精品解析：浙江省宁波市北仑区顾国和中学2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷

浙江省宁波市北仑区顾国和中学2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列与杭州亚运会有关的图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的概念：“在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．” 根据中心对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质与同类二次根式的定义逐一计算即可． 【详解】A.与不是同类二次根式，不能合并，选项错误，不符合题意； B.，选项错误，不符合题意； C.，选项错误，不符合题意； D.，选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根式混合运算顺序及法则． 3. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 若一组数据，，，，的中位数为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将原数据从小到大排序，再根据数据个数为奇数，取中间位置的数得到中位数． 【详解】解：首先将这组数据从小到大排序，可得排序后结果为，，，，， ∵这组数据共有个数，个数为奇数，中位数为排序后中间位置的数， ∴第个数就是该组数据的中位数，第个数为，即． 5. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形常见的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定方法（①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形）逐项判断即得答案． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据，，不一定能推出四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：B． 6. 用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A. 0，，5 B. 1，，5 C. 1，5， D. 1，， 【答案】D 【解析】 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一般形式确定a，b，c的值即可． 【详解】解：方程移项整理，得， 则，，． 7. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用之增长率问题，核心是根据每月销量的增长关系列出方程． 【详解】解：∵月增长率为x，5月份销售量为144个， ∴6月份销售量为个， ∴7月份销售量为个， 又∵7月份实际销售量为225个， ∴可列方程为. 8. 若以A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】首先画出平面直角坐标系，根据A、B、C三点的坐标找出其位置，然后再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形找出D的位置，进而可得答案． 【详解】如图所示： 第四个顶点不可能在第三象限． 故选C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质，根据题意画出图形是解题的关键． 9. 如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点．若，，则的周长为（　　） A. 10 B. C. D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】由点O是的中点，E为的中点可得，在中，利用勾股定理求得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，即可得的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵点O是的中点，E为的中点， ∴，， 在中，，， 根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得，． ∵四边形是矩形， ∴， ∵点O是的中点， ∴． ∴的周长为． 10. 如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A. B. C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴四边形周长， 根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值． ∵E为边长是4的正方形的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在二次根式中，字母a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义即被开方数为非负数解答即可． 【详解】解：根据题意得， 解得 故答案为： 12. 若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反证法的特点，假设结论的相反意义成立即可． 【详解】在中，若，则，则应假设， 故答案为：． 【点睛】此题考查了反证法，正确理解反证法的证明思想是解题的关键． 13. 为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为： ，，，．则麦苗又高又整齐的是_____种小麦． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查平均数与方差的意义，平均数反映一组数据的平均水平，方差反映一组数据的波动大小，方差越小，数据波动越小，长势越整齐，先比较平均数得到平均高度更高的组，再比较方差确定长势更整齐的组，即可得到结果． 【详解】解：，，且， 乙和丁的平均苗高大于甲和丙，即乙、丁的长势更高； 又，，且， 乙的方差小于丁的方差，乙的长势更整齐， 麦苗又高又整齐的是乙． 14. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意把代入，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值． 【详解】解：把代入，可得， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解（根）的意义，以及解一元一次方程，注意掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 15. 将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式，若，则___________ ． 【答案】0或 【解析】 【分析】根据题中已知的新定义列出式子，然后化简得到关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：由得，， ， ， ， 或， 解得，或． 16. 如图，函数与x轴，y轴交于A，B两点，点C是中点，点D从点A出发沿着方向移动，连接．将沿折叠，点A的对应点为，当，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形时，点D的坐标为__________ ． 【答案】或 【解析】 【分析】根据一次函数的表达式求得，的值，进而求得的值，分两种情形：当四边形是平行四边形时，，可求得，进而得出，同样求得当四边形是平行四边形时的情形． 【详解】解：当时，， ∴， ∴． 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图1， 当四边形是平行四边形时，． ∵沿折叠，点A的对应点为， ∴． ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴． 如图2，连接， 当四边形是平行四边形时，，， ∵沿折叠，点A的对应点为， ∴． ∵，C是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵点，点均在轴上，点是，的公共点，轴， ∴点D和点O重合， ∴． 综上所述：点D的坐标为或． 【点睛】解决问题的关键是找到当四边形是平行四边形及四边形是平行四边形时的两种情况作图进行分类讨论． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）运用直接开方法求解即可； （2）运用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， 方程可化为， 开方，得， 解得，； 【小问2详解】 解： ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先进行二次根式的化简以及乘法运算，再合并同类二次根式； （2）利用平方差公式以及完全平方公式进行二次根式的混合运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于原点O成中心对称的； （2）是关于某点中心对称得到的图形，则该对称点的坐标是 ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）关于原点对称的点的横坐标和纵坐标都互为相反数，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）成中心对称的两个图形的对应点的连线交于一点，据此连接，二者的交点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，该对称点的坐标是． 20. 某班准备选取一名同学参加校级知识竞赛，需对甲、乙、丙三名候选人进行笔试和口试，并组织全班45名同学民主投票（无弃权且每人只能投1票，每得一票记作2分）．得票率与测试成绩分别统计如下： 候选人测试成绩统计表： 测试项目 测试成绩（分） 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 口试 90 80 80 （1）请算出三人的得票分； （2）通过计算说明根据笔试、口试、投票三项得分的平均数是否可确定人选； （3）如果将笔试，口试，投票三项得分按，，计入个人成绩， 将被选中． 【答案】（1）甲36分，乙36分，丙18分 （2）甲入选 （3）甲 【解析】 【分析】（1）根据得票率计算得票数，然后分别求出三人的得票分即可； （2）分别算出甲、乙、丙三人的平均分，进行判断即可； （3）分别算出甲、乙、丙三个人的加权平均数，然后进行判断即可． 【小问1详解】 解：三人的得票分分别为 甲：（分）， 乙：（分）， 丙：（分）； 【小问2详解】 解：甲：（分）， 乙：（分）， 丙：（分）， ∵， ∴甲入选； 【小问3详解】 解：甲：（分）， 乙：（分）， 丙：（分）， ∵， ∴甲被选中． 【点睛】准确掌握平均数和加权平均数的公式，并能正确计算是解题的关键． 21. 定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． （1）若m与是关于10的友好二次根式，求m； （2）若与是关于6的友好二次根式，求m． 【答案】（1）2 （2）3 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的除法法则进行计算即可； （2）利用多项式乘多项式以及二次根式的混合运算法则进行计算． 【小问1详解】 解：根据题意得，； 【小问2详解】 解：根据题意得，， ∴． 22. 一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． （1）若降价元，则平均每天销售数量为 件．（用含的代数式表示） （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元． 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出平均每天的销售数量即可； （）设每件商品降价元，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：若降价元，则平均每天的销售数量为件； 【小问2详解】 解：设每件商品降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵每件盈利不少于元， ∴，解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元． 23. 如图，在中，E，F为对角线上的两点（点E在点F的上方），． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，下列条件能判定四边形为矩形的是__________（多选）． A． B． C． D． （3）当时，且，，求B，D两点之间的距离． 【答案】（1） 证明：连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）AC （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点O，根据平行四边形的性质得到，，结合得到，即可根据对角线互相平分得证四边形是平行四边形； （2）根据矩形的判定方法逐项判断即可； （3）根据勾股定理求出，再由平行四边形的性质得到，，进而求出，从而，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：A、∵， ∴， ∴为矩形， 故选项A能判定四边形为矩形． B、∵， ∴为菱形， 故选项B不能判定四边形为矩形． C、∵， ∴为矩形， 故选项C能判定四边形为矩形． D、∵， ∴为菱形， 故选项D不能判定四边形为矩形． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴在中，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴B，D两点之间的距离为． 24. 如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． （1）用含t的代数式表示 ； （2）当时，求t的值； （3）请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据路程=速度×时间，求解即可 ； （2）当时，过点A作于点F，则，，得到，根据题意，得，，构造等式求解即可； （3）当时，；当时，， 根据平行四边形的判定，列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动， ∴； 【小问2详解】 解：当时，如图1，过点A作于点F，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴， ∴， 解得． 【小问3详解】 解：存在， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴当点P与点D重合时，， 故， 解得， ∴当点Q与点B重合时，， 故， 解得， ∴当时，； 当时，， ∵， ∴当时，A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， 当时，如图2，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 当时，如图3，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省宁波市北仑区顾国和中学2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列与杭州亚运会有关的图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一组数据，，，，的中位数为，则（　　） A. B. C. D. 5. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A. 0，，5 B. 1，，5 C. 1，5， D. 1，， 7. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（　　） A. B. C. D. 8. 若以A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点．若，，则的周长为（　　） A. 10 B. C. D. 14 10. 如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A. B. C. 10 D. 12 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在二次根式中，字母a的取值范围是______． 12. 若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设__________． 13. 为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为： ，，，．则麦苗又高又整齐的是_____种小麦． 14. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值是__________． 15. 将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式，若，则___________ ． 16. 如图，函数与x轴，y轴交于A，B两点，点C是中点，点D从点A出发沿着方向移动，连接．将沿折叠，点A的对应点为，当，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形时，点D的坐标为__________ ． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于原点O成中心对称的； （2）是关于某点中心对称得到的图形，则该对称点的坐标是 ． 20. 某班准备选取一名同学参加校级知识竞赛，需对甲、乙、丙三名候选人进行笔试和口试，并组织全班45名同学民主投票（无弃权且每人只能投1票，每得一票记作2分）．得票率与测试成绩分别统计如下： 候选人测试成绩统计表： 测试项目 测试成绩（分） 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 口试 90 80 80 （1）请算出三人的得票分； （2）通过计算说明根据笔试、口试、投票三项得分的平均数是否可确定人选； （3）如果将笔试，口试，投票三项得分按，，计入个人成绩， 将被选中． 21. 定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． （1）若m与是关于10的友好二次根式，求m； （2）若与是关于6的友好二次根式，求m． 22. 一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． （1）若降价元，则平均每天销售数量为 件．（用含的代数式表示） （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元． 23. 如图，在中，E，F为对角线上的两点（点E在点F的上方），． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，下列条件能判定四边形为矩形的是__________（多选）． A． B． C． D． （3）当时，且，，求B，D两点之间的距离． 24. 如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． （1）用含t的代数式表示 ； （2）当时，求t的值； （3）请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $