7.1.2 复数的几何意义 （导学案) 数学人教A版必修第二册

7.1.2 复数的几何意义 导学案 1. 理解复平面的定义，明确实轴、虚轴与复数（实数、纯虚数、非纯虚数）的对应关系。 2. 掌握复数与复平面内点、平面向量之间的一一对应关系，能根据复数写出对应点的坐标和向量，反之亦然。 3. 理解复数的模的概念、计算公式及几何意义，能熟练计算复数的模，解决与模相关的简单问题。 4. 掌握共轭复数的概念及性质，能判断两个复数是否为共轭复数，理解其几何特征。 5. 体验复数几何意义的探索过程，感受数形结合思想的应用，提升数学抽象、直观想象和数学运算素养。 教学重点： 1.复数的几何意义（复数与复平面内点、向量的一一对应关系）;2.复数的模的概念、计算公式及几何意义;3.共轭复数的概念及性质。 教学难点： 1.复数与向量一一对应关系的理解与应用;2.复数模的几何意义的灵活运用（如轨迹问题）;3.数形结合思想在复数问题中的综合应用。 知识点一　复平面的相关概念 　如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 由此可知，复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)．这是复数的一种几何意义． 知识点二　复数的向量表示 如图，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定． 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量. 这是复数的另一种几何意义，并且规定，相等的向量表示同一个复数． 知识点三　复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)． 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于|a|(a的绝对值)． 知识点四　共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi． 导入新知1： “地图定位中的复数密码” 提问：同学们平时和朋友约定见面时，是不是常常用地图发送定位？比如“我在学校南门向东50米、向北30米的奶茶店”，这里的“东50米、北30米”其实可以看成一组有序数对(50,30)。我们知道，实数只能表示“单一方向”的距离，比如数轴上的50只能表示向东50米或向西50米。但生活中很多位置需要两个方向的信息才能确定，就像地图定位需要横坐标和纵坐标。 那大家有没有想过：我们刚学的复数z=a+bi有实部a和虚部b两个部分，这和地图定位的“横、纵”坐标是不是很像？如果把实部a看成“东-西”方向的距离（东为正、西为负），虚部b看成“北-南”方向的距离（北为正、南为负），复数能不能像有序数对一样，用来“定位”某个平面上的点呢？这样的“复数地图”（复平面）该如何定义？复数和平面上的点、我们之前学过的向量又有什么关系？今天我们就来解锁复数的几何密码。 设计意图 1. 贴近生活实际：以学生熟悉的“地图定位”为切入点，将抽象的复数实部、虚部与具体的“方向距离”关联，降低概念理解门槛； 1. 建立知识联结：通过“有序数对→复数→平面定位”的逻辑链条，自然衔接学生已有的平面直角坐标系知识，为复平面的定义铺垫认知基础； 1. 激发探究欲望：提出“复数能否定位” “复数地图如何定义”等问题，引发学生对复数几何表示的好奇，同时紧扣本节课“复数与复平面内点、向量的一一对应”核心内容； 1. 统领整节课：以“定位”为主线，后续复数的模可理解为“定位点到原点的距离”，共轭复数可理解为“关于实轴（东西方向线）对称的定位点”，实现知识点的串联。 导入新知2： “信号传输中的复数工具” 提问：大家每天用手机打电话、刷视频，信号是怎么精准传输的？其实手机信号是一种电磁波，它不仅有“强度”（比如信号满格与否），还有“相位”（可以理解为信号振动的方向）。工程师在处理信号时，需要同时描述这两个关键信息——就像我们描述一辆车的运动，既要知道速度大小，也要知道行驶方向。 之前我们学的实数只能表示“单一维度”的量，比如只说信号强度是5，却无法体现相位；而复数z=a+bi恰好有两个部分，实部a和虚部b是不是可以分别用来表示信号的“强度分量”和“相位分量”呢？如果我们用一个平面来表示所有信号状态，每个复数对应的“点”或“向量”就代表一种信号状态，那这个平面就是我们今天要学的“复平面”。 进一步思考：信号的“总强度”其实就是复数的什么特征？两个“镜像对称”的信号（相位相反、强度相同）对应的复数又有什么关系？今天我们就从几何角度解读复数，看看它如何成为解决这类“二维问题”的强大工具。 设计意图 1. 贴合生活场景：选取学生日常接触的“手机信号”，将抽象的复数概念与实际技术应用结合，让学生感受到复数的实用价值； 2. 锚定核心知识点：以“信号强度+相位”对应“实部+虚部”，直接关联复平面的构成；“总强度”对应复数的模，“镜像信号”对应共轭复数，提前预埋本节课核心内容，实现整节课的统领； 3. 激发求知欲：通过“复数如何描述信号” “工程师如何利用复数处理信号”等问题，调动学生的探索兴趣，同时渗透“数形结合”思想——将信号的物理特征转化为复数的几何特征； 4. 拓展知识视野：让学生了解复数在通信技术中的应用，打破“复数无用”的认知，同时衔接向量知识（信号的合成与分解可对应向量运算），为后续复数运算的几何意义埋下伏笔。 探究点1：复平面的定义与构成 （一）情景导入 提问：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示．复数有什么几何意义呢？ （二）预习课本，引入新课 阅读课本70-72页，思考并完成以下问题 1、复平面是如何定义的，复数的模如何求出？ 2、复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 思考 根据复数相等的定义，任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定；反之也对．由此你能想到复数的几何表示方法吗？ （三）新知探究 1．复平面 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 因为任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数与有序实数对是一一对应的．而有序实数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系． 如图7.1-2，点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 例如，复平面内的原点表示实数0， 实轴上的点表示实数2， 虚轴上的点表示纯虚数， 点表示复数等． 探究点2：复数的几何意义（与点、向量的对应关系） 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Za，b . 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．由此可知，复数集中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． [点拨]　(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示； (2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数； (3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 思考 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的．你能用平面向量来表示复数吗？ 2复数z＝a＋bia，b∈R 平面向量 . [规律总结]　实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 如图7.1-3，设复平面内的点表示复数，连接， 显然向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定．因此，复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 为方便起见，我们常把复数说成点或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数． 探究点3：复数的模 3．复数的模 (1)定义：向量的 模 r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模． (2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. (3)公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 图7.1-3中向量的模叫做复数的模(modulus of a complex number)或绝对值，记作或．即，其中． 如果，那么是一个实数，它的模就等于 (的绝对值)． 在本书的第六章，我们提到复数的这种几何表示是由韦塞尔在1797年提出的．后来，阿尔冈出书对此进行讨论，并得到高斯的认同，因此这种几何表示也称阿尔冈图(Argand diagram) ．正是这种直观的几何表示，揭开了复数的神秘的、不可思议的“面妙”，确立了复数在数学中的地位． 例2 设复数，． （1）在复平面内画出复数，对应的点和向量； （2）求复数，的模，并比较它们的模的大小． 解：（1）如图7.1-4，复数，对应的点分别为，，对应的向量分别为，． 点有怎样的关系？ （2） ，．所以． 【变式】复平面上矩形的四个顶点中，所对应的复数分别为、、，则点对应的复数是 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的坐标表示 【详解】分析：先设D(x,y),再根据得到点D的坐标，即得D对应的复数. 详解：D(x,y),由题得， 因为，所以所以D(-3，-2). 所以点D对应的复数为，故答案为B 点睛：（1）本题主要考查复数的几何意义，考查向量的坐标运算和向量的相等的定义，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)复数z=a+bi（a,b∈R）与直角坐标平面内的点（a,b）是一一对应的. 【感悟提升】　复数集与复平面内所有的点组成的集合之间存在着一一对应关系．每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部对应着有序实数对的横坐标，而虚部则对应着有序实数对的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值． 探究点4：共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数 (conjugate complex number)．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数的共轭复数用表示，即如果，那么． 思考 若，是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系？ 答：关于轴对称． 例3 设， 在复平面内对应的点为， 那么满足下列条件的点的集合是什么图形？ （1） ；（2）． 解： （1）由得，向量的模等与1 ，所以满足条件的点的集合是以原点为圆心，以1为半径的圆． (2) 不等式可化为不等式 不等式的解集是圆的内部所有的点组成的集合， 不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件的点的集合．容易看出，所求的集合是以原点为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（图7.1-5)． 【变式】设,在复平面内z对应的点为Z,那么满足下列条件的点的集合是什么图形? （1）; （2）. 【答案】(1)原点O为圆心,2为半径的圆;(2)原点O为圆心,3为半径的圆及其内部. 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【解析】（1）根据复数模的几何意义，判断出对应点的集合对应的图形为圆. （2）根据复数模的几何意义，判断出对应点的集合对应的图形为圆以及其内部. 【详解】(1)复数z的模等于2,这表明向量的模等于2,即点Z到原点的距离等于2,因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆. (2)满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心,3为半径的圆及其内部. 【点睛】本小题主要考查复数模的几何意义，属于基础题. 【感悟提升】　复数与平面向量一一对应是复数的另一种几何意义，利用这种几何意义，复数问题可以转化为平面向量来解决，平面向量问题也可以用复数方法来求解．    1.（25-26高三上·广西柳州·月考）在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的坐标表示 【分析】根据点的对称性得出复数对应点进而得出复数. 【详解】在复平面内，对应的点关于实轴对称点为，则. 故选：B. 2.（25-26高三上·湖北·月考）在复平面内，等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，点和点分别在第一象限和第二象限，点对应的复数为，则点对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的坐标表示、由复数模求参数 【分析】根据题意，转化为点可以看作点绕点逆时针方向旋转90度而得到，设点对应的复数为，列出方程组，即可求解. 【详解】由等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，点和点分别在第一象限和第二象限， 则点可以看作点绕点逆时针方向旋转90度而得到， 因为点对应的复数为，设点对应的复数为，其中， 则满足，解得，所以点所对应的复数为. 故选：C． 3.（2026·河北·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】复数的坐标表示、判断复数对应的点所在的象限 【分析】直接根据复数的几何意义判断可得. 【详解】根据复数的几何意义，复数在复平面内对应的点为， 所以复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 4.（25-26高三上·四川·开学考试）设复数在复平面内对应的点位于第二象限，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、判断复数对应的点所在的象限 【分析】计算，即可根据复数的几何意义求解. 【详解】不妨设，，，则， 所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选:C. 5.（2026·四川巴中·一模）已知（其中i为虚数单位），则（    ）． A．5 B．7 C．9 D．25 【答案】A 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】根据共轭复数的概念和复数的模的公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A 6.（25-26高三上·河北衡水·月考）已知复数满足，在复平面内，表示复数的点在第一象限，则复数的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的模、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的模及复数对应点判断选项即可得解. 【详解】因为，， 所以排除BD， 因为对应的点在复平面内第一象限，对应的点在复平面内第四象限， 所以A正确，C错误. 故选：A 7.（25-26高三上·北京西城·月考）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】求出，利用模长公式即可求解. 【详解】由题意可知. 故选：A 8.（25-26高三上·广东·月考）已知复数，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由复数模求参数 【分析】利用复数的模计算公式解得答案. 【详解】因为，所以，化简得， 解得. 故选：B. 9.（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知复数满足（），则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由复数模求参数 【分析】首先设，然后根据模相等列出等式，化简得出复数的实部和虚部相等. 【详解】设，则 ，. 因为，所以. 两边平方得：，解得. 从选项中可以看出只有C符合题目条件. 故选：C. 10.（2026高三·全国·专题练习）已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹为（　　） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】利用复数的几何意义将方程理解为动点到定点的距离为3即得其对应的点的轨迹图形. 【详解】设复数在复平面内对应的点为，而复数对应的点为， 则可将理解为，即动点到定点的距离为3， 故动点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆. 故选：B. 1.（2026·湖南邵阳·一模）已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的坐标表示、在各象限内点对应复数的特征、判断复数对应的点所在的象限 【分析】先根据点对应的复数求出其坐标，再利用等边三角形的性质求出点的坐标，最后根据复数的几何意义得到点对应的复数，进而求出其虚部. 【详解】已知点对应的复数为，根据复数的几何意义，所以点的坐标为. 所以向量.又因为为等边三角形， 所以，且. 又因为，所以，即. 设，则. 又因为 而，联立方程组可得 或. 由题可知点在第二象限，所以即点的坐标为. 即点对应的复数为.所以虚部为. 故选：C. 2.（2026·云南红河·模拟预测）设复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据共轭复数的概念以及复数的几何意义求出. 【详解】由题意得，，其在复平面内对应的点为，所以位于第二象限． 故选：B． 3.（2025·安徽·三模）已知复数满足，则（   ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最大值 【答案】C 【知识点】求复数的模、由复数模求参数、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，根据复数的模得到，再计算，即可得解. 【详解】设，由， 则，所以， 解得，所以，当且仅当时取等号， 所以有最小值，无最大值． 故选：C 4.（24-25高一下·河南许昌·期末）已知复数z满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数的几何意义求得正确答案. 【详解】设，对应点， 依题意，，表示与的距离为， 所以的轨迹是以为圆心，半径为的圆，如下图所示， ，表示到原点的距离的平方， 由图可知，其最小值为. 故选：A · 知识清单： 复平面：实轴（对应实数）、虚轴（除原点外对应纯虚数）； 复数的几何意义：复数复平面内点平面向量（一一对应）； 复数的模：定义，几何意义为点到原点的距离； 共轭复数：实部相等、虚部互为相反数，对应点关于实轴对称，。 · 方法归纳： 数形结合：将复数问题转化为几何问题（点、向量）或反之； 待定系数法：解决与复数实部、虚部相关的参数问题； 定义法：利用模、共轭复数的定义解题。 · 常见误区： 混淆虚轴上点的复数类型（忽略原点对应实数）； 误认为虚数可以比较大小（虚数不能比较大小，但复数的模可以）； 计算复数模时忘记开平方或符号错误。 课本73页练习，73页习题7.1的剩余题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1.2 复数的几何意义 导学案 1. 理解复平面的定义，明确实轴、虚轴与复数（实数、纯虚数、非纯虚数）的对应关系。 2. 掌握复数与复平面内点、平面向量之间的一一对应关系，能根据复数写出对应点的坐标和向量，反之亦然。 3. 理解复数的模的概念、计算公式及几何意义，能熟练计算复数的模，解决与模相关的简单问题。 4. 掌握共轭复数的概念及性质，能判断两个复数是否为共轭复数，理解其几何特征。 5. 体验复数几何意义的探索过程，感受数形结合思想的应用，提升数学抽象、直观想象和数学运算素养。 教学重点： 1.复数的几何意义（复数与复平面内点、向量的一一对应关系）;2.复数的模的概念、计算公式及几何意义;3.共轭复数的概念及性质。 教学难点： 1.复数与向量一一对应关系的理解与应用;2.复数模的几何意义的灵活运用（如轨迹问题）;3.数形结合思想在复数问题中的综合应用。 知识点一　复平面的相关概念 　如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x轴叫做 ，y轴叫做 ．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 由此可知，复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)．这是复数的一种几何意义． 知识点二　复数的向量表示 如图，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由 唯一确定；反过来，点Z也可以由向量 唯一确定． 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量. 这是复数的另一种几何意义，并且规定，相等的向量表示 ． 知识点三　复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作 |或 |，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)． 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数 ，它的模就等于 |(a的 )． 知识点四　共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为 ．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 ．复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝ i． 导入新知1： “地图定位中的复数密码” 提问：同学们平时和朋友约定见面时，是不是常常用地图发送定位？比如“我在学校南门向东50米、向北30米的奶茶店”，这里的“东50米、北30米”其实可以看成一组有序数对(50,30)。我们知道，实数只能表示“单一方向”的距离，比如数轴上的50只能表示向东50米或向西50米。但生活中很多位置需要两个方向的信息才能确定，就像地图定位需要横坐标和纵坐标。 那大家有没有想过：我们刚学的复数z=a+bi有实部a和虚部b两个部分，这和地图定位的“横、纵”坐标是不是很像？如果把实部a看成“东-西”方向的距离（东为正、西为负），虚部b看成“北-南”方向的距离（北为正、南为负），复数能不能像有序数对一样，用来“定位”某个平面上的点呢？这样的“复数地图”（复平面）该如何定义？复数和平面上的点、我们之前学过的向量又有什么关系？今天我们就来解锁复数的几何密码。 导入新知2： “信号传输中的复数工具” 提问：大家每天用手机打电话、刷视频，信号是怎么精准传输的？其实手机信号是一种电磁波，它不仅有“强度”（比如信号满格与否），还有“相位”（可以理解为信号振动的方向）。工程师在处理信号时，需要同时描述这两个关键信息——就像我们描述一辆车的运动，既要知道速度大小，也要知道行驶方向。 之前我们学的实数只能表示“单一维度”的量，比如只说信号强度是5，却无法体现相位；而复数z=a+bi恰好有两个部分，实部a和虚部b是不是可以分别用来表示信号的“强度分量”和“相位分量”呢？如果我们用一个平面来表示所有信号状态，每个复数对应的“点”或“向量”就代表一种信号状态，那这个平面就是我们今天要学的“复平面”。 进一步思考：信号的“总强度”其实就是复数的什么特征？两个“镜像对称”的信号（相位相反、强度相同）对应的复数又有什么关系？今天我们就从几何角度解读复数，看看它如何成为解决这类“二维问题”的强大工具。 探究点1：复平面的定义与构成 （一）情景导入 提问：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示．复数有什么几何意义呢？ （二）预习课本，引入新课 阅读课本70-72页，思考并完成以下问题 1、复平面是如何定义的，复数的模如何求出？ 2、复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 思考 根据复数相等的定义，任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定；反之也对．由此你能想到复数的几何表示方法吗？ （三）新知探究 1．复平面 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 因为任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数与有序实数对是一一对应的．而有序实数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系． 如图7.1-2，点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 例如，复平面内的原点表示实数0， 实轴上的点表示实数2， 虚轴上的点表示纯虚数， 点表示复数等． 探究点2：复数的几何意义（与点、向量的对应关系） 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Za，b . 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．由此可知，复数集中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． [点拨]　(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示； (2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数； (3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 思考 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的．你能用平面向量来表示复数吗？ 2复数z＝a＋bia，b∈R 平面向量 . [规律总结]　实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 如图7.1-3，设复平面内的点表示复数，连接， 显然向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定．因此，复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 为方便起见，我们常把复数说成点或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数． 探究点3：复数的模 3．复数的模 (1)定义：向量的 模 r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模． (2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. (3)公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 图7.1-3中向量的模叫做复数的模(modulus of a complex number)或绝对值，记作或．即，其中． 如果，那么是一个实数，它的模就等于 (的绝对值)． 在本书的第六章，我们提到复数的这种几何表示是由韦塞尔在1797年提出的．后来，阿尔冈出书对此进行讨论，并得到高斯的认同，因此这种几何表示也称阿尔冈图(Argand diagram) ．正是这种直观的几何表示，揭开了复数的神秘的、不可思议的“面妙”，确立了复数在数学中的地位． 例2 设复数，． （1）在复平面内画出复数，对应的点和向量； （2）求复数，的模，并比较它们的模的大小． 【变式】复平面上矩形的四个顶点中，所对应的复数分别为、、，则点对应的复数是 A． B． C． D． 探究点4：共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数 (conjugate complex number)．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数的共轭复数用表示，即如果，那么． 思考 若，是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系？ 例3 设， 在复平面内对应的点为， 那么满足下列条件的点的集合是什么图形？ （1） ；（2）． 【变式】设,在复平面内z对应的点为Z,那么满足下列条件的点的集合是什么图形? （1）; （2）.    1.（25-26高三上·广西柳州·月考）在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高三上·湖北·月考）在复平面内，等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，点和点分别在第一象限和第二象限，点对应的复数为，则点对应的复数为（   ） A． B． C． D． 3.（2026·河北·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.（25-26高三上·四川·开学考试）设复数在复平面内对应的点位于第二象限，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5.（2026·四川巴中·一模）已知（其中i为虚数单位），则（    ）． A．5 B．7 C．9 D．25 6.（25-26高三上·河北衡水·月考）已知复数满足，在复平面内，表示复数的点在第一象限，则复数的可能取值是（    ） A． B． C． D． 7.（25-26高三上·北京西城·月考）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 8.（25-26高三上·广东·月考）已知复数，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 9.（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知复数满足（），则可能是（   ） A． B． C． D． 10.（2026高三·全国·专题练习）已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹为（　　） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 1.（2026·湖南邵阳·一模）已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 2.（2026·云南红河·模拟预测）设复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.（2025·安徽·三模）已知复数满足，则（   ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最大值 4.（24-25高一下·河南许昌·期末）已知复数z满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 · 知识清单： 复平面：实轴（对应实数）、虚轴（除原点外对应纯虚数）； 复数的几何意义：复数复平面内点平面向量（一一对应）； 复数的模：定义，几何意义为点到原点的距离； 共轭复数：实部相等、虚部互为相反数，对应点关于实轴对称，。 · 方法归纳： 数形结合：将复数问题转化为几何问题（点、向量）或反之； 待定系数法：解决与复数实部、虚部相关的参数问题； 定义法：利用模、共轭复数的定义解题。 · 常见误区： 混淆虚轴上点的复数类型（忽略原点对应实数）； 误认为虚数可以比较大小（虚数不能比较大小，但复数的模可以）； 计算复数模时忘记开平方或符号错误。 课本73页练习，73页习题7.1的剩余题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $