7.2.2 复数的乘、除运算（导学案）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册
- 掌握复数乘、除法的代数运算法则，能熟练进行运算，理解复数乘法的运算律.
- 能利用共轭复数性质简化计算，能在复数范围内求解实系数一元二次方程.
- 类比多项式乘法，经历复数乘法法则的归纳过程，提升类比归纳与运算求解能力.
- 复数乘法法则：
. - 复数除法法则：
（
）. - 共轭复数的性质：
，用于化简除法.
- 除法运算中分母“实数化”的思路（乘以分母的共轭复数）.
- 在复数范围内解实系数一元二次方程（判别式小于0时仍有两个虚根）.
- 类比多项式乘法：
设 
，
（
），将复数看作二项式相乘：
.
因为 
，所以 
.合并得：
.
- 乘法运算律：
复数乘法满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律.
(1) 交换律：
学科网（北京）股份有限公司
(2) 结合律：
(3) 分配律：
- 例题：
计算 
.
解：
.
也可用公式：
，
，得 
.
- 思考：
(1) 复数乘法的结果仍是复数吗？
（是，两个复数相乘仍为复数.）
(2) 若两个复数均为实数，乘法结果与实数乘法一致吗？
（一致，虚部为0，公式退化为实数乘法.）
- 乘法法则：.
- 运算律：交换律、结合律、分配律.
- 共轭复数乘积：
.
- 共轭复数的定义：
若 
，则 
.
共轭复数在复平面内关于实轴对称.
- 重要性质：
(1) 
(2) 
（纯虚数或
）
学科网（北京）股份有限公司
(3) 
（非负实数）
(4) 
，
(5) 
为实数 
.
- 应用：
利用 可以将复数除法转化为乘法（分母实数化）.
- 除法法则的推导：
计算 
（）.
分子分母同乘分母的共轭复数 
：
- 计算步骤：
(1) 将除法写成分式形式.
(2) 分子分母同乘分母的共轭复数.
(3) 化简，将结果写成 
的形式.
- 例题：
计算 
.
解：
.
- 思考：
(1) 为什么分母实数化要乘共轭复数？
（因为共轭复数乘积是实数，且非零，可保证分母有理化.）
(2) 复数除法的结果是否唯一？
学科网（北京）股份有限公司