7.1.1 数系的扩充与复数的概念（导学案）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章 复数 7.1 复数的概念 7.1.1 数系的扩充与复数的概念 【学习目标】 1. 梳理数系扩充的完整脉络，明确数系扩充的核心原因与基本规则. 1. 掌握虚数单位 的定义与运算性质，理解复数的代数形式、实部与虚部的定义. 1. 能精准对复数分类（实数、虚数、纯虚数），熟练运用复数相等充要条件解决计算问题，提升数学抽象、逻辑推理、归纳概括、数学运算核心素养. 【学习重点】 1. 虚数单位 的定义：. 2. 复数的代数形式：（），其中 为实部， 为虚部. 3. 复数的分类：实数（）、虚数（）、纯虚数（ 且 ）. 4. 复数相等的充要条件： 且 . 【学习难点】 1. 理解引入虚数单位 的必要性. 2. 区分虚数与纯虚数，明确复数集与实数集、虚数集的关系. 学习任务一 数系的扩充与虚数单位的引入 【合作探究】 1. 问题引入： · 方程 在实数范围内无解，因为任何实数的平方非负. · 为了解这类方程，数学家在 世纪引入了虚数单位，将数系扩充到复数. · 你能说出我们学过的数系扩充历程吗？（自然数 → 整数 → 有理数 → 实数 → 复数） 1. 虚数单位 ： · 定义 .规定 与实数进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立. · 例如： 可以与实数相乘，如 ；也可以相加，如 . 1. 思考： (1) ，. (2) 的高次幂具有周期性：，，，（）. 【自主梳理】 1. 虚数单位：. 1. 复数：形如 （）的数叫做复数. 称为实部，记作 ； 称为虚部，记作 . 1. 复数集：. 学习任务二 复数的分类 【合作探究】 1. 分类标准： (1) 当 时， 为实数. (2) 当 时， 为虚数. (3) 当 且 时， 为纯虚数. 1. 集合关系： · 实数集 是复数集 的真子集；虚数集（含纯虚数）也是 的子集；纯虚数集是虚数集的子集. · 可用 Venn 图（文字描述）： 包含 和虚数集，虚数集中包含纯虚数集. 1. 例题： · 判断下列复数是实数、虚数还是纯虚数： · (1)  (2)  (3)  (4) · 解： · (1) 虚部 ，为虚数（非纯虚数）. · (2) ，为实数. · (3) ，实部为 ，虚部不为 ，为纯虚数. · (4) ，为实数. 【自主梳理】 复数分类结构： 复数实数虚数纯虚数非纯虚数 学习任务三 复数相等与简单应用 【合作探究】 1. 复数相等的充要条件： · 且 （）. · 注意：两个复数比较大小，只有当它们都是实数时才有意义；虚数不能比较大小. 1. 例题： · (1) 若 ，求实数 . · 解：由复数相等得 ，解得 ，. · (2) 已知 ，求实数 . · 解：左边实部 ，虚部 .由复数相等，实部与虚部均需为 ，即 且 ，解得 . 1. 思考： · 若两个复数的实部相等，虚部互为相反数，它们是什么关系？（互为共轭复数，下一节学习） 【自主梳理】 1. 复数相等： 且 . 1. 注意：两个虚数不能比较大小，但它们的实部和虚部可以比较. 【自查自纠】（正误判断） 1. ，，. （ ） 1. 纯虚数就是虚部不为 的复数. （ ） 1. 复数 既是实数又是纯虚数. （ ） 1. 若 ，则 ，. （ ） 1. 复数 的实部是 ，虚部是 . （ ） 答案：1.√ 2.×（虚部不为0且实部为0才是纯虚数） 3.×（ 是实数，不是纯虚数） 4.√ 5.√ 【典例分析】 例1：实数 取何值时，复数 是 (1) 实数？ (2) 虚数？ (3) 纯虚数？ 解： (1) 当虚部为 ，即 ，解得 或 . (2) 当虚部不为 ，即 ，解得 且 . (3) 当实部为 且虚部不为 ，即 且 ，解得 时虚部为 ，舍去； 时虚部 ，符合，所以 . 例2：已知 ，，求满足 的复数 ，并判断 的类型. 解：，为实数. 【习题巩固】 1. 下列各数中，纯虚数的个数是（ ） · ，，，， · A.  B.  C.  D. 1. 若复数 为纯虚数，则实数 的值为（ ） · A.  B.  C. 或  D. 1. 若 ，且 ，则 的值分别为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 以 的虚部为实部，以 的实部为虚部的复数是______. 1. （选做）已知 ，，若 ，求实数 的值. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. C（ 和 ？注意 是 乘以 ，实部为 ，虚部为 ，是纯虚数. 不是纯虚数.故有 2 个.） 1. A（实部 且虚部 ，解得 或 ，但 时虚部为 ，舍去，所以 ） 1. A（由 解得 ） 1. 解析：，虚部为 ；，实部为 .所以复数为 . 1. 解：因为 ，则 ，得 ，. 学科网（北京）股份有限公司 $