2026年中考数学三轮冲刺专题：反比例函数k值问题 提升练习

2026年中考数学三轮冲刺专题：反比例函数k值问题提升练习 1．如图，双曲线的图象经过矩形的、边的中点F、E，若且四边形的面积为2． (1)求双曲线的解析式； (2)求点E，B，F的坐标： (3)若点P为x轴上一动点，使得为以为底边的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 2．如图，反比例函数的图像与矩形在第二象限内相交于，两点，，．连接，，，，的面积分别为，． (1)直接写出的取值范围，并探究与之间的关系． (2)当时， ①求k的值及点，的坐标； ②试判断的形状，并求的面积． 3．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出使成立的的取值范围为__________； (3)求的面积． 4．如图，平面直角坐标系中，直线与双曲线在第二象限交于点，与轴交于点，点是双曲线上的点，线段轴，点在点下方． (1)求，的值； (2)若的面积为，求的值． 5．在平面直角坐标系中，对于双曲线和双曲线，如果，则称双曲线是双曲线的“半双曲线”． (1)写出的“半双曲线”是________； (2)如图，在平面直角坐标系中，已知点A是在第一象限内图像上任意一点，过点A作与y轴平行的直线交的“半双曲线”于点B，求的面积． 6．如图，在中，，轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点C，交于点D．已知，． (1)若，求的值； (2)连接，若，求的长． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数）的图象与轴交于点，与反比例函数（为常数，且）的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接、，求四边形的面积． 8．如图，反比例函数的图象过点． (1)的值为________； (2)当时，求的取值范围； (3)在图中用直尺和铅笔画出一个满足下列两个条件的三角形（不写画法）． ①三个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点，点，另一个顶点在坐标轴上； ②三角形的面积等于的值． 9．如图，直线与双曲线交于B，D两点，分别过点B，D作x轴的垂线，垂足分别为点A，C，连接，，已知点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 10．如图，点、在反比例函数的图象上，轴，轴，垂足分别为C、D，与相交于点E． (1)根据图象直接写出、的大小关系，并通过计算加以验证； (2)结合以上信息，从①的面积为3，②这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值并解释k的几何意义． 你选择的条件是______（只填序号）． 11．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x，y轴的垂线，垂足为C和B，矩形的面积为4． (1)求该反比例函数的解析式； (2)如图2，点D，E分别在边上，线段和的长成反比例关系，比例系数为1，顺次连接． ①当点A的横坐标为4时，求的面积； ②当点A在该反比例函数的图象上运动时，的面积是否发生改变？若发生改变，写出它们的变化规律；若没有发生改变，请说明理由． 12．如图，函数的图象上有一点，过作轴于，点在函数的图象上，且的面积是2． (1)求点的坐标； (2)若直线解析式的斜率为，求的周长． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴的正半轴上，且的面积为24，反比例函数的图象经过的中点． (1)求的值． (2)若点，在反比例函数的图象上，且点，的横坐标分别为2，6，请直接写出直线的表达式和的面积． 14．如图，点为反比例函数图象上的一个动点，过点轴，连接． (1)当的面积最小时，求函数的解析式； (2)在（1）的条件下，将直线向上平移4个单位长度，得到直线l，直线l与反比例函数的图象交于点B； ①求直线l的函数解析式； ②直接求出在第一象限内时的x的取值范围． 15．如图，一次函数的图像与反比例函数的图象交于点、点，与轴交于点． (1)求的值以及反比例函数的表达式； (2)连接，，求的面积； (3)直接写出关于的不等式的解集． 16．如图，点A、B分别是双曲线和上的两个动点，轴，过A、B两点分别作轴的垂线，垂足分别为D、C，连接、． (1)四边形的面积为 ； (2)设点C的坐标为． ① 当 时，四边形为正方形； ② 当是直角三角形时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)，， (3) 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、矩形的性质、勾股定理、二次根式的应用，运用数形结合思想是解题的关键． （1）连接，根据线段中点的定义得到，，得出，，则有，再根据反比例函数的性质得到，再结合反比例函数的图象确定的值，即可解答； （2）由得到点的纵坐标为，代入到，得到，得出点的坐标以及，再利用矩形的性质即可求出点、的坐标； （3）根据等腰三角形的定义得到，设，利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵点F、E分别是、边的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵双曲线的图象经过点F、E， ∴， ∴， 解得：， 由图象可知，双曲线经过第一象限， ∴， ∴， ∴双曲线的解析式为； （2）解：∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴点的纵坐标为， 到，得， 解得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴综上所述，，，； （3）解：∵为以为底边的等腰三角形， ∴， 设，则，， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 2．(1)， (2)①，，；②是直角三角形， 【分析】（）由反比例函数图象在第二象限可知；结合矩形边长及函数在第二象限的取值，确定的范围．依据反比例函 数的几何意义，分析与的关系． （）①利用及，结合三角形面积公式求出相关线段长度，进而确定的值和、的坐标． ②通过勾股定理求出、、，利用勾股定理逆定理判断三角形形状，再根据直角三角形面积公式计算面积． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像与矩形在第二象限内相交于，两点， ∴ 当时，， 由图可知，即， 解得： ∴． ∵反比例函数的图像与矩形在第二象限内相交于，两点， ∴，， ∴． （2）①当时， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴，． ②是直角三角形． 理由如下： ∵，，，， ∴，． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且． ∵，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理，以及反比例函数系数k的几何意义，图形与坐标，熟记反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 3．(1) (2)或 (3)的面积为8 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）先求出点和点的坐标，再将点和点的坐标代入，求出和的值，即可得出一次函数解析式； （2）根据函数图象，写出当一次函数图象低于反比例函数图象时自变量的取值范围即可； （3）令直线与轴相交于点，与轴相交于点，先求出与轴和轴的交点坐标，再根据，即可解答． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得：， ， 把代入得， ， 把，代入中， 得 解得： 一次函数的解析式为； （2）解：，， 由图可知，当或时，， 即使成立的的取值范围为或， 故答案为：或； （3）解：令直线与轴相交于点，与轴相交于点， 把代入得， ，则， 把代入得， 解得：， ，则， ． 4．(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数和反比例函数图象的交点问题，根据围成图形面积求比例系数问题， （1）将代入，求出，即，再代入即可求出b； （2）求出，，结合，根据列方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意将代入，得，解得， ∴， 将代入得，解得； （2）解：∵， ∴ ， ∵线段轴，点在点下方， ∴当时，，即， ∴， ∴， ∴即， 解得． 5．(1) (2)的面积为2 【分析】本题主要考查了新定义、反比例函数k的几何意义、反比例函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接利用“半双曲线”的定义解答即可； （2）根据反比例函数k的几何意义以及三角形的面积公式求解即可； 【详解】（1）解：由“半双曲线”的定义可知：的“半双曲线”是． 故答案为：． （2）双曲线的“半双曲线”是， 的面积为4，的面积为2， 的面积为2． 6．(1)12 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，得出点坐标即可得出答案； （2）首先表示出，点坐标，进而利用反比例函数图象的性质求出点坐标，然后利用勾股定理即可求得的长 此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象的性质，正确得出方程，解一元一次方程是解题关键． 【详解】（1）解：作，垂足为E， ∵， ∴． 在中，，， ∴, ∵， ∴C点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， 故答案为：12． （2）解：设A点的坐标为， ∵，， ∴， ∴D，C两点的坐标分别为：，． ∵点C，D都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴C点的坐标为：， ∴． 故答案为：． 7．(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、待定系数法求函数解析式及平面直角坐标系中图形面积的计算，熟练运用待定系数法和割补法是解答本题的关键． （1）利用待定系数法，先代入点坐标求一次函数解析式，再结合点坐标求出反比例函数的值； （2）将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，结合割补法将四边形拆分为两个三角形，依次计算三角形面积并求和． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得：， ， 将代入得： ， ， 将代入得： ， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：将代入得： ， ， ， 过点作， ，，， ，， ． 8．(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）把点代入反比例函数，即可求解； （2）当时，，根据反比例函数的增减性即可解答； （3）在x轴的负半轴上取格点Q，连接，使得轴，则为所求． 【详解】（1）解：由图可得点P的坐标为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得． （2）解：由（1）可得反比例函数为， 当时，， ∴当时，． （3）解：如图，为所求． 由图可得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．(1) (2)4 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、平行四边形判定及的几何意义，掌握利用函数对称性判定平行四边形，结合反比例函数面积性质计算图形面积是解题的关键． （1）由轴及得的横坐标，代入直线解析式求坐标，再代入反比例函数求； （2）利用函数对称性得关于原点对称，证四边形是平行四边形，再由的几何意义求面积． 【详解】（1）解：轴于点， 点B的横坐标为， 将代入，得， ． 将代入，得， 故反比例函数的解析式为． （2）解：直线与双曲线均关于原点对称， 它们的交点B，D关于原点对称， ，， 四边形是平行四边形． 由的几何意义可知， ． 10．(1)；验证见解析 (2),k表示（或者）面积的2倍，①或,k表示（或者）面积的2倍，② 【分析】（1）根据图象可知，，，，可得，由，即可得到； （2）选择①作为条件：由（1）可得，，，的面积等于的面积等于，由的面积为3，可得四边形CDBE的面积为3，易证，即可求出；选择②作为条件：由，可得的面积为2，由，可得的面积为8，可求出；k的几何意义是：k表示（或者）面积的2倍． 【详解】（1）解：根据图象可知，， ∵点、在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， ∴． （2）选择①作为条件： 由（1）可得，，， ∵轴，轴， ∴，，，， ∴的面积等于的面积等于， ∴，的面积等于四边形CDBE的面积． ∵的面积为3， ∴四边形CDBE的面积为3． ∵轴，轴， ∴，∴， 又∵四边形CDBE的面积为3， ∴． ∵， ∴； 选择②作为条件： ∵由（1）可得，，，轴，轴， ∴，，，． ∴的面积等于的面积等于． ∴，的面积等于四边形CDBE的面积． ∵， ∴的面积为2， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴的面积为8， ∵， ∴； k的几何意义是：k表示（或者）面积的2倍． 11．(1) (2)①②不会发生改变．理由见解析 【分析】（1）利用反比例函数的性质求解； （2）①根据函数解析式求出点纵坐标，设点D的坐标为，点E的坐标为，得出，然后利用割补法表示出三角形的面积即可； ②设点A的坐标为，表示出点D的坐标为，点E的坐标为，然后利用割补法表示出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵矩形的面积为4， ∴， ∴或， ∵函数图象位于第一象限， ∴ ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：①∵点A的横坐标为4， ∴， ∴点A的纵坐标为1． ∴可设点D的坐标为，点E的坐标为． ∵线段和的长成反比例关系，比例系数为1， ． ． 即． ； ②不会发生改变．理由如下： ∵设点A的坐标为， ∴可设点D的坐标为，点E的坐标为，且． ∵线段和的长成反比例关系，比例系数为1， ． ， ． 即． ． 12．(1) (2) 【分析】（1）先理解题意，结合，得，再把代入，即可作答； （2）先设直线的解析式为，再求出，故联立，解得，运用勾股定理得出，最后求出周长，即可作答． 【详解】（1）解：∵轴于， ∴， ∵， ∴， ∴反比例函数解析式为， 依题意，把代入得， ∴点坐标为． （2）解：依题意，设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为：． 联立 ∴ 整理得， 解得或， ∵点坐标为． ∴， 则， ∴ 则， 故的周长． 13．(1)12 (2)；16 【分析】（1）设点，点，根据题意，得，，求解即可； （2）根据反比例函数解析式，确定P、Q的坐标，利用待定系数法，分割法求解即可； 【详解】（1）解：设点，点， 的面积为24，反比例函数的图象经过的中点， ，， ，， ． （2）解：根据题意，得反比例函数的解析式为， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴． 如图，过点P作轴于点N，过点Q作轴于点M，令交于点G， ∴， ， 根据反比例函数的性质，得， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．(1) (2)①② 【分析】（1）根据的面积与反比例函数关系推出，再结合二次函数最值情况分析求解出点坐标，设函数的解析式为，利用待定系数法求解，即可解题； （2）①设直线的解析式为，将（1）中点坐标代入解析式求解，即可得到直线的解析式，再结合函数平移规律求解，即可解题； ②联立解析式求解，再结合图象找出一次函数在反比例函数下方的部分，即可求出其x的取值范围． 熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数最值情况，函数的平移法则是关键． 【详解】（1）解：点为反比例函数图象上的一个动点， ， ， 当时，的面积最小， ， 设函数的解析式为； ， 函数的解析式为； （2）解：①设直线的解析式为， 有，解得， 直线的解析式为， 直线向上平移4个单位长度，得到直线l， 直线l的函数解析式为； ②当时，解得， 在第一象限内时的x的取值范围为． 15．(1)的值为，反比例函数的表达式为 (2)的面积为 (3)或 【分析】（1）将点、点代入，即可求出、的值，得出结果； （2）过点作轴，过点作轴，延长、交于点，通过即可得出结果； （3）根据函数图象可得出结果． 【详解】（1）解：∵点、点在函数的图象上， ∴，解得， 故的值为，反比例函数的表达式为． （2）解：∵， ∴，， ∴、点， 过点作轴，过点作轴，延长、交于点,如下图所示： ∵点、点， ∴，，，， 且， ∴． （3）解：观察图象，在的范围内， 若， 即反比例函数的图像应在一次函数图象上方， 故或． 16．(1)5 (2)①；②的值为 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数系数的几何意义，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）由反比例函数系数的几何意义即可求解； （2）由四边形为正方形可得，则点的纵坐标为，利用函数解析式即可求得点的横坐标，即可得的值； 由点，可得点，点，当是直角三角形时，利用即可求解． 【详解】（1）解：由反比例函数系数的几何意义可得：． 故答案为：5． （2）解：∵四边形为正方形， ∴， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， ∴，即点的横坐标为， ∵轴， ∴点的横坐标为，即． 故答案为：． ∵轴，， ∴点，点， ∴，，， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴的值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $