2026年中考数学三轮高频考点二次函数与等腰直角三角形的存在性问题冲刺练习

**基本信息** 聚焦二次函数与等腰直角三角形存在性问题，通过基础求解、性质应用到综合探究的分层设计，实现从单一知识点到复杂问题解决的能力进阶，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次函数解析式求解|以待定系数法为主，如第1(1)、2(1)题，巩固函数基本概念| |中档|函数性质与几何结合|涉及图形面积、坐标计算，如第2(2)、3(2)题，强化数形结合能力| |拔高|存在性问题探究|需分类讨论等腰直角三角形构成，如第1(4)、6(3)题，发展逻辑推理与创新意识|

2026年中考数学三轮高频考点二次函数与等腰直角三角形的存在性问题冲刺练习 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． (1)求抛物线的解析式； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； (3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； (4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 2．如图所示，已知抛物线经过点，与直线交于B，D两点． (1)求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标； (2)点P为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点P的坐标； (3)在抛物线上有一点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点N，若是等腰直角三角形，求点M的坐标． 3．如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上（点不与点，重合）运动时，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，设点的横坐标为． ①若，求的值； ②若为等腰直角三角形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线上第一象限内一点，连接，若，请直接写出点的坐标． 4．已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)___________，___________． (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值． (3)点N是抛物线上一动点，M是直线上一动点，当是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，以为直角边，在第二象限作等腰直角三角形，抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式． (2)设抛物线的顶点为，连接，求的面积． (3)在抛物线上是否还存在两点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线与x轴交于A、两点（A在B的左侧），与y轴交于点，已知对称轴． (1)求抛物线L的解析式； (2)将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求h的取值范围； (3)设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线上，能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由． 7．已知抛物线（）与x轴交于，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点，D为对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，在x轴的上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点，且为等腰直角三角形． （i）求的面积； （ii）点为该抛物线段上一动点，过点G作轴，与直线相交于点N，当线段的长随p的增大而减小时，求p的取值范围． 8．如图，抛物线，经过，，三点． (1)求抛物线的函数关系式，并求出顶点坐标； (2)若点在对称轴右侧的抛物线上的一点，以为斜边作等腰直角三角形，且直角顶点恰好在对称轴上，求出点的坐标； (3)在直线上方的抛物线上求一点，使的面积最大，并求出点的坐标． 9．如图，二次函数的图象与直线交于点和点，对称轴是直线，过B平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)当点M在直线上方时，若，求m的值； (3)设N是直线上的点，是否存在点M和点N的位置，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求所有m的值；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴和轴分别交于点和点，点是此抛物线上一点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)若点在轴上方的抛物线上时，请结合图象直接写出的取值范围． (3)过点作轴，点的横坐标为，点与点不重合． ①当线段的长度随的增大而减小，求的取值范围． ②在的下方作等腰直角三角形，且，当时，直接写出等腰直角三角形与抛物线的交点个数及的取值范围． 11．如图，已知抛物线（a，b为常数，）经过，，与y轴交于点C． (1)求抛物线所对应的函数表达式． (2)在抛物线的对称轴上存在一点D，连接，．当最小时，求点D的坐标． (3)点E是抛物线上的动点，设点E的横坐标为m． ①当点E在抛物线对称轴右侧时，过点E作轴，与抛物线交于点F，G为x轴上一点，当为以为斜边的等腰直角三角形时，求m的值； ②以点E为中心构造正方形，，且轴，当抛物线在正方形内部（包含边界）的图象的最大值与最小值的差为时，直接写出m的取值范围． 