专题10三角形复习讲义(16大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年青岛版七年级数学下册

专题10三角形复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.认识三角形，掌握三角形的定义、表示方法、顶点、边、内角等基本概念。 2.理解三角形的分类标准，能按边、按角两种方式准确分类。 3.熟记三角形三边关系定理，理解定理内涵与限制条件。 1.能快速识别三角形，规范书写三角形符号与边角名称。 2.灵活运用三边关系：判断三条线段能否组成三角形、求边长取值范围。 3.结合分类依据，正确区分锐角、直角、钝角三角形和等腰、等边三角形。 1.吃透基础概念选择题、填空题，杜绝概念混淆失分。 2.熟练掌握三边关系必考题型，准确求解边长范围、参数问题。 3.理清三角形分类易混点，夯实几何入门基础，为后续三角形性质学习铺垫。 题型01.三角形的识别与概念 题型02.等腰三角形的定义 题型03.三角形的分类 题型04.与平行线有关的内角和问题 题型05.三角形内角和定理的应用 题型06.直角三角形的两个锐角互余 题型07.三角形的外角的定义及性质 题型08.构成三角形的条件. 题型09.确定第三边的取值范围 题型10.三角形三边关系的应用 题型11.三角形角平分线的定义 题型12.画三角形的高 题型13.重心的概念 题型14.与三角形的高有关的计算 题型15.根据三角形中线求长度 题型16.根据三角形中线求面积 解答题6题 知识点01:三角形的有关概念 定义 不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所组成的封闭图形，叫做三角形。 基本元素 三个顶点、三条边、三个内角 表示方法：顶点为A、B、C，记作△ABC 对边：∠A对边BC，∠B对边AC，∠C对边AB 知识点02:三角形的分类 知识点03:三角形三边关系（必考） 核心定理 三角形任意两边之和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三边 知识点04:三角形三条重要线段【核心重点】 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段； 区分易错：角平分线（线段）≠ 角的平分线（射线） 知识点05:三角形内角和定理 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 知识点06:外角的定义及性质： 定义：一边与另一边的延长线组成的角 性质：外角等于与它不相邻的两个内角和；外角大于任何一个不相邻内角 高频易错 1.三条线段首尾相连不一定是三角形，必须不在同一直线上 2.等边三角形属于等腰三角形，不能并列分类 3.钝角、直角三角形的高不全在内部，做题别漏画外部的高 4.中线、角平分线、高都是线段，不是直线、射线 5.利用三边求边长 / 取值范围，必须同时满足不等关系 题型01.三角形的识别与概念 【典例】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在中， ，若的周长为，则______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的周长，根据的周长减去可得结论． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， 故答案为：18． 【跟踪专练2】如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积问题，三角形面积与底和高的关系，利用等高的两个三角形，其面积比等于底边的比，即可求出的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵与等高，， ∴， ∵与等高，点是的五等分点， ∴， 故选：． 题型02.等腰三角形的定义 【典例】如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______． 【答案】/度 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，再由平行的性质可得，由此求解即可． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ． 【跟踪专练1】已知某等腰三角形的两条边长分别为4和9，则其第三边的长是（   ） A．4 B．9 C．4或9 D．13 【答案】B 【分析】根据等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论第三边长度，再利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证，排除不成立的情况得到结果． 【详解】解：已知等腰三角形的两条边长分别为4和9 根据等腰三角形的定义，第三边可能为4或9 情况一：第三边长为4。此时三边长为4，4，9 根据三角形两边之和大于第三边的原则，检验：，不满足三角形三边关系，因此不能构成三角形 情况二：第三边长为9。此时三边长为4，9，9 根据三角形两边之和大于第三边的原则，检验：，，满足三角形三边关系，因此能构成三角形 综上所述，第三边的长只能是9． 故选：B． 【跟踪专练2】已知，一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的倍少度，则这个等腰三角形的顶角是________． 【答案】或或 【分析】设其中一个内角为，表示出另一个内角为，分三种情况讨论：为顶角，为底角；为底角，为顶角；与均为底角，结合三角形内角和定理与等腰三角形两底角相等的性质列方程求解即可． 【详解】解：设等腰三角形的一个内角为，则另一个内角为，分三种情况讨论： ① 当为顶角，为底角时，根据三角形内角和定理得：，解得，即顶角度数为； ② 当为底角，为顶角时，根据三角形内角和定理得：，解得，因此顶角度数为； ③ 当与均为底角时，根据等腰三角形两底角相等得：，解得，因此顶角度数为； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为或或． 题型03.三角形的分类 【典例】在中，如果，那么是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用三角形内角大于0的性质，结合已知条件得到最大角的范围，即可判断三角形形状。 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵三角形任意内角大于，即， ∴， ∵有一个角是钝角的三角形是钝角三角形 ∴是钝角三角形． 【跟踪专练1】一个三角形，3个内角度数的比为，按角分类它是______三角形． 【答案】钝角 【分析】先根据角度比设出各内角的表达式，利用三角形内角和为列方程求解，得到最大内角的度数后，根据钝角三角形的定义完成判断． 【详解】解：设三个内角的度数分别为，，． 则，解得． 则最大内角的度数为， ∴这个三角形是钝角三角形． 【跟踪专练2】下列说法：（1）三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；（2）三角形两边之和不一定大于第三边；（3）等边三角形一定是等腰三角形；（4）有两边相等的三角形一定是等腰三角形．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查三角形的分类及三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据三角形的分类和三角形的三边关系逐个判断每个说法的正确性． 【详解】解：三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形， 说法（1）错误的将等边三角形与等腰三角形并列作为分类，表述不够严谨，通常按边分类为不等边三角形和等腰三角形（等边三角形是等腰三角形的特殊形式）．故说法错误； ∵三角形三边关系为两边之和一定大于第三边， ∴说法（2）错误． ∵等边三角形的三边都相等，满足等腰三角形“至少有两边相等”的定义， ∴说法（3）正确． ∵等腰三角形的定义就是有两边相等的三角形， ∴说法（4）正确． 综上，正确的说法有2个． 故选：B． 题型04.与平行线有关的内角和问题 【典例】在中，，，则为__________． 【答案】 【分析】根据三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：100° 【点睛】此题考查的是三角形的内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练2】如图，点在线段上，，，点在上，若，:，，则_______．    【答案】/度 【分析】根据题意及平行线的判定与性质推出，设，则，，根据三角形内角和定理、三角形外角性质推出，据此求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ：：， 设则， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 题型05.三角形内角和定理的应用 【典例】在下列条件中，不能确定是直角三角形的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴，则能确定是直角三角形； B、∵，， ∴，则是钝角三角形，不是直角三角形； C、∵，， ∴，则能确定是直角三角形； D、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，则能确定是直角三角形． 【跟踪专练1】在中，若，则__________． 【答案】/40度 【分析】利用三角形内角和定理，结合已知的角度比例关系，设未知数列方程求解即可． 【详解】解：∵， 设，，． 根据三角形内角和定理，可得：， 解得， 因此． 【跟踪专练2】如图，两平面镜，的夹角，光线射在镜面上，反射光线经镜面反射后得到光线，此时，，则光线与的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形内角和定理先得到的度数，根据邻补角互补得到，，两式相加即可求得的度数，最后再根据三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：， ， ，， ，即， ，， ，即， ，即， ， ． 【跟踪专练3】如图，两面镜子，的夹角为，当光线经过镜子后反射，，．若，则的度数是_____． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理可得，由平角的定义并结合题意求出，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 如图： ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型06.直角三角形的两个锐角互余 【典例】如图，BD是△ABC的角平分线交BC于点E，若，，则∠CAE的度数为（    ） A．12.5° B．17.5° C．22.5° D．27.5°, 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD＝∠EBD＝∠ABC，∠AFB＝∠EFB＝90°，∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，根据三角形内角和得出∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，即可得出∠CAE． 【详解】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD， ∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝=17.5°，∠AFB＝∠EFB＝90°， ∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°， ∵∠C=50°， ∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°， ∴∠CAE=∠BAC-∠BAF=95°-72.5°=22.5°故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和垂直的定义，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用以上性质，进行推理计算． 【跟踪专练1】如图所示，，则下列结论中：①；②与互相垂直；③线段的长度是点到的距离；④，其中正确的个数为（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据垂线定义可判断①②；根据点到直线距离的定义可判断③；根据直角三角形的性质和余角的性质可判断④． 【详解】解：①∵，∴，故①正确； ②∵，∴与不互相垂直，故②错误； ③线段的长度是点到的距离，故③正确； ④∵∴，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了垂直的定义，余角的性质，点到直线的距离，对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别． 【跟踪专练2】如图，，平分，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形角平分线，高线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义可得，根据垂直的定义以及直角三角形的两个锐角互余得出，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， 故选：D． 题型07.三角形的外角的定义及性质 【典例】在中，，则与相邻的外角的度数为________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，根据三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴与相邻的外角的度数， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知，，，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，三角形外角的定义和性质，由平行线的性质得出，再根据三角形外角的定义和性质得出的度数． 【详解】解：记与的交点为点F， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【跟踪专练2】如图，，点P为外一点（点P不在直线、、上），连接、．若，，，对于①；②；③；④，则的度数可能是（    ） A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据点P有6种可能的位置，分情况进行讨论，依据三角形内角和定理以及外角的性质进行计算即可求解． 【详解】解：如图一，， ∵， ∴， ∴； 如图二，在四边形中，， ∴； 如图三，， ∵， ∴， ∴； 如图四，延长交于点D， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； 如图五，延长， ∵是的外角， ∴， 同理，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴； 如图六，延长， ∵是的外角， ∴， 同理，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 综上判断①、②、③、④都正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和外角的性质，正确理解题意，分情况画出图形是解题的关键． 题型08.构成三角形的条件. 【典例】以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，逐项验证即可求解. 【详解】解：A选项，三边为，，，较短两边和为，∵，∴不能组成三角形，不符合要求； B选项，三边为，，，较短两边和为，∵，满足三边关系，∴能组成三角形，符合要求； C选项，三边为，，，较短两边和为，∵，∴不能组成三角形，不符合要求； D选项，三边为，，，较短两边和为，∵不大于，不满足三边关系，∴不能组成三角形，不符合要求. 【跟踪专练1】已知一等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为______． 【答案】 15 【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况进行讨论，再根据三角形三边之间的关系，判断能否构成三角形，最后求出周长即可． 【详解】解：当等腰三角形腰长为时， ∵， ∴不能构成三角形， 当等腰三角形腰长为时， ∵， ∴能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 综上所述，此三角形的周长为． 【跟踪专练2】一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角木架，木工的选法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，即可得出答案． 【详解】解：①选30厘米、50厘米、60厘米， ∵， ∴选30厘米、50厘米、60厘米能钉成一个三角木架，符合题意； ②选30厘米、50厘米、90厘米， ∵， ∴选30厘米、50厘米、90厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意； ③选30厘米、60厘米、90厘米， ∵， ∴选30厘米、60厘米、90厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意； ④选50厘米、60厘米、90厘米， ∵， ∴选50厘米、60厘米、90厘米能钉成一个三角木架，符合题意； 综上所述，木工的选法有2种． 题型09.确定第三边的取值范围 【典例】三角形两条边的长分别是5和9，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为（ ） A．3 B．4 C．7 D．15 【答案】C 【分析】利用三角形三边关系求出第三边的取值范围，再找出符合范围的选项即可． 【详解】解：设此三角形第三边的长为， 则，即， 所以四个选项中只有符合条件． 【跟踪专练1】已知a，b，c是三角形的三边，其中，，则c的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用三角形三边关系求解，三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，代入已知的值即可得到的取值范围． 【详解】解：根据三角形三边关系可知，第三边满足， 将，代入得，即． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知各边长均为整数，且，，是唯一的最长边，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．5或6 【答案】D 【分析】利用三角形三边关系确定的取值范围，结合是唯一的最长边、边长为整数的条件求解． 【详解】根据三角形三边关系，得， ∵，， ∴， ∵是唯一的最长边，已知边中最大边长为， ∴， 因此， 又∵的长为整数， ∴或． 【跟踪专练3】我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：当时，则， 根据三角形三边关系，可得， 当时，代入得， 又∵， ∴， ∴此时无整数解； 当时，代入，即， ∴， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴此时无整数解； 综上可得当时，满足条件的整边的个数为：（个）； 若（为正整数）时， 同上理可得：满足条件的整边的个数为：（个）． 题型10.三角形三边关系的应用 【典例】如图，某校实践小组在A点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端B、C之间的距离可能是（   ） A．2米 B．3米 C．10米 D．14米 【答案】C 【分析】根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边解答即可； 【详解】解：∵在中，米，米， 根据三边关系可得： ， 则，即， 对比选项，只有10米符合该范围． 【跟踪专练1】在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 【答案】 【分析】设，，根据三角形周长得到第一个方程，再利用中线性质得到两个三角形的周长差即为腰长与底边长的差，分两种情况建立方程组求解，最后根据三角形三边关系检验，得到符合条件的的长. 【详解】解：设，， 由周长为，得 ， 是边上的中线， ， 又是和的公共边， 两个三角形的周长差为，即， 分两种情况讨论： （1）当时，， 联立方程组， 两式相加得，解得， 代入得， 此时三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意. （2）当时，， 联立方程组， 解得， 此时三边长为，，，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去. 综上，底边的长为. 【跟踪专练2】老师布置了一份家庭作业：用老师给的三根小木棍做出一个三角形木架，三根小木棍的长度分别为：5cm、9cm、10cm，要求只能对10cm的小木棍进行裁剪（裁剪后长度为整数）．你认为同学们最多能做出（   ）个不同的三角形木架． A．1 B．2 C．6 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，先通过三角形的三边关系求出第三边的长度范围，然后再根据第三边的长度为整数即可求解． 【详解】解：∵由题意已知三角形有两条边为、，设第三边长度为， ∴第三边的取值范围为：，即， 又∵第三条边从的小木棍中裁剪下来， ∴， 又∵裁剪后长度为整数， ∴的取值可以为：， ∴最多能做出6个不同的三角形木架． 故选：C． 题型11.三角形角平分线的定义 【典例】如图，是的高，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，涉及了三角形的高线和角平分线． 求出，进而得，结合，即可求解． 【详解】解：∵， ∴； ∵是的角平分线， ∴； ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，，若设，，平分，平分，平分，平分，可得，平分，平分，可得…，依次平分下去，则________． 【答案】 【分析】先分别过点、作直线，，然后利用平行线的性质、角平分线的定义，结合归纳推理思想即可解答． 【详解】解：如图，分别过点、作直线，， ． ， ， ， ． 平分，平分， ，， 同理可得，， 以此类推，，，，． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，，是边上的高，是中线，平分，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】①三角形的中线将三角形分成等底等高、面积相等的两部分，故； ②根据直角三角形的面积公式，用面积法可算出斜边上的高； ③通过“同角的余角相等”和“对顶角相等”，可推出； ④利用“同角的余角相等”和角平分线，可推出等于，即． 【详解】解：①是中线， ， 等底等高的两个三角形面积相等， ，正确； ②，，，，是边上的高， ， ， 解得，正确； ③，， ，， 平分， ， ， ， ，正确； ④，， ，， ， ， ，正确． 综上，正确的说法有个． 题型12.画三角形的高 【典例】下列四个图中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高，利用三角形高的定义线段是的高的是： ． 【跟踪专练1】如图，，，，在中，边上的高是________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的高，掌握相关知识是解决问题的关键．三角形的高是指，从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，据此解答即可． 【详解】解：在中，边上的高应该是从向引垂线， ， 边上的高是． 故答案为：． 【跟踪专练2】在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，中线以及等腰三角形的性质，正确判断垂直关系即可． 【详解】解：A、，，所以线段不是的边上的高； B、，，则，所以线段是的边上的高； C、，，所以线段不是的边上的高； D、与不垂直，所以线段不是的边上的高； 故选：B． 题型13.重心的概念 【典例】物体重心的位置对于物体保持平衡稳定的状态至关重要．若用一个支点顶住匀质薄板的重心，则薄板能保持平衡．如图，表示一块质地均匀的木板，图中所示的网格由边长相同的小正方形组成．若要使三角形木板保持平衡，则可以用一根细针顶住的点为_____． 【答案】E 【分析】本题考查了三角形重心的概念，解决本题的关键是找到三角形三边的中点 根据三角形重心的概念，即为三角形三边中线的交点，由此求解即可 【详解】解：在中，点D与点E为边的中线上的点， 点G与点E为边的中线上的点， 点E为边的中线上的点， 由此可知，点E为三角形三边中线的交点， ∴点E为该三角形的重心， ∴若要使三角形木板保持平衡，则可以用一根细针顶住的点E． 故答案为：E ． 【跟踪专练1】用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（   ） A．到三个顶点距离相等的点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】B 【分析】匀质薄板保持平衡的支点为三角形的重心，明确三角形不同特殊点的定义即可解答. 【详解】解：∵ 匀质三角形薄板平衡时支点对应三角形的重心，三角形重心是三条中线的交点， ∴ 这个支点一定是三角形三条中线的交点. 【跟踪专练2】如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则_______． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的重心，根据三角形的重心是三角形的三条中线的交点，得到分别为的中点，进而得到，即可得出结果． 【详解】解∶∵点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E． ∴，， ∴． 故答案为：5． 题型14.与三角形的高有关的计算 【典例】一个三角形的高是6厘米，底是高的 ，则面积是（    ）． A． B．9 C． D．24 【答案】C 【分析】这道题是考查三角形面积计算公式的运用的题．这道题已知三角形的高是6厘米，底是高的，即底是：厘米，根据三角形面积计算公式：底×高，将底和高的数值代入公式，就能求出三角形的面积. 【详解】解：（平方厘米）． 故选：C． 【跟踪专练1】已知是的高，，，则的度数为_______． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当高在内时，根据计算，当高在外时，根据计算． 【详解】解：当高在内时， ， ； 当高在外时， ， ． 【跟踪专练2】如图，在中，分别是边上的中线和高．，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式求得，然后根据三角形中线的性质得到即可． 【详解】解：，， ， 是边上的中线， ． 题型15.根据三角形中线求长度 【典例】如图，是的一条中线，的周长是10，的周长是12，那么_________． 【答案】2 【分析】根据三角形的周长和中线的定义求与的差． 【详解】解：∵是的一条中线， ∴． ∵的周长为，的周长为， ∴， ， 即． 【跟踪专练1】如图，已知是的中线，点E为线段的中点，，． （1）若的周长为，则的周长为_______； （2）若的面积为，则的面积为_______． 【答案】 【分析】（1）根据题意可得，结合是的中线，可得，再求周长即可； （2）根据三角形中线平分三角形的面积求解． 【详解】解：（1）的周长为， ，即， 解得， 又是的中线， 是的中点，， 的周长； （2）， ， 又点E为线段的中点， ． 【跟踪专练2】如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（    ） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，熟记它们的定义是解题的关键．根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴是的角平分线，故本选项结论正确，不符合题意； B．∵， ∴为边上的高，故本选项结论正确，不符合题意； C．∵G为的中点， ∴是边上的中线，故原说法不正确，符合题意； D．∵， ∴为的高线，故本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 题型16.根据三角形中线求面积 【典例】如图，中，D、E分别为的中点，且的面积为8，则图中阴影部分面积为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积求解即可． 【详解】解：∵在中，D是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，是的中线，是的中线，，则______． 【答案】 【分析】三角形中线平分三角形面积，先由是的中线得，再由是的中线得． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵是的中线， ∴． 【跟踪专练2】如图，的重心为G，如果的面积为2，则的面积为________． 【答案】3 【分析】根据三角形重心的定义可知为的中线，且，利用等高三角形面积比等于底边比求出的面积，再根据中线将三角形分成面积相等的两部分求解． 【详解】∵G为的重心，且A、G、M共线， ∴为的中线，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，在中，，点，，分别是边、、上的点，且，，相交于点，若点是的重心．则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确的结论有（    ） A．1 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由重心是三条中线的交点，可知线段，，是的三条中线，可判断①错误，继而得出，，进一步推出，然后逐个分析即可． 【详解】解：①，，相交于点，点是的重心，重心是三条中线的交点， 线段，，是的三条中线，故①错误； 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ， ∵， ∴， 同理可求：，故④正确； ∴的面积是面积的一半，故②正确； 图中与面积相等的三角形有共2个，故③正确； ∵，与等高， ∴，     ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 【解答题】 1．如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 2．如图，直线，射线，交于点．已知，平分． . (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数（用含的代数式表示）： (3)若，点为射线上一点，点为线段上一点，连接，，且，随着P、Q两点的运动，和的大小随之发生变化，若在、运动过程中的值始终为定值，求的值及的度数． 【答案】(1)，理由见详解 (2) (3)， 【分析】本题考查了平行线的性质，与角平分线有关的计算，等腰三角形的定义，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合平行线的性质得，再结合等边对等角的性质以及三角形内角和性质得，又因为平分，故，最后整理代入数值到计算，即可作答． （2）结合三角形内角和得， 由得出，最后把数值代入计算，即可作答． （3）依题意，得，分别表示出，，代入，得，设，故，，又因为在、运动过程中的值始终为定值，得出，理解该式子的值为定值，与无关，故，解得，此时得出，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴； ∴； ∴； （2）解：在中，，， ∴， ∵ ∴ ∴ ． （3）解：设， ∵， ∴， 由（1）知 在中，， 在中，， ∴， 设， 则， ∵在、运动过程中的值始终为定值， 即， ∴， 整理得：， ∵ 该式子的值为定值，与无关， ∴， 解得， 将代入得：， ∴， 解得， 由（1）知， ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 3．好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列个问题，请你帮她解决．如图，在中，点是、的平分线的交点，点是、平分线的交点，，的延长线交于点． (1)若，求； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用角平分线和三角形内角和，推导出． （2）先证，然后根据求出，再根据三角形的外角性质得到关系式，求解． 【详解】（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ． （2）解：平分，平分， ，， ， ，即， ， ，解得， 设，， ∴，， 解得． 4．已知，点F是上一点，点E、N是上两点，连接、，过点E作交于点H，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，平分，过点F作于点K，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到、，进而得到，从而得出结论； （2）延长交于点，过点作交于点，根据平行线的性质得到，由角平分线定义得到，在中求出，进而得到，证明，进而得到和，根据得到，据此解答即可． 【详解】（1）证明：， 、， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：延长交于点，过点作交于点， 平分， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 5．如图，在中，，，，分别是边，上的高，它们交于点H，求、的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形高的定义以及直角三角形的性质．解题的关键是利用三角形高的定义得到直角，结合三角形内角和定理进行角度推导． 先由三角形内角和求出的度数，再在中求出，最后利用直角三角形性质和邻补角关系求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ． ∵，分别是边，上的高， ． 在和中， ， ， ． 6．如图，是的中线，，若，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了由三角形中线求三角形面积，根据三角形中线求出的面积，再利用已知可得，从而得到． 【详解】解：是的中线， ， ， ． ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10三角形复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.认识三角形，掌握三角形的定义、表示方法、顶点、边、内角等基本概念。 2.理解三角形的分类标准，能按边、按角两种方式准确分类。 3.熟记三角形三边关系定理，理解定理内涵与限制条件。 1.能快速识别三角形，规范书写三角形符号与边角名称。 2.灵活运用三边关系：判断三条线段能否组成三角形、求边长取值范围。 3.结合分类依据，正确区分锐角、直角、钝角三角形和等腰、等边三角形。 1.吃透基础概念选择题、填空题，杜绝概念混淆失分。 2.熟练掌握三边关系必考题型，准确求解边长范围、参数问题。 3.理清三角形分类易混点，夯实几何入门基础，为后续三角形性质学习铺垫。 题型01.三角形的识别与概念 题型02.等腰三角形的定义 题型03.三角形的分类 题型04.与平行线有关的内角和问题 题型05.三角形内角和定理的应用 题型06.直角三角形的两个锐角互余 题型07.三角形的外角的定义及性质 题型08.构成三角形的条件. 题型09.确定第三边的取值范围 题型10.三角形三边关系的应用 题型11.三角形角平分线的定义 题型12.画三角形的高 题型13.重心的概念 题型14.与三角形的高有关的计算 题型15.根据三角形中线求长度 题型16.根据三角形中线求面积 解答题6题 知识点01:三角形的有关概念 定义 不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所组成的封闭图形，叫做三角形。 基本元素 三个顶点、三条边、三个内角 表示方法：顶点为A、B、C，记作△ABC 对边：∠A对边BC，∠B对边AC，∠C对边AB 知识点02:三角形的分类 知识点03:三角形三边关系（必考） 核心定理 三角形任意两边之和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三边 知识点04:三角形三条重要线段【核心重点】 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段； 区分易错：角平分线（线段）≠ 角的平分线（射线） 知识点05:三角形内角和定理 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 知识点06:外角的定义及性质： 定义：一边与另一边的延长线组成的角 性质：外角等于与它不相邻的两个内角和；外角大于任何一个不相邻内角 高频易错 1.三条线段首尾相连不一定是三角形，必须不在同一直线上 2.等边三角形属于等腰三角形，不能并列分类 3.钝角、直角三角形的高不全在内部，做题别漏画外部的高 4.中线、角平分线、高都是线段，不是直线、射线 5.利用三边求边长 / 取值范围，必须同时满足不等关系 题型01.三角形的识别与概念 【典例】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中， ，若的周长为，则______． 【跟踪专练2】如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 题型02.等腰三角形的定义 【典例】如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______． 【跟踪专练1】已知某等腰三角形的两条边长分别为4和9，则其第三边的长是（   ） A．4 B．9 C．4或9 D．13 【跟踪专练2】已知，一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的倍少度，则这个等腰三角形的顶角是________． 题型03.三角形的分类 【典例】在中，如果，那么是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【跟踪专练1】一个三角形，3个内角度数的比为，按角分类它是______三角形． 【跟踪专练2】下列说法：（1）三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；（2）三角形两边之和不一定大于第三边；（3）等边三角形一定是等腰三角形；（4）有两边相等的三角形一定是等腰三角形．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型04.与平行线有关的内角和问题 【典例】在中，，，则为__________． 【跟踪专练1】如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点在线段上，，，点在上，若，:，，则_______．    题型05.三角形内角和定理的应用 【典例】在下列条件中，不能确定是直角三角形的条件是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在中，若，则__________． 【跟踪专练2】如图，两平面镜，的夹角，光线射在镜面上，反射光线经镜面反射后得到光线，此时，，则光线与的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，两面镜子，的夹角为，当光线经过镜子后反射，，．若，则的度数是_____． 题型06.直角三角形的两个锐角互余 【典例】如图，BD是△ABC的角平分线交BC于点E，若，，则∠CAE的度数为（    ） A．12.5° B．17.5° C．22.5° D．27.5°, 【跟踪专练1】如图所示，，则下列结论中：①；②与互相垂直；③线段的长度是点到的距离；④，其中正确的个数为（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪专练2】如图，，平分，则等于（    ） A． B． C． D． 题型07.三角形的外角的定义及性质 【典例】在中，，则与相邻的外角的度数为________． 【跟踪专练1】如图，已知，，，则的度数为_____． 【跟踪专练2】如图，，点P为外一点（点P不在直线、、上），连接、．若，，，对于①；②；③；④，则的度数可能是（    ） A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 题型08.构成三角形的条件. 【典例】以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知一等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为______． 【跟踪专练2】一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角木架，木工的选法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 题型09.确定第三边的取值范围 【典例】三角形两条边的长分别是5和9，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为（ ） A．3 B．4 C．7 D．15 【跟踪专练1】已知a，b，c是三角形的三边，其中，，则c的取值范围是______． 【跟踪专练2】已知各边长均为整数，且，，是唯一的最长边，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．5或6 【跟踪专练3】我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 题型10.三角形三边关系的应用 【典例】如图，某校实践小组在A点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端B、C之间的距离可能是（   ） A．2米 B．3米 C．10米 D．14米 【跟踪专练1】在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 【跟踪专练2】老师布置了一份家庭作业：用老师给的三根小木棍做出一个三角形木架，三根小木棍的长度分别为：5cm、9cm、10cm，要求只能对10cm的小木棍进行裁剪（裁剪后长度为整数）．你认为同学们最多能做出（   ）个不同的三角形木架． A．1 B．2 C．6 D．10 题型11.三角形角平分线的定义 【典例】如图，是的高，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，，若设，，平分，平分，平分，平分，可得，平分，平分，可得…，依次平分下去，则________． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，，是边上的高，是中线，平分，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（    ） A． B． C． D． 题型12.画三角形的高 【典例】下列四个图中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，，，，在中，边上的高是________． 【跟踪专练2】在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A． B． C． D． 题型13.重心的概念 【典例】物体重心的位置对于物体保持平衡稳定的状态至关重要．若用一个支点顶住匀质薄板的重心，则薄板能保持平衡．如图，表示一块质地均匀的木板，图中所示的网格由边长相同的小正方形组成．若要使三角形木板保持平衡，则可以用一根细针顶住的点为_____． 【跟踪专练1】用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（   ） A．到三个顶点距离相等的点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【跟踪专练2】如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则_______． 题型14.与三角形的高有关的计算 【典例】一个三角形的高是6厘米，底是高的 ，则面积是（    ）． A． B．9 C． D．24 【跟踪专练1】已知是的高，，，则的度数为_______． 【跟踪专练2】如图，在中，分别是边上的中线和高．，，则的长是（   ） A． B． C． D． 题型15.根据三角形中线求长度 【典例】如图，是的一条中线，的周长是10，的周长是12，那么_________． 【跟踪专练1】如图，已知是的中线，点E为线段的中点，，． （1）若的周长为，则的周长为_______； （2）若的面积为，则的面积为_______． 【跟踪专练2】如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（    ） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 题型16.根据三角形中线求面积 【典例】如图，中，D、E分别为的中点，且的面积为8，则图中阴影部分面积为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0．5 【跟踪专练1】如图，是的中线，是的中线，，则______． 【跟踪专练2】如图，的重心为G，如果的面积为2，则的面积为________． 【跟踪专练3】如图，在中，，点，，分别是边、、上的点，且，，相交于点，若点是的重心．则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确的结论有（    ） A．1 B．2个 C．3个 D．4个 【解答题】 1．如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 2．如图，直线，射线，交于点．已知，平分． . (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数（用含的代数式表示）： (3)若，点为射线上一点，点为线段上一点，连接，，且，随着P、Q两点的运动，和的大小随之发生变化，若在、运动过程中的值始终为定值，求的值及的度数． 3．好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列个问题，请你帮她解决．如图，在中，点是、的平分线的交点，点是、平分线的交点，，的延长线交于点． (1)若，求； (2)若，求的度数． 4．已知，点F是上一点，点E、N是上两点，连接、，过点E作交于点H，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，平分，过点F作于点K，，求的度数． 5．如图，在中，，，，分别是边，上的高，它们交于点H，求、的度数． 6．如图，是的中线，，若，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $