精品解析：北京市首都师范大学附属苹果园中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

首都师范大学附属苹果园中学2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学试卷 第一部分选择题（共60分） 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.把所选项前的字母填在题后括号内. 1. 在数列中,,,那么（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知等比数列的通项公式，则数列的公比为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 3. 已知甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为（ ） A. 0.56 B. 0.14 C. 0.24 D. 0.94 4. 等差数列中，则 A. B. C. D. 5. 在等差数列中，，设数列的前项和为，则（ ） A. 12 B. 99 C. 132 D. 198 6. 若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针）的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.375 C. 0.36 D. 0.216 7. 已知数列的前n项和，则是（ ） A. 公差为4的等差数列 B. 公差为2的等差数列 C. 公比为2的等比数列 D. 公比为3的等比数列 8. 设为无穷等比数列的前n项和，则“有最大值”是“有最大值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 9. 此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ） A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0 10. 已知是公比不为1的等比数列，，若成等差数列，则（   ） A. B. C. 4052 D. 11. 湖北新冶钢有限公司（简称为“新冶钢”）是中国现存最早的钢铁企业之一，素有中国“钢铁工业的摇篮”之称.该公司今年年初用192万元购进一台机器投入生产，每年可以给公司带来69万元的收入，但该台机器每年需要进行维护，第一年需要维护费12万元，从第二年起每年的维护费用比上一年增加6万元，则该台机器购买若干年后的年平均利润最大值是（ ）万元. A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 12. 设数列的前n项和，若，则（ ） A. 数列满足 B. 数列为递增数列 C. 的最小值为 D. ，，不成等差数列 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分. 13. 在等差数列中,若,,则数列的公差__________. 14. 若数列满足，，则__________，前项的和__________. 15. 一批产品的次品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的次品件数，则_________. 16. 设等比数列的公比，前项和为，则______. 17. 能说明“设数列的前项和，对于任意的，若，则”为假命题的一个等比数列是__________．（写出数列的通项公式） 18. 设数列前项和为，满足，且，，则下列命题正确的是____________.①；②数列为等差数列；③当时，有最大值；④设，则当或时，数列的前项和取最大值. 三、解答题：本大题共4个小题,共60分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 19. 已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？ （3）若数列，求数列的前项和. 20. 近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数据如下表： 甲款机器人 乙款机器人 丙款机器人 测试次数 50 100 100 成功次数 20 60 80 假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率. （1）估计甲款机器人单次送餐成功的概率； （2）若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，求恰好成功两次的概率； （3）若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为，，，直接写出方差，，的大小关系. 21. 习近平总书记指出，人工智能是引领新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着人们的生产、生活、学习方式，推动人类社会迎来人机协同、跨界融合、共创分享的智能时代.随着中国人工智能行业市场规模的不断扩大，各行各业人工智能应用渗透度也在不断提升，下图是2021-2023年中国人工智能在互联网、电信、政务、金融、制造业、交通、服务、教育等8个行业的渗透度的变化情况： （1）从上图2021年8个行业中随机抽取3个，求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率； （2）从上图2022年和2023年8个行业中各随机抽取1个，设其中人工智能渗透度高于的行业个数为，求的分布列及数学期望； （3）从上图2023年8个行业中随机抽取1个，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，若方差取得最大值，请写出实数的取值范围.（结论不要求证明） 22. 已知数列是无穷数列，其前n项和为若对任意的正整数，存在正整数， ()使得，则称数列是“S数列". （1）若判断数列是否是“S数列”，并说明理由; （2）设无穷数列的前n项和且，证明数列不是“S数列"; （3）证明:对任意的无穷等差数列，存在两个“S数列"和，使得成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 首都师范大学附属苹果园中学2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学试卷 第一部分选择题（共60分） 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.把所选项前的字母填在题后括号内. 1. 在数列中,,,那么（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】由及得， 所以，， 所以数列是周期为的数列，故. 2. 已知等比数列的通项公式，则数列的公比为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知及等比数列的定义可得结果. 【详解】因为为等比数列且通项公式为， 所以公比， 故选：A. 3. 已知甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为（ ） A. 0.56 B. 0.14 C. 0.24 D. 0.94 【答案】A 【解析】 【分析】根据相互独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】因为甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立， 所以甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为. 故选:A. 4. 等差数列中，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 本题选择A选项. 5. 在等差数列中，，设数列的前项和为，则（ ） A. 12 B. 99 C. 132 D. 198 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，以及前项和公式，即可求解. 【详解】，， . 故选：C 6. 若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针）的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.375 C. 0.36 D. 0.216 【答案】A 【解析】 【分析】设事件为抽取的一人完成新冠疫苗全程接种，事件为抽取的一人完成加强免疫接种，进而结合题意，根据条件概率公式求解即可. 【详解】解：设事件为抽取的一人完成新冠疫苗全程接种，事件为抽取的一人完成加强免疫接种， 所以，， 所以在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为. 故选：A 7. 已知数列的前n项和，则是（ ） A. 公差为4的等差数列 B. 公差为2的等差数列 C. 公比为2的等比数列 D. 公比为3的等比数列 【答案】A 【解析】 【分析】利用的关系先确定通项公式，结合等差数列与等比数列的定义判定即可. 【详解】当时，， 当时，，作差得， 显然时，也满足上式，故， 显然，由等差数列与等比数列的定义知A正确，B、C、D错误. 故选：A 8. 设为无穷等比数列的前n项和，则“有最大值”是“有最大值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】分别考虑和的情形，即可说明条件既不是充分的也不是必要的. 【详解】当时，，此时显然有最大值， 而没有最大值，这表明条件不是充分的； 当时，由于，故是递增数列，从而没有最大值. 又由于，故是递减数列， 从而有最大值，这表明条件不是必要的. 故选：D. 9. 此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ） A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】结合条件概率公式和互斥事件的概率加法公式求解即可. 【详解】设“考生答对题目”为事件，“考生知道正确答案”为事件， 则， 所以， 故选：A. 10. 已知是公比不为1的等比数列，，若成等差数列，则（   ） A. B. C. 4052 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差中项的性质结合等比数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为成等差数列，所以， 即，解得或（舍去）， 所以. 故选：A. 11. 湖北新冶钢有限公司（简称为“新冶钢”）是中国现存最早的钢铁企业之一，素有中国“钢铁工业的摇篮”之称.该公司今年年初用192万元购进一台机器投入生产，每年可以给公司带来69万元的收入，但该台机器每年需要进行维护，第一年需要维护费12万元，从第二年起每年的维护费用比上一年增加6万元，则该台机器购买若干年后的年平均利润最大值是（ ）万元. A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求出每年的盈利表达式，再计算年累计盈利及平均年盈利，最后运用基本不等式求解即可. 【详解】则题意，第年盈利为：. 所以该台机器购买n年后的盈利为：.令，则解得. 设该台机器购买n年后的年平均利润为y万元，则，当且仅当时取“”，因此，该台机器购买8年后的年平均利润最大，最大值是12. 故选：C 12. 设数列的前n项和，若，则（ ） A. 数列满足 B. 数列为递增数列 C. 的最小值为 D. ，，不成等差数列 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，验证即可判断；对于B，比较和的大小即可判断；对于C，先证明，再由即可得到C正确；对于D，直接计算是否等于即可判断. 【详解】由于，且当时，有. 所以. 对于A，由于，，，故，故A错误； 对于B，由于，故B错误； 对于C，由于，且当时，有 ， 从而，而，所以的最小值是，故C正确； 对于D，由于 ， 所以，，成等差数列，故D错误. 故选：C. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分. 13. 在等差数列中,若,,则数列的公差__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得. 14. 若数列满足，，则__________，前项的和__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】∵，， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴， ∴，， 故答案为，． 点睛：等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略： ①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解． 15. 一批产品的次品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的次品件数，则_________. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据题意得到，然后利用二项分布的性质求解. 【详解】∵一批产品的二等品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件， 有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数， ∴， ∴. 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查二项分布的期望，属于基础题. 16. 设等比数列的公比，前项和为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的求和公式以及通项公式可求得的值. 【详解】由等比数列求和公式以及通项公式可得. 故答案为：. 17. 能说明“设数列的前项和，对于任意的，若，则”为假命题的一个等比数列是__________．（写出数列的通项公式） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据数列的单调性结合的符号可得出结果. 【详解】取，则，则， 但，故满足题意. 故答案为：.（答案不唯一） 18. 设数列前项和为，满足，且，，则下列命题正确的是____________.①；②数列为等差数列；③当时，有最大值；④设，则当或时，数列的前项和取最大值. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】（1）利用给定条件，求出，进而求出数列的通项公式，再结合等差数列性质、前项和公式及单调性逐一判断各个命题即得. 【详解】由，，且， 当时，，解得，当时，， 则， 整理得，即， 而，则，于是数列为等差数列，公差为，首项为， 因此，①正确； 于是，则， 当时，，则，因此数列为等差数列，②正确； 显然，则当时，取得最大值，③错误； 由，得，由，得， 则当时，，当时，， 当时，，当时，， 又，， 因此当或时，数列的前项和取最大值，④正确， 所以正确命题的序号是①②④. 故答案为：①②④ 【点睛】方法点睛：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求. 三、解答题：本大题共4个小题,共60分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 19. 已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？ （3）若数列，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由，求得公差，再由，求得，结合等差数列的通项公式，即可求解； （2）由，，求得等比数列的首项和公比，利用等比数列的通项公式求得，结合（1），即可求解； （3）由（1）、（2）求得，利用等差数列和等比数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，所以， 又因为，即，解得， 所以数列的通项公式为. （2）设等比数列的公比为， 因为，，所以，解得， 所以，则， 令，解得，即是数列的第63项相等. （3）由（1）、（2）可知，，所以， 所以数列的前项和 . 【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比的通项公式，以及等差、等比数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 20. 近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数据如下表： 甲款机器人 乙款机器人 丙款机器人 测试次数 50 100 100 成功次数 20 60 80 假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率. （1）估计甲款机器人单次送餐成功的概率； （2）若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，求恰好成功两次的概率； （3）若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为，，，直接写出方差，，的大小关系. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先计算甲款机器人单次送餐成功的频率，利用频率估计概率即可求解； （2）利用独立事件乘法概率和互斥事件加法概率公式求解即可； （3）由，利用二项分布的方差公式求解，即可求解. 【小问1详解】 设甲款机器人单次送餐成功的概率为，则； 【小问2详解】 设乙款机器人单次送餐成功的概率为，设丙款机器人单次送餐成功的概率为， 所以， 所以恰好成功两次的概率为 ； 【小问3详解】 由题意有， 所以， 所以. 21. 习近平总书记指出，人工智能是引领新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着人们的生产、生活、学习方式，推动人类社会迎来人机协同、跨界融合、共创分享的智能时代.随着中国人工智能行业市场规模的不断扩大，各行各业人工智能应用渗透度也在不断提升，下图是2021-2023年中国人工智能在互联网、电信、政务、金融、制造业、交通、服务、教育等8个行业的渗透度的变化情况： （1）从上图2021年8个行业中随机抽取3个，求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率； （2）从上图2022年和2023年8个行业中各随机抽取1个，设其中人工智能渗透度高于的行业个数为，求的分布列及数学期望； （3）从上图2023年8个行业中随机抽取1个，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，若方差取得最大值，请写出实数的取值范围.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列： X 0 1 2 P 数学期望为 （3） 【解析】 【分析】(1) 有3个行业人工智能渗透度不低于，再由古典概率公式求解； (2)由可取，求出对应的频率，列出分布列，再求出数学期望即可； (3) 设，得，当且仅当，等号成立时，，再由中位数的概念进行求解． 【小问1详解】 从上图2021年8个行业中，有3个行业人工智能渗透度不低于， 则所求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率为：． 【小问2详解】 从上图2022年8个行业中，有2个行业的人工智能渗透度高于， 2023年8个行业中，有4个行业的人工智能渗透度高于， 则可取， ， ， ， 得的分布列为： X 0 1 2 P 则的数学期望为：． 【小问3详解】 设，则， 则， 得， 当且仅当，等号成立时，， 从上图2023年8个行业中人工智能行业渗透度从小到大依次为： ， 则实数的取值范围为： 22. 已知数列是无穷数列，其前n项和为若对任意的正整数，存在正整数， ()使得，则称数列是“S数列". （1）若判断数列是否是“S数列”，并说明理由; （2）设无穷数列的前n项和且，证明数列不是“S数列"; （3）证明:对任意的无穷等差数列，存在两个“S数列"和，使得成立. 【答案】（1）是“S数列"；理由见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解. 【解析】 【分析】 （1）根据等差数列的求和公式，得到，再由数列的新定义，即可判断出结果； （2）根据等比数列的前n项和，得到，，假设是“S数列"，得到，根据题中条件，令，推出矛盾，从而可得结论成立； （3）设无穷等差数列的公差为，则，令，，根据数列新定义，证明和都是“S数列"即可. 【详解】（1）因为显然是以为首项，以为公差的等差数列， 所以其前项和为， 则对任意的正整数，都有 当时，，即存在，使得； 当正整数时，取，， 则，都是正整数，且， 则； 综上对任意的正整数，存在正整数， ()使得， 所以数列是“S数列"； （2）由且可知，当时，有， 当时，； 若数列是“S数列"，则对任意的正整数，存在正整数， ()使得， 即对任意的正整数，存在正整数， ()使得， 当时，对于任意的正整数，都有为奇数； 而对于任意的正整数， ()，都有和为偶数，即为偶数； 因此； 所以数列不是“S数列"； （3）设无穷等差数列的公差为，则， 令，， 下面证明和都是“S数列"； 设数列的前项和为，则， 对于任意的正整数，都有, 当时，，即存在，，使得； 当正整数时，取，，则，且，都为正整数，此时； 综上对任意的正整数，存在正整数， ()使得，所以是“S数列"； 同理可证是“S数列"； 所以对任意的无穷等差数列，存在两个“S数列"和，使得成立. 【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义的问题，处理此类问题时，通常根据题中新定义的概念，结合已知结论求解，本题中，根据“S数列"的定义，结合等差数列与等比数列的通项公式与求和公式进行求解，考查等比数列与等比数列的综合应用，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $