8.4 乘法公式（第1课时 完全平方公式）》数学课件 2025--2026学年苏科版七年级数学下册

苏科版（2024） 数学 七年级 下册 第8章 整式乘法 8.4 乘法公式 第1课时 完全平方公式 目录 01 学习目标 02 情景引入 03 新知探究 04 课堂练习 05 课堂小结 学习目标 1、经历探索完全平方公式的推导过程，掌握完全平方公式； 2、会运用公式进行简单的多项式乘法运算，并能灵活地解决一些实际问题，提高运算能力； 3、通过探索公式、证明公式、运用公式，体验数与数的运算、代数式与代数式运算之间联系的转化思想，增强学习数学的兴趣. 当两个多项式完全相同时，会如何？ (a+b)(a+b) 即 (a+b)2 (a-b)(a-b) 即 (a-b)2 情景引入 计算下列多项式的积 (1) (a+1)2=__________=_________ a2+2a+1 (2) (a-1)2=__________=_________ a2-2a+1 (a+1)(a+1) (a-1)(a-1) (3) (m+2)2=___________=_________ m2+4m+4 (4) (m-2)2=__________=_________ m2-4m+4 (m+2)(m+2) (m-2)(m-2) 观察计算结果,你能发现什么规律？ a2+2a+12 a2-2a+12 m2+2×2m+22 m2-2×2m+22 新知探究 (a+b)2 (a-b)2 请你猜想： =a2+2ab+b2 =a2-2ab+b2 你能证明你的猜想吗？ 用多项式乘法证明： (a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 (a-b)2 =(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 新知探究 你还能想到其他证明方法吗？ 借助几何图形证明： 如图，边长为(a+b) 的正方形的面积是(a+b)2 . 还可以看成两个小正方形和两个小长方形面积的和， ∴(a+b)2=a2+2ab+b2 b a a b a2 ab ab b2 即a2+ab+ab+b2， 新知探究 借助几何图形证明： 它的面积还可以看成大正方形的面积减去两个小长方形面积的差， 如图，边长为(a-b) 的正方形的面积是(a-b)2 . ∴(a-b)2=a2-2ab+b2. (a-b2) a-b b b a-b ab ab b2 即a2-ab-ab+b2 新知探究 观察这两个公式并思考： (a＋b)2=a2＋ 2ab + b2 (a－b)2=a2-2ab + b2 公式的左边有什么特点？右边呢？ 把你的发现与小组里的同学相互交流一下. 左边是 的平方 右边是 两项和 (差) 积为二次三项式， 积中两项为两数的平方和， 另一项是两数 且与乘式中间的符号相同. 记忆口诀：“首平方，尾平方，积的2倍放中央，符号看前方” 尝试 积的2倍， 新知探究 完全平方公式 (a＋b)2=a2＋ 2ab + b2 (a－b)2=a2－ 2ab + b2 文字表述： 两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和； 两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差. 公式中的字母a、b既可以表示单项式又可以表示多项式. 归纳总结 新知探究 例1 用完全平方公式计算： (1) (5+3p)2 解:(1)原式= 第一数 的平方, 加上 第一数 与第二数 乘积 的2倍, 加上 第二数 的平方. 52 + 5×3p 2× + (3p)2 =25+30p+9p2 典型例题 新知探究 解：(2)(2x－7y)2 ＝(2x)2－2·2x·7y＋(7y)2 ＝4x2－28xy＋49y2; (2) (2x－7y)2； (3)(－2a－5)2 (3)(－2a－5)2 ＝(－2a)2－2·(－2a)·5＋52 ＝4a2＋20a＋25. 想一想还有其他解法吗？小组讨论. 例1 用完全平方公式计算： 新知探究 解：(4)(2x－7y)2 ＝[2x＋(－7y)]2 ＝(2x)2＋2·2x·(－7y)＋(－7y)2 ＝4x2－28xy＋49y2; (5)(－2a－5)2 ＝[－(2a＋5)]2 ＝(2a＋5)2 ＝(2a)2＋2·2a·5＋52 ＝4a2＋20a＋25. (4) (2x－7y)2； (5)(－2a－5)2 (ɑ+b)2=(-ɑ-b)2 简化运算 思考:(a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗?为什么?小组讨论. 例1 用完全平方公式计算： 新知探究 例2 用完全平方公式计算:1992. 解 1992 =（200-1）2 =2002-2×200×1+12 =4000-400+1 =39601 新知探究 1.用完全平方公式计算： （1）9982； （2）20012. 解：（1） 9982 ＝(1000-2)2 ＝10002-2×1000×2＋22 ＝1000000－4000+4 ＝996004 （2） 20012 ＝(2000 ＋1)2 ＝20002＋2×2000×1＋12 ＝4000000＋4000＋1 ＝4004001 运用完全平方公式可以起到简便运算的作用. 学以致用 新知探究 1.用完全平方公式计算： （3）1022； （4）1972. 解：(3)1022 ＝(100＋2)2 ＝1002＋2×100×2＋22 ＝10000＋400＋4 ＝10404. (4)1972 ＝(200－3)2 ＝2002－2×200×3＋32 ＝40000－1200＋9 ＝38809. 新知探究 2.用完全平方公式计算：（a+b+c)2 解法1: (a+b+c)2 =[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2·(a+b)·c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 独立完成其他解法. 说出自己的想法，小组交流. 方法总结：把其中两项看成一个整体，再运用完全平方公式计算. 新知探究 3.下面的计算是否正确？如有错误，请改正。 ; , , 新知探究 用完全平方公式计算： ； ； ； 新知探究 填空： ; ; +______; 4 新知探究 1.计算： (1) (2a＋3b)2； (2) (2x－5y)2； (3) 3 (a－b)2； (4) (－x－2y)2. 4a2＋12ab＋9b2 4x2－20xy＋25y2 a2－2ab＋3b2 x2＋4xy＋4y2 基础巩固 课堂练习 2. 填空： (1) (a＋_____)2＝a2＋4ab＋4b2； (2) (2a＋____)2＝4a2＋4ab＋b2； (3) (3x－____)2＝9x2－12xy＋_____； (4) (－x－___)2＝x2＋____＋1. 2b b 2y 4y2 1 2x 课堂练习 3. 边长为am(a＞6)的正方形花圃，如果边长减少6m，那么花圃的面积减少了多少？ 6m 6m 解：a2－(a－6)2 ＝a2－(a2－12a＋36) ＝a2－a2＋12a－36 ＝(12a－36)m2. 答：花圃的面积减少了(12a－36)m2. a 课堂练习 1. 已知(y＋a)2＝y2－8y＋b，那么a，b的值分别为 (　　) A．4，16 B．－4，－16 C．4，－16 D．－4，16 D 能力提升 课堂练习 2. 小兵计算一个二项整式的平方式时，得到正确结果是4x2＋＋25y2，但中间一项不慎被污染了，这一项应是 ( ) A . 10xy B. 20xy C. ±10xy D. ±20xy D 课堂练习 3．若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A为_______． 4ab 4．已知a＋＝4，则a2＋的值是________． 14 5．若a＋b＝3，ab＝2，则a－b＝_____． ±1 课堂练习 6. 先化简，再求值：(x－1)(3x＋1)－(x＋2)2＋5，其中x2－3x－1＝0. 解：原式＝3x2＋x－3x－1－x2－4x－4＋5＝2x2－6x. 因为x2－3x－1＝0， 所以x2－3x＝1. 所以原式＝2(x2－3x)＝2×1＝2. 课堂练习 7．已知a＋b＝8，ab＝3，求(a－b)2的值． 解： (a－b)2 ＝(a＋b)2－4ab ＝82－4×3 ＝52. 课堂练习 8. 图①是一个长为2m，宽为2n(m＞n)的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． 按要求填空：①图②中阴影部分正方形的边长等于________． ① ② m n n m m m n n m－n 课堂练习 8. 图①是一个长为2m，宽为2n(m＞n)的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． ②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积． 方法1：________________； 方法2：________________． ① ② m n n m m m n n (m－n)2 (m＋n)2－4mn 课堂练习 8. 图①是一个长为2m，宽为2n(m＞n)的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． ③观察图②，请写出(m＋n)2，(m－n)2，4mn这三个代数式之间的等量关系：______________________． ① ② m n n m m m n n (m－n)2＝(m＋n)2－4mn 课堂练习 完全平方公式的特点 完全平方公式的几何意义 完全平方公式的运用 完全平方公式 课堂小结 感谢聆听！ THANKS $