精品解析：浙江宁波外国语学校2025--2026学年第二学期八年级数学期中试卷

宁波外国语学校2025学年第二学期初二数学期中试卷 考生须知： 1．全卷分试题卷I、试题卷II和答题卷．满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请将班级、姓名、学号分别填写在答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷I的答案在答题卷I上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ答案用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 试题卷I 一、选择题（每题2分，共20分） 1. 下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数是关于的二次函数，则为（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移1个单位，得到新的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 下表是满足二次函数y＝ax2＋bx＋c的五组数据，x1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个解，则下列选项中正确的是（ ） x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y －0.80 －0.54 －0.20 0.22 0.72 A. 1.6＜x1＜1.8 B. 2.0＜x1＜2.2 C. 1.8＜x1＜2.0 D. 2.2＜x1＜2.4 5. 如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（ ） A. 当时，四边形是矩形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当平分时，四边形是菱形 D. 当时，四边形是正方形 7. 已知点，，在反比例函数图象上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象上有两个点，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若时，则 B. 若时，则 C. 若时，则 D. 若时，则 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有下列结论：；；；；．其中正确结论的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 试题卷II 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 对角线长为的正方形的周长是_____． 12. 若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 13. 如图，菱形的对角线与相交于点，，，于点，点，分别为，的中点，连接，．则的值为__________． 14. 如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交，于点E，O，连接，则的长是________． 15. 如图，在轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点，，，，，，分别过这些点作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点．再分别过作，垂足分别为，连结，得到一组， ，设它们的面积分别为，，则__________，__________． 16. 已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为，则的取值范围是_____． 三、解答题（共62分） 17. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图中按要求各画一个符合条件的四边形，且所画四边形的顶点均在格点上． （1）在图中画出以为边的平行四边形（非菱形）； （2）在图中画出以为边的菱形（非正方形）； （3）在图中画出以为边的正方形． 18. 如图，已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； （2）当时，求函数的取值范围； （3）当时，利用图象，直接写出的取值范围． 19. 如图，在中，点，分别在，上，，．     （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的周长及矩形的面积． 20. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 21. 某电商平台在五一长假期间举行了商品打折促销活动．经市场调查发现，某种商品的周销量（件）是关于售价（元/件）的一次函数，下表给出了该商品售价、周销量、周销售利润（元）的三组对应值数据： 40 70 90 180 90 30 3600 4500 2100 注：周销售利润周销量（售价进价） （1）求关于的函数表达式（不要求写自变量取值范围．） （2）该商品的进价为__________元/件； 若该商品的售价不低于元/件，销售量不低于件．当售价为多少时，周销售利润最大？并求出此时的最大利润． 22. 在平面直角坐标系中，点绕点旋转得到点，我们称点是点的“影射点”． （1）若，则点的“影射点”，的坐标是_____；点的“影射点”的坐标是_____； （2）若点在一次函数的图象上，其“影射点”在一次函数的图象上，则的值是__________； （3）如图，已知点是点的“影射点”，点是反比例函数图象上一点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的值． 23. 已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为，如果四边形是平行四边形．求、之间的关系式（结果用含的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，若抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且． 求的值； 若抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标记为，请直接写出的取值范围． 附加题（共10分，折半计入总分） 24. 一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②，则；③若有且只有一个的值，使代数式的值为0，则；④若，则的值不可能是．其中所有正确结论的序号是_____． 25. 如图，正方形边长为4，E为边上一点，连接对角线，过点E作交于点F，连接，取的中点为G，则的最小值为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波外国语学校2025学年第二学期初二数学期中试卷 考生须知： 1．全卷分试题卷I、试题卷II和答题卷．满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请将班级、姓名、学号分别填写在答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷I的答案在答题卷I上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ答案用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 试题卷I 一、选择题（每题2分，共20分） 1. 下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行逐项判断即可． 【详解】解：A、，故点不在反比例函数图象上； B、，故点在反比例函数图象上； C、，故点不在反比例函数图象上； D、，故点不在反比例函数图象上． 2. 若函数是关于的二次函数，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 3. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移1个单位，得到新的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据平移法则“左加右减，上加下减”即可得出答案． 【详解】解：将抛物线先向上平移3个单位，再向左平移1个单位得到的抛物线解析式为， 故选：D． 4. 下表是满足二次函数y＝ax2＋bx＋c的五组数据，x1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个解，则下列选项中正确的是（ ） x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y －0.80 －0.54 －0.20 0.22 0.72 A. 1.6＜x1＜1.8 B. 2.0＜x1＜2.2 C. 1.8＜x1＜2.0 D. 2.2＜x1＜2.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格即可直接得出答案． 【详解】解：由表格可知当x＝2.0时，y＝−0.20＜0，当x＝2.2时，y＝0.22＞0， 所以方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x1的取值范围是2.0＜x1＜2.2， 故选B． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似解，找到 y 由正变为负时,自变量的取值是解题关键． 5. 如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义；点A、B分别在反比例函数和图象上，利用反比例函数比例系数的几何意义，表示出，，由阴影部分的面积，由此解出k即可． 【详解】解：如图所示： 点A、B分别在反比例函数和图象上，且轴，轴， 四边形和为矩形， 根据反比例函数比例系数的几何意义，得： ，， 则阴影部分的面积为， 故选：B． 6. 四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（ ） A. 当时，四边形是矩形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当平分时，四边形是菱形 D. 当时，四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据矩形、菱形、正方形的判定定理，对各选项逐一判断，找出说法错误的选项即可． 【详解】解：A、， 根据对角线相等的平行四边形是矩形可得，四边形是矩形，故说法正确，不符合题意； B、， 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得，四边形是菱形，故说法正确，不符合题意； C、平分，∴， 在平行四边形中，， ， ， ， 根据邻边相等的平行四边形是菱形可得，四边形是菱形，故说法正确，不符合题意； D、， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得，四边形是矩形，不一定是正方形，故说法错误，符合题意． 7. 已知点，，在反比例函数图象上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象所在象限，再结合各点横坐标的范围，利用反比例函数的增减性比较纵坐标大小即可． 【详解】解：对于反比例函数，， ， 反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， 点的横坐标， 点在第三象限，可得， 点，的横坐标，两点都在第一象限， ， 综上可得． 8. 如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设交于点，根据菱形的性质得出，，，，平分，求出，，进而求出，证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， 四边形为菱形， ，，，，平分， ，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ，  ， ， ． 9. 已知二次函数的图象上有两个点，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若时，则 B. 若时，则 C. 若时，则 D. 若时，则 【答案】A 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再通过作差得到的表达式，结合的正负和与的大小关系，判断和的大小即可． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴二次函数经过点和， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ． ， ， ， ∵， ， 选项A：若，则， ，即，A正确． 选项B：若，则， ，即，B错误． 选项C：若，则， ，即，C错误． 选项D：若，则， ，即，D错误． 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有下列结论：；；；；．其中正确结论的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置判断，，的符号及相关代数式的值；利用 和时的函数值判断相关不等式；利用函数的最小值性质判断含参不等式． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上， ， 对称轴是直线， ，即， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故结论错误； 抛物线与轴有两个交点， ，故结论正确； 当时，， ， ，即，故结论正确； 当时，， ，即 ， ，故结论正确； 抛物线开口向上，对称轴是直线， 当时，函数取得最小值， 当时，， ，即 ，故结论正确； 综上所述，正确的结论有，共个． 试题卷II 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 对角线长为的正方形的周长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，结合勾股定理求出正方形的边长，再利用正方形周长公式计算结果． 【详解】解：设正方形的边长为， 正方形的对角线长为， ， 整理得，解得（负值已舍去）， 正方形周长为． 12. 若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次函数解析式确定开口方向和对称轴，利用开口向下的二次函数的性质，比较各点到对称轴的距离，即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：二次函数中，， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ， ． 13. 如图，菱形的对角线与相交于点，，，于点，点，分别为，的中点，连接，．则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，，，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半分别求出、的长，最后求和即可． 【详解】解：四边形是菱形，  ，， ， 在中，，  ，  ，  ， 在中，点为的中点， ， 在中，点为的中点，  ， ． 14. 如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交，于点E，O，连接，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，由垂直平分线的性质得到，设，则，根据勾股定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得：， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点，，，，，，分别过这些点作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点．再分别过作，垂足分别为，连结，得到一组， ，设它们的面积分别为，，则__________，__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题是结合反比例函数的一道规律题，根据所给条件找到规律是解题的关键.设，根据反比例函数图像上点的特征和三角形的面积公式求出​的面积为，​的面积为，​的面积为，，的面积为，把代入可得， 再将，，，分别代入得，相加后即得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 同理可求的坐标分别为，，，，， ∴的面积为，​的面积为，​的面积为，，的面积为， 当时， ， ． 16. 已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为，和三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【详解】解：对于二次函数， 对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 当时，当时，随的增大而减小； 当时，取得最大值，最大值为； 当时，取得最小值，最小值为； 函数的最大值与最小值的和为， ，解得， 与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； 当时，此时当时取得最小值，最小值为； 当时取得最大值， 最大值为， 此时最大值与最小值的和为， 符合题意； 当时，此时当时取得最小值，最小值为； 当时取得最大值， 最大值为， 函数的最大值与最小值的和为， ，解得或， 与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； 综上，的取值范围为：． 三、解答题（共62分） 17. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图中按要求各画一个符合条件的四边形，且所画四边形的顶点均在格点上． （1）在图中画出以为边的平行四边形（非菱形）； （2）在图中画出以为边的菱形（非正方形）； （3）在图中画出以为边的正方形． 【答案】（1） 如图，平行四边形即为所求； （2） 如图，菱形即为所求； （3） 如图，正方形即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定以及题目要求作出图形； （2）根据菱形的判定以及题目要求作出图形； （3）根据正方形的判定以及题目要求作出图形． 【小问1详解】 解：，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形不是菱形； 【小问2详解】 解：， 四边形是菱形， ，， ， 不是直角三角形，不垂直于， 四边形不是正方形； 【小问3详解】 解：， 四边形是菱形， ，， ， 是直角三角形，， 四边形是正方形． 18. 如图，已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； （2）当时，求函数的取值范围； （3）当时，利用图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出对应的函数的表达式，再把表达式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）根据（1）所求可得函数的增减性和对称轴，求出时的函数值，结合顶点坐标即可得到答案； （3）由对称性可得点在该函数的图象上，再结合函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象经过点和， ∴， ∴， ∴该二次函数的表达式为， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）得该二次函数的表达式为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， 当时，，且， ∴当时，函数的最大值小于7， ∵顶点坐标为，即当时，函数的最小值为， ∴当时，； 【小问3详解】 解：由（2）可知，对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可知，点在该函数的图象上， 由函数图象可知，当时，或． 19. 如图，在中，点，分别在，上，，．     （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的周长及矩形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）的周长为；矩形的面积为4 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，即，证明，则可证明四边形是平行四边形，再由即可证明结论； （2）由矩形的性质得到，由勾股定理求出，则，据此可求出矩形的面积；求出，根据平行四边形的周长公式可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形的周长． 20. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式； （2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求； （3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，可得， 解得， 反比例函数解析式为； 在图象上， ， ， 将，代入，得： ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）可知， 当时，， 此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为， 即满足时，x的取值范围为； 【小问3详解】 解：设点P的横坐标为， 将代入，可得， ． 将代入，可得， ． ， ， 整理得， 解得，， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想． 21. 某电商平台在五一长假期间举行了商品打折促销活动．经市场调查发现，某种商品的周销量（件）是关于售价（元/件）的一次函数，下表给出了该商品售价、周销量、周销售利润（元）的三组对应值数据： 40 70 90 180 90 30 3600 4500 2100 注：周销售利润周销量（售价进价） （1）求关于的函数表达式（不要求写自变量取值范围．） （2）该商品的进价为__________元/件； 若该商品的售价不低于元/件，销售量不低于件．当售价为多少时，周销售利润最大？并求出此时的最大利润． 【答案】（1） （2）；售价为元时，周销售利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据周销售利润周销量（售价进价）列方程求解即可；先根据“商品的售价不低于元/件，销售量不低于件”确定的取值范围，再根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， 根据题意得：， 解得， 关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：该商品的进价为元/件， 根据题意得，， 解得， 即该商品的进价为元/件； 根据题意得，，， 解得， ， ，对称轴为直线， 抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当售价为元时，周销售利润最大，此时，（元），即最大利润为元． 22. 在平面直角坐标系中，点绕点旋转得到点，我们称点是点的“影射点”． （1）若，则点的“影射点”，的坐标是_____；点的“影射点”的坐标是_____； （2）若点在一次函数的图象上，其“影射点”在一次函数的图象上，则的值是__________； （3）如图，已知点是点的“影射点”，点是反比例函数图象上一点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“影射点”的定义，将，绕点旋转，根据中心对称即可求得； （2）先确定两直线与轴的交点，根据是轴上一点，可得两直线与轴的交点互为“影射点”即可求得； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可证得， 得到，， 根据“影射点”的定义可得点的坐标，最后根据点是反比例函数图象上一点，即可得解． 【小问1详解】 解：， ， 设的坐标是，的坐标是， ，绕点旋转得到，， ，，即点是，的中点， ，，，， ，，，， ，； 【小问2详解】 解：由可知，是轴上一点， 对于一次函数， 令，即，解得， 一次函数与轴的交点为， 对于一次函数， 令，即，解得， 一次函数与轴的交点为， 由“影射点“的定义可得，，解得； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， 点是点的“影射点”，， ， 设， ， ， ， ， ， ，， ，， 点的横坐标为，点的纵坐标为， 即， 点是反比例函数图象上一点， ， 解得． 23. 已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为，如果四边形是平行四边形．求、之间的关系式（结果用含的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，若抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且． 求的值； 若抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标记为，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为， 顶点的坐标为 （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求得，的值，即可得到解析式，再求出顶点坐标即可； （2）根据平行四边形的性质可得点的坐标，再结合点在抛物线上， 即可得到、之间的关系式； （3）先求出直线的解析式，进而根据平移的性质得到点，的坐标，然后分别表示出，，根据面积比列式计算即可求出的值；先求出直线的解析式，联立直线的解析式与抛物线的解析式，确定交点坐标即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点，顶点在直线上， ，， ， 抛物线的解析式为， 当时，， 顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ， 点在抛物线上， ， ； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 由平移可得，抛物线的对称轴为直线， 抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点， 当时，，即， 当时，代入得， ，即， ，，， ，， ，， ， ， ， ，即， 解得或（舍去）， 即的值为； 设直线的解析式为， 当时，， ，， ，， 将点，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得，， 直线与的交点为， ， 抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标记为， ． 附加题（共10分，折半计入总分） 24. 一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②，则；③若有且只有一个的值，使代数式的值为0，则；④若，则的值不可能是．其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故正确； ②∵， ∴， 解得：， ∴；故错误； ③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴；故错误； ④当，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，所以c的值不可能是，说法正确； 综上所述：正确的结论有①④； 25. 如图，正方形边长为4，E为边上一点，连接对角线，过点E作交于点F，连接，取的中点为G，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】延长，交于点，取的中点，连接，先证明．得到，，根据三角形中位线定理，可得到，，设，则，，，，，可得． 【详解】 如图所示，延长，交于点，取的中点，连接． 因为， 所以． 所以， 所以 所以． 所以． 因为的中点为点， 所以． 又因为， 所以． 所以，． 因为的中点为点，的中点为点， 所以，． 所以． 因为正方形， 所以 所以为等腰直角三角形， 所以． 所以． 设，则，，，，， 所以． 所以． 当时，取得最小值，即的最小值为， 所以的最小值为． 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $