精品解析：2025年山东省德州市平原县中考第一次模拟检测数学试题

二○二五年初中学业水平第一次模拟检测 数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列各数在数轴上表示的点距离原点最远的是（ ） A. B. C. 3 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，依题意，选项的每个数值的绝对值最大即为距离原点最远， 即可作答． 【详解】解：∵，，， ∵， ∴距离原点最远的是3． 故选：C． 2. 2025年乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，下图为春晚主标识、将两个“巳”字如图摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，它采用的基本数学变换是（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 位似 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转变换的性质，利用旋转变换的性质解决问题即可． 【详解】解：由图可知：春晚主标识是中心对称图形，可以由一个“巳”绕中心顺时针旋转得到另一个“巳”． 故选：B． 3. 自2025年1月11日，全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，1月28日单日下载峰值冲至11040000次，创下全球AI应用单日下载量新纪录．11040000用科学记数法可表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：11040000用科学记数法可表示为， 故选：D． 4. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握各运算法则和完全平方公式是解题关键．根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项正确，符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 6. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，根据重力竖直向下、摩擦力平行斜面，结合图形利用三角形外角定理即可求解． 【详解】解：如图所示： 重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， ∵， ∴． 摩擦力的方向与斜面平行， ． 7. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图，求和后利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2种情况，故和是偶数的概率是 ， 故选：B 8. 如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据与相切易得，在中，已知，可以求出的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出的度数，最后根据可得． 【详解】如下图，连接， ∵切于点， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理以及平行线的性质，综合运用以上性质定理是解题的关键． 9. 新能源车的技术越来越成熟，而且更加环保节能．小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，已知燃油车的油箱容积为升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为千瓦时，电价为元/千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续航里程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设两台汽车的续航里程是x千米，根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元列等式求解即可得到答案； 【详解】解：设两台汽车的续航里程是x千米，由题意可得， ， 解得：， 经检验，是原方程的根且符合题意 ， 故选A． 【点睛】本题考查分式方程解决应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系式列式求解． 10. 如图，正方形ABCD的点A，B点分别在x轴，y轴上，与双曲线y＝恰好交于BC的中点E，若OB＝2OA，则S△ABO的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】过点B作x轴的平行线，过点A，C分别作y轴的平行线，两线相交于M，N，证明△ABM≌△BCN，可得BN＝AM＝2a，CN＝BM＝a，所以点C坐标为（2a，a），BC的中点E的坐标为（a，1.5a），把点E代入双曲线y＝，可得a的值，进而得出S△ABO的值． 【详解】解：如图，过点B作x轴的平行线，过点A，C分别作y轴的平行线，两线相交于M，N， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴∠ABM＝90°﹣∠CBN＝∠BCN， ∵∠M＝∠N＝90°， ∴△ABM≌△BCN（AAS）， ∵OB＝2OA， ∴设OA＝a，OB＝2a， 则BN＝AM＝2a，CN＝BM＝a， ∴点C坐标为（2a，a）， ∵E为BC的中点，B（0，2a）， ∴E（a，1.5a）， 把点E代入双曲线y＝， 得1.5a2＝12，a2＝8， ∴S△ABO＝＝8， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，三角形全等的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形表示出点E的坐标． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 若有意义，则的取值范围是_________． 【答案】x>2##2＜x 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数和分式有意义的条件：分母不为0即可求出结论． 【详解】解：由题意可得x-2>0， 解得：x>2， 故答案为：x>2． 【点睛】本题考查的是分式及二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0解题的关键． 12. 如图，将绕点逆时针旋转至，若，则点旋转到点所经过的路径长为________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，弧长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据旋转的性质得到：，，再根据弧长公式计算即可解答． 【详解】解：根据旋转的性质得：，， 则点旋转到点所经过的路径长， 故答案为：． 13. 若是一元二次方程的两个根，则的值为____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系、一元二次方程的解，将化为，分别求出、，再代入求值即可． 【详解】解：∵α、β是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：5． 14. 已知点和关于轴对称，若一个反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的表达式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴及反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，求出点的坐标是解题的关键． 设这个反比例函数的表达式为，由点和关于轴对称，则，，得出，然后代入即可求解． 【详解】解：设这个反比例函数的表达式为， ∵点和关于轴对称， 则，， ∵一个反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， 解得：， ∴这个反比例函数的表达式为， 故答案为：． 15. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接 ， 和相交于点N，连接．若，，则的长为__________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线的性质等知识，利用三角形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， 平分，， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 16. 如图，抛物线与轴交于A，B两点，点是以抛物线的顶点为圆心，2为半径的圆上的动点，点是线段PB的中点，连接OQ则线段OQ的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，连接，设的延长线交于E，先求出点，点，点，由此得是的中位线，则，因此当 为最小时，为最小，根据点与圆的位置关系可知为最小，然后再求出的长即可得出的最小值． 【详解】解：连接，设交于E，如图所示： 对于抛物线，当 时，，当时，，或 ， ∴点，点，点， ∴， ∵点Q是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当 为最小时，为最小， 根据点与圆的位置关系可知：点A到上各点的距离中，为最小， ∴当点P与点E重合时，为最小，最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∵的半径为2， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题本大题共8小题，共86分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）． （2）先简化，再求值，其中 ． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的化简求值及分母有理化． （1）先计化简二次根式，计算乘方，将除法改为乘法，再计算加减即可； （2）根据分式的混合运算法则化简，再将 代入化简后的式子利用分母有理化计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原式 ； 当 时，原式． 18. 为了增强学生的身体素质，助力学生全方位成长，某校积极组织了形式多样的课外体育活动．在九年级举办的篮球联赛进程中，甲、乙两位队员展现出了极为出色的表现，计分组在甲、乙两位队员最近的六场比赛里，得分、篮板以及失误这三个关键维度上的统计详情如下 队员 平均每场得分 得分中位数 平均每场篮板 平均每场失误 甲 m 27.5 8 2 乙 28 n 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）表中的_________，_________； （2）请从得分方面分析：甲队员、乙队员在比赛中，_________（填“甲”或“乙”）队员表现更好； （3）规定“综合得分”为：平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较哪位队员表现更好． 【答案】（1）； （2）乙 （3）乙 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，平均数和加权平均数的计算，熟练掌握其知识并能灵活运用是解决此题的关键． （1）根据平均数的概念和中位数的计算方法求解即可； （2）根据平均数和中位数求解即可； （3）根据“综合得分”的计算方法求出甲和乙的得分，然后比较求解即可． 【小问1详解】 解：由统计图知，甲的平均得分， 把乙的六次成绩按从小到大的顺序排序，第三次、第四次的成绩分别为28和30， 乙的中位数， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：乙的平均得分为，甲的平均得分为， 乙的得分中位数为，甲的得分中位数为， ∴甲队员、乙队员在比赛中，乙队员表现更好； 【小问3详解】 解：甲的综合得分为：， 乙的综合得分为：， ， 乙队员表现更好． 19. 如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的长 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在 和中， ， ∴； （2）7 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）先证明，然后根据，再结合已知条件可得结论； （2）根据，得出，根据得出，最后根据线段和差间的关系，得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点． （1）求一次函数的解析式； （2）设为线段上的一个动点（不包括两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积是3时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，灵活运用这些性质解决问题是解题关键． （1）先求出，再利用待定系数法即可求解； （2）设点的坐标为，则，由，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入中，得： ， 又∵在一次函数的图象上， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当 时，， ∴， 设点的坐标为，则， ， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ． 21. 项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为_____． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为 ，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而得出该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）根据“每日利润（销售单价进价）日销售量房租、水电费、人工费等运营成本”可得，解得，，进而可得当销售单价为65元时日销售量为20个，销售单价为50元时日销售量为50个，由于，再结合“为了尽快减少库存”，即可得出答案． 【详解】解：（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系， 故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为 ， 将，代入，得： ， 解得：， 该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 故答案为：； （2）根据题意，得： ， 解得：，， 当销售单价为65元时，日销售量为20个， 当销售单价为50元时，日销售量为50个， ，且为了尽快减少库存， ， 答：该益智玩具的销售单价应定为50元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），一元二次方程的应用（营销问题），用表格表示变量间的关系，求一次函数解析式，解二元一次方程组，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并根据题中的数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． 22. 如图，是的直径，C为上一点，延长到点D，过点D作切于点B，连接 ，于点M，交于点F，交于点N． （1）求证：； （2）若 ，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∴ ， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质： （1）圆周角定理，得到 ，切线的性质，得到，即可得证； （2）证明，列出比例式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 23. 数学学习的主要思想方法是：抽象、推理、模型，逆向思维帮助我们发现和提出问题、演绎推理帮助我们分析和解决问题，建立模型帮助我们深度思考，请同学们完成以下任务： 【任务1】逆向思维：“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半” 请补充写出它的逆命题：在直角三角形中，如果_______________________，那么_______________________． 【任务2】推理建模：请补充完成任务1中逆命题的推理过程． 已知：如图1，在中，，_______________， 求证：_______________． 证明：延长到点，使 ，连接． …… 【任务3】模型应用： 动手操作： 第1步：如图2，四边形是一张正方形纸片，先将正方形对折，使与重合，折痕为，再把这个正方形展平； 第2步：如图3，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在上，再把这个正方形展平，连接 ． 第3步：如图4，延长交于点，连接． 数学思考：（1）图3中的 _______________． （2）图3中的是什么特殊的三角形？说明理由． （3）图4中，若正方形的边长为，则 _______________． 【答案】任务1：如果一条直角边等于斜边得一半，那么这条直角边所对的锐角等于； 任务2： ， 证明：延长到点，使 ，连接． 则 ， ， ， ，且 ． 垂直平分． ， ， 则 是等边三角形． ． ． 故答案为： ， ； 任务3：（1）30； （2）是等边三角形，理由如下： 如图3，由对折的性质可知，，， ． 垂直平分， ， ， 是等边三角形； （3） 【解析】 【分析】[任务1] 根据原命题写出逆命题即可； [任务2] 根据命题条件和结论分别补全求证的题干和结论；延长至，使得 ，连接，即可证明垂直平分，进一步有△是等边三角形，利用三角形内角和定理即可证明； [任务3]（1）由[任务2]的结论进行求解即可； （2）由对折的性质可知，，， ．可得垂直平分，得到 ，再证得 ，最后可证得是等边三角形； （3）由对折的性质可知， ，， ，再证明 ，可得 ，再求得 ，从而得出 ， ，由对折的性质知， ，可得 ，得出 ，再求得 ，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：[任务1] 逆命题为：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边得一半，那么这条直角边所对的锐角等于． 故答案为：一条直角边等于斜边得一半，这条直角边所对的锐角等于； [任务2] 略 [任务3] （1）如图3，由对折的性质可知， ，， ． ． ． 故答案为：30； （2）略 （3）是等边三角形， ， 四边形是正方形， ， ， ， 由对折的性质可知， ，， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 中，， ， ， ， 由对折的性质知， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 ．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接 ，．  （1）当点与此抛物线的顶点重合时，求的值． （2）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差． （3）当，都在对称轴的左侧时，设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）1或8 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可先求得抛物线的解析式，从而得到顶点坐标，即可得到值； （2）分情况讨论：当轴时，点，关于直线对称，可知，从而得到点，的坐标，即可得到答案；当轴时，则，关于直线对称，可知，从而得到点，的坐标，即可得到答案； （3）根据题意可知，求得的取值范围，然后用表示出点，的坐标，接着用表示出，，结合，得到关于的方程，解之即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过点 ， ， 抛物线解析式为， 顶点坐标为， 点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为， ， 解得：. . 【小问2详解】 解：①轴， 由（1）可知，抛物线的对称轴为直线， 当轴时，点，关于直线对称， ， ，则，， ，， 点与点的纵坐标的差为； ②轴 同理，当轴时，则，关于直线对称， ，，则， ，； 点与点的纵坐标的差为； 综上所述，点与点的纵坐标的差为1或8； 【小问3详解】 解：如图所示， ，都在对称轴的左侧，则， ， ，，即， ；， ， ，即， 解得：或（舍去）， 的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二○二五年初中学业水平第一次模拟检测 数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列各数在数轴上表示的点距离原点最远的是（ ） A. B. C. 3 D. 0 2. 2025年乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，下图为春晚主标识、将两个“巳”字如图摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，它采用的基本数学变换是（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 位似 3. 自2025年1月11日，全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，1月28日单日下载峰值冲至11040000次，创下全球AI应用单日下载量新纪录．11040000用科学记数法可表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 4. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则为（ ） A. B. C. D. 9. 新能源车的技术越来越成熟，而且更加环保节能．小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，已知燃油车的油箱容积为升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为千瓦时，电价为元/千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续航里程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD的点A，B点分别在x轴，y轴上，与双曲线y＝恰好交于BC的中点E，若OB＝2OA，则S△ABO的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 若有意义，则的取值范围是_________． 12. 如图，将绕点逆时针旋转至，若，则点旋转到点所经过的路径长为________. 13. 若是一元二次方程的两个根，则的值为____． 14. 已知点和关于轴对称，若一个反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的表达式为_____． 15. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接 ， 和相交于点N，连接．若，，则的长为__________． 16. 如图，抛物线与轴交于A，B两点，点是以抛物线的顶点为圆心，2为半径的圆上的动点，点是线段PB的中点，连接OQ则线段OQ的最小值是______． 三、解答题本大题共8小题，共86分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）． （2）先简化，再求值，其中 ． 18. 为了增强学生的身体素质，助力学生全方位成长，某校积极组织了形式多样的课外体育活动．在九年级举办的篮球联赛进程中，甲、乙两位队员展现出了极为出色的表现，计分组在甲、乙两位队员最近的六场比赛里，得分、篮板以及失误这三个关键维度上的统计详情如下 队员 平均每场得分 得分中位数 平均每场篮板 平均每场失误 甲 m 27.5 8 2 乙 28 n 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）表中的_________，_________； （2）请从得分方面分析：甲队员、乙队员在比赛中，_________（填“甲”或“乙”）队员表现更好； （3）规定“综合得分”为：平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较哪位队员表现更好． 19. 如图，中，，垂足为D， ，垂足为E，与相交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的长 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点． （1）求一次函数的解析式； （2）设为线段上的一个动点（不包括两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积是3时，求点的坐标． 21. 项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价 元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为_____． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 22. 如图，是的直径，C为上一点，延长到点D，过点D作切于点B，连接 ，于点M，交于点F，交于点N． （1）求证：； （2）若 ，，，求的长． 23. 数学学习的主要思想方法是：抽象、推理、模型，逆向思维帮助我们发现和提出问题、演绎推理帮助我们分析和解决问题，建立模型帮助我们深度思考，请同学们完成以下任务： 【任务1】逆向思维：“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半” 请补充写出它的逆命题：在直角三角形中，如果_______________________，那么_______________________． 【任务2】推理建模：请补充完成任务1中逆命题的推理过程． 已知：如图1，在中，，_______________， 求证：_______________． 证明：延长到点，使 ，连接． …… 【任务3】模型应用： 动手操作： 第1步：如图2，四边形是一张正方形纸片，先将正方形对折，使与重合，折痕为，再把这个正方形展平； 第2步：如图3，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在上，再把这个正方形展平，连接 ． 第3步：如图4，延长交于点，连接． 数学思考：（1）图3中的 _______________． （2）图3中的是什么特殊的三角形？说明理由． （3）图4中，若正方形的边长为，则 _______________． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 ．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接 ，．  （1）当点与此抛物线的顶点重合时，求的值． （2）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差． （3）当，都在对称轴的左侧时，设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $