的中点为E， ∴，，，， 由反弹规律满足光的反射定律． ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 16. 已知点，，在抛物线上，且．则n的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，抛物线的对称轴为直线，由点，在抛物线上，可知对称轴为直线，则，即，，，，当时，，即，可求，由，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，抛物线的对称轴为直线， ∵点，在抛物线上， ∴对称轴为直线， ∴，即，， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， 解得，， ∵， ∴， 解得，或， 综上所述，或， 故答案为：或． 三、解答题（本题共9题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 如下图，四边形是矩形，点在边上，，垂足为，．证明：． 【答案】 证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ． ，，， ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用 “”证明，即可证明． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化；运用相关公式、法则正确进行分式的化简是解题的关键．先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ， 当时， 上式， ． 20. 对墙垫球是某地初中学生体育素养测试项目之一，为了解该地某校八年级男生该项目的水平，该地教育部门在该校八年级男生中随机抽取了30名进行测试，并绘制了这30名男生40秒对墙垫球个数的频数分布直方图，如下图所示．（各组是， （1）估计这30名男生40秒对墙垫球的平均个数； （2）男生该项目“较高水平”的标准是“40秒对墙垫球的个数不少于32”．在该校八年级男生中随机抽取一名，记事件A为：该男生该项目达到较高水平．请估计事件A的概率． 【答案】（1）28个 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求平均数，求概率： （1）根据平均数的公式计算，即可求解； （2）直接根据概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：根据图，可估计这30名男生40秒对墙垫球的平均个数为 （个）． 【小问2详解】 解： 即事件A的概率为． 21. 为了做好校园消杀，某校共购买了20桶、两种桶装消毒液．已知种消毒液300元/桶，每桶可供2000平方米的面积进行消杀，B种消毒液200元/桶，每桶可供1000平方米的面积进行消杀．设购买了种消毒液桶，在现有资金不超过5300元的情况下，如何购买消毒液，才能使可消杀的面积最大． 【答案】购买种消毒液13桶，B种消毒液7桶，可消杀的面积最大 【解析】 【分析】根据现有资金不超过5300元，可以求得x的取值范围，再根据题意，可以得到消杀面积与x的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可得到可消杀的最大面积． 【详解】∵现有资金不超过5300元， ∴，（且x为整数）， 解得，，（且x为整数）， 设可消杀的面积为S平方米，即， ∴S随x的增大而增大， ∴当时，S取得最大值，此时， 即购买B种消毒液7桶， 综上：购买种消毒液13桶，B种消毒液7桶，可消杀的面积最大． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 22. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°． （1）求作圆C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E； （要求尺规作图，不写作法，但应保留作图痕迹，并标明字母） （2）在（1）中所作的图形中，若BC＝2，AC＝，求弧DE的长． 【答案】（1） 作图如下： （2） 【解析】 【分析】（1）分别以A、B为圆心，以AC、BC为半径画弧，两弧交于点F，连接FC，交AB于点D，以C为圆心、CD为半径画圆，交AC于点D，则⊙C即为所求；连接AF、BF，先证△AFB≌△ACB，再证△AFD≌△ACD，即可得CD⊥AB，则问题得证； （2）连接DE，根据，即可得到∠BAC=30°，再利用切线的性质即可得∠DCA=60°，在Rt△ADC中，解直角三角形即可求出CD，则问题即可得解． 【小问1详解】 分别以A、B为圆心，以AC、BC为半径画弧，两弧交于点F，连接FC，交AB于点D，以C为圆心、CD为半径画圆，交AC于点D，则⊙C即为所求， 证明：连接AF、BF，如图， 通过作图可知AF=AC，BC=BF， 通过SSS可以证得△AFB≌△ACB， 则有∠FAD=∠CAD， 结合AC=AF，AD=AD，可证得△AFD≌△ACD， ∴∠ADF=∠ADC=90°， ∴CD⊥AB， ∵CD为⊙C的半径， ∴AB与⊙C相切，切点为D， 【小问2详解】 连接DE，如图， ∵∠ACB=90°，BC=2，， ∴， ∴∠BAC=30°， ∵AB与⊙C相切，切点为D， ∴CD⊥AB， ∴∠ADC=90°， ∴∠DCA=90°-∠BAC=90°-30°=60°， ∵在Rt△ADC中，∠BAC=30°，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图---做垂线、切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形以及弧长公式等知识，利用解直角三角形求得∠DCA=60°是解答本题的关键． 23. 为创造美丽环境，某社区将辖区内一四边形闲置区域改造为一个生态景观区，平面示意图如图所示．景观区建有一个四叶草形生态水池及一座雕塑，水池内点处建有观景台，是两条通往观景台的步行道，其中步行道与边垂直，四边形内其他区域铺设草坪．观景台上安装了一盏广角灯，四边形是广角灯夜间开启时灯光所覆盖的区域． 小梧从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，对该广角灯的要求是：照射角为．他想验证该广角灯是否符合要求，于是利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如表一所示． 表一 所测的量 长度（m） 15.00 15.00 17.32 17.32 6.00 24.00 （1）步行道与边是否也垂直？请说明理由； （2）根据所测得的数据，小梧能否完成验证？若能，请帮小梧完成验证；若不能，请说明理由．（参考数据：近似于1.732） 【答案】（1） 解：与也垂直，理由如下： 连接，由测量数据可知， ． 又， ． ． ． （2） 解：小梧可以完成验证，过程如下： 过点作，垂足为点． 由数据可知，在中，， ． ． ． 在中，． ． ． 在中与中， 则，且， ． ． ． 即． 由（1）可知，在中，， ． 所以照射角符合要求． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合已知条件，得证，得出，即可作答． （2）分别根据锐角三角函数得出，，得出，且，证明，则结合（1）的结论，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 若一个四边形是菱形，它的三个顶点在某抛物线上，且一条对角线在该抛物线的对称轴上，则称该四边形是该抛物线的“正菱形”． 已知抛物线，其中，顶点为． （1）判断点是否在抛物线上，并说明理由； （2）若，，是否存在点，使得四边形是抛物线的“正菱形”？若存在，请求出相应的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 点不在抛物线上． 理由： ∵抛物线，其中， 当时，得： ， 由抛物线的定义知：， ∴， ∴， 即， ∴点不在抛物线上； （2）存在点，使得四边形是抛物线的“正菱形”，相应的的值为 【解析】 【分析】本题是二次函数综合运用，考查了二次函灵敏的图像和性质，菱形的性质， （1）当时，，即可求解； （2）如图，则点、的纵坐标相同，即，得到点、的坐标分别为、，则点在抛物线上，然后结合垂直平分线的性质计算即可求解； 掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在． 理由：依据题意，画出图像如下，连接，设交于点， ∵四边形是抛物线的“正菱形”， 则，互相垂直且平分， ∵是抛物线的顶点， 又∵菱形的一条对角线在抛物线的对称轴上， ∴点在对称轴上，点，在抛物线上， ∴轴， ∴轴， ∴， ∴，即， ∴、， ∵垂直平分，且在抛物线的对称轴上， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线． ∵点在抛物线上， ∴， 解得，（舍去）， ∴，，， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴，， ∵，互相垂直且平分，则， ∴， ∴， 综上所述：存在点，使得四边形是抛物线的“正菱形”，相应的的值为． 25. 如图1，在中，将沿弦所在直线折叠，交弦于点．连接，． （1）求证：； （2）如图2，若经过圆心点，求证：为正三角形； （3）如图3，弦为的直径，的延长线交于点，若，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，作点关于的对称点，连接、， 则， ∵四边形 圆内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2） 证明：如图：作点关于直线的对称点，连接、、、， ∵与关于直线对称， ∴点在上，，， 又∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∵四边形 圆内接四边形， ∴， 又∵， ∴， 由（1）可得：， ∴为等边三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）作点关于的对称点，连接、，由轴对称的性质可得，由圆内接四边形的性质可得，再结合，得出，即可得证； （2）作点关于直线的对称点，连接、、、，由与关于直线对称，得出点在上，从而可得，进而得出四边形为菱形，由菱形的性质可得，求出，由（1）可得，即可得证； （3）连接、，设，则，证明出，，从而可得，由相似三角形的性质可得，设，，则，求出，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接、， 设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，，则， ∴（负值舍去）， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期初三期中考试 数学 一、单选题（本题共10题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．） 1. 下图所示的零件的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 为计数方便，某果园以每筐水果为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．“”表示的实际千克数是（ ） A. 3 B. 22 C. 25 D. 28 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的是一杆杆秤，杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、秤钩、提绳等组成．在称物品时，提绳AB与秤砣绳CD互相平行，若，则的度数为（ ） A. 92° B. 90° C. 88° D. 86° 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平分，点P是上一点，于点M，点N是射线上的一个动点．若，，则的最小值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干，若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得的钱数与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，有两个除所标数字外构造完全相同的转盘A 和B，游戏规定：两人各选择一个转盘转一次，指向的数字较大者获胜，则选择转盘A获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，内接于，，，则半径为（ ） A. B. C. 10 D. 10. 如图，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，点，直角顶点，点在第二象限．将沿轴正方向平移后得到，点的对应点恰好落在双曲线上，则平移的距离等于（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（本题共6题，每小题4分，共24分．请在答题卡的相应位置填写．） 11. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 12. 据报道，截至2026年2月17日8时，2026年央视春晚境内新媒体端点播触达总数约16200000000次，将16200000000写成科学记数法为___________． 13. 如图，数轴上的点分别对应实数，则__________0.(用“”“”或“”填空) 14. 小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图，这周小明活动时间的中位数是______ 15. 台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，某球员击位于的中点E处的球，球沿射向边，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出发到入袋的时间等于______（用含m和v，的式子表示） 16. 已知点，，在抛物线上，且．则n的取值范围是______． 三、解答题（本题共9题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤．） 17. 计算：． 18. 如下图，四边形是矩形，点在边上，，垂足为，．证明：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 对墙垫球是某地初中学生体育素养测试项目之一，为了解该地某校八年级男生该项目的水平，该地教育部门在该校八年级男生中随机抽取了30名进行测试，并绘制了这30名男生40秒对墙垫球个数的频数分布直方图，如下图所示．（各组是， （1）估计这30名男生40秒对墙垫球的平均个数； （2）男生该项目“较高水平”的标准是“40秒对墙垫球的个数不少于32”．在该校八年级男生中随机抽取一名，记事件A为：该男生该项目达到较高水平．请估计事件A的概率． 21. 为了做好校园消杀，某校共购买了20桶、两种桶装消毒液．已知种消毒液300元/桶，每桶可供2000平方米的面积进行消杀，B种消毒液200元/桶，每桶可供1000平方米的面积进行消杀．设购买了种消毒液桶，在现有资金不超过5300元的情况下，如何购买消毒液，才能使可消杀的面积最大． 22. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°． （1）求作圆C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E； （要求尺规作图，不写作法，但应保留作图痕迹，并标明字母） （2）在（1）中所作的图形中，若BC＝2，AC＝，求弧DE的长． 23. 为创造美丽环境，某社区将辖区内一四边形闲置区域改造为一个生态景观区，平面示意图如图所示．景观区建有一个四叶草形生态水池及一座雕塑，水池内点处建有观景台，是两条通往观景台的步行道，其中步行道与边垂直，四边形内其他区域铺设草坪．观景台上安装了一盏广角灯，四边形是广角灯夜间开启时灯光所覆盖的区域． 小梧从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，对该广角灯的要求是：照射角为．他想验证该广角灯是否符合要求，于是利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如表一所示． 表一 所测的量 长度（m） 15.00 15.00 17.32 17.32 6.00 24.00 （1）步行道与边是否也垂直？请说明理由； （2）根据所测得的数据，小梧能否完成验证？若能，请帮小梧完成验证；若不能，请说明理由．（参考数据：近似于1.732） 24. 若一个四边形是菱形，它的三个顶点在某抛物线上，且一条对角线在该抛物线的对称轴上，则称该四边形是该抛物线的“正菱形”． 已知抛物线，其中，顶点为． （1）判断点是否在抛物线上，并说明理由； （2）若，，是否存在点，使得四边形是抛物线的“正菱形”？若存在，请求出相应的的值；若不存在，请说明理由． 25. 如图1，在中，将沿弦所在直线折叠，交弦于点．连接，． （1）求证：； （2）如图2，若经过圆心点，求证：为正三角形； （3）如图3，弦为的直径，的延长线交于点，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $