7.2.2 复数的乘、除运算（导学案）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章 复数 7.2 复数的四则运算 7.2.2 复数的乘、除运算 【学习目标】 1. 掌握复数乘、除法的代数运算法则，能熟练进行运算，理解复数乘法的运算律. 1. 能利用共轭复数性质简化计算，能在复数范围内求解实系数一元二次方程. 1. 类比多项式乘法，经历复数乘法法则的归纳过程，提升类比归纳与运算求解能力. 【学习重点】 1. 复数乘法法则：. 2. 复数除法法则：（）. 3. 共轭复数的性质：，用于化简除法. 【学习难点】 1. 除法运算中分母“实数化”的思路（乘以分母的共轭复数）. 2. 在复数范围内解实系数一元二次方程（判别式小于0时仍有两个虚根）. 学习任务一 复数的乘法运算 【合作探究】 1. 类比多项式乘法： · 设 ，（），将复数看作二项式相乘： · . · 因为 ，所以 .合并得： · . 1. 乘法运算律： · 复数乘法满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律. (1) 交换律： (2) 结合律： (3) 分配律： 1. 例题： · 计算 . · 解：. · 也可用公式：，，得 . 1. 思考： (1) 复数乘法的结果仍是复数吗？ · （是，两个复数相乘仍为复数.） (2) 若两个复数均为实数，乘法结果与实数乘法一致吗？ · （一致，虚部为0，公式退化为实数乘法.） 【自主梳理】 1. 乘法法则：. 1. 运算律：交换律、结合律、分配律. 1. 共轭复数乘积：. 学习任务二 共轭复数的性质与应用 【合作探究】 1. 共轭复数的定义： · 若 ，则 . · 共轭复数在复平面内关于实轴对称. 1. 重要性质： (1) (2) （纯虚数或） (3) （非负实数） (4) ， (5) 为实数 . 1. 应用： · 利用 可以将复数除法转化为乘法（分母实数化）. 学习任务三 复数的除法运算 【合作探究】 1. 除法法则的推导： · 计算 （）. · 分子分母同乘分母的共轭复数 ： 1. 计算步骤： (1) 将除法写成分式形式. (2) 分子分母同乘分母的共轭复数. (3) 化简，将结果写成 的形式. 1. 例题： · 计算 . · 解：. 1. 思考： (1) 为什么分母实数化要乘共轭复数？ · （因为共轭复数乘积是实数，且非零，可保证分母有理化.） (2) 复数除法的结果是否唯一？ · （是，唯一确定.） 【自主梳理】 1. 除法公式：. 1. 计算技巧：分母实数化. 学习任务四 复数范围内解实系数一元二次方程 【合作探究】 1. 实系数一元二次方程 （）： · 判别式 . (1) 当 时，有两个不等实根； (2) 当 时，有两个相等实根； (3) 当 时，在实数范围内无解，在复数范围内有两个共轭虚根： · ，其中 表示 的算术平方根. 1. 例题： · 解方程 . · 解：，， · . 1. 思考： (1) 为什么虚部会互为相反数？ · （因为系数为实数，虚根必成对共轭出现.） (2) 你能用韦达定理验证吗？ · （两根之和 ，两根之积 ，符合原方程.） 【自主梳理】 1. 实系数一元二次方程当判别式 时，在复数范围内有两个共轭虚根. 2. 求根公式仍为 ，但 . 【自查自纠】（正误判断） 1. 复数乘法满足交换律、结合律和分配律. （ ） 1. ，，. （ ） 1. 共轭复数之积等于模的平方. （ ） 1. . （ ） 1. 实系数一元二次方程在复数范围内总有解. （ ） 答案：1.√ 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 【典例分析】 例1：计算 . 解：. 例2：计算 . 解：分子分母同乘 ：. 例3：在复数范围内解方程 . 解：，，， . 【习题巩固】 1. 计算 的结果是（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 复数 的共轭复数是（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 已知复数 ，则 的值为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 若复数 满足 ，则 的虚部为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. （选做）在复数范围内解方程 ，并写出根. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. B（） 1. A（，其共轭是 ，故选B.） 1. C（） 1. A（，虚部为 ） 解：，，，. 学科网（北京）股份有限公司 $