精品解析：福建省福清市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

2023-2024学年第二学期高一年期中质量检测 数学学科试卷 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填写自己的准考证号､姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号､姓名”与考生本人准考证号､姓名是否一致. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.第II卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，考生必须将答题卡交回. 第卷 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘法计算. 【详解】. 故选：D 2. 下列几何体中，棱数最多的是（ ） A. 五棱锥 B. 三棱台 C. 三棱柱 D. 四棱锥 【答案】A 【解析】 【分析】根据棱锥和棱柱的特征逐个求解其棱数进行判断 【详解】因为五棱锥有10条棱，三棱台有9条棱，三棱柱有9条棱，四棱锥有8条棱， 所以这些几何体中棱数最多的是五棱锥， 故选：A 3. 在中，点在边上，，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根已知条件和向量的减法法则即可直接计算得解. 【详解】由题. 故选：B. 4. 已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，则其平面图形的面积是（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据直观图画出平面图形，求出相关线段的长度，即可求出平面图形的面积. 【详解】由直观图可得如下平面图形： 其中，， 所以. 故选：A 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个非零向量共线，则必在同一直线上 B. 若与共线，与共线，则与也共线 C. 若则 D. 若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或 【答案】D 【解析】 【分析】根据共线向量的概念即可判断A,B,D;根据相等向量的概念可以判断C. 【详解】方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，因此D正确； 若非零向量是共线向量，则未必在同一直线上，A错； 若，则与共线，与共线，但是与未必共线，B错； 由可以得到的大小相等，但方向不一定相同，C错. 故选：D. 6. 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用锥体的体积公式即可求解. 【详解】因为三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c， 所以这个三棱锥的体积为. 故选：B 7. 在中，角的对边分别为，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积运算先求出，再由正、余弦定理求解. 【详解】，所以， 则，即， 由正弦定理，. 故选:． 8. 在平面四边形中，，则该四边形的面积为（ ） A. 13 B. 26 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积运算可以知道，进而利用面积公式求解即可. 【详解】因为 所以 所以四边形的面积为 故选：A 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若直线不平行于平面，且，则下列结论错误的是（ ） A. 内的所有直线与是异面直线 B. 内不存在与平行的直线 C. 内存在唯一一条直线与平行 D. 内的所有直线与都相交 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意可知与平面相交，再判断直线与平面内的直线的位置关系即可. 【详解】因为直线不平行于平面，且，则与平面相交， 设交点为，则平面内所有过点的直线与直线相交，即共面， 平面内所有不过点的直线与直线异面，故A错误，D错误； 显然内不存在与平行的直线，故B正确，C错误. 故选：ACD 10. 已知向量，则以下说法正确的是（ ） A. B. 与的夹角余弦值为 C. 与的夹角是锐角 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，根据向量共线的坐标表示即可判断；对B，根据向量夹角公式的坐标表示可判断；对C，根据向量夹角公式的坐标表示可判断；对D，根据向量的几何意义即可判断. 【详解】对A，由题意知， ，所以与不平行，故A错误； 对B，由题意知，所以，故B正确 对C，，所以与的夹角是钝角，故C错误； 对D，向量在向量上的投影向量为 ，故D正确. 故选：BD 11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则是钝角三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，且有两解，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用余弦定理判断A；利用余弦定理将角化边，即可判断B；由正弦定理将边化角，结合诱导公式及二倍角公式判断C；由正弦定理判断D. 【详解】对于A：由余弦定理，所以为钝角，则是钝角三角形，故A正确； 对于B：因为，由余弦定理可得， 所以 整理得，所以或， 故为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C：因为，由正弦定理可得， 即， 又，所以，所以， 即， 又，则，所以，所以，则， 所以，故C正确； 对于D：如图，因为，若有两解，则， 即，所以，则的取值范围是，故D正确． 故选：ACD 第II卷 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 设向量，若，则实数的值为__________.. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再由向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】由题， 因为， 所以. 故答案为：. 13. 若复数满足，则的共轭复数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可求出其共轭复数. 【详解】因为， 所以， 所以的共轭复数为. 故答案为： 14. 设锐角的三内角所对边的边长分别为，且，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件及三角形的内角和定理，利用三角函数的性质、正弦定理和二倍角公式即可求解. 【详解】锐角中，角所对的边分别为, ,且, . ， ∴, ， ∴由正弦定理可得：， ∴, 故的取值范围为． 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由实部为且虚部不为列式求解； （2）由实部与虚部均小于得到不等式组，求出的取值范围． 【小问1详解】 是纯虚数， 故，解得 【小问2详解】 因为在复平面内对应的点在第三象限， 所以，解得， 故的取值范围为． 16. 已知在中，角的对边分别为且． （1）求； （2）求的大小及的面积． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边即可； （2）利用余弦定理及面积公式计算可得. 【小问1详解】 由正弦定理，又， 所以，又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理， 又，所以， 所以. 17. 如图，在菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，将用基底来表示，即可求出的值； （2）将分别用基底来表示，然后在进行数量积运算即可求解. 【小问1详解】 因为在菱形中，. 故， 故，所以. 【小问2详解】 显然， 所以 ……① 因为菱形，且，故. 所以. 故①式. 故. 18. 从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为米的圆锥筒（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为． （1）求圆锥筒的容积； （2）在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积的最大值以及取最大值时的取值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的结构特征，扇形即为为圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面半径和高，即可求出容积； （2）根据圆柱内接圆锥关系，求出圆柱的高与底面半径的关系式，进而求出圆柱侧面积的目标函数，根据函数特征求其最值即可. 【小问1详解】 设圆锥筒的半径为，容积为， ∵所裁剪的扇形铁皮的圆心角为， ∴，解得， ∴， ∴. ∴圆锥筒的容积为. 【小问2详解】 设内接圆柱高为，由圆锥内接圆柱的轴截面图， 得， 所以内接圆柱侧面积 ， 所以当时内接圆柱侧面积最大，最大值为. 【点睛】本题考查圆锥与扇形展开图的关系、体积以及内接圆柱侧面积最值的计算，考查计算求解能力，属于中档题. 19. 在中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且的面积为，点D是线段上靠近点B的一个三等分点，． （1）若，求c； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得，再结合余弦定理从而可求解. （2）由利用向量可得，并结合得，再由，从而可求解. 【小问1详解】 由题可得：，故 又，即， ，即 在中，根据余弦定理得 即 ，即， 【小问2详解】 ， ，即 又，① 又②，由①②得： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期高一年期中质量检测 数学学科试卷 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填写自己的准考证号､姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号､姓名”与考生本人准考证号､姓名是否一致. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.第II卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，考生必须将答题卡交回. 第卷 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体中，棱数最多的是（ ） A. 五棱锥 B. 三棱台 C. 三棱柱 D. 四棱锥 3. 在中，点在边上，，记，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，则其平面图形的面积是（ ） A. 4 B. C. D. 8 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个非零向量共线，则必在同一直线上 B. 若与共线，与共线，则与也共线 C. 若则 D. 若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或 6. 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角的对边分别为，若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在平面四边形中，，则该四边形的面积为（ ） A. 13 B. 26 C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若直线不平行于平面，且，则下列结论错误的是（ ） A. 内的所有直线与是异面直线 B. 内不存在与平行的直线 C. 内存在唯一一条直线与平行 D. 内的所有直线与都相交 10. 已知向量，则以下说法正确的是（ ） A. B. 与的夹角余弦值为 C. 与的夹角是锐角 D. 向量在向量上的投影向量为 11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则是钝角三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，且有两解，则的取值范围是 第II卷 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 设向量，若，则实数的值为__________.. 13. 若复数满足，则的共轭复数为__________. 14. 设锐角的三内角所对边的边长分别为，且，则的取值范围为______． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围． 16. 已知在中，角的对边分别为且． （1）求； （2）求的大小及的面积． 17. 如图，在菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，求. 18. 从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为米的圆锥筒（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为． （1）求圆锥筒的容积； （2）在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积的最大值以及取最大值时的取值． 19. 在中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且的面积为，点D是线段上靠近点B的一个三等分点，． （1）若，求c； （2）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $