精品解析：云南师范大学附属中学呈贡学校2025-2026学年下学期期中七年级数学试卷

云南师大附中呈贡学校2025-2026学年下学期期中考试 七年级 数学 试卷 （全卷满分：100分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共15小题，共30分） 1. 在下列各组图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 3. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 在实数（相邻两个1之间依次增加一个0），，0，，0.12，中，无理数的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 若与是同类项，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 64的立方根是8 B. 平方根等于它本身的数是1和0 C. 的绝对值是3 D. 8. 下列是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线相交于点O，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托 （一托按照 5 尺计算）．”大意是：现有一根竿子和一条绳索，如果用绳索去量竿子，绳索比竿长 5 尺； 如果将绳索对折后再去量竿子，就比竿短5尺．则绳索长几尺？设竿子长 尺，绳索长 尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则实数应在（ ） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 12. 如图，下列条件：①；②；③；④其中能判断直线的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 13. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 如图是一个正方体的展开图，将展开图经过折叠围成正方体后，与“承”字所在面相对的面上的字是（ ） A. 中 B. 华 C. 文 D. 化 15. 法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”．在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：．已知点的坐标为，则经过次笛卡尔变换后得到的点的坐标为( ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共8分） 16. 实数4的算术平方根为_____． 17. 点在第__________象限． 18. 若是关于的一元一次不等式，则的值为______． 19. 将一副三角板按照如图所示的方式摆放，点在上，若，则的度数是__________． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算 21. 解方程组和不等式： （1）； （2）． 22. 已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 23. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，点坐标为． （1）将三角形先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到三角形，请在图中画出平移后的三角形，并写出点的坐标：（______，______）； （2）求三角形的面积． 24. 已知：如图，，，．求证：平分． 25. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、2台B型机器人，共需200万元；若买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划采购A型和B型机器人共20台，且总费用不超过1400万元．最多能买A型机器人多少台？ 26. 【方法引入】 已知关于两个未知数组成的方程组，求关于这两个字母的代数式的值，常见有两种方法： 方法一（通法）：解方程组求出这两个未知数的值，再代入代数式求值； 方法二（整体思想）：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值． 【例】已知实数m、n满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出m，n的值，代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值． 解法如下：①－②，得；①+②，得． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较为简单，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【方法应用】 （1）已知二元一次方程组，则______； （2）若有理数a，b满足，求的值； （3）对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，求的值． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足． （1）直接写出点的坐标：，； （2）如图1，若点在轴上，，求满足条件的点的坐标；（注：表示三角形的面积，表示三角形的面积） （3）如图2，过点作交轴于点，点是线段上一动点（不与端点和重合），连接，．在直线的上方有一点，连接，，平分，平分，在点运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南师大附中呈贡学校2025-2026学年下学期期中考试 七年级 数学 试卷 （全卷满分：100分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共15小题，共30分） 1. 在下列各组图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察各选项中两个图形的形状、大小及方向是否完全一致，选出符合平移性质的图形． 【详解】解：A项：观察图形可知，两个举重的人形图案方向相反，属于轴对称变换，不能通过平移得到； B项：观察图形可知，两个跑步的人形图案大小不同，平移不改变图形的大小，因此不能通过平移得到； C项：观察图形可知，两个骑自行车的人形图案形状、大小完全相同，且方向一致，只是位置发生了改变，符合平移的定义，能通过平移得到； D项：观察图形可知，两个图形的方向发生了改变，不能通过平移得到， 综上所述，只有选项C符合题意． 2. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 3. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 4. 在平面直角坐标系中，若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标平面内点的坐标的特点与点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值. 根据“点M在第二象限”可知，点M的横坐标为负，纵坐标为正，根据“点M到轴的距离为，到轴的距离为”可分别得出点M横坐标与纵坐标的绝对值，即可得出坐标 【详解】解：∵点M在第二象限， ∴点M的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∵点M到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点M的坐标是， 故选：C 5. 在实数（相邻两个1之间依次增加一个0），，0，，0.12，中，无理数的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数的定义，逐个判断给定实数，统计无理数的个数即可得到答案． 【详解】解：（相邻两个之间依次增加一个）是无限不循环小数，是无理数； 是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 含无理数，是无理数； 是有限小数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； ∴无理数共个． 6. 若与是同类项，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类项的定义．两个单项式，含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同，这样的两个单项式称为同类项，据此解题． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 64的立方根是8 B. 平方根等于它本身的数是1和0 C. 的绝对值是3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A.∵， ∴的立方根是，A错误； B.∵只有的平方根等于它本身，的平方根是， ∴平方根等于它本身的数只有，B错误； C.∵， ∴，C正确； D.∵表示的算术平方根， ∴，D错误． 8. 下列是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二元一次方程需满足三个条件，①是整式方程，②含有两个未知数，③所有含未知数的项的次数都是1，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A，中，项的次数为2，不满足条件，不符合题意； 选项B，不是等式，不属于方程，不满足条件，不符合题意； 选项C，中不是整式，不是整式方程，不满足条件，不符合题意； 选项D，是整式方程，含两个未知数，且所有含未知数的项的次数都是1，满足二元一次方程的定义，符合题意． 9. 如图，直线相交于点O，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵于O， ∴， ∵， ∴． ∴， 10. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托 （一托按照 5 尺计算）．”大意是：现有一根竿子和一条绳索，如果用绳索去量竿子，绳索比竿长 5 尺； 如果将绳索对折后再去量竿子，就比竿短5尺．则绳索长几尺？设竿子长 尺，绳索长 尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设竿子长 尺，绳索长 尺， ∵绳索比竿长5尺， ∴， ∵将绳索对折后量竿，对折后的绳索长度比竿短5尺，对折后绳索长为， ∴， 因此可列方程组． 11. 已知，则实数应在（ ） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 【答案】D 【解析】 【分析】先估算的取值范围，再利用不等式性质得到的范围即可判断． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，即， ∴实数在与之间． 12. 如图，下列条件：①；②；③；④其中能判断直线的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行），故①符合题意； ∵，， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行），故④符合题意； 根据，都不能证明，故②③不符合题意； 13. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴，，，， 综上，正确的选项是B． 14. 如图是一个正方体的展开图，将展开图经过折叠围成正方体后，与“承”字所在面相对的面上的字是（ ） A. 中 B. 华 C. 文 D. 化 【答案】B 【解析】 【详解】解：由图可知：与“承”字所在面相对的面上的字是“华”． 15. 法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”．在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：．已知点的坐标为，则经过次笛卡尔变换后得到的点的坐标为( ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点的坐标规律探索，关键是通过计算前几次变换的坐标，找到变换的周期，再利用周期确定第次变换后的坐标． 【详解】解：已知点的坐标为，根据“笛卡尔变换”规则，依次计算前几次变换后的坐标： ， ， ， ， …… 可见每次变换后回到初始坐标． ∵， ∴第次变换后的坐标与第次变换后的坐标相同． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，共8分） 16. 实数4的算术平方根为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴4的算术平方根是2． 17. 点在第__________象限． 【答案】 一 【解析】 【分析】先判断点横、纵坐标的符号，再根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，判断点所在象限． 【详解】解：∵对任意实数，都有， ∴， 又∵点的横坐标为， ∴点的横、纵坐标都大于， ∴点在第一象限． 18. 若是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的定义可得且，分别进行求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 19. 将一副三角板按照如图所示的方式摆放，点在上，若，则的度数是__________． 【答案】##15度 【解析】 【详解】解：∵ ∴ ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 21. 解方程组和不等式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法，解题关键是正确运用消元法和不等式性质，易错点是解不等式时不等号方向错误（乘除负数时）． （1）通过加减消元消去或，解出一个未知数后代入求另一个； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解不等式即可． 【小问1详解】 解： 得：， 得：，解得， 代入①得：，解得． 故方程组的解为． 【小问2详解】 去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 系数化为：． 22. 已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求平方根，求立方根，无理数的估算， （1），先根据立方根求出a，算术平方根求出b，再估算无理数可得c，然后代入求解即可； （2），将数值代入计算，再求出平方根即可． 【小问1详解】 解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， 解得． ∵，c是的整数部分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ， 9的平方根是， 平方根是． 23. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，点坐标为． （1）将三角形先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到三角形，请在图中画出平移后的三角形，并写出点的坐标：（______，______）； （2）求三角形的面积． 【答案】（1）即为所求，； （2） 【解析】 【分析】本题考查图形与坐标，涉及点的平移、平移作图、平移性质及网格中求三角形面积等知识，数形结合是解决问题的关键． （1）根据题中图形的平移，将三角形三个顶点按照向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到，连线即可得到三角形，在网格中数形结合即可得到坐标； （2）在网格中，数形结合，间接表示三角形的面积即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示： ． 24. 已知：如图，，，．求证：平分． 【答案】 证明：，， ， ，， 又， ∴∠3=∠A， ， 平分． 【解析】 【分析】先判定EF//AC，得到，，等量代换可得∠2=∠3，从而平分． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 25. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、2台B型机器人，共需200万元；若买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划采购A型和B型机器人共20台，且总费用不超过1400万元．最多能买A型机器人多少台？ 【答案】（1）A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为万元； （2）最多能买A型机器人台． 【解析】 【分析】（1）设A、B两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元，根据买1台A型机器人、2台B型机器人，共需200万元；买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元列出方程组即可得到答案； （2）设买A型机器人台，则买B型机器人台，根据总费用不超过1400万元列出不等式，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设A、B两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元， 由题意得， 解得， 答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为万元； 【小问2详解】 解：设买A型机器人台，则买B型机器人台， 由题意得， 解得， 答：最多能买A型机器人台． 26. 【方法引入】 已知关于两个未知数组成的方程组，求关于这两个字母的代数式的值，常见有两种方法： 方法一（通法）：解方程组求出这两个未知数的值，再代入代数式求值； 方法二（整体思想）：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值． 【例】已知实数m、n满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出m，n的值，代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值． 解法如下：①－②，得；①+②，得． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较为简单，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【方法应用】 （1）已知二元一次方程组，则______； （2）若有理数a，b满足，求的值； （3）对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的特殊解法、代数式求值、新运用法则、非负数的性质等知识点，掌握整体思想是解题的关键． （1）根据材料提示运用整体思想求解即可； （2）根据非负数的性质可得，再运用整体思想求解即可； （3）根据新定义的计算方法可得，设可得，即，进而得到，解得：，最后运用整体思想求解即可． 【小问1详解】 解：， 得：． 故答案为：1． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴①+②得， ∴，即． 【小问3详解】 解：根据题意得∶， 设， ∴，即， ∴， 解得， ∴， ∴． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足． （1）直接写出点的坐标：，； （2）如图1，若点在轴上，，求满足条件的点的坐标；（注：表示三角形的面积，表示三角形的面积） （3）如图2，过点作交轴于点，点是线段上一动点（不与端点和重合），连接，．在直线的上方有一点，连接，，平分，平分，在点运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或 （3）的值不会变化，的值为． 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质建立关于的方程组，求解即可； （2）先求出，得到，进而求出，设，则可得，即可解答； （3）过点作，过点作，设，则，求出，，即可解答． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， 又， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，即， ∴， ∴或， ∴或， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， 设，则， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值不会变化，的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $