7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义（导学案）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章 复数 7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 【学习目标】 1. 掌握复数代数形式的加、减法运算法则，能熟练进行复数加减运算. 1. 理解复数加减运算的几何意义，会用向量方法解释复数加减. 1. 经历“运算规则 — 几何解释 — 应用”的过程，提升逻辑推理、直观想象、数学运算核心素养. 【学习重点】 1. 复数加、减法的代数运算法则：实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. 2. 复数加、减法的几何意义：对应向量的加、减（平行四边形法则或三角形法则）. 3. 复数加法满足交换律、结合律. 【学习难点】 1. 理解复数加减的几何意义与向量运算的一致性. 2. 利用几何意义解决与复数有关的最值或轨迹问题. 学习任务一 复数的加法运算及其几何意义 【合作探究】 1. 复数加法法则： · 设 ，（），则 · 即实部与实部相加，虚部与虚部相加. · 例如：. 1. 加法运算律： (1) 交换律：. (2) 结合律：. 1. 几何意义： · 设复数 在复平面内对应的向量分别为 ，，则 对应的向量为 （平行四边形法则）. · 即复数的加法对应向量的加法. 1. 例题： · 已知 ，，求 ，并指出其对应点. · 解：，对应点 . 【自主梳理】 1. 加法法则：. 1. 几何意义：平行四边形法则（或三角形法则）. 1. 运算律：交换律、结合律. 学习任务二 复数的减法运算及其几何意义 【合作探究】 1. 复数减法法则： · 设 ，，则 · 即实部减实部，虚部减虚部. · 例如：. 1. 几何意义： · 复数 对应向量 （即从 指向 的向量）. · 若设 ，，则 对应向量 . 1. 例题： · 已知 ，，求 ，并说明其几何意义. · 解：，对应向量从点 指向点 ，即向量为 . 【自主梳理】 1. 减法法则：. 1. 几何意义： 对应的向量为 （即从 对应的点指向 对应的点）. 1. 与加法关系：减法可以转化为加法：，其中 是 的相反数. 学习任务三 复数加减运算的综合应用 【合作探究】 1. 例1：计算 . · 解：原式 . 1. 例2：已知 ，，求 . · 解：，. 1. 例3（几何应用）： · 设复数 满足 ，求 对应的点 的轨迹. · 解： 表示点 到点 的距离， 表示点 到点 的距离.由条件知点 到两定点距离相等，故轨迹为线段 与 的中垂线，即 轴（直线 ）. 1. 变式：若 ，求 . · 解：由 ，点 在以 为圆心、 为半径的圆上；由 ，点 在以 为圆心、 为半径的圆上.两圆相交于 ，故 . 【自主梳理】 1. 复数的加减运算可类比多项式的合并同类项. 2. 利用模的几何意义： 表示点 到点 的距离. 3. 常见轨迹： 表示线段 的中垂线； 表示圆. 【自查自纠】（正误判断） 1. 两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加. （ ） 1. 复数加法满足交换律和结合律. （ ） 1. 复数减法可以转化为加法：. （ ） 1. 对任意复数成立. （ ） 1. 满足 的点 的轨迹是虚轴. （ ） 答案：1.√ 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 【典例分析】 例1：计算 . 解：原式 . 例2：已知 ，，求 的模. 解：，. 例3：已知复数 满足 ，求 对应的点 的轨迹方程. 解：设 ，则条件为 ，两边平方得 ，展开得 ，化简得 ，即 .故轨迹为直线 . 【习题巩固】 1. 已知 ，，则 等于（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 复数 ，则 的值为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 若复数 满足 ，则 的虚部为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 在复平面内，点 对应复数 ，点 对应复数 ，则向量 对应的复数为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. （选做）已知复数 满足 ，且 ，求 . 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. A（） 1. C（） 1. C（，虚部为 ） 1. A（，对应 ） 1. 解：由 得 ；由 得 ，解得 ，故 或 . 学科网（北京）股份有限公司 $