精品解析：江苏苏州大学附属中学2025-2026学年第二学期高二期中检测数学试卷

苏大附中2025-2026学年第二学期期中检测 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 试题范围：导数、空间向量、计数原理的6.1和6.2（排列组合） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量垂直转化为数量积为计算即可. 【详解】因为，可得， 即，解之可得. 故选：D 2. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将题目给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解. 【详解】因为，即， 即，则. 故选：A. 3. 用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，6，8，12，16中任意一个数作分母，可构成（ ）个不同的分数 A. 10种 B. 18种 C. 20种 D. 40种 【答案】C 【解析】 【分析】由分子、分母的选择个数及分步乘法计数原理可得分数的个数； 【详解】从1，5，9，13中的任选一个数作分子，4，6，8，12，16中任选一个数作分母， 可构成个不同的分数； 4. 已知曲线在点处的切线方程为，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由已知得， 所以切线斜率， 所以，， 所以切点坐标为，代入得． 5. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 【答案】C 【解析】 【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案. 【详解】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种， 故选：C. 6. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，分、、、讨论，根据是函数的极大值点可得答案. 【详解】， 当时，令可得，令可得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以是函数的极小值点，不满足题意； 当时，令得，或，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，不满足题意； 当时，在上恒成立，此时单调递增，无极大值，不满足题意； 当时，令得，或，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以是函数的极大值点，满足题意. 综上所述，实数的取值范围是. 7. 在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】 . 故选：C. 8. 若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用分离变量法将与分开，将零点问题转化为两个函数的图像有三个交点的问题，数形结合容易得到答案. 【详解】由，得，设，令，解得，当时，，当或时，，且，其图象如图所示： 若使得函数有3个零点，则. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 盒子内有20个大小相同的球，其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则（ ） A. 取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 B. 取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种 C. 取出的3个球中至多有2个蓝球的取法有种 D. 取出的3个球中至少有1个红球的取法有种 【答案】AD 【解析】 【分析】根据组合数的计算方式，分类和分步求出各选项给定条件的不同取法数目. 【详解】对于A，取出的3个球中恰好有1个蓝球，则还有个红球，故有种，故A正确； 对于B，取出的3个球中至少有2个蓝球，包含2个蓝球1个红球和3个蓝球两种情况，故有，故B错误； 对于C，取出的3个球中至多有2个蓝球的对立事件为个蓝球，则有种，故C错误； 对于D，取出的3个球中至少有1个红球的对立事件为个都是蓝球，有种，故D正确. 10. 设函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为 C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的导数，求出函数的单调区间，再结合极值、对称性逐项判断得解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 对于A，是的极大值点，A正确； 对于B，令，，函数是奇函数， 函数的图象关于原点对称，则函数的图象关于点对称， 若函数的图象还有一个对称中心， 则， 而不为常数， 因此点不是函数图象的对称中心，即函数的图象有且只有一个对称中心， 则曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为，B选项正确； 对于C，在上单调递减，，则，C错误； 对于D，当时，，，，故，D正确； 11. 在直三棱柱中，，是底边上一点，且，则（ ） A. 直三棱柱外接球的表面积为 B. 当时，平面平面 C. 直线与所成角的余弦的最大值为 D. 点是的中点，点是线段上的一个动点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】把直三棱柱补形为长方体，利用长方体的体对角线即外接球的直径，后计算外接球的表面积判断A选项；以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，通过判断法向量是否垂直判断B选项；构建关于的函数，分析其最大值判断C选项；取的中点，记为，取的中点，记为，因为点是的中点，所以点的轨迹是线段.因为点是线段上的一个动点，所以的最小值，即为线段上的点到线段的距离的最小值，结合长方体的性质可求得此距离，判断D. 【详解】直三棱柱的底面中，，所以可将直三棱柱补为如图所示长方体，则其外接球直径为长方体体对角线. 因为，所以. 因为所以，所以. 所以直三棱柱外接球直径， 半径，表面积：，A选项正确； 以为原点，方向为轴建立空间坐标系， ，，，，， 则，，. 当时，. ，，. 设平面的一个法向量，则， 令则,,即， 设平面的一个法向量，由， 令，则1，，即. 因为， 故平面平面，B选项正确. 设, 设直线与所成的角为，则, 设，， 因为，所以，所以，所以， 所以， 当时，， 即在，取得最大值，最大值为，所以C选项错误； 对于选项D，如图所示，取的中点，记为，取的中点，记为， 因为点是的中点，所以点的轨迹是线段. 因为点是线段上的一个动点，所以的最小值，即为线段上的点到线段的距离的最小值. 过作的平行线，交长方体的棱于点，由长方体的性质知，分别为所在棱的中点. 因为平面，所以， 所以与间的距离为. 因为均在平面的同侧， 所以点到的距离（即与间的距离）即为所求最小值. 所以的最小值为.所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征，可直接得求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 13. 从0，1，2，3，4中任取4个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数（用数字作答）． 【答案】96 【解析】 【详解】从0，1，2，3，4中任取4个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数． 14. 已知，.当时，函数的单调递减区间为________；若与的图象在交点处的切线重合，则________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时，直接求导，解导函数小于0在定义域内的解集即可求得答案；设与的图象的交点为，结合题意得，再解方程即可得答案. 【详解】根据题意，当时，， , 令，解得， 所以函数的单调递减区间为； 设与的图象的交点为， ，， 所以交点处的切线斜率为，， 因为与的图象在交点处的切线重合， 所以，整理得，即， 再将代入得，即，解得 所以. 四、解答题：本题共5小圈，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，，且. （1）求的值及曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1），切线方程为 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）求导后计算可得，再利用导数的几何意义计算即可得切线方程； （2）利用导数可得原函数单调性，再利用函数单调性计算即可得其最值. 【小问1详解】 ，则，故， 则，， ，， 故曲线在点处的切线方程为， 整理得； 【小问2详解】 ， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在区间上的最大值为， 又，， 故在区间上的最小值为. 16. 如图，在正方体中，，，分别是，的中点． （1）与平面所成角的正切值为________；（本小题直接写出答案即可） （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面夹角的定义即可求解； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）根据平面法向量的性质，结合空间点到面距离公式进行求解即可． 【小问1详解】 由正方体得，平面，四边形为正方形， 连接，则与平面所成角即为， 因为是中点，所以， 在中，． 【小问2详解】 以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 所以直线与所成角的余弦值为． 【小问3详解】 设平面的法向量为， 则得取，则， 得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为． 17. （1）解关于的不等式：； （2）已知，求的值（用数字作答）； （3）为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡”活动，某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到志愿队的方法有多少种?（用数字作答） 【答案】(1)；（2）；（3）50 【解析】 【分析】（1）根据排列的计算公式，代入化简，结合一元二次不等式即可求解. （2）由组合数的对称性得，代入所求式子中结合组合数的运算性质即可得解； （3）先按照A志愿队的人数分类，再按照分组分配的方法，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 化简整理可得，解得， 所以不等式解集为． （2）因为，则，解得，经验证符合， 所以． （3）先按照A志愿队的人数分类， 第一种情况，A志愿队只有甲医生，则剩下的4人可以为1，3或2，2的分组， 再分配到另2个志愿团队，有种方法， 第二种情况，A志愿队除甲医生外，还有1人，剩下的3人为1，2的分组， 再分配到另2个志愿团队，有种方法， 第三种情况，A志愿队除甲医生外，还有2人，剩下的2人为1，1的分组， 再分配到另2个志愿团队，有种方法， 所以共有种方法. 18. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面.，，是的中点. （1）证明：平面； （2）证明：直线平面； （3）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值. 【答案】（1） 侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面， 取的中点为，连接， 为等边三角形， ，平面， 所以底面， 底面， ，又因为，所以， 平面，所以平面； （2） 取的中点，连接，，如图． AI 是的中点， ，． 由得，又， ，，四边形是平行四边形， ，又平面，不在平面内，  平面． （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，由正三角形性质得，结合面面垂直得出线面垂直，再根据线面垂直的判定定理可得平面； （2）取PA的中点为F，连接EF，BF，证得，进而根据线面平行的判定定理即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系，空间向量表示直线与底面所成角，进而利用二面角的向量方法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由已知得， 以为原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向， 过做的平行线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，则，． 因为与底面所成的角为，是底面的法向量， ，即．① 又M在棱上，设， 则，，．② 由①②解得（舍去）或 所以，从而． 设是平面的法向量， 则，即， 取，则， 所以． 设二面角的平面角为 于是， 又因为的平面角为锐角，所以， 因此二面角的余弦值为． 19. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）当时，求证：对于任意，恒成立； （3）若存在，，使得，求证：. 【答案】（1） 由，得. 要证，只需证. 令，则. 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以，故， 因此. （2） 由 令，则 ①当时，由，得， 因此，满足题意. ②当时，由，得， 因此，则在上单调递增. 则，则在上单调递增， 所以，满足题意. 综上所述，当时，对于任意，恒成立 （3） 由（2）知，，由，得， 因此，则在上单调递增. 则， 因此在存在唯一的零点，且， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 设，则在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为， 注意到， 故在上存在唯一的零点. 注意到，且在上单调递增. 要证明，只需证， 因为，所以只需证， 即证. 因为，即， 所以，只需证， 只需证（*） 由（1）得， 因此， 设， 则，所以在上单调递增， 所以， 从而，即，因此（*）得证， 从而. 【解析】 【分析】（1）由，得，构造函数，求解单调性，证明结果； （2）求解，令，则，分类讨论的范围证明不等式； （3）由（2）知，设，判断单调性，，所以只需证，由，即，只需证（*）进而证明结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏大附中2025-2026学年第二学期期中检测 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 试题范围：导数、空间向量、计数原理的6.1和6.2（排列组合） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，6，8，12，16中任意一个数作分母，可构成（ ）个不同的分数 A. 10种 B. 18种 C. 20种 D. 40种 4. 已知曲线在点处的切线方程为，则 A. B. C. D. 5. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 6. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 盒子内有20个大小相同的球，其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则（ ） A. 取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 B. 取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种 C. 取出的3个球中至多有2个蓝球的取法有种 D. 取出的3个球中至少有1个红球的取法有种 10. 设函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为 C. 当时， D. 当时， 11. 在直三棱柱中，，是底边上一点，且，则（ ） A. 直三棱柱外接球的表面积为 B. 当时，平面平面 C. 直线与所成角的余弦的最大值为 D. 点是的中点，点是线段上的一个动点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______． 13. 从0，1，2，3，4中任取4个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数（用数字作答）． 14. 已知，.当时，函数的单调递减区间为________；若与的图象在交点处的切线重合，则________. 四、解答题：本题共5小圈，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，，且. （1）求的值及曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 16. 如图，在正方体中，，，分别是，的中点． （1）与平面所成角的正切值为________；（本小题直接写出答案即可） （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 17. （1）解关于的不等式：； （2）已知，求的值（用数字作答）； （3）为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡”活动，某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到志愿队的方法有多少种?（用数字作答） 18. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面.，，是的中点. （1）证明：平面； （2）证明：直线平面； （3）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值. 19. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）当时，求证：对于任意，恒成立； （3）若存在，，使得，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $