精品解析：山东省德州市平原县2025-2026学年第一次中考模拟检测九年级数学试题

2025-2026学年第一次中考模拟检测 九年级数学试题 2026.4 本试题分选择题，40分；非选择题，110分；全卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选均计零分．） 1. 下列图案是我国四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 经文化和旅游部数据中心测算，2025年10月1日至7日，全国国内旅游出游亿人次．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 榫卯强调隐形连接，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．鲁班锁就是起源于我国古建筑中的榫卯结构．图2是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，其左视图是（ ）   A. B. C. D. 5. 小明查阅资料，发现近视眼镜的度数D（度）是关于镜片焦距f（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知度近视眼镜的镜片焦距为米．若小明同学眼睛的近视度数不超过度，则下列说法正确的是（ ） A. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 B. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 C. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不大于米 D. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应大于米 6. 如图，2026年春晚《武》节目中，宇树人形机器人与河南塔沟武校学员同台演绎时，需在定制斜坡舞台完成腾跃动作．若该斜坡的坡度为，机器人腾跃点的水平宽度厘米，则腾跃点的垂直高度为（ ） A. 30厘米 B. 60厘米 C. 80厘米 D. 120厘米 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 48 D. 96 9. 如图，点A在函数的图象上，连接并延长，交函数的图象于点B，点C为x轴上一点，且，连接．若的面积是6，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在矩形中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交，于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点F；再以B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，共20分．只要求填写最后结果，每题填对得4分． 11. 要使代数式有意义，则的值可以是____． 12. 如图，，，要使用“ASA”判定，应添加的条件是______． 13. 2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“马”、“到”、“成”、“功”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“成功”的概率是________． 14. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，弧所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则阴影部分面积为________． 15. 如图，矩形在平面直角坐标系中，点的坐标是，过点作，交轴于，过点作轴交直线于，过点作直线，交轴于，过点作轴交直线于，……，则________，的坐标是________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 计算与化简 （1）； （2）． 17. 某团队研发了三款机器人，分别命名为A、B、C．为测试三款机器人在图像识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． 【数据收集与整理】 A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 B 8 87 C 8 n 83 任务1： ， ； 【数据分析与运用】 任务2：按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A、B、C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 任务3：如果要选择A、B、C三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由． 18. 某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，结果精确到1米） （1）求直吊臂的长； （2）如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用图像，直接写出不等式的解集为________； （3）在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 20. 某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元/千克，那么每天可售出200千克，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在的函数关系． （1）若该超市每天要获得利润1250元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为多少元？ （2）若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？ 21. 如图，内接于，直径交于点，延长与过点的切线交于点．已知与互余． （1）求证：． （2）连接，当，，时，求的半径和的长． 22. 已知抛物线过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若，当时，的最大值为，求的值； （3）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．当线段随着的增大而减小时，求的取值范围． 23. 综合与实践． 主题：纸张规格的奥秘． 材料：纸张尺寸是将纸张的长、宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活的便利性． 探究：如图，系列长方形纸张的规格特征是： ①各长方形纸张的长宽比都相等； ②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，，纸对裁后可以得到两张纸，我们把符合这种形状的纸称为系纸． （1）直接写出系纸长与宽的比______． （2）如图2，折叠系纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开．点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点，四边形纸片是否是系纸片？如果是，请证明，如果不是请求出长与宽的比． （3）在图2中，四边形纸片是否是系纸片？如果不是请在纸片中折出系纸片，画出图形，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一次中考模拟检测 九年级数学试题 2026.4 本试题分选择题，40分；非选择题，110分；全卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选均计零分．） 1. 下列图案是我国四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形．据此依次对各选项进行分析即可作出判断． 【详解】解：A．该图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图案是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 经文化和旅游部数据中心测算，2025年10月1日至7日，全国国内旅游出游亿人次．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的定义为将数表示为的形式，其中，为整数，据此换算求解即可． 【详解】解：亿 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，积的乘方和幂的乘方计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 榫卯强调隐形连接，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．鲁班锁就是起源于我国古建筑中的榫卯结构．图2是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，其左视图是（ ）   A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，找到从左面看到的图形即可．会从不同方向看出几何体的图形是解题的关键． 【详解】解：图2的左视图为： ， 故选：B． 5. 小明查阅资料，发现近视眼镜的度数D（度）是关于镜片焦距f（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知度近视眼镜的镜片焦距为米．若小明同学眼睛的近视度数不超过度，则下列说法正确的是（ ） A. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 B. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 C. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不大于米 D. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应大于米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与反比例函数，求反比例函数解析式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出反比例函数的解析式，再求出当时，的值，从而结合图象可得出结论． 【详解】解：∵近视眼镜的度数D（度）是关于镜片焦距f（米）的反比例函数， ∴设反比例函数的解析式为， ∵度近视眼镜的镜片焦距为米， ∴，解得：， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 解得：， ∵小明同学眼睛的近视度数不超过度， ∴， ∴， 即小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米， 故选：A． 6. 如图，2026年春晚《武》节目中，宇树人形机器人与河南塔沟武校学员同台演绎时，需在定制斜坡舞台完成腾跃动作．若该斜坡的坡度为，机器人腾跃点的水平宽度厘米，则腾跃点的垂直高度为（ ） A. 30厘米 B. 60厘米 C. 80厘米 D. 120厘米 【答案】B 【解析】 【分析】根据坡度代入数据计算即可． 【详解】解：∵该斜坡的坡度为， ∴， 又厘米， ∴（厘米）． 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 8. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 48 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，点A在函数的图象上，连接并延长，交函数的图象于点B，点C为x轴上一点，且，连接．若的面积是6，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ，， ， ∵点A在双曲线上，点B在， ，， ， ， ， ， ，轴， ， ， ， ， ， ， ． 10. 如图，在矩形中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交，于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点F；再以B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图—角平分线，角平分线的性质和勾股定理．根据题意判断出为的平分线是解题关键．过点F作于Q．由勾股定理可求出．根据题意可判定为的平分线，又可得出，从而可得出，，进而可求出．设，则，在中，根据勾股定理可列出关于x的等式，求出x，即得出的长，再利用勾股定理可求出的长，从而可求出的长． 【详解】解：如图，过点F作于Q． ∵在矩形中，，， ∴． 根据题意可知为的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 设，则． ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，共20分．只要求填写最后结果，每题填对得4分． 11. 要使代数式有意义，则的值可以是____． 【答案】2026（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到被开方数为非负数，据此列出不等式求解得到的取值范围，在范围内任取一个值即可． 【详解】解：要使二次根式有意义，根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数， 因此列不等式得： 解得， 因此可以取任意大于或等于的数，此处取． 12. 如图，，，要使用“ASA”判定，应添加的条件是______． 【答案】## 【解析】 【分析】由可得，又有，要使用“ASA”判定还缺少角，结合图形即可解答． 【详解】解：添加， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 故答案为：． 【点睛】此题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：．添加时注意：、不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 13. 2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“马”、“到”、“成”、“功”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“成功”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率．分别记“马”、“到”、“成”、“功”为A，B，C，D，利用树状图的方法可得所有等可能结果；再找恰好组成“成功”字样的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：分别记“马”、“到”、“成”、“功”为A，B，C，D，画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好组成“成功”字样的结果数有2种结果， 所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“成功”字样的概率为：， 故答案为：． 14. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，弧所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则阴影部分面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，解三角形，不规则图形的面积，过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，求出，，再求弓形的面积为，即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 【详解】解：如图所示：过点C作， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴弓形的面积为：， ∴阴影部分面积为：， 故答案为：． 15. 如图，矩形在平面直角坐标系中，点的坐标是，过点作，交轴于，过点作轴交直线于，过点作直线，交轴于，过点作轴交直线于，……，则________，的坐标是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，且， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点B的坐标是， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴点坐标为，即， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点，即， 以此类推...，的坐标为， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 计算与化简 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 某团队研发了三款机器人，分别命名为A、B、C．为测试三款机器人在图像识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． 【数据收集与整理】 A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 B 8 87 C 8 n 83 任务1： ， ； 【数据分析与运用】 任务2：按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A、B、C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 任务3：如果要选择A、B、C三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由． 【答案】任务1：9；8 任务2：综合成绩最高的是B款机器人 任务3：选择B款机器人，理由如下： 由折线统计图可判断 B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小， ∴， 由表知， ∴， ∴测试员对 B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； ∴选择B款机器人． ①选择机器人，因为机器人得运动能力测试能力比较高； ②选择机器人，因为B机器人运动能力成绩得方差比较小，说明机器人得运动能力比较稳定； ③选择机器人，因为机器人运动能力测试得众数是和，说明较多专业测试员认为机器人得运动能力很好. (答案不唯一，言之有理即可) 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图和扇形统计图综合，中位数、众数、方差的定义，解题的关键是数形结合，并掌握相关知识． （1）把款机器人测试员打分从低到高排列可得，由扇形统计图可得； （2）根据图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占，列式计算三种机器人的综合得分，再比较即可得到答案 （3）根据众数、方差、运动能力测试能力比较即可． 【详解】解：（1）由折线统计图可知，款机器人测试员打分从低到高排列为：，，，，，，，，，， 款机器人测试员打分的中位数， 由扇形统计图可知，款机器人运动能力得分出现次数最多的是分， 款机器人运动能力得分的众数， 故答案为：，； （2）的综合成绩为：（分）， 的综合成绩为：（分） 的综合成绩为：（分） ， 机器人的综合成绩最高； （3）略 18. 某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，结果精确到1米） （1）求直吊臂的长； （2）如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 【答案】（1）直吊臂的长为10米 （2）上升了5米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，矩形的性质与判定，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）根据，即可解，即可求解； （2）记旋转后的点的对应点为，延长交于点，过点作于点，可得四边形为矩形，则米，在中，由求出，再由，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵，米， ∴在中，（米）， 答：直吊臂的长为10米； 【小问2详解】 解：记旋转后的点的对应点为，延长交于点，过点作于点，则， 由题意得：米，米， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米， 在中，米， ∴（米）， ∴货物上升了5米． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用图像，直接写出不等式的解集为________； （3）在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】（1）； （2） （3）当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，在中，当时，，则． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象上方时自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为； 【小问3详解】 解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 综上所述，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 20. 某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元/千克，那么每天可售出200千克，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在的函数关系． （1）若该超市每天要获得利润1250元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为多少元？ （2）若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）该超市每天要获得利润1250元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为20元 （2）售价为28元时，每天获利最大，最大利润为2210元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际销售利润问题中的应用． （1）根据利润＝（售价－进价）×销售数量列出方程，求解后根据题意选择合适的售价即可； （2）设该超市每天获利W元，写出利润函数，通过配方法结合二次函数性质求最大值． 【小问1详解】 解：根据题意知， ， 整理得：， 解得：或， ∵要让消费者得到实惠， ， 答：该超市每天要获得利润1250元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为20元； 【小问2详解】 解：设该超市每天获利W元， ， ， 开口向下， 对称轴为， ∴在时，W随x的增大而增大， 时，W的最大值（元）， 答：售价为28元时，每天获利最大为2210元． 21. 如图，内接于，直径交于点，延长与过点的切线交于点．已知与互余． （1）求证：． （2）连接，当，，时，求的半径和的长． 【答案】（1） 证明：如图1，连接，． ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴． ∵与互余， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴平分， ∴， ∴，即； （2）4 【解析】 【分析】(1)首先，连接，，然后，根据与相切于点，与互余， 证得，进而得平分，，可得； (2)首先，连接，， ，设 与交于点，然后，根据已知条件证得，再由，得，得，由，得，即为半径；再证得是等边三角形，得，，接着，证得，再由 ，得出 ，再分别求出 ，，最后，再证得，得，即，解得 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，连接，， ，设 与交于点． ∵， ∴， ∴， 由（1）知平分， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴，即， 解得． ∴的半径为4． ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 由（1）知， ∴． ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴，即， ∴． 【点睛】解题的关键是熟练掌握圆的垂径定理、切线的性质，特殊角的正切、正弦、余弦函数的运用，证得． 22. 已知抛物线过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若，当时，的最大值为，求的值； （3）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．当线段随着的增大而减小时，求的取值范围． 【答案】（1）对称轴为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将已知点代入抛物线解析式求出，再代入对称轴公式​直接计算即可得对称轴； （2）代入得抛物线顶点式，分情况讨论的最大值和对称轴的位置，代入最大值点解方程并舍去不合理的解即可； （3）写出、两点坐标求出的绝对值表达式，分两种情况去绝对值，根据二次函数开口和对称轴，找出随增大而减小的的取值范围即可． 【小问1详解】 解：把点代入得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：当时，由（1）可知，则， ∴抛物线的解析式为， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， 当，即时，在上，随的增大而减小， ∴当时，取最大值，（舍去）， ∴最大值必在时取得， 当，即时，令时， 即，解得，（舍去）， 综上可知； 【小问3详解】 解：由题意知，， ∴， 当，即， 此时或， ， ∵，对称轴为， ∴当时随的增大而减小， 又∵或， ∴， 当，即，此时， ， ∵，对称轴为， ∴当时随的增大而减小， 又∵， ∴， 综上可知，或时，随的增大而减小． 23. 综合与实践． 主题：纸张规格的奥秘． 材料：纸张尺寸是将纸张的长、宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活的便利性． 探究：如图，系列长方形纸张的规格特征是： ①各长方形纸张的长宽比都相等； ②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，，纸对裁后可以得到两张纸，我们把符合这种形状的纸称为系纸． （1）直接写出系纸长与宽的比______． （2）如图2，折叠系纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开．点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点，四边形纸片是否是系纸片？如果是，请证明，如果不是请求出长与宽的比． （3）在图2中，四边形纸片是否是系纸片？如果不是请在纸片中折出系纸片，画出图形，并加以证明． 【答案】（1） （2）四边形纸片不是系纸片，长与宽的比为； （3）四边形纸片不是系纸片，理由： 设，则， ∵四边形是系纸片， ∴， ∴， ∴， ∴四边形纸片不是系纸片， 如图，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，纸片为系纸片， 证明：由折叠可得 ，， 又∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形，，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形纸片是系纸片． 【解析】 【分析】（1）设纸的长为，宽为，则纸的长为，宽为，根据系列长方形纸张的规格特征，可得，即可得系纸长与宽的比； （2）由折叠可得，四边形是矩形，，，连接，设，，由勾股定理可得，根据，代入化简，即可求解； （3）设，则，由系纸片长与宽的比可得，可得，计算，结合系纸片长与宽的比进行判断，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，由折叠过程，结合平行线的性质，可得四边形是正方形，四边形是矩形，，，计算，即可证明是系纸片． 【小问1详解】 解：设纸的长为，宽为，则纸的长为，宽为， ∵系纸各长方形纸张的长宽比都相等， ∴， ∴， ∴， ∴系纸长与宽的比为． 【小问2详解】 解：四边形纸片不是系纸片， 在长方形中，，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， 由折叠可得，， 连接， 设，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形纸片不是系纸片，长与宽的比为． 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $