专题07整式的乘法复习讲义(12大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年青岛版七年级数学下册(原卷版)

专题07整式的乘法复习讲义 ☆ 复习目标 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解单项式乘单项式、单 1.能熟练进行三类整式乘法 1夯实基础计算题型，杜绝 项式乘多项式、多项式乘多 计算，步骤规范、运算准确。符号漏乘、漏项、指数运算 项式的运算法则。 2.会运用乘法分配律展开化 错误。 2.掌握整式乘法运算依 简，正确处理符号、系数、 2.熟练解答整式化简、计算 据，结合幂的运算公式，理 字母指数。 求值大题，保证步骤完整得 清运算逻辑。 3.能解决化简求值、含参数、 分。 3.认识整式乘法常见题型 不含某项等拓展题型。 3.衔接后续乘法公式，筑牢 结构，理解分配律在整式运 整式运算基础，提升综合解 算中的应用。 题能力。 ☆ 题型梳理 ●意。年年年年年。。海海 题型01.计算单项式乘单项式 题型02.计算单项式乘多项式及求值 题型03.单项乘多项式的应用 题型04.计算多顶式乘多项式 题型05.多项式乘多项式与图形面积 题型06.（仪+p)(x+q)型多项式乘法 题型07.多项式乘多项式化简求值 题型08.多项式乘法中的规律性问题 题型09整式乘法中混合运算 题型10.单项式乘法求字母/代数式的值 题型11.单项式乘多项式求字母的值 题型12.多项式乘积不含某项求字母的值 解答题8题 ☆ 知识梳理 整式乘法的「进化阶梯】 从简单到复杂，层层递进，本质都是*「分配律+幂运算」*的组合应用： 单项式×单项式→单项式×多项式→多项式×多项式 核心思想：化繁为简，把复杂乘法拆成最基础的单项式乘法 知识点0：三大核心运算：从「单×单」到「多×多] 试卷第1页，共3页 单项式×单项式（地基级运算）》 法则口诀：「系数相乘定符号，同底幂相加，独字母照抄 运算步骤： ()定符号：先判断正负（同号得正，异号得负） (2)算系数：系数相乘 (3)算幂：同底数幂相乘，指数相加 (④)补字母：只在一个单项式里出现的字母，直接保留 示例：(-2x2y).(3xy2)=-6x3y3 2.单项式×多项式（桥梁级运算） 核心依据：乘法分配律a(b+c)=ab+ac 法则口诀：「单项式敲门进，挨个拥抱不偏心，符号跟着系数走」 关键提醒： 多项式有几项，结果就有几项（不漏乘》 单项式是负数时，每一项都要变号（符号陷阱） 示例：-3x(2x2-x+5)=-6x3+3x2-15x 3.多项式×多项式（巅峰级运算）》 法则公式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 通俗记忆：「头头、头尾、尾头、尾尾，依次相乘再合并」 解题技巧： 按顺序相乘，避免重复或遗漏 先展开，后合并同类项（必须化简） 示例：(x+2)(x-3)=x2-3x+2x-6=x2-x-6 知识点02：三类运算超强对北比表（一眼分清.绝不混淆） 运算类型 核心逻辑 视觉化符号 易错雷区 单项式×单项式系数+ 幂运算 C.C,xm·xn 指数相加变相乘、符号看错 单项式×多项式 分配律展开 a (b+c) 漏乘常数项、负号不变号 多项式X多项式 两两分配展开 (a+b)(m+n) 重复乘、漏项、不合并同类项 试卷第1页，共3页 知识点03：避坑指南：这些错误90%的同学都犯过 1.符号陷阱：单项式是负数时，多项式每一项都要变号 2.指数陷阱：同底数幂相乘是指数相加，不是相乘 3.漏项陷阱：单项式乘多项式时，常数项也要乘 4.化简陷阱：多项式相乘后，必须合并同类项才算结束 5.顺序陷阱：先乘方，再乘法，最后加减 核心速记 1.核心思想：所有整式乘法→最终都转化为单项式×单项式 2.单项式相乘：系数乘、同底幂加、单独字母直接带 3.多项式相乘：乘遍每一项+带符号运算，二项式用“首首、首尾、尾首、尾 尾”防漏项 4.符号关键：多项式的项自带符号，乘的时候跟着走 5.自查技巧：m项×n项，合并前必是mn项，少了就是漏乘 6结果要求：乘完必合并同类项，最简才收尾 题型精析 年标海综标知标等部他第 题型01.计算单项式乘单项式 【典例】3a(-2a= 【跟踪专练1】计算(-3xy) -二x2y的结果是() 6 A.2xy2 B. C. -xy D.2x2y 、 a c m n m 【跟踪专练2】“三角” 表示32，“方框 b d 表示-a”d,则 25 题型02.计算单项式乘多项式及求值 【典例】已知a2+a-1=0,则a(a+1的值为() A.1 B.-1 C.0 D.2 【跟踪专练1】计算：-aab-a+b)= 试卷第1页，共3页 c 【跟踪专练2】如果规定 表示单项式-2xy, 表示多项式ab-cd,则 b m 计算 的结果是() m A.-2m'n-6mn2 B.-6m'n+2mn2 C.-2mn+6mn D.-6m'n-2mn2 题型03.单项乘多顶式的应用 【典例】计算x(2x+3),结果正确的是() A.2x2+3 B.2r+3 C.2x2+3x D.x2+x+3 【跟踪专练1】“垃圾分类，从你我做起”.我校积极倡导垃圾分类，响应国家政策.计划制 作一块长方形的宣传展板，宣传、倡导学生们化身“环保小卫士”.如图，这块宣传展板的长 为x+2y,宽为2x,则此宣传展板的总面积为 垃圾分分类宣传展板示意图 2y 可回 2x 收物 其他宣传区域 【跟踪专练2】如图，四边形ABCD与CGEF是两个边长分别为m,n的正方形，则阴影部 分的面积可以表示为() m 1 A.n2 B. 2 c.2- 1 D.m2 2 题型04.计算多项式乘多项式 【典例】计算(-x+2)2x2-3的结果为 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】已知a+b=3,ab=-7,则(a+1)(b+1)的值为() A.-3 B.-21 C.7 D.21 【跟踪专练2】己知a2+a-3=0,则(2a-4)(a+3)的值是 题型05.多项式乘多项式与图研形面积 【典例】有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为2a+b,宽为a+2b 的长方形，那么需要A类卡片 张 5 B a 【跟踪专练1】如图，用代数式表示阴影部分面积正确的为() A.ac+bc B.(a-c)(b-c) C.ab-(a-c)(b-c) D.ac+bc+c2 【跟踪专练2】我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还 有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图 2的面积表示.嘉淇选取了如图1所示的2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成 了一个长方形，则此长方形的周长为 b ab ab b2 1号 6 2号 3号 a 3 ab b a a b 图1 图2 题型06.(X+p)x+q)型多顶式乘法 【典例】若(x+a)(x-5)=x2-3x-10,则a= 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】若(x-3)(x+2)=x2+px+g,则p,q的值分别为() A.1,6 B.-1,-6 C.5,6 D.-5,6 【跟踪专练2】若(x-3)(x+5=x2+ax+b,则a-b= 题型07.多项式乘多项式化简求值 【典例】己知a-b=3,ab=-2,则(a+1)(b-1)= 【跟踪专练1】已知xx+2)=2022,则代数式2(x+4)(x-2)-2002的值为(). A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 a b 【跟踪专练2】若规定新运算： =ad-bc,则当m3-7m-3=0时， m2m-3 c d 1-2mm-2 题型08.多项式乘法中的规律性出问题 【典例】【文化欣赏】 杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就.观察如图各 式及其展开式 【应用体验】 请问(x-1)206展开式中，共有 项，含x225项的系数是 11 (a+b)'=a+b 121 (a+b)2=a2+2ab+b2 1331 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 14641 (a+b)4=a+4a3b+6a2b+4ab3+b4 。。 【跟踪专练1】如图①，我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b)”(n 为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律.后人也将图②称为“杨辉三角”，则 (a+b)"的展开式中所有项的系数和是 试卷第1页，共3页 (a+b)0=1 (a+b)=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 1 2 1 (a+b)3-a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=a+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 6 (a+b)=a3+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 10 10 ① ② 【跟踪专练2】我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉 三角”.如图所示，“杨辉三角”给出了(a+b)”(n=1,2,3,4,…的展开式的系数规律（按a的次 数由大到小的顺序)若(2x+12026=a,x26+a,x205+a,x2024+a0sx2+a2026x+a27,请根据 上述规律，计算a,-a2+a3-a4+…+a2025-a2o26的值等于() 11 (a+b)'=a+b 121 (a+b)2=a2+2ab+b2 1331 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 14641(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 A.22026 B.1 C.-1 D.0 题型09整式乘法中混合运算 【典例】已知a+b+c=0可得：a+b=-c,则代数式(a+b)(b+c(c+a+abc的值为() A.a+b+c B.abc C.2abe D.0 【跟踪专练1】如图，两个正方形的面积分别为4， 4,阴影部分的面积分别为a,b (a>b),则2ab-1-b2a-2的值为 【跟踪专练2】有一块长为a宽为b的矩形绿地上(a>b)修两条小路以方便行人，小路的宽 (小路与边界交点形成的线段)为1，则以下四种方法中哪一种小路所占面积与其他三种不 同？() 试卷第1页，共3页 B 题型10.单项式乘法求字母/代数式的值 【典例】已知单项式6xy与- 的积为m,则的值为（） A.12 B.9 C.6 D.3 【跟踪专练1】若单项式7xyz与单项式”y相乘的结果是一个十次单项式，则的值为 【跟踪专练2】设(y(=y,则mj 的值为() B C.1 D.? 题型11.单顶式乘多顶式求字母的值 【典例】要使(x2+ax-(-2x)的展开式中不含x4项，则a的值为_ 【跟踪专练1】若(x2+ax+1(-6x)的展开式中不含x4项，则a=() A.-6 B.O C. 6 D.-1 【跟踪专练2】若关于x的多项式2x3-4x2+6-2xx2-ax)的结果与x的取值无关，则a的 值是 题型12.多顶式乘积不含某项求字母的值 【典例】若(x+m)与(c+7)的乘积中不含x的一次项，则m的值为() A.-7 B.7 C.0 D.1 【跟踪专练1】若多项式(x+4)(x+m)展开后不含x的一次项，则m的值是 【跟踪专练2】若(x2-mx+2(2x+1的积中不含x的二次项，则x的一次项系数为() A.、7 B. C.2 9 2 D. 2 试卷第1页，共3页 【解答题】 1.计算与解方程组 (1)2ab.(-3a; (2)(-0.25)°.4°； 3)(π-2026)°+(-23： x-y=1 (4) 2x+3y=71 2.先化简，再求值：（2a-3b)(a+2b)-a2a-b),其中a=-2,b=-1. 3.如图是小明家房子的结构图，小明的爸爸打算把卧室和客厅铺上地板砖. (单位：m) 4v 4v 厨房 卧室 30 卫生间 不 5x 卧室 客厅 卧室 5x 4y 4v 4y (1)至少需要买多少平方米的地板砖？ (2)当x=1.1,y=1时，且每平方米的地板砖价格为320元，小明爸爸要花多少钱？ 4.综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 初步应用 ()如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长 方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式：一 ac ad b bc bd d 拓展创新 试卷第1页，共3页 (2)仿照(1)中面积法的思路，画出图形，并计算(2a+b)(a+b+c). 迁移应用 (3)若式子2x+p)(x+p+1)=2x2+8x+m无论x为多少时恒成立，求m的值. 5.定义：对于依次排列的多项式x+a,x+b,x+c,x+d(a,b,C,d是常数)，当它 们满足(x+a)x+d)-(x+b)x+c)=M,且M为常数时，则称a,b,C,d是一组平衡数， M是该组平衡数的平衡因子.如对于多项式x+2,x+1,x+6,x+5,因为 (x+2)(x+5)-(x+1x+6)=(x2+7x+10)-(x2+7x+6)=4,所以2,1,6,5是一组平衡 数，4是该组平衡数的平衡因子. (1)已知2,4,7,9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子M. (②)若a,b,c,d是一组平衡数，a=4,d=3,请写出一组b,c的值， (3)当a,b,c,d之间满足什么数量关系时，它们是一组平衡数？请说明理由. 6.现定义了一种新运算“⑧”，对于任意有理数a,b,c,d,规定a,b)⑧(c,d)=ad-bc, 等号右边是通常的减法和乘法运算.例如：(1,3)⑧(2,4)=1×4-2×3=-2. 请解答下列问题 (1)填空：（-2,3)⑧(4,5)=； (2)若(2x2+1,x-1⑧(5，x-2)的代数式中不含x的一次项时，求的值； (3)求(3x+1,x-2)⑧(x+2,x-3)的值，其中x2-4x+1=0. 6 7.若规定符号 的意义是： a b =ad-bc,当m3-7m-6=0时，求 m2 m-3引 的 d c d 1-2mm-2 值. 8.1261年，我国宋代数学家杨辉(13世纪)写了一本书一《详解九章算法》，书中记载了 一个用数字排成的三角形，这个三角形数阵图是北宋贾宪（约1世纪上半叶）首创的“开方 作法本源图”，后人称之为贾宪三角或杨辉三角.如图，这个三角形的构造法则：两腰上的 数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a+b)”(n为正整数)的展开式 (按Qa的次数由大到小的顺序排列)的系数规律. 试卷第1页，共3页 (a+b)0…1 (a+b)l…11 (a+b)2…121 (a+b)3…1331 (a+b)4.l4641 (1)根据上面的规律，则(a+b)的展开式= (2)(a+b)”的展开式共有 项，系数和为 (3)运用：今天是星期一，经过82026天后是星期 (4)直接写出(a-2b)的展开式中第三项的系数 (5)若(2x-1）206=a,x206+a,r2025+…+a20sx2+am6x+a27,求a+a,+…+a202s+a26的值. 试卷第1页，共3页 专题07整式的乘法复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则。 2.掌握整式乘法运算依据，结合幂的运算公式，理清运算逻辑。 3.认识整式乘法常见题型结构，理解分配律在整式运算中的应用。 1.能熟练进行三类整式乘法计算，步骤规范、运算准确。 2.会运用乘法分配律展开化简，正确处理符号、系数、字母指数。 3.能解决化简求值、含参数、不含某项等拓展题型。 1.夯实基础计算题型，杜绝符号漏乘、漏项、指数运算错误。 2.熟练解答整式化简、计算、求值大题，保证步骤完整得分。 3.衔接后续乘法公式，筑牢整式运算基础，提升综合解题能力。 题型01.计算单项式乘单项式 题型02.计算单项式乘多项式及求值 题型03.单项乘多项式的应用 题型04.计算多项式乘多项式 题型05.多项式乘多项式与图形面积 题型06.(x+p)(x+q)型多项式乘法 题型07.多项式乘多项式化简求值 题型08.多项式乘法中的规律性问题 题型09整式乘法中混合运算 题型10.单项式乘法求字母/代数式的值 题型11.单项式乘多项式求字母的值 题型12.多项式乘积不含某项求字母的值 解答题8题 整式乘法的「进化阶梯」 从简单到复杂，层层递进，本质都是 **「分配律 + 幂运算」** 的组合应用： 单项式 × 单项式 → 单项式 × 多项式 → 多项式 × 多项式 核心思想：化繁为简，把复杂乘法拆成最基础的单项式乘法 知识点01:三大核心运算：从「单 × 单」到「多 × 多」 1. 单项式 × 单项式（地基级运算） ✅法则口诀：「系数相乘定符号，同底幂相加，独字母照抄」 ✅运算步骤： (1)定符号：先判断正负（同号得正，异号得负） (2)算系数：系数相乘 (3)算幂：同底数幂相乘，指数相加 (4)补字母：只在一个单项式里出现的字母，直接保留 ✅示例：(−2x2y)⋅(3xy2)=−6x3y3 2. 单项式 × 多项式（桥梁级运算） ✅核心依据：乘法分配律 a(b+c)=ab+ac ✅法则口诀：「单项式敲门进，挨个拥抱不偏心，符号跟着系数走」 ✅关键提醒： 多项式有几项，结果就有几项（不漏乘） 单项式是负数时，每一项都要变号（符号陷阱） ✅示例：−3x(2x2−x+5)=−6x3+3x2−15x 3. 多项式 × 多项式（巅峰级运算） ✅法则公式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn ✅通俗记忆：「头头、头尾、尾头、尾尾，依次相乘再合并」 ✅解题技巧： 按顺序相乘，避免重复或遗漏 先展开，后合并同类项（必须化简） ✅示例：(x+2)(x−3)=x2−3x+2x−6=x2−x−6 知识点02:三类运算超强对比表（一眼分清，绝不混淆） 运算类型 核心逻辑 视觉化符号 易错雷区 单项式 × 单项式 系数 + 幂运算 CC, xmxn 指数相加变相乘、符号看错 单项式 × 多项式 分配律展开 a(b+c) 漏乘常数项、负号不变号 多项式 × 多项式 两两分配展开 (a+b)(m+n) 重复乘、漏项、不合并同类项 知识点03:避坑指南：这些错误 90% 的同学都犯过 1.符号陷阱：单项式是负数时，多项式每一项都要变号 2.指数陷阱：同底数幂相乘是指数相加，不是相乘 3.漏项陷阱：单项式乘多项式时，常数项也要乘 4.化简陷阱：多项式相乘后，必须合并同类项才算结束 5.顺序陷阱：先乘方，再乘法，最后加减 核心速记 1.核心思想：所有整式乘法→最终都转化为单项式 × 单项式 2.单项式相乘：系数乘、同底幂加、单独字母直接带 3.多项式相乘：乘遍每一项 + 带符号运算，二项式用 “首首、首尾、尾首、尾尾” 防漏项 4.符号关键：多项式的项自带符号，乘的时候跟着走 5.自查技巧：m 项 ×n 项，合并前必是 m×n 项，少了就是漏乘 6.结果要求：乘完必合并同类项，最简才收尾 题型01.计算单项式乘单项式 【典例】________． 【答案】 【分析】根据单项式乘单项式法则计算即可． 【详解】解：． 【跟踪专练1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题只需分别计算系数乘积，同底数幂的乘积，再确定符号即可得到结果． 【详解】解： ． 【跟踪专练2】“三角”表示，“方框”表示，则________． 【答案】 【分析】考查新定义和单项式与单项式相乘相结合，按照法则计算即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 题型02.计算单项式乘多项式及求值 【典例】已知，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【详解】， 移项得 ， ． 【跟踪专练1】计算：________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练2】如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可.先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故选：C． 题型03.单项乘多项式的应用 【典例】计算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘以多项式的运算，需运用乘法分配律，将单项式分别与多项式的每一项相乘再将所得的积相加．先运用乘法分配律将式子展开，再计算各项结果，最后与选项对比得出答案 【详解】解：， 故选：C． 【跟踪专练1】“垃圾分类，从你我做起”．我校积极倡导垃圾分类，响应国家政策．计划制作一块长方形的宣传展板，宣传、倡导学生们化身“环保小卫士”．如图，这块宣传展板的长为，宽为，则此宣传展板的总面积为__________． 【答案】 【详解】解：． ∴此宣传展板的总面积为． 【跟踪专练2】如图，四边形与是两个边长分别为m，n的正方形，则阴影部分的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式运算的实际应用，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：由题意， ； 故选A． 题型04.计算多项式乘多项式 【典例】计算的结果为__________ 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】已知，，则的值为（   ） A． B． C．7 D．21 【答案】A 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则将所求式子展开，再利用整体代入思想即可求解． 【详解】解：． 【跟踪专练2】已知，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，整体代入法，能够熟练进行多项式乘以多项式是解决问题的关键． 由得，再把计算乘法再适当变形，整体代入即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴. 故答案为：． 题型05.多项式乘多项式与图形面积 【典例】有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的长方形，那么需要A类卡片______张． 【答案】 2 【详解】解：由题意得：， 由图可知A类卡片的面积为，所以需要A类卡片2张． 【跟踪专练1】如图，用代数式表示阴影部分面积正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先表示出空白部分的面积，可以把四块空白部分矩形拼成一个长为，宽为的较大矩形，然后用最大的矩形面积减去空白部分的面积即可． 【详解】解：由题意得，最大的矩形面积为，空白部分的面积为， ∴阴影部分的面积为． 【跟踪专练2】我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：就可以用图2的面积表示．嘉淇选取了如图1所示的2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为______．    【答案】/ 【分析】本题考查了整式的乘法和整式加减的应用．根据题意得，再画出图形，根据长方形的周长公式列式计算即可求解． 【详解】解：由题意得，， 画出图形如下，    长方形的周长为 ， 故答案为：． 题型06.(x+p)(x+q)型多项式乘法 【典例】若，则________． 【答案】 【分析】先展开左边的多项式，再根据“多项式相等，对应项系数相等”的原则，列方程求解的值． 【详解】解：， 则， 可得，， 解得． 【跟踪专练1】若，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】将左边的式子展开，再对比右边的式子的对应项的系数相同即可． 【详解】 ∵ ∴，． 【跟踪专练2】若，则________． 【答案】17 【分析】先利用多项式乘多项式法则将展开，然后合并同类项，即可确定、的值，再代入计算即可． 【详解】解： ， 又∵， ∴，， ∴． 题型07.多项式乘多项式化简求值 【典例】已知，，则__________． 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再代入相应的值运算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【跟踪专练1】已知，则代数式的值为（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的混合运算，利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解： ， ． 【跟踪专练2】若规定新运算：，则当时，________． 【答案】6 【分析】根据新运算定义得到，结合进行计算即可． 【详解】解： 由得：， 则． 题型08.多项式乘法中的规律性问题 【典例】【文化欣赏】 杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式 【应用体验】 请问展开式中，共有___________项，含项的系数是___________． 【答案】 【分析】根据题意，依次求出展开式的项数及的系数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：∵展开式共有3项，且x的系数为； 展开式共有4项，且的系数为； 展开式共有5项，且的系数为； …， ∴展开式共有项，且的系数为， 当时， 展开式中共有2027项，且的系数为． 故答案为：①2027，②． 【跟踪专练1】如图①，我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．后人也将图②称为“杨辉三角”，则的展开式中所有项的系数和是______． 【答案】 【分析】根据图2找出规律，即可得出展开式所有项的系数和为． 【详解】解：观察已知展开式的系数和： 系数和：， 系数和：， 系数和：， 系数和：， …， ∴展开式所有项的系数和为， 【跟踪专练2】我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．如图所示，“杨辉三角”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）若，请根据上述规律，计算的值等于（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】D 【分析】分别令和，求出对应的代数式的值，再进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴. 题型09整式乘法中混合运算 【典例】已知可得：，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】将原式变形为，，，再将其代入即可求解． 【详解】解：∵． ∴，，． ∴ ． 【跟踪专练1】如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（），则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，整式混合运算． 设两个正方形重合部分的面积是，则，，代入计算即可． 【详解】解：设两个正方形重合部分的面积是，则，， ∴ ． 故答案为：． 【跟踪专练2】有一块长为a宽为b的矩形绿地上修两条小路以方便行人，小路的宽（小路与边界交点形成的线段）为1，则以下四种方法中哪一种小路所占面积与其他三种不同？（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查整式的计算，根据每个图形的面积分别计算小路面积即可判断 【详解】解：A.小路面积为， B.小路面积为，, C.小路面积为， D.如图： 过点A作于点A，则，但， ∴小路面积 故选D 题型10.单项式乘法求字母/代数式的值 【典例】已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，据此即可求出答案． 【详解】解， ， ，， ， 故选: C． 【跟踪专练1】若单项式与单项式相乘的结果是一个十次单项式，则的值为_______． 【答案】3 【分析】先根据单项式乘单项式法则计算两个单项式的乘积，再根据单项式次数的定义列方程求解即可． 【详解】解：， ∵单项式与单项式相乘的结果是一个十次单项式， ∴是一个十次单项式， ∴， ∴． 【跟踪专练2】设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 题型11.单项式乘多项式求字母的值 【典例】要使的展开式中不含项，则的值为______． 【答案】0 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握单项式乘多项式的运算是解题的关键．根据单项式乘多项式的运算，再结合展开式中不含项，即可解答． 【详解】解：， 要使的展开式中不含项， ． 故答案为：0． 【跟踪专练1】若的展开式中不含项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以多项式不含某项的问题，先根据单项式乘以多项式的运算法则展开式子，进而由展开式中不含项，得到项的系数为，据此解答即可求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故选：． 【跟踪专练2】若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 【答案】2 【分析】先把原式进行化简，再根据结果与x的取值无关列方程并解方程即可． 【详解】解： ∵多项式的结果与的取值无关， ∴含项的系数为0， 即， 解得：． 题型12.多项式乘积不含某项求字母的值 【典例】若与的乘积中不含的一次项，则的值为（      ） A． B．7 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解题的关键．根据与的乘积中不含的一次项，可得，进一步求解即可． 【详解】解：， 与的乘积中不含的一次项， ， ， 故选：A． 【跟踪专练1】若多项式展开后不含x的一次项，则m的值是______． 【答案】 【分析】先计算，再根据多项式展开后不含x的一次项作答即可． 【详解】解： ， ∵多项式展开后不含x的一次项， ∴， 解得：． 【跟踪专练2】若的积中不含x的二次项，则x的一次项系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算得出，根据积中不含x的二次项，得出，求出结果即可． 【详解】解： ， 因为积中不含x的二次项， 所以， 解得：， 所以x的一次项系数为． 【解答题】 1．计算与解方程组 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先计算积的乘方，再根据单项式乘单项式法则进行计算即可； （2）将原式根据积的乘方逆运算进行变形计算即可； （3）先计算零指数幂，有理数的乘方，再计算加法即可； （4）根据加减消元法计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：， 得，， 得，， 解得， 把代入得，， 解得， 原方程组的解为． 2．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先计算整式的乘法，再合并同类项，最后将，代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式． 当，时，原式． 3．如图是小明家房子的结构图，小明的爸爸打算把卧室和客厅铺上地板砖． (1)至少需要买多少平方米的地板砖？ (2)当，时，且每平方米的地板砖价格为320元，小明爸爸要花多少钱？ 【答案】(1)至少需要买平方米的地板砖； (2)元． 【分析】（1）根据题意求各部分的面积之和即可； （2）求出实际面积，再用实际面积乘以单价即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， （平方米）， 即至少需要买平方米的地板砖； （2）解：当，时，（平方米）， （元）， 即小明爸爸要花元． 4．综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 初步应用 (1)如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式： ． 拓展创新 (2)仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算． 迁移应用 (3)若式子无论x为多少时恒成立，求m的值． 【答案】(1) (2)图见解析， (3) 【分析】（1）根据大长方形面积的不同计算方法可得等式； （2）画一个长为，宽为的长方形，然后用两种不同的计算方法进行列式，即可得出答案； （3）先计算，再根据题意得出，，先求出p，然后可得m的值． 【详解】（1）解：把大长方形当成一个整体计算面积为：， 把大长方形分成四个小长方形计算面积为：， 可得对应的等式为：； （2）解：如图： 把大长方形当成一个整体计算面积为：， 把大长方形分成四个小长方形计算面积为：， 所以； （3）解：， ∵式子无论x为多少时恒成立， ∴，， ∴， ∴． 5．定义：对于依次排列的多项式（，，，是常数），当它们满足，且为常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．如对于多项式，因为，所以，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． (1)已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子． (2)若a，b，c，d是一组平衡数，，请写出一组b，c的值， (3)当a，b，c，d之间满足什么数量关系时，它们是一组平衡数？请说明理由． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3)当时，a，b，c，d是一组平衡数 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键在于观察两个展开式中各项之间的关系，通过观察，我们会发现，． （1）直接根据定义计算的值； （2）根据定义表示平衡数的平衡因子，令一次项的系数为，代入可得结论； （3）根据（2）可得，，，之间满足的数量关系式． 【详解】（1）解： （2）由题意，得 ， 因为，，是常数，所以，即，所以，的值可以是．（答案不唯一，满足即可） （3）， ，，，都是常数，所以当时，是常数，即当时，，，，是一组平衡数 6．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含的一次项时，求的值； (3)求的值，其中． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含的一次项，令含的一次项的系数为 0 进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解： ， ∵代数式中不含的一次项， ， ． （3）解：， ， ， 原式． 7．若规定符号的意义是：，当时，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据规定符号的意义可得，然后先去括号，再合并同类项，最后整体代入即可解答． 【详解】解：根据题意，可得 ， ， ． 8．1261年，我国宋代数学家杨辉（13世纪）写了一本书—《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，这个三角形数阵图是北宋贾宪（约11世纪上半叶）首创的“开方作法本源图”，后人称之为贾宪三角或杨辉三角．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)根据上面的规律，则的展开式___________ (2)的展开式共有___________项，系数和为___________． (3)运用：今天是星期一，经过天后是星期___________． (4)直接写出的展开式中第三项的系数___________． (5)若，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)二 (4)420 (5)0 【分析】（1）观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）根据给出的等式，得出规律进行作答即可； （3）利用7天为一个周期，的最后一项是1，则的余数是1，即可得出答案； （4）求出的第三项为，令，进行求解即可； （5）分别令和，进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可知的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1 ∴； （2）解：观察可知：的展开式有2项， 的展开式有3项， 的展开式有4项， 的展开式有5项， 依此类推， 共有项， 的展开式的系数和为； 的展开式的系数和为； 的展开式的系数和为； 依此类推，的展开式的系数和为； （3）解：∵，其展开式的最后一项为1， ∴的余数为1， ∵今天是星期一， ∴经过天后是星期二； （4）解：的展开式的第三项为， 的展开式的第三项为； 的展开式的第三项为； ∴的展开式的第三项为， ∴的展开式的第三项为 ∴的展开式的第三项的系数为； （5）解：∵， ∴当时，， 即：； 当时，，即：， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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