12．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系． (3)连接、，当为何值时？ (4)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线顶点的坐标为，与平行的动直线与抛物线交于，两点（且点在点的左边），以为斜边向右下方做等腰直角三角形，直角顶点为点，直角边与抛物线交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点恰好与抛物线与轴的交点重合时，求的值； (3)当直线与抛物线的交点距离时，是否存在点在抛物线上，点在直线上，使得为等腰直角三角形？若存在，求出的面积；若不存在，请说明理由； (4)连接，当的面积被线段分为的两部分时，直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)且 (3)或或 (4)存在，或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为，当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，即可求解； （3）点，矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4，当点M的纵坐标为时，，解得；当点M的纵坐标为时，，即可求解； （4）当点在点B的上方时，证明，得到，即可求解；当点在点B的下方时，同理可解． 【详解】（1）解：抛物线经过原点， 抛物线的表达式为， 将点代入上式得，， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由（1）中抛物线的解析式可知，抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为， 当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升， 即， 点B、M不重合， 故， 即且； （3）点，矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4， 当点M的纵坐标为时，， 解得； 当点M的纵坐标为时，， 解得：或， 综上，m的值为1或或； （4）存在，或，理由如下： 当点在点B的上方时，如图，设点， 过点B、M分别作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为H、G， 是以为斜边的等腰直角三角形， 则， ， ， ， ， ， 则点， 将点M的坐标代入抛物线表达式得，   解得（舍去）或， 则； 当点在点B的下方时， 同理可得，点， 将点M的坐标代入抛物线表达式得，， 解得：（不合题意的值已舍去）， 则， 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 2．(1)， (2)， (3)或 【分析】（1）将点，代入抛物线的解析式中，求出解析式，然后将与抛物线的解析式联立方程组并求解即可； （2）过点P作作轴，交于点E，设，则． 则，然后依据 ，列出的面积与x的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可； （3）设点N的坐标为则点，则，进而得到，解答即可得到m的值，进而得到点M的坐标即可． 本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的表达式，等腰直角三角形的判定等知识点，分类讨论是解答本题的关键． 【详解】（1）解：已知抛物线经过点，，将点A，点B的坐标代入得： 解得： ∴设该抛物线解析式为， 联立方程组： 解得(舍去)或 即点D的坐标是； （2）如图1：过点P作轴，交于点E， 设，则． ∴． ∴ ． ∴当时，的面积的最大值为． ∴， （3）如图2，过点M作x轴的垂线交x轴于点N， ∵轴于N， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点P在抛物线上， ∴设点N的坐标为 则点， ∴， ∴， ∴或， 即或， 当时， 解得或 (舍去)， 此时； 当时， 解得或 (舍去)， 此时， 综上，点M的坐标为或． 3．(1) (2)①；②或3 (3) 【分析】（1）将、的坐标代入解析式，即可求解； （2）①由待定系数法得直线的解析式为，可求，，即可求解； ②分类讨论：当时， 当时，即可求解； （3）过作交于，过作轴交于，由可判定，由全等三角形的性质可求得，待定系数法求出直线的解析式，联立一次函数与二次函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：①当时， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 故； ②，， ， ， 轴， 轴， ， 当时，如图， 为等腰直角三角形， ， ， 解得：，（舍去）， ； 当时， 为等腰直角三角形， ， ， 同理可求：， ， ， 解得：，（舍去）， 综上所述：或3； （3）解：过作交于，过作轴交于，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， 同理可求直线的解析式为， 联立得， 解得：或（舍去） ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，等腰三角形是判定，全等三角形的判定及性质等，能构建全等三角形及根据直角不同进行分类讨论是解题的关键． 4．(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）把点，代入抛物线，即可求解； （2）对于抛物线为，令，得到，运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴于点Q，交于点E，设（），则，，由，得到，根据二次函数的性质即可求解； （3）设，连接，分两种情况分别求解：①将线段绕着点N逆时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰；②将线段绕着点N顺时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴，解得． 