7.4.2超几何分布课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.4.2 超几何分布 知识复习 1. 二项分布： 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0<p<1)， 用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~B(n，p). 若X~B(n, p)，则有 2. 二项分布的均值与方差： 每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，且各次抽取的结果不独立，故X不服从二项分布.则X的分布列是： 每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立,此时X服从二项分布,即X～B(4，0.08). 采用有放回抽样 采用不放回抽样 解：由题意可知，X可能的取值为0, 1, 2，3，4 则X的分布列是： X 0 1 2 3 4 P P(X＝k)＝ （k＝0，1，2，3,4） 问题1 已知100件产品中有8件次品，现从中分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. P(X＝k)＝ （k＝0，1，2，3,4） 3 一般地, 假设一批产品共有N件, 其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回), 用X表示抽取的n件产品中的次品数, 则X的分布列为: 超几何分布: 其中n, N, M∈N*, M≤N, n≤N, m＝max{0, n-(N-M)}, r＝min{n, M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布. P(X＝k)＝ （k＝m，m+1，m+2，……，r.） 记为X~H(N,n, M). N—总体中的个体总数 M—总体中的特殊个体总数(如次品总数) n—样本容量 k—样本中的特殊个体数（如次品数) 提醒：正确理解其条件以及参数的意义 总数为的产品 次品有件 正品有件 随机抽取件，其中含次品件 当，即，抽到的样本可能没有次品，则 当，即，样本中必有次品，且 的理解 总数为的产品 次品有件 正品有件 随机抽取件，其中含次品件 当抽到的产品件数不大于总体中次品的个数（即）时， 当抽到的产品件数大于总体中次品的个数（即）时， 【例1】下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由. (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列； (2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列； (3)盒子中有红球3个，黄球4个，蓝球5个(除颜色外无区别)，任取3个球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列； (4)某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，求X的分布列. 不是 不是 是 是 判断一个变量是否服从超几何分布的方法：①总体中含有两类不同的个体；②不放回地抽取；③随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量. 解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数(只能取0或1)，则X服从超几何分布，且N＝50, M＝1, n＝5. 例2 从50 名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率. 因此甲被选中的概率为 容易发现，每个人被抽到的概率都是 . 这个结论非常直观，上述解答过程就是这一结论的推导过程. 解：设X表示抽取10个零件中不合格品数，则X服从超几何分布，其分布列为 例3 一批零件共有30个，其中有3个不合格. 随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率. ∴至少有1件不合格的概率为 (直接法) (间接法) 超几何分布的均值 设随机变量服从超几何分布，则可以解释为从包含件次品的件产品中，不放回地随机抽取件产品中的次品数. 令，则是件产品的次品率，而是抽取的件产品的次品率，我们猜想，即. 令 ，, 由随机变量均值的定义： 当时， . ① 因为， 所以. 当时，注意到(1)式中间求和的第一项为0， 类似可以证明结论依然成立. 练习（1）盒子里有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球，设取出白球的个数为ξ，则E(ξ)＝____. （2）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数， 则P(X<2)＝____，随机变量X的均值E(X)＝____. P79 例6 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60 个白球，从中随机地摸出20个球作为样本. 用X表示样本中黄球的个数. (1) 分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； (2) 分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率. 解：(1) 对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此X~B(20, 0.4)，X的分布列为 对于不放回摸球, 各次试验的结果不独立, X服从超几何分布, X的分布列为 (2)利用统计软件计算出两个分布列的概率值(精确到0.00001)，如下表所示. 样本中黄球的比例f20= 是一个随机变量, 根据表算得 |f20-0.4|≤0.1⟺ 6≤X≤10 有放回摸球: P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10) ≈ 0.7469. 不放回摸球: P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10) ≈ 0.7988. 因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些. 两种摸球方式下, 随机变量X分别服从二项分布和超几何分布. 虽然这两种分布有相等的均值(都是8), 但从两种分布的概率分布图(图7.4-4)看, 超几何分布更集中在均值附近. 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律, 并且二者的均值相同,对于不放回抽样, 当n远远小于N时, 每抽取一次后, 对N的影响很小, 此时, 超几何分布可以用二项分布近似. 二项分布、超几何分布有什么区别和联系 超几何分布 二项分布 试验类型 抽样 抽样 试验种数 有 种物品 有 种结果 总体容量 个 个 随机变量取值的概率 利用 计算 利用 计算 联系 不放回 放回 两 两 有限 无限 古典概型 独立重复试验 (1)对于同一模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的方差较小，随机变量的取值更集中于均值附近 (2)对于不放回摸球，当N充分大，且n远远小于N时，各次抽样结果彼此影响很小，此时超几何分布近似二项分布；从方差角度看，由于,两个分布的方差也近似相等。 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 15 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 超几何分布及其分布列 超几何分布的均值与方差 P(X=k) = , k=m, m+1, m+2, …, r. 记为X~H(N,n,M). E(X)=np (其中)，D(X)=np(1-p) 解：(2)X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布， 所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＋＝， E(X)＝=＝0.6. 解：(1)由题意得： N=5，M=3，n＝2；E(ξ)＝＝. $