7.1.2 复数的几何意义（导学案）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章 复数 7.1 复数的概念 7.1.2 复数的几何意义 【学习目标】 1. 理解复平面的定义，掌握复数与复平面内的点、平面向量的一一对应关系. 1. 掌握复数模的概念、计算公式及几何意义. 1. 建立数与形的关联，提升直观想象、抽象概括、逻辑推理、数学运算能力，能运用几何意义解决简单复数问题. 【学习重点】 1. 复数与复平面内的点、向量的对应关系. 2. 复数的模（绝对值）的定义与计算公式：（）. 3. 共轭复数的概念及其几何意义. 【学习难点】 1. 理解复数模的几何意义是表示点到原点的距离. 2. 利用复数的几何意义求解复数对应点的轨迹问题. 学习任务一 复数与复平面内点的对应关系 【合作探究】 1. 问题引入： · 我们知道，实数可以用数轴上的点来表示.那么复数 （）能否也用平面上的点来表示？ · 建立一个平面直角坐标系，横轴（ 轴）称为实轴，纵轴（ 轴）称为虚轴，这样的平面叫做复平面. · 复数 与复平面上的点 一一对应. · 例如： 对应点 ； 对应点 . 1. 例题： · 在复平面内，画出下列复数对应的点：，，，，. · 解：点分别为 ，，，，. 1. 思考： (1) 实轴上的点表示什么数？虚轴上的点表示什么数？ · （实轴上的点表示实数，虚轴上的点（除原点）表示纯虚数.） (2) 原点表示什么复数？ 【自主梳理】 1. 复平面：以实轴为 轴、虚轴为 轴的直角坐标系. 1. 对应关系：复数 点 . 1. 点的特征：实数对应点在实轴上，纯虚数对应点在虚轴上（原点除外）. 学习任务二 复数与平面向量的对应关系 【合作探究】 1. 从点到向量： · 复平面上的点 可以看作以原点 为起点、点 为终点的向量 . · 因此，复数 也与向量 一一对应. 1. 复数的模： · 向量 的长度称为复数 的模（或绝对值），记作 或 ， · 几何意义：点 到原点的距离. · 例如：. 1. 例题： · 已知复数 ，求 ，并指出对应点与原点距离. · 解：. 1. 思考： (1) 两个复数的模相等，它们的对应点有什么关系？ · （在复平面上，它们位于以原点为圆心的同一个圆上.） (2) 若 ，则 对应的点构成什么图形？ · （单位圆.） 【自主梳理】 1. 复数与向量： 向量 . 1. 模的定义：. 1. 模的几何意义：点 到原点的距离. 1. 模的性质：，（三角形不等式）. 学习任务三 共轭复数及其几何意义 【合作探究】 1. 共轭复数的定义： · 若复数 （），则它的共轭复数为 . · 实部相等，虚部互为相反数. · 例如： 的共轭复数为 ； 的共轭复数为 ；实数 的共轭复数是它本身. 1. 几何意义： · 在复平面内，互为共轭的两个复数对应的点关于实轴对称. 1. 模的关系：. 1. 例题： · 已知 ，求 ，并在复平面内标出 和 对应的点，观察它们的对称性. · 解：，点 与 关于实轴对称. 【自主梳理】 1. 共轭复数：. 1. 几何意义：两点关于实轴对称. 1. 性质：，，. 【自查自纠】（正误判断） 1. 复数 对应的点在第四象限. （ ） 1. 复数 的模是 . （ ） 1. 若 ，则 . （ ） 1. 共轭复数对应的点关于虚轴对称. （ ） 1. 纯虚数的共轭复数等于它本身. （ ） 答案：1.√（ 在第四象限） 2.√（） 3.√ 4.×（关于实轴对称） 5.×（ 时 ，不等于本身，除非 ） 【典例分析】 例1：在复平面内，复数 对应的点位于第三象限，求实数 的取值范围. 解：点位于第三象限，则 . 由 得 . 由 得 ，即 . 取交集得 . 例2：已知复数 满足 ，求 对应的点在复平面内满足的轨迹方程. 解：设 （），则 ， 即 ，平方得 ， 化简得 ，即 ，，. 所以轨迹为 轴（即虚轴）. 【习题巩固】 1. 复数 在复平面内对应的点位于（ ） · A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 1. 若复数 对应的点在虚轴上（原点除外），则实数 的值为（ ） · A.  B.  C. 或  D. 1. 复数 的模为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 已知 ，，则 等于（ ） · A.  B.  C.  D. 1. （选做）设 是虚数，且 ，求证：. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. D（ 在第四象限） 1. A（虚轴上点的实部为 ，即 ，，此时 ，符合） 1. C（） 1. A（，） 1. 证明：设 （），则 ， · ， · 由条件虚部为 得 ，即 ， · 因为 ，所以 ，，即 . 学科网（北京）股份有限公司 $