故答案为：， （2）解：∵，， ∴抛物线为， 令，则， ∴， ∴． 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴于点Q，交于点E， 设（），则， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴． ∴当时，有最大值，为． （3）解：∵点N在抛物线上， ∴设． 连接， ①将线段绕着点N逆时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰， 过点N作x轴的垂线，垂足为点F，过点M作于点G， ∵，， ∴，， ∵轴，， ∴， ∴， ∵是以点N为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点M在直线上， ∴ 解得， ∴． ②将线段绕着点N顺时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰， 过点N作x轴的平行线，分别过点A，点M作该平行线的垂线，垂足分别为点Q，点H， ∵，， ∴，， 同①同理可得， ∴，， ∴， ∵点M在直线上， ∴， 解得， ∴或． 综上所述，点N的坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定及性质，二次函数的性质，全等三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 5．(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）过点作轴于点，则．证明，则，则，得到点．把点代入，解得，即可求出答案； （2）求出抛物线的顶点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式为．设直线和轴的交点为，得到点的坐标为，则，即可求出答案； （3）延长至点，使，过点作轴于点，证明进一步得到点．过点作为垂足，且使，连接，则四边形为正方形．过点作轴于点，证明，进一步得到点．验证两点都在抛物线上，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则． ∴ ∵， ∴ ． 在和中， ∵， ， ， ， 点． 把点代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）由， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将点代入， 得， 解得， 直线的解析式为． 设直线和轴的交点为， 当时，，解得 ∴点的坐标为， ， ． （3）存在．如图，延长至点，使，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 点． 过点作为垂足，且使，连接，则四边形为正方形． 过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 点． 当时，， 当时，， ∴两点都在抛物线上， 在抛物线上存在两点，使四边形为正方形． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质、正方形的判定和性质、一次函数的图象和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6．(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称性可得，再将三个点的坐标代入关系式，求出答案即可； （2）先求出直线的解析式，再求出抛物线的顶点坐标是，再求出当时，抛物线顶点落在上，当时，抛物线顶点落在上，然后结合题意可得答案； 先设点，再分两种情况：当点P在x轴上方时，点 P作，交于点M，过点B作垂直于的延长线于点N，然后根据等腰直角三角形的性质证明，可得，即可得出，接下来结合得出方程，求出解可得出答案； 当点P在x轴下方时，过点P作，于点M，过点B作，交延长线于点N，同理可得，再根据得出方程，求出解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是， ∴点． ∵抛物线的图象经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为，经过点， ， 解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴抛物线的顶点坐标是． 当时，， 将抛物线L向下平移h个单位长度， ∴当时，抛物线顶点落在上， 当时，抛物线顶点落在上， ∴抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），则； （3）解：设点， 当点P在x轴上方时，过点P作，交于点M，过点B作垂直于的延长线于点N，如图所示， ∵是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 根据点B的坐标可得，且， ∴， 解得或， ∴或3， ∴点或； 当点P在x轴下方时，过点P作，于点M，过点B作，交延长线于点N， 同理可得， ∴， ∴， 则， 解得或， ∴或， ∴点或． 综上所述，符合条件的点P的坐标是或或或． 7．(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用待定系数法，将A，C两点的坐标代入（），进行解答即可； （2）先设的高为，则，进一步得点Q的坐标为，代入抛物线的解析式，求出的值，最后利用三角形的面积公式即可解答；先连接，进一步得，再分别求出直线和直线的表达式，再根据和得出，最后根据函数的图象与性质，即可解答． 【详解】（1）解：将A，C两点的坐标代入（）， 得：， 解得， ∴． （2）解：（i）在等腰直角中，以为底的高（也是中线）等于的长度的一半， 故设与x轴之间的距离，即以为底的高为m，（）， 则． 又抛物线的对称轴为直线， ∴点Q的坐标为，点的坐标为, 将点Q的坐标代入得，， 解得（舍去负值）， ∴； （ii）如图，连接， ，， ， 为等腰直角三角形． 又为等腰直角三角形， ． 设直线的表达式为， 将，代入得，， ∴， ∴． 设直线的表达式为， 将点的坐标代入得，， ， ． 且 轴， ． ，且， ∴． ∵线段的长随p的增大而减小， ∴， 综上，p的取值范围为． 8．(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）把点，，代入抛物线解析式中求解即可； （2）根据题意画出图形，设，分别表示出和，根据条件证明，得出，，即可根据等于点的纵坐标绝对值，计算即可； （3）根据已知条件求出直线的解析式，表示出，则，求出，表示出的面积，根据配方法配方求解即可． 【详解】（1）把点，，代入中， ， 解得， ， 二次函数顶点坐标为， ，， 顶点坐标为． （2）根据题意作图如下： 则为等腰直角三角形，，， ， 过点作对称轴于点， 则， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 设， 则，， 点可能在第一象限，也可能在第四象限， ， ， 当点在第一象限时，， 解得，（舍去）， ， ； 当点在第四象限时，记为，， 解得，（舍去）， ， ， 综上所述，点的坐标为或． （3）点的位置如图所示，过点作轴交于， 设直线的解析式为， ，， ， ， 点在抛物线上面， 设， 轴，且点在直线上面， ， ， 延长交轴于点，过点作， 则，， ， ， ， 当时，的面积最大为， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了了二次函数的相关知识点，包括求抛物线函数关系式、顶点坐标，利用等腰直角三角形的性质求点的坐标以及求三角形最大面积时点的坐标，涉及到待定系数法、等腰直角三角形的性质等知识． 9．(1) (2)或 (3)存在，，，，． 【分析】（1）先求出点B的坐标，再用待定系数法求解即可； （2）在A点上方的y轴取点D，连接，求出使得的点D的坐标，求出过点D且平行的直线的解析式，再运用求交点横坐标的方法求解m即可； （3）作于点E，于点F，根据题意可知当，时，是以为斜边的等腰直角三角形，从而根据列出m的方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得： ∴点B坐标为 由题意，， 解得，， ∴抛物线的函数关系式是． （2）当时，， ∴， ∵点B坐标为，抛物线对称轴为直线， ∴点C坐标为， 由题意， 在A点上方的y轴取点D，连接，设，则，即， 解得， 过点D作的平行线交抛物线于点M， 由题意，该直线函数关系式为 令 解得，， 或 （3）存在．，，，． 作于点E，于点F ， 当，时，， ， ， ∴， ∴当，时，是以为斜边的等腰直角三角形． ， 解得，，，，． 10．(1) (2) (3)①；②时，有一个交点；时，有两个交点；时，有三个交点 【分析】用待定系数法可得抛物线的解析式为； 求出时或，由图可得的取值范围是； 求出当，即时，与重合；即可得当，即时，，随的增大而减小，符合题意；而当，即时，，随的增大而增大，不符合题意；从而可得答案； 由知，当时，，重合，分种情况：当时，当时，当时，分别画出图形可得答案． 【详解】（1）解：把和代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：在中，令得：， 解得或， 由图可得，点在轴上方的抛物线上时，的取值范围是； （3）解：轴，点横坐标为，点的横坐标为， 当，即时，与重合； 当，即时，， 此时随的增大而减小，符合题意； 当，即时，， 此时随的增大而增大，不符合题意； 综上所述，当线段的长度随的增大而减小，的取值范围是； 由知，当时，，重合， 当时，在的左侧，如图： 此时等腰直角三角形与抛物线的交点只有个； ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，在的右侧，如图： 由图可知，此时等腰直角三角形与抛物线的交点有个； 当时，如图： 此时等腰直角三角形与抛物线的交点有个； 综上所述，当时，等腰直角三角形与抛物线的交点有个；当时，等腰直角三角形与抛物线的交点有个；当时，等腰直角三角形与抛物线的交点有个． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，二次函数图象与x轴交点，二次函数与二次不等式的关系，等腰直角三角形等知识，解题的关键是数形结合思想和分类讨论思想的应用． 11．(1) (2) (3)①或；②或或 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）连接，交抛物线的对称轴于点D，连接，求出抛物线的对称轴为直线，点C的坐标为，根据线段垂直平分线的性质得出，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，然后求出直线的解析式，再求出点D的坐标即可； （3）①分两种情况讨论：当点E在轴上方时，当点E在轴上方时，分别画出图形，列出方程，解方程即可； ②分四种情况讨论：当时，当时，当时，当时，分别画出图形，列出不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：∵抛物线（a，b为常数，）经过，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：连接，交抛物线的对称轴于点D，连接，如图所示： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∵点A、B关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， ∴点D的坐标为． （3）解：①∵点E在抛物线对称轴右侧时，轴，与抛物线交于点F， ∴点E与点F关于直线对称，且， ∵点E在抛物线上， ∴， 当点E在轴上方时，设交直线于点H，如图所示： 则， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵点G在x轴上， ∴， ∵， ∴， 解得：，（舍去）； 当点E在轴下方时，设交直线于点H，如图所示： 同理可得：，，， ∴， 解得：，（舍去）， 综上，或； ②当时，如图所示： ∵轴，四边形为正方形， ∴轴，， ∵， ∴， ∵以点E为中心构造正方形，， ∴所在直线的横坐标为，所在直线的横坐标为，所在直线的纵坐标为，所在直线的纵坐标为， ∵抛物线在正方形内部（包含边界）的图象的最大值与最小值的差为， ∴抛物线与、有交点， ∴， 整理得：， 解不等式组得：或， ∵此时， ∴此时； 当时，如图所示： 同理可得：， 整理得：， 解得：， ∵此时， ∴此时， 当时，P、Q、M、N重合，不存在正方形； 当时，如图所示： 同理可得：， 整理得：， 解得：或， ∵此时， ∴此时； 综上：或或． 12．(1)，点的坐标为 (2)，且 (3)或 (4)存在，点的坐标为或 【分析】（1）直线与抛物线交于、两点，可得点和点坐标，再求出点、的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出和的长，根据待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）根据题意将的面积和的面积表示出来，令，即可解出的值； （4）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：直线与抛物线交于、两点，则点、点． ∵，， ∴点的坐标为， 故抛物线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点的坐标为． （2）解：，且，理由： ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为； ∵、点， ∴， 故； ∵直线的解析式为，直线的解析式为， 故将直线向上平移个单位得到直线， ∴， 故，且． （3）解：∵， 解得，， ∴点的坐标为． 如图，过点作轴的平行线，交于点， 设点，则点， ∴． 解得或． （4）解：存在，点的坐标为或． 设点，点，，而点， ①当时， 如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， ∴点． ②当时，如图： 此时，则点、关于抛物线的对称轴对称， 点在抛物线上， 由抛物线的对称性可知，点在抛物线上， 又点在直线上， 点与点重合，此时纵坐标为3， ∴点． ③当时， 当点在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点在的下方，与题意不符，舍去； 当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，同理可得， 解得（舍去），． 故点． 综上可得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、三角形全等、图形的面积计算等，要注意分类求解，避免遗漏．熟练掌握这些性质、判定、二次函数的图象和性质是解题的关键． 13．(1) (2) (3)存在，的面积为 (4)或 【分析】（1）根据题意，由抛物线的顶点式直接求解即可得到答案； （2）根据题意，作出图形，由（1）中所求抛物线解析式，求出与轴的交点，，再由题意得到直线：，联立方程组求解得到，由是等腰直角三角形求出中边，由正切函数值定义代值求解即可得到答案； （3）根据，设直线：， ，，联立方程组，利用一元二次方程根与系数关系及两点之间距离公式求出，得出直线解析式，由为等腰直角三角形，分三种情况讨论求解即可得到答案； （4）设直线：， ，，则，由抛物线的对称性得到的横坐标，由题中的面积被线段分为的两部分，分两种情况：；，再由等腰三角形中，联立或求解即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线顶点的坐标为， ； （2）解：如图所示： 由（1）知抛物线解析式为，令，解得或， ，， 直线与直线平行， 设直线：，将代入得，解得，及直线：， 联立，解得或，即， 是等腰直角三角形， ， 在中，，则，即； （3）解：存在，的面积为， 由（1）知抛物线解析式为， 直线与直线平行， 设直线：， ，， 联立，消去得，则，， ， ，即，解得， 直线：， 解得或，即，， 当时，如图所示： 根据直线与直线垂直，可设直线：，将代入得，即直线：， 联立得或，即，， 是等腰直角三角形， ，则； 当时，如图所示： 直线：， ， 是等腰直角三角形， ， ，则轴， ， 当时，则，解得或，即，则，由等腰直角三角形性质得到， ； 如图所示： 直线：， ，则， 若是等腰直角三角形，则， ，则轴， 显然，直线轴，与抛物线只有一个交点，不存在点在抛物线上，使是等腰直角三角形； 当时，如图所示： 直线：， ， 若是等腰直角三角形，则， ，则轴， 显然，直线轴，与抛物线只有一个交点，不存在点在抛物线上，使是等腰直角三角形； 如图所示： 直线：， ， 是等腰直角三角形， ， ，则轴， ， 当时，则，解得或，即，则，由等腰直角三角形性质得到， ； 综上所述，存在点在抛物线上，点在直线上，使得为等腰直角三角形；的面积为； （4）解：如图所示： 设直线：， ，，则， 抛物线的对称轴为， 的横坐标可表示为， 的面积被线段分为的两部分， 或， 当，则，即； 当，则，即； 是等腰直角三角形， ， ，则，即， 联立，解得，则；联立，解得，则； 综上所述，或． 【点睛】本题考查二次函数综合，综合性强、难度较大，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质、等腰直角三角形的性质、求正切函数值、直线平行的特征、两点之间距离公式、平行线的判定与性质、三角形面积公式、解方程组等知识，读懂题意，灵活运用相关知识求解，分类讨论是解决问题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $