7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

x=5+5λ0， 解得λ<-1. y=4+7λ<0， 横范因为（停，小 所以入的取值范围为(-∞，一1) 分 本题易忽略角C的范围，从而得出角 错 B的错误范围而致误， 本题易混淆向量的坐标和点的坐标而 易错 致误，向量的坐标反映的是向量的长 小题限时强化练 度和向量的方向，与终点坐标无关， 9,解：由正弦定理得b=sinB-sin3A 1.C2.C3.A4.D5.C6.B7.D a sin A sin A 8.A 9.BCD 10.AD 11.ACD sin (A+2A)sin Acos 2A+cos Asin 2A 12.2√5 sin A sin A 13.30°14.-18 5 cos 2A++2cosA=4cos2A-1. 大题冲关规范练 A+B+C=180°，B=3A...A十B=4A 180°， 1.解：(1)在△ABD中，由正弦定理得 0A号sA AB BD Sin∠BDA-sin∠BAD' 在△ACD中，由正弦定理得，sin/CDA AC 1<40os2A-1<3,1<b<3. a DC 易忽略三角形内角和为180°及角A的取 sin∠CAD 易 值范围，从而导致台的取值范围求错。解 因为∠CDA+∠BDA=元， 错 三角问题，角的取值范围至关重要.一些问 可得sin∠CDA=sin∠BDA, 分 题中，角的取值范围隐含在题目的条件中， 又因为AB=λAC,BD=λDC,所以 若不仔细审题，深入挖据，往往易疏漏而导 LAB 致解题错误. BD sin∠BDA sin∠CAD' 10.(1)证明：由c一b=2 bcos A, 所以 BD BD 得sinC-sinB=2 sin Bcos A.① sinZCAD=sin∠BAD'可得 在△ABC中，因为C=元-(A十B), sin∠CAD=sin∠BAD,所以∠CAD= 所以sinC=sin(A+B), ∠BAD 所以sin(A+B)-sinB=sin Acos B十 又因为∠BAC=经，所以∠CAD sin Bcos A-sin B=2sin Bcos A, 整理得sin(A一B)=sinB. ∠BAD=x …6分 因为C为纯角，所以0<B<受，一受< (2)在△ABD中，由正弦定理得 2 AB+AD sin∠ADB+sinB A-B<受， BD sin∠BAD 所以A一B=B,故A=2B. sin (B+)+sin B sin等 2( sin B+ (2②)解：由正孩定里及1)得品B sinA2sinB”cosB,因为6=2，所 a 7cosB)=2sin(B+若）： 以a=2 bcos B=cosB.因为角C为钝 因为∠BAC-,可得B∈(O,), 角，所以0<A+B=2B+B<5,即0< 所以B+晋∈（答，受），可得sin(B十 B<吾，所以号<cosB<1,所以a的取 )∈(2,1)， 165 所以AB+AD∈1,2)，即ABLAD的取 BD BD IBCm2mn cos 值范围为(1,2).… 13分 (m2+n2+mn)x2, 故由|AC|2+|AB|2=|BC12得(n2+ n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+ B D mn)x2, 2.解：(1)由已知△ABC中cos2B+cos2C- 即m十n十2=mn,而m>0,n>0,故m十 cos 2A=1,Ep 1-2 sin2 B+1-2 sin2C- 1+2sin2A=1, n+2=mm≤(m士）， 故sin2A=sinB十sinC,由正弦定理可 当且仅当m=n,结合m十十2=mn,解 得a2=b2+c2, 得m=n=1十√3时，等号成立， 故△ABC直角三角形，即A=T」 2 ，·4分 又m十n=t,即有t-4t-8≥0，解得t≥ (2)由(1)A=受，所以三角形ABC的三 2十23或t≤2-2√3（舍去）， 故实数t的最小值为2十2√3.…15分 个角都小于120°， 则由费马点定义可知：∠APB=∠BPC 第七章 复 数 ∠APC=120°， 设|PA|=x,|PB|=y,|P心|=x,由 课时夯基过关练 S△APB十S△BPC十S△APC=S△ABC得 7.1复数的概念 2 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 号×2，整理得xy十z十x8=4 3 核心素养达标·夯实基础 则PA·P克+P克.P心+P才.P心 1.A 2.C 3.C4.A 5.ACD 6.ABC =xw·(-）+z(-2)+xx… 7.c8-1299号 2 10.②③ (-2）=-×45-2 · …9分 m2-2m=0, 11.解：(1)当 即m=2时，复 m≠0， 数之是实数 (2)当m2-2m≠0，即m≠0，且m≠2 时，复数之是虚数 A (3),点P为△ABC的费马点，则∠APB= (m2+m-6=0 (3)当 n 即m=一3时， ∠BPC-∠CPA-, m2-2m≠0， PBI=m PAl,PC=n PA, 复数之是纯虚数 |PA|=x,m>0,n>0,x>0, 利用复数的分类求参数的值或取值范围 则由|PB|+|PC=t|PA|得m+n=t. 的一般步骤： 由余弦定理得|AB|2=x2十m2x2 (1)判定复数是否为a+bi(a,b∈R)的形 规 式，实部与虚部分别为哪些； r=(m2+m+1)x, 2mx'cos3 律总结 (2)依据复数的有关概念将复数问题转化 =(n+ 为实数问题； ACl2=x2+n2x2-2nx2cos 3 (3)解相应的方程（组）或不等式（组）； n+1)x2, (4)求出参数的值或取值范围 166 核心素养培优·拓展提升 1.ABC2.-13.-3或号 4.解：由题意，知P=Q, 所以(m2-2m)十(m2十m一2)i=4i, m2-2m=0, 所以 解得m=2. m2+m-2=4, 7.1.2复数的几何意义 核心素养达标·夯实基础 1.D 2.B 3.B 4.C 5.AD 6.ABD 7.C8日+4i9.3-i(答案不唯-） 10.(0,1U[8,+oy 11.解：(1)由题意3a-2=0,a= 3； (2)由已知z|=√(3a)2+(3a-2)2= 0,解得a=1或a=- 3 (3)复数之对应，点坐标为(3a,3a-2),它 3a<0 在第三象限，则 解得a<0. 3a-2<0 .a的范围是(-∞，0). 12.解：(1)由题意可得f(x)=3x十(x2一 x)=x2+2x, 因为f(x)=8,所以x2十2x=8, 又x>0,所以x=2,即之=6-2i, 所以之在复平面内对应的点的坐标为 (6,-2). (2)因为f(x)=(x十1)2-1，所以当 x=一1时，f(x)取得最小值，此时，之= -3-2i,则之=-3十2i. 核心素养培优·拓展提升 1c263843(-5,-1-V1 5.解：(1)因为zo=lg(a2-4a十4)+(a2- 3a十2)i为纯虚数， lg(a2-4a+4)=0 所以 a2-3a+2≠0 「a2-4a+4=1 即a2-3a+2≠0 ,解得a=3,第七章复数 课时夯基过关练 7.1复数的概念 7.1.1数系的扩充和复数的概念 今素养目标 1.了解数系的扩充过程及引进复数的必要性； 2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件； 3.培养学生数学抽象和数学运算的核心素养. 核心素养达标 夯实基础 一、选择题 C.(-∞，-3)U(1,+∞) 1.已知a,b∈R,a-2i=(b-i)i,若z=a+bi, D.(-3,1) 则之的虚部是() 5.(多选)已知复数x=cosa十icos2a(0<a<2x) A.-2B.1 C.-2i D.2i 的实部与虚部互为相反数，则α的取值可能为 2.已知i为虚数单位，下列说法正确的是( () A.若x2+1=0,则x=i A. B C.π D B.实部为零的复数是纯虚数 C.之=(.x2十1)i可能是实数 6.(多选)有下列四个命题，其中是真命题的是 D.复数之=2十i的虚部是i () 3.如果复数之=m2十m一2-(m一1)i是纯虚 A.方程2x一5=0在自然数集N中无解 数，m∈R,i是虚数单位，则( ) B.方程2x2十9x一5=0在整数集Z中有一 A.m≠1，且m≠-2 解，在有理数集Q中有两解 B.m=1 C.x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一 C.m=-2 个解 D.m=1或m=-2 D.x4=1在R中有两解，在复数集C中也有 4.已知a,b均为实数，复数x=a2一b十(b一 两解 2a)i,其中i为虚数单位，若x<3,则a的取 7.关于x的方程x2+(t-2t+2tx)i=0(t∈ 值范围为( ) R)有纯虚数根，则t为() A.(-1,3) A.0 B.1 B.(-∞，-1)U(3,+∞) C.2 D.0或2 32·数学 课时夯基过关练了 二、填空题 三、解答题 8.定义运算 c d =ad-bc,如果(x十y)十 11.当实数m为何值时，复数之=m十m一6+ m i (m2-2m)i为(1)实数？(2)虚数？(3)纯 (x+3)i 3x+2y 1 (i是虚数单位)，那 一y 虚数？ 么实数x,y的值分别为 9.欧拉公式er=cosx+isin x(i为虚数单位) 是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数 函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数 和指数函数的关系，它在复变函数论里非常 重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公 式可知，若复数之=e,则之的实部为 ,虚部为 10.已知i是虚数单位，给出下列命题： ①若a∈R,则(a十1)i是纯虚数； ②两个虚数不能比较大小； ③若a,b∈R且a>b,则bi>ai, 其中，真命题的序号是 核心素养培优拓展提升 1.（多选)下列说法不正确的是() 4.已知集合P={5,(m2-2m)+(m2+m A.若之=a十bi,a,b∈R,则仅当b≠0时之为 2)i},Q={4i,5},其中m∈R,i为虚数单位， 纯虚数 若P∩Q=PUQ,求实数m的值， B.若十=0，则之1=之2=0 C.若a∈R,则ai为纯虚数 D.复数x=a2-b2+(a十|a)i(a,b∈R)为 实数的充要条件是a≤0 2.已知i是虚数单位.若i3=a十bi(a,b∈R), 则a十b的值为 3.若关于x的方程(1+i)x2-2(a+i)x十5 3i=0(a∈R)有实数解(i为虚数单位)，则a 的值为 …数学· 33