8.4 乘法公式（第2课时 平方差公式） 数学课件 2025--2026学年苏科版七年级数学下册

苏科版（2024） 数学 七年级 下册 第8章 整式乘法 8.4 乘法公式 第2课时 平方差公式 目录 01 学习目标 02 情景引入 03 新知探究 04 课堂练习 05 课堂小结 学习目标 1．了解平方差公式的结构特征，能用符号表示平方差公式； 2．灵活应用平方差公式进行计算；（重点） 3．经历探索平方差公式的过程，体会数形结合的思想方法，感悟从特殊到一般的研究方法；（难点） b b a a 如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为 b(b<a)的小正方形，计算剩余部分的面积. a2-b2 还有其他方法吗？ 情景引入 计算下列多项式的积 (1) (a+2)(a-2)=___________=______； a2-2a+2a-4 (2) (1＋2c)(1-2c)=___________=______； (3) (2a＋3b)(2a-3b) =_______________=_________； 观察上述算式,你能发现什么规律？ a2－4 1-2c+2c-4c2 1－4c2 4a2-6ab+6ab-9b2 4a2－9b2 a2－22 12－(2c)2 (2a)2－ (3b) 2 新知探究 (a+b)(a－b) 猜想： =a2－b2 你能证明你的猜想吗？ 用多项式乘法证明： (a+b)(a－b) =(a+b)(a－b) =a2－ab+ab－b2 =a2－b2 问题探究 新知探究 你还能想到其他证明方法吗？ 借助几何图形证明： a b a-b a2-b2 (a+b)(a-b) 新知探究 借助几何图形证明： a a b b a-b a-b a-b a b 两个相同的梯形的面积和_________; 大正方形面积与小正方形的面积差_______. (a+b)(a-b) a2-b2 a2-b2 (a+b)(a-b) 新知探究 观察这个公式并思考： 公式的左边有什么特点？右边呢？把你的发现与小组里的同学相互交流一下. 记忆口诀：一同一反，平方相减 思考 (a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和 这两数的差 这两数的平方差 两个二项式相乘 相同项 相反项 (相同项)2-(相反项)2 特征: 新知探究 平方差公式 (a+b)(a－b)= a2－b2 文字表述： 两数和与这两数差的积, 等于这两数的平方差. 注意：公式中的字母a、b既可以表示单项式又可以表示多项式. 新知探究 例 1 用平方差公式计算： (1) (5x+y)(5x-y); 解:原式= (5x)2 - y2 =25x2 - y2 (2) (m+2n)(2n－m); 原式 =(2n+m)(2n－m) =(2n)2－m2 =4n2－m2 分析：先确定公式中的“a”和“b”，然后根据平方差公式 (a＋b)(a－b)=a2－b2 进行计算. 典型例题 新知探究 (3) (3y-x)(-x-3y). 原式= (-x+3y)(-x-3y) =(-x)2－(3y)2 = x2－9y2 (4)(－2a2＋5b)(－2a2－5b)； 分析：先确定公式中的“a”和“b”，然后根据平方差公式 (a＋b)(a－b)=a2－b2 进行计算. 解： 原式=(－2a2)2－(5b)2 =4a4－25b2. 典型例题 例 1 用平方差公式计算： 新知探究 第1 步：利用加法的交换律调整两个二项式中项的位置，使之与公式左边相对应，已对应的就不需调整，如本题(1)(2)不需调整，(3)(4)就需调整. 运用平方差公式计算的3 个关键步骤： 归纳总结 第2 步：找准公式中的a、b 分别代表哪个单项式或多项式. 第3 步：套用公式计算，注意将底数带上括号. 如(1)中(5m)2不能写成5m2. 新知探究 例 2 用平方差公式计算： 分析：找出平方差公式的模型，利用平方差公式进行计算. (2)2024×2026－20252 (2)2024×2 026－20252 ＝(2025－1)×(2025＋1)－20252 ＝20252－1－20252 ＝－1. 典型例题 (1)301×299+1 ＝(300+1)×(300－1)＋1 ＝3002－12＋1 ＝90 000. (1)301×299+1 新知探究 1.下面的计算是否正确？如有错误，请改正。 (1)(x+2)(x-2)=x²-2 (2)(x+y)(y-x)=x²-y² 解：(1)错误，正确结果为x²-4. (2)错误，正确结果为y²-x² . 2.计算： (1)(1+x)(1-x) (2)(a+4b)(a-4b) (1)1-x² (2)a²-16b² (3)(3+a)(3-a) (3)9-a² 学以致用 (4)4y²-x² 新知探究 1.判断: (1)(x+3)(x-2)=x2-6 ( ) (2)(y+2)(x-2)=xy-4 ( ) (3)(2y+3)(-2y+3)=9-4y2 ( ) (4)(3-2y)2=9-4y2( ) × √ × × 课堂练习 2.填空: (1)(2x- )( +3y)= -9y2 (2)( )(-4x-3y)=16x2-9y2 3y 2x 4x2 - 4x+3y 课堂练习 3.用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5－6x)； (2) (x－2y)(x+2y)； (3) (－m+n)(－m－n) . 解：(1) (5+6x)(5－6x)= 52－(6x)2=25－36x2； (2) (x－2y)(x+2y)= x2－(2y)2= x2－4y2； (3) (－m+n)(－m－n) = (－m)2－n2 = m2－n2 . 课堂练习 4.若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则(　　) A．m＝2，n＝3 　　　 B．m＝－2，n＝－3 C．m＝2，n＝－3 　　 D．m＝－2，n＝3 B 课堂练习 5.计算： (1) a2(a+b)(a-b) +a2b2； (2) (2x-5)(2x+5)-2x (2x-3). (2) (2x-5)(2x+5)-2x (2x-3). = (2x)2-25-(4x2 -6x) = 4x2-25-4x2 +6x = 6x-25 解：(1) a2(a+b)(a-b) +a2b2； =a2(a2-b2) +a2b2 =a4-a2b2 +a2b2 =a4 课堂练习 (1)(a+b-2c)(a+b+2c)=(a+b)2-4c2=a2+2ab+b²-4c2. (2)因为4x2-9y²=10，所以(2x+3y)(2x-3y)=10. 又因为4x+6y=4,即2x+3y=2 所以2x-3y=5. 解： 6.知识应用：运用你得到的公式解决以下问题： (1)计算:(a+b-2c)(a+b+2c); (2)若4x²-9y2=10,4x+6y=4, 求2x-3y的值. 课堂练习 核心结论：平方差公式是 (a+b)(a−b)=a2 −b2 核心是 “两数和乘两数差，等于两数平方差”。 左边是两个二项式相乘，两个二项式中一项完全相同（a），另一项互为相反数（b 和 -b）。 右边是相同项的平方，减去互为相反数项的平方，结果为两项之差。 字母含义：a、b 可表示具体数字、单项式、多项式等代数式，具有通用性。 公式本质与结构特征： 课堂小结 感谢聆听！ THANKS Π $