7.1.2 复数的几何意义（导学案）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册
- 理解复平面的定义，掌握复数与复平面内的点、平面向量的一一对应关系.
- 掌握复数模的概念、计算公式及几何意义.
- 建立数与形的关联，提升直观想象、抽象概括、逻辑推理、数学运算能力，能运用几何意义解决简单复数问题.
- 复数与复平面内的点、向量的对应关系.
- 复数的模（绝对值）的定义与计算公式：
（
）. - 共轭复数的概念及其几何意义.
- 理解复数模的几何意义是表示点到原点的距离.
- 利用复数的几何意义求解复数对应点的轨迹问题.
- 问题引入：
我们知道，实数可以用数轴上的点来表示.那么复数 （
）能否也用平面上的点来表示？
建立一个平面直角坐标系，横轴（
轴）称为实轴，纵轴（
轴）称为虚轴，这样的平面叫做复平面.
复数 与复平面上的点 
一一对应.
例如：
对应点 
；
对应点 
.
- 例题：
在复平面内，画出下列复数对应的点：
，
，
，
，
.
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解：点分别为 
，
，
，
，
.
- 思考：
(1) 实轴上的点表示什么数？虚轴上的点表示什么数？
（实轴上的点表示实数，虚轴上的点（除原点）表示纯虚数.）
(2) 原点表示什么复数？
- 复平面：以实轴为 轴、虚轴为 轴的直角坐标系.
- 对应关系：复数
点 . - 点的特征：实数对应点在实轴上，纯虚数对应点在虚轴上（原点除外）.
- 从点到向量：
复平面上的点 可以看作以原点 
为起点、点 
为终点的向量 
.
因此，复数 也与向量 
一一对应.
- 复数的模：
向量 的长度称为复数 
的模（或绝对值），记作 
或 
，
几何意义：点 到原点的距离.
例如：
.
- 例题：
已知复数 
，求 ，并指出对应点与原点距离.
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解：
.
- 思考：
(1) 两个复数的模相等，它们的对应点有什么关系？
（在复平面上，它们位于以原点为圆心的同一个圆上.）
(2) 若 
，则 对应的点构成什么图形？
（单位圆.）
- 复数与向量： 向量 .
- 模的定义：.
- 模的几何意义：点 到原点的距离.
- 模的性质：
，
（三角形不等式）.
- 共轭复数的定义：
若复数 （），则它的共轭复数为 
.
实部相等，虚部互为相反数.
例如： 的共轭复数为 
；
的共轭复数为 
；实数 
的共轭复数是它本身.
- 几何意义：
在复平面内，互为共轭的两个复数对应的点关于实轴对称.
- 模的关系：
. - 例题：
已知 
，求 
，并在复平面内标出 和 对应的点，观察它们的对称性.
解：
，点 
与 
关于实轴对称.
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