精品解析：河北省沧州市第二中学2026届高三下学期高考备考预测巩固训练（一）数学试题

2026届高考备考预测巩固训练（一） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､姓名及考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解不等式得，故， ，故， 所以，即. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意可得，则. 3. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，解得. 4. 已知角的终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的定义以及诱导公式、正弦二倍角公式求解即可. 【详解】因为角的终边过点，所以， 所以. 5. 已知数列的前项和为，若，则（ ） A. 76 B. 78 C. 80 D. 82 【答案】B 【解析】 【详解】由，可得数列为等差数列，又， 所以，所以， 6. 已知一圆台的上､下底面半径分别为2，4，体积为，则该圆台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆台的体积公式求出该圆台的高，进而求出其外接球的半径即可. 【详解】由题可知，圆台上底面面积，下底面面积， 设该圆台的高为，外接球的半径为， 则体积，解得， 可得解得 所以该圆台的外接球的表面积为. 7. 现有甲､乙､丙三个车间生产某种产品，其中甲车间每日生产400件，乙车间每日生产600件，丙车间每日生产200件，产品的合格率分别为.现随机抽取1件产品送去检验，若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自乙车间的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】记事件分别表示产品来自甲、乙、丙车间， 则，，； 记事件为抽到不合格品， 则，，； . 8. 已知函数在区间上存在三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数得到在区间上的单调性，结合零点存在定理知要使存在三个零点，需满足，解不等式即可求解. 【详解】易知， 上，，在上，在上， 可得函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，， 因为函数存在三个零点，可得，即， 解得， 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，即可判断；对于B，利用即可判断；对于C，对式子两边同时平方可得，根据的范围即可判断；对于D，由可得，根据二次函数的性质即可判断. 【详解】选项A，由，可得，即，故A正确； 选项B，利用基本不等式可知，整理可得， 当且仅当，即，时，等号成立，故B错误； 选项C，整理式子，可得， 两边同时平方得，即， 因为，所以，当且仅当，时，等号成立，故C正确； 选项D，由，可得，得， 则， 函数是开口向上的二次函数，对称轴为， 所以，故D正确. 10. 在棱长为的正方体中，，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 若，则三棱锥的体积为 D. 若多面体存在内切球，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项：建立空间直角坐标系，得到直线与直线的方向向量，计算两向量的夹角即可得到异面直线所成角； B选项：将夹角转化为与平面的夹角，利用等体积法求得线段长，再由定义求得正弦值； C选项：选择合适的点作为顶点，代入锥体的体积公式即可； D选项：计算多面体的体积与表面积，结合内切球半径为正方体棱长的一半，利用内切球体积与表面积的关系求解即可. 【详解】以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向， 为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， ∵ 正方体棱长为4，， ∴ ，各点坐标为. 对选项A： ∵ 正方体中 ， ∴ 直线与所成角等于与的夹角， 在中，， ∴ ，即直线与所成角为， 故直线与所成角为，A正确； 对选项B： ∵ ， ∴ 直线与平面所成角等于直线与平面所成角， 过B作平面于， 连接，即为直线与平面所成角. 由等体积法，， ， ， ∵ ， ∴ 为正三角形，， ∴ ，解得， 在中，，故B错误； 对选项C： 当时，， ∵ 两两垂直， ∴ 三棱锥的体积，故C正确； 对选项D： 多面体为正方体挖去三棱锥所得， 若存在内切球，由对称性可知球心为正方体中心，且与正方体各面相切， 故内切球半径. ∵ 三棱锥为正三棱锥，平面与正方体体对角线垂直， 球心在上，到球心的距离为， 到平面的距离为， 则球心到平面的距离为， ∵ ，∴ ， 解得，符合，故D正确. 11. 已知双曲线的左､右顶点分别为，点为双曲线上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 点到一条渐近线的距离为2 B. 点到两条渐近线的距离之积为 C. 若直线的斜率为1，则直线的斜率为4 D. 若，则直线的斜率为 【答案】BCD 【解析】 【详解】A选项，由题可知双曲线的渐近线为，则点到直线的距离为，所以A选项错误； B选项，由题可知点到两条渐近线的距离分别为，所以，所以B选项正确； C选项，，因为在第一象限，所以，且，可得， 又因为为双曲线上一点，可得，联立可得，可得直线的斜率为4，所以C选项正确； D选项，因为，设，则，且，可得，代入可得，解得，所以D选项正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知样本数据，则该组数据的第70百分位数为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】由百分位数的定义可得答案. 【详解】这组数据共8个，所以，所以该组数据的第70百分位数为第个数6. 13. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于两点，点，直线分别与相交于另一个交点，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出抛物线焦点，设过的直线与抛物线联立得，再设过的直线分别与抛物线联立，得到、，用表示出并求出，再由抛物线代入化简，即可算出的值. 【详解】因为直线和抛物线有两个交点，所以斜率不可能为， 由题意得抛物线的焦点为，设过的直线方程为. 联立，消去得，由韦达定理得. 设直线的方程为， 联立，消去得， 由韦达定理得，即. 同理，设直线的方程为，联立抛物线方程得. 由韦达定理得，即. 由抛物线方程，得，， 因此.代入，， 得，又，故. 所以. 14. 已知实数满足，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设点，由已知等式可得到点在以点为圆心，2为半径的圆上，将整理为，看到和的平方和为1，故设，则，结合图形得到，利用正弦函数的图像和性质得到所求的取值范围. 【详解】由，可得， 设点，则点在以点为圆心，2为半径的圆上， 所以， 根据几何意义设，则， 过点作圆的切线，与圆交于点， 此时， 故， 所以， 因为，所以，即 所以，所以， 故最大值为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在上. （1）求的方程； （2）点为的左顶点，过点的直线与相交于两点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）已知椭圆上一点坐标，且椭圆满足，离心率，联立这三个方程组成方程组，求解，的值，进而得到椭圆的方程； （2）首先确定左顶点和右焦点的坐标；直线过，所以设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到、，再通过弦长公式计算，结合点到直线的距离公式求出点到直线的距离，根据三角形面积公式建立方程，求解出，进而得到直线的方程. 【小问1详解】 椭圆的离心率为，且过点 ，解得，； 椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为； 联立，可得； 由韦达定理得，. ； 点到直线的距离，， ，即， 整理得，解得或； 或； 当时，直线的方程为，即； 当时，直线的方程为，即； 当时，直线的方程为，即； 当时，直线的方程为，即； 直线的方程为或. 16. 如图，在直角梯形中，是的中点，现将沿翻折至，连接是的中点. （1）求证：； （2）当四棱锥的体积取最大值时，过点作垂直于的平面与直线相交于点，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：由题可知，翻折之后有， 又，平面，所以平面. 又由题易得四边形为矩形，所以. 所以平面，平面，所以. 由是的中点，可得， 又平面，所以平面 平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）先由翻折的垂直关系证出平面，再结合推出平面，从而得到，再由等腰三角形中线性质得，最后由线面垂直判定定理证得平面，进而得到. （2）当四棱锥体积最大时，以为原点建立空间直角坐标系，先根据求出点坐标及向量，再通过平面的法向量公式求出法向量，最后利用线面角的向量公式计算得与平面所成角的正弦值为. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当四棱锥的体积取最大值时，四棱锥以为底面的高最大. 此时可知平面，为四棱锥以为底面的高. 如图，过点作，交于点. 因为， 所以平面，可得平面为平面. 在中，，可得， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 可得，，，，. 由，，则， 所以，故. 设平面的一法向量为，取，， 设，则 即，令，得，， 所以平面的一个法向量为. 设与平面所成角为，则. 17. 在中，点在线段上，. （1）若，求的值； （2）若，求的余弦值； （3）求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）利用余弦定理以及即可求解； （3）设，利用正弦定理和直角三角形的边角关系可得，再根据三角函数的最大值即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，所以. 在中，利用余弦定理可得， 即，解得（负数舍去）. 【小问2详解】 设，可得， 利用余弦定理可得， 即，解得， 又，所以的余弦值为. 【小问3详解】 设，可得. 在中，利用正弦定理可得，即， 整理可得，当时，取最大值. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求函数的最小值； （3）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）求导后分和两种情况讨论即可； （2）利用导数求得的单调性，进而得出最小值； （3）参数分离得对任意恒成立，令，，利用导数讨论的单调性，求出的最小值即可解决. 【小问1详解】 由题可知， 当时，，函数在上单调递增； 当时，若，，若，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，，， ，因为当时，和单调递增，所以函数单调递增， 又，所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数的最小值为. 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 即对任意恒成立，即对任意恒成立， 设，，， 令，，， 所以在上单调递增. 由于，， 由零点存在定理，存在，使得，即， 所以当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为，所以， 令，，，即在上单调递增， 所以，即， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围为. 19. 甲､乙两名同学进行射击比赛，已知同学甲每次击中目标的概率为，同学乙每次击中目标的概率为，且两人是否击中目标相互独立. （1）射击规则如下：若当前射击的同学击中目标，则下次仍由该同学继续射击；若当前射击的同学未击中目标，则下次由另一名同学接替射击；第一次射击由同学甲进行. （i）若共进行3次射击，求同学甲击中目标的次数多于同学乙击中目标的次数的概率； （ii）记第次射击由同学甲进行的概率为，求的值. （2）新射击规则如下：初始由同学甲先射击；若甲未击中目标，则下一次由同学乙射击；若乙未击中目标，则下一次等可能地选择由甲或乙进行射击；比赛循环进行，直到有一名同学首次击中目标，该同学获胜，比赛结束.若两人射击次数不限，求最终同学乙获胜的概率. 【答案】（1）（i）；（ii） （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）设三次射击中同学甲击中的次数多于同学乙击中的次数为事件，由题设求解即可. （ii）第次由同学甲进行射击的概率为，则第次由同学甲进行射击的概率为，可得化简后可得数列为等比数列，由此求解即可. （2）设表示由同学甲开始射击，最终同学乙获胜的概率，表示由同学乙开始射击，最终同学乙获胜的概率，分别求解，即可. 【小问1详解】 （i）设三次射击中同学甲击中的次数多于同学乙击中的次数为事件， 可得. （ii）因为第次由同学甲进行射击的概率为，则第次由同学甲进行射击的概率为， 所以，即. ， 令，得，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 所以. 【小问2详解】 表示由同学甲开始射击，最终同学乙获胜的概率，表示由同学乙开始射击，最终同学乙获胜的概率， 则①， ②， 联立①②解得，最终同学乙获胜的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考备考预测巩固训练（一） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､姓名及考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知角的终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的前项和为，若，则（ ） A. 76 B. 78 C. 80 D. 82 6. 已知一圆台的上､下底面半径分别为2，4，体积为，则该圆台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 现有甲､乙､丙三个车间生产某种产品，其中甲车间每日生产400件，乙车间每日生产600件，丙车间每日生产200件，产品的合格率分别为.现随机抽取1件产品送去检验，若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自乙车间的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上存在三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 在棱长为的正方体中，，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 若，则三棱锥的体积为 D. 若多面体存在内切球，则 11. 已知双曲线的左､右顶点分别为，点为双曲线上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 点到一条渐近线的距离为2 B. 点到两条渐近线的距离之积为 C. 若直线的斜率为1，则直线的斜率为4 D. 若，则直线的斜率为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知样本数据，则该组数据的第70百分位数为__________. 13. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于两点，点，直线分别与相交于另一个交点，则的值为__________. 14. 已知实数满足，则的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在上. （1）求的方程； （2）点为的左顶点，过点的直线与相交于两点，若的面积为，求直线的方程. 16. 如图，在直角梯形中，是的中点，现将沿翻折至，连接是的中点. （1）求证：； （2）当四棱锥的体积取最大值时，过点作垂直于的平面与直线相交于点，求与平面所成角的正弦值. 17. 在中，点在线段上，. （1）若，求的值； （2）若，求的余弦值； （3）求的最大值. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求函数的最小值； （3）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 甲､乙两名同学进行射击比赛，已知同学甲每次击中目标的概率为，同学乙每次击中目标的概率为，且两人是否击中目标相互独立. （1）射击规则如下：若当前射击的同学击中目标，则下次仍由该同学继续射击；若当前射击的同学未击中目标，则下次由另一名同学接替射击；第一次射击由同学甲进行. （i）若共进行3次射击，求同学甲击中目标的次数多于同学乙击中目标的次数的概率； （ii）记第次射击由同学甲进行的概率为，求的值. （2）新射击规则如下：初始由同学甲先射击；若甲未击中目标，则下一次由同学乙射击；若乙未击中目标，则下一次等可能地选择由甲或乙进行射击；比赛循环进行，直到有一名同学首次击中目标，该同学获胜，比赛结束.若两人射击次数不限，求最终同学乙获胜的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $