精品解析：福建福州市福清市2025-2026学年高一下学期期中适应性练习数学试题

2025—2026学年第二学期福清市高一年级期中适应性练习 数学学科 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若是任意两个单位向量，则下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 在中，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是，其中，则原图形的面积为（） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 2i 6. 在中，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 在气象台A的正西方向400km处有一台风中心，它向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心300km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风的影响的持续时间长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列向量中，与向量可以构成一组基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 三棱台的各侧棱所在直线必交于一点 B. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 C. 一条直线和一个点确定一个平面 D. 四边形可以确定一个平面 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若复数z满足，则 B. 若复数，在复平面内分别对应向量，，则对应的复数为 C. 在复平面内，若复数z对应的点为，则复数对应的点在第一象限 D. 若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若一个三棱台的上、下底面面积分别为4，9，高为6，则该棱台的体积为__________. 13. 已知复数，则__________. 14. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，，则的面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若z为纯虚数，求m的值； （2）若复数z对应的点位于直线上，求复数z. 16. 已知圆柱的底面半径r和高h均为20cm. （1）若从圆柱的上底面挖去与该圆柱同底等高的圆锥，求剩下几何体的表面积； （2）若向圆柱装入的水，再放入半径为8cm的质地均匀的圆球.如果圆球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会溢出？ 17. 如图，在平行四边形中，，，.设，. （1）用，表示，，； （2）用向量方法证明； （3）如果，，有怎样的位置关系？证明你的结论. 18. 已知的内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，，求的周长； （3）若的面积为，求a的最小值. 19. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线记为. （1）证明：； （2）若的面积为，，，求b，c； （3）是否存在，使得？若存在，求出此时的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期福清市高一年级期中适应性练习 数学学科 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得. 2. 若是任意两个单位向量，则下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单位向量模相等，方向任意依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，单位向量的方向不同时，不满足； 对于B选项，，故不满足； 对于C选项，，故错误； 对于D选项，两个单位向量满足，故正确. 故选：D 3. 在中，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在中，设，，， 所以由余弦定理得， 因为为的内角，所以. 4. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是，其中，则原图形的面积为（） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】直观图为直角三角形， 由斜二测规则，轴与轴夹角为，所以直观图中三角形为等腰直角三角形 因为,所以， 由斜二测画法原理，还原平面图形如下: ，则原图形的面积为. 5. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 2i 【答案】C 【解析】 【详解】. 则z的虚部为2. 6. 在中，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为在中，，则， 所以由正弦定理得，即， 解得. 7. 在中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由正弦定理得，即，解得， 又因为，则，， 由题意知， 所以向量在向量上的投影向量为. 8. 在气象台A的正西方向400km处有一台风中心，它向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心300km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风的影响的持续时间长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，利用余弦定理求解三角形即可得到答案. 【详解】设台风中心为B，为台风经过的路径所在的直线，则， 过A作于C，则， ， ∴气象台所在地会受到台风的影响， 设以A为圆心，以为半径的圆与直线交于E，F两点， 设， 由余弦定理得是方程的根， 方程整理得，，， 则， 则气象台所在地受到台风的影响的持续时间长度是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列向量中，与向量可以构成一组基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】不存在使或成立，所以A，C正确； 可知，，所以B，D错误. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 三棱台的各侧棱所在直线必交于一点 B. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 C. 一条直线和一个点确定一个平面 D. 四边形可以确定一个平面 【答案】AB 【解析】 【详解】对A，根据棱台的定义知三棱台的各侧棱所在直线必交于一点，故A正确； 对B，根据正棱锥的特点知：正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故B正确； 对C，当点在直线上时，不能确定平面，故C错误； 对D，空间四边形不在一个平面内，故D错误． 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若复数z满足，则 B. 若复数，在复平面内分别对应向量，，则对应的复数为 C. 在复平面内，若复数z对应的点为，则复数对应的点在第一象限 D. 若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据复数的坐标表示结合向量的坐标运算求解；对于C：根据共轭复数的定义结合复数的几何意义分析判断；对于D：根据复数模长的几何意义运算求解. 【详解】对于选项A：例如也满足，故A错误； 对于选项B：因为，，所以， 所以向量对应的复数为，故B正确； 对于选项C：复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，故C正确； 对于选项D：复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若一个三棱台的上、下底面面积分别为4，9，高为6，则该棱台的体积为__________. 【答案】 【解析】 【详解】． 13. 已知复数，则__________. 【答案】1 【解析】 【详解】， 则. 14. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由余弦定理得， 即，即，即，解得或（舍去）. 则. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若z为纯虚数，求m的值； （2）若复数z对应的点位于直线上，求复数z. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数实部为0，虚部不为0，代入求解，即可得答案. （2）先求出复数z在复平面内对应的点坐标，代入直线方程，计算求解，即可得答案. 【小问1详解】 若z为纯虚数，则，解得. 【小问2详解】 复数z对应的点坐标为，若该点在直线上， 则，整理得，解得或. 当时，； 当时，. 16. 已知圆柱的底面半径r和高h均为20cm. （1）若从圆柱的上底面挖去与该圆柱同底等高的圆锥，求剩下几何体的表面积； （2）若向圆柱装入的水，再放入半径为8cm的质地均匀的圆球.如果圆球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会溢出？ 【答案】（1） （2）不会溢出 【解析】 【分析】（1）分别计算出圆柱的侧面积、一个底面的面积、及圆锥的侧面积，相加即可得剩下几何体的表面积； （2）用水的体积加上圆球在水中部分的体积，与圆柱的体积比较可得. 【小问1详解】 由题可知，圆柱的底面积为， 圆柱的侧面积为， 与圆柱同底等高的圆锥的母线长为， 所以其侧面积为. 所以剩下的几何体的表面积为. 【小问2详解】 由题意得，圆柱的体积为， 圆球在水中的部分的体积为. 因为，， 所以. 所以水不会溢出来. 17. 如图，在平行四边形中，，，.设，. （1）用，表示，，； （2）用向量方法证明； （3）如果，，有怎样的位置关系？证明你的结论. 【答案】（1） （2） 由（1）知，. 观察得. 故与共线，又因为不重合，因此. （3） 当时，.证明如下: 由（1）可知，. 所以 代入，得，所以 . 因此. 【解析】 【小问1详解】 由已知，，. 因为是平行四边形，所以，. 又，故. . . . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 已知的内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，，求的周长； （3）若的面积为，求a的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由余弦定理可得. 已知，即. 代入得，又，故. 【小问2详解】 已知，，， 由正弦定理，得，， 所以， 的周长为. 【小问3详解】 由面积公式， 代入，得， 由余弦定理， 结合基本不等式，得，即， 当且仅当时取等号，故的最小值为. 19. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线记为. （1）证明：； （2）若的面积为，，，求b，c； （3）是否存在，使得？若存在，求出此时的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取的中点，则，且. 设，则. 在中， 由余弦定理得. 在中，由余弦定理得. 两式相加，得，所以. （2） （3）存在，的取值范围为 【解析】 【分析】（1）取的中点，在和中分别用余弦定理表示，再相加消去角的余弦值得到中线长公式. （2）先由中线公式求，再结合面积公式与余弦定理求和，从而确定. （3）将代入中线公式，并结合余弦定理把化为只含的表达式，再由三角形存在条件求范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由第（1）问结论和，，得，解得，即. 又由余弦定理得，所以，即. 因为的面积为，所以，即. 将两式平方相加，得，所以. 又，所以，即. 因此是方程的两个根，故. 【小问3详解】 存在. 若，由第（1）问结论得，整理得，即. 由余弦定理得. 令，其中，则. 因为，所以，当且仅当时等号成立. 另一方面，三角形存在时必须有，所以. 由可知，只要，就能取到对应的三角形；由三角形三边关系可得.结合可知，所以的取值范围为. 因此存在这样的三角形，此时的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $