精品解析：海南海口市第四中学2025-2026学年第二学期期中考试高一年级数学试题

海口四中2025-2026学年度第二学期期中考试 高一年级数学试题 命题人：王大聪 审题人：陈岳 考生注意：本试卷共有19题，时间为120分钟，满分为150分. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再根据集合的并集运算求解. 【详解】由，得，所以， 由，得，即，所以， 所以. 故选：A 2. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行坐标关系结合充分必要条件定义判断即可. 【详解】向量，“”可以得出，即得， 不能得出成立，可以推出成立， 则“”是“”的充分不必要条件. 3. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【详解】易知， 故要得到函数的图象，只需将的图象向左平移个单位长度. 4. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的性质及对数函数、指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】， 因为在上为增函数，所以，即. 又为增函数，所以，即， 所以. 5. 在菱形中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理计算即可. 【详解】分析可得， 于是． 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 由 ， 所以. 7. 若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】易得函数与的最小正周期相等，从而可求出，再根据余弦函数和正切函数的对称性分别求出两个函数的对称中心，进而可得出答案. 【详解】对于函数，令， 解得， 即的对称中心为； 因为函数的相邻对称中心的距离都是半个最小正周期， 且函数与函数图象的对称中心完全一致， 所以函数与的最小正周期相等， 又函数的最小正周期，所以，所以， 则， 令，则， 故，解得， 因为，所以． 故选：C． 8. 已知函数，则关于直线与函数的图象的交点的个数说法错误的是（ ） A. 当时，有3个交点 B. 当时，有且只有1个交点 C. 当时，有2个交点 D. 当时，没有交点 【答案】D 【解析】 【分析】作出，，的函数图象，根据图象的交点以及的范围进行分类讨论，由此判断即可. 【详解】直线与直线有一个交点， 联立直线，解得或， 所以直线与直线的交点为，， 在同一平面直角坐标系中作出，，的图象如图所示， 当时，有3个公共点，分别为，A正确. 当时，有且只有1个公共点，为，B正确. 当时，有2个公共点，分别为，C正确. 当时，①时，有3个公共点，分别为；时，有2个公共点，分别为，D错误. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列选项中，正确的是（ ） A. 在平行四边形中， B. 在中，若，则为钝角三角形 C. 若是的重心，则 D. 若与的夹角为，则在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【详解】在平行四边形中，与 方向相同，长度相等，所以，所以A正确； 在中，与的夹角为，若，则， 所以为锐角，不能说明为钝角三角形，所以B错误； 若是的重心，记的中点为， 则， 即，所以C正确； 若与的夹角为， 则在方向上的投影向量为， 所以D正确. 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为9 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【详解】A：由基本不等式：， 两边平方得，即，等号成立当且仅当， 即，符合条件，因此最大值为，A正确； B：， 得到的最小值为，无最大值，B错误； C：将代入得：， 这是开口向上的二次函数，对称轴， 代入得最小值为，C错误； D：， 等号成立当且仅当即，符合条件，因此最小值为，D正确. 11. 已知扇形的半径为，点在弧上运动，，下列说法正确的有（ ） A. 当位于点时，的值最大 B. 当位于点时，的值最小 C. 的取值范围为 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可判断结合选项逐一求解. 【详解】我们通过建立平面直角坐标系求解：将放在原点，在轴上， 则，设， 由解得：， 因此， 选项A，的最大值为，在，在弧中点时取得最大值， A错误； 选项B，的最小值为，在即在点和即在点都取得，因此位于点时，确实取最小值， B正确； 选项C，， 因为，所以， C正确； 选项D，， 最大值为，因此最大值为， D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知正方形ABCD的边长为4，为的中点，则________ ． 【答案】8 【解析】 【分析】利用基向量表示向量，再由平面向量的数量积的运算性质求解即可 【详解】由已知得，所以， 所以 . 故答案为：8 13. 已知角的终边经过点，若角与的终边关于x轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可求出，再结合点的对称性可求出，最后根据诱导公式可求解. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 又角与的终边关于x轴对称， 所以角的终边经过点，所以. 所以. 14. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.记向量的伴随函数为，当且时，的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由伴随函数的定义得的解析式，根据辅助角公式、同角三角函数关系式及两角差的正弦公式即可求得的值. 【详解】由题意知，， 当时，，即.. 由，得， 所以. 所以. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、过程或演算步骤） 15. 已知内角的对边分别为. （1）若，求边和角A； （2）若，求角A. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求出，再由余弦定理求； （2）根据余弦定理及条件化简即可得解. 【小问1详解】 由余弦定理，，即， 化简可得，解得或（舍去）， 所以， 又，所以. 【小问2详解】 ，又因为 所以，即，化简可得：， 所以为直角三角形，其中为直角，所以角. 16. 已知向量. （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值； （3）当为钝角时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 ， 因为， ， 所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 所以， . 【小问3详解】 角为钝角，即，且与不能反向共线， 所以，因为，可得， 且， 综上. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求在区间内的单调递增区间. 【答案】（1）最小正周期，对称中心为； （2）和. 【解析】 【分析】利用三角恒等变换将函数化为一个正弦型函数，根据周期公式得到最小正周期；令正弦函数内部的相位等于，解出即为对称中心的横坐标； （2）令正弦函数内部的相位落在正弦函数的单调递增区间内，解出的范围，得到单调递增区间的通式，再与给定区间取交集，即得所求的单调递增区间. 【小问1详解】 函数 ， 所以的最小正周期， 令，解得：，此时， 的对称中心为； 【小问2详解】 令， 解得， 的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为； 在区间内单调递增区间和. 18. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当，方程有解，求实数的取值范围； （3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后将点代入中可求出的值，从而可求出函数解析； （2）求得，则将问题转化为有解，然后由求出的范围，从而可求出实数的取值范围； （3）设，则将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，然后结合正弦函数的图象可求出的范围，从而可求出，进而可求出的取值范围． 【小问1详解】 设的最小正周期为，由题意得，得周期， 所以，得， 因为，所以， 所以， 因为的图象过点，所以，得， 因为，所以， 故． 【小问2详解】 ， 即有解， 由，得， 所以，所以， 所以，即． 【小问3详解】 ，设，则， 由“方程在区间上恰有三个实数根”， 得“方程在区间上恰有三个实数根”， 则的图象如下： 即， 由图得，，， 即， 综上． 【点睛】关键点点睛：此题考查由正弦函数的性质求正弦函数的解析式，考查函数与方程的综合问题，考查正弦函数和余弦函数的图象与性质，第（3）问解题的关键是通过换元后，将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，再结合正弦函数的图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题. 19. 已知函数. （1）设. （i）计算的值，并求的最小值； （ii）求的单调递减区间. （2）对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii）的单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）换元令将原函数化为二次函数，代入计算函数值，通过二次函数配方求最小值. （ii）利用复合函数单调性法则，结合二次函数与对数函数的单调区间，求解原函数的单调递减区间. （2）换元转化为区间上的二次函数，根据对称轴与区间的位置分类讨论最值，由最值差≤8解出的范围. 【小问1详解】 （i）将代入得. 令，则. . 因为，，当且仅当即时取等号，所以. （ii）在上单调递增. 在上单调递减，在上单调递增. 由得. 所以由复合函数“同增异减”可知的单调递减区间为. 【小问2详解】 对任意，恒成立，求的取值范围. 令，，，即，. 题意等价于在上恒成立. 函数图像开口向上，对称轴为. ①当时，在上单调递增，，，，与矛盾，舍去. ②当时，，. 若，，. 若，，. ③当时，在上单调递减，，，，与矛盾，舍去. 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海口四中2025-2026学年度第二学期期中考试 高一年级数学试题 命题人：王大聪 审题人：陈岳 考生注意：本试卷共有19题，时间为120分钟，满分为150分. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 4. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 在菱形中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则关于直线与函数的图象的交点的个数说法错误的是（ ） A. 当时，有3个交点 B. 当时，有且只有1个交点 C. 当时，有2个交点 D. 当时，没有交点 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列选项中，正确的是（ ） A. 在平行四边形中， B. 在中，若，则为钝角三角形 C. 若是的重心，则 D. 若与的夹角为，则在方向上的投影向量为 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为9 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知扇形的半径为，点在弧上运动，，下列说法正确的有（ ） A. 当位于点时，的值最大 B. 当位于点时，的值最小 C. 的取值范围为 D. 的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知正方形ABCD的边长为4，为的中点，则________ ． 13. 已知角的终边经过点，若角与的终边关于x轴对称，则______． 14. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.记向量的伴随函数为，当且时，的值为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、过程或演算步骤） 15. 已知内角的对边分别为. （1）若，求边和角A； （2）若，求角A. 16. 已知向量. （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值； （3）当为钝角时，求的取值范围. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求在区间内的单调递增区间. 18. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当，方程有解，求实数的取值范围； （3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）设. （i）计算的值，并求的最小值； （ii）求的单调递减区间. （2）对任意恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $