精品解析：甘肃嘉峪关市酒钢三中2025-2026学年高一下学期4月期中数学试卷

嘉峪关市酒钢三中2025~2026学年第二学期第一次考试 高一数学试卷 第I卷（选择题） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，且，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为，，且，所以，，故选B. 考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，再根据共轭复数的定义即可求解． 【详解】， 所以复数的共轭复数为． 3. 设，复平面内表示复数的点在直线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数在复平面内的坐标表示，结合已知直线方程求出的值，进而得到复数. 【详解】复数对应的点的坐标为， 因为该点在直线上，所以， 解得，则. 故选：B. 4. 如图，在底面为正方形的平行六面体 的棱中，与向量模相等的向量有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据模的定义，以及平行六面体的性质，即可求解. 【详解】由向量的模的定义，根据平行六面体的性质可知，与向量模相等的向量分别为： ，共7个. 故选：C． 5. 在正方形中，为的中点，若，则的值为 A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先求出,再求即得解. 【详解】由题得, . 故选B 【点睛】本题主要考查平面向量的三角形加法法则和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6. 假设某美妙声波的传播曲线可用函数来描述，则该声波函数的最大值和最小正周期分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 ， ， ， 中，， 该声波函数的最大值为，最小正周期为． 7. 已知在“斜二测”画法下，的直观图是一个边长为4的正三角形，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直观图为正三角形，求出原三角形的高和底，即可求出的面积. 【详解】若轴，轴在直观图中的位置如图所示， 过作轴交轴于， 因为的边长为， 所以的高为， 因为，所以， 所以对应的高，底， 所以的面积. 故选：B. 8. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 5 B. 10 C. 13 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】分别取线段的中点为，则可求得和，再根据即可求出. 【详解】分别取线段的中点为， 因为圆心，则， 则，， 又为边的中点，则， 则. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任意单位向量的模都相等. B. 若，是平面内的两个不同的点，则 C. 若向量，，则 D. 零向量与任意向量平行 【答案】AD 【解析】 【分析】根据单位向量、向量共线的定义判断即可； 【详解】解：对于A：根据单位向量的定义可知任意单位向量的模都相等，故A正确； 对于B：与互为相反向量，故B错误； 对于C：若时，与不一定共线，故C错误； 对于D：零向量与任意向量平行，故D正确； 故选：AD 10. 已知，，，则以，，为顶点的平行四边形的另一个顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】点位置不确定，分为平行四边形，平行四边形，平行四边形三种情况讨论 【详解】设点的坐标为， 若是平行四边形，则有， 可得，解得, 故所求顶点的坐标为. 所以A正确 若是平行四边形，则有， 可得，解得， 故所求顶点的坐标为. 所以B正确 若是平行四边形，则有， 可得 ，解得，. 故所求顶点的坐标为. 所以C正确 故选：ABC 11. 欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. B. 为纯虚数 C. 复数的模长等于 D. 的共轭复数为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用欧拉公式计算出各选项指数式的复数代数形式，即可判断各项的正误. 【详解】A：由题意，，正确； B：由题意，为纯虚数，正确； C：由题意，，其模长为1，正确； D：由题意，，则其共轭复数为，错误. 故选：ABC 第Ⅱ卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，与夹角是，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】，与的夹角， . 13. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：利用两角差的正切公式展开，解方程可得. 【详解】［方法一］：直接使用两角差的正切公式展开 因为，所以，解之得． 故答案为：． ［方法二］：整体思想＋两角和的正切公式 ． 故答案为：． ［方法三］：换元法＋两角和的正切公式 令，则，且． ． 故答案为：． 【整体点评】方法一：直接利用两角差的正切公式展开，解方程，思路直接； 方法二：利用整体思想利用两角和的正切公式求出； 方法三：通过换元法结合两角和的正切公式求出，是给值求值问题的常用解决方式． 14. 表示虚数单位，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为且 所以. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，且为纯虚数. （1）求复数； （2）若，求复数的模. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）将复数代入，令其实部为0，虚部不为0，可解得m，进而求出复数z；（2）先根据复数的除法法则计算w，再由公式计算w的模． 【详解】解：（1） 是纯虚数 ，且 （2）. . 【点睛】本题考查复数的概念和模以及复数代数形式的乘除运算，属于基础题． 16. 已知向量，，. （1）若，求实数，的值； （2）若，求与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）根据向量的数乘运算及坐标加法运算,可得方程组,解方程组即可求得,的值. （2）根据向量坐标的加减法运算,可得结合向量垂直的坐标关系,即可求得的值.进而表示出,即可由向量的坐标运算求得夹角的余弦值. 【详解】（1）由,得, 即,解得. （2）,. 因为,所以,即. 令, 则. 【点睛】本题考查了向量的坐标的数乘运算和加减运算,向量垂直时的坐标关系,根据向量数量积求夹角的余弦值,属于基础题. 17. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长. 【小问1详解】 解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，. 【小问2详解】 解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 18. 已知点，，为坐标原点，函数 （1）求的解析式及最小正周期 （2）三角形中，角所对的边分别为，为的角平分线，，.若，求的面积 【答案】（1），最小正周期为 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积坐标运算、二倍角公式和辅助角公式可化简得到，根据正弦型函数最小正周期求法可求得结果； （2）由，结合的范围可求得或；当时，根据余弦定理和勾股定理可证得，根据角度关系可求得，进而求得；当时，根据正弦定理可求得，结合两角和差正弦公式和三角形面积公式可求得. 【小问1详解】 ，， ， 则的最小正周期. 【小问2详解】 ，， ，，则或， 或； 当时，，， ，，，， 又为的角平分线，，， ，， ； 当时，，，， 为的角平分线，， 在中，由正弦定理得：， ，在中，由正弦定理得：， ， . 综上所述：的面积为或. 19. 著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线，该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且． （1）求的值； （2）证明：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到，由向量数量积公式得到； （2）由，得到，由欧拉线定理可知，，即可证明； （3）由余弦定理和同角三角函数关系得到，由正弦定理得到，故，从而． 【小问1详解】 延长交于点，由于点是的重心， 可得， 所以． 【小问2详解】 证明：因为点是的重心，所以， 故 ， 由欧拉线定理可知，重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半， 即，所以，则． 【小问3详解】 连接，由点为重心，则为中点，由垂径定理可知，， ， 由余弦定理可得，则， 设外接圆半径为，则，即， 则， 则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉峪关市酒钢三中2025~2026学年第二学期第一次考试 高一数学试卷 第I卷（选择题） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，且，则 A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 设，复平面内表示复数的点在直线上，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在底面为正方形的平行六面体 的棱中，与向量模相等的向量有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 在正方形中，为的中点，若，则的值为 A. B. C. D. 1 6. 假设某美妙声波的传播曲线可用函数来描述，则该声波函数的最大值和最小正周期分别是（ ） A. B. C. D. 7. 已知在“斜二测”画法下，的直观图是一个边长为4的正三角形，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 5 B. 10 C. 13 D. 26 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任意单位向量的模都相等. B. 若，是平面内的两个不同的点，则 C. 若向量，，则 D. 零向量与任意向量平行 10. 已知，，，则以，，为顶点的平行四边形的另一个顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. B. 为纯虚数 C. 复数的模长等于 D. 的共轭复数为 第Ⅱ卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，与夹角是，则__________． 13. 已知，则__________． 14. 表示虚数单位，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，且为纯虚数. （1）求复数； （2）若，求复数的模. 16. 已知向量，，. （1）若，求实数，的值； （2）若，求与的夹角的余弦值. 17. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 18. 已知点，，为坐标原点，函数 （1）求的解析式及最小正周期 （2）三角形中，角所对的边分别为，为的角平分线，，.若，求的面积 19. 著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线，该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且． （1）求的值； （2）证明：； （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $