北京市首都师范大学附属苹果园中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

首都师范大学附属苹果园中学2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学试卷 第一部分选择题（共60分） 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.把所选项前的字母填在题后括号内. 1. 在数列中,,,那么（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知等比数列的通项公式，则数列的公比为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 3. 已知甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为（ ） A. 0.56 B. 0.14 C. 0.24 D. 0.94 4. 等差数列中，则 A. B. C. D. 5. 在等差数列中，，设数列的前项和为，则（ ） A. 12 B. 99 C. 132 D. 198 6. 若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针）的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.375 C. 0.36 D. 0.216 7. 已知数列的前n项和，则是（ ） A. 公差为4的等差数列 B. 公差为2的等差数列 C. 公比为2的等比数列 D. 公比为3的等比数列 8. 设为无穷等比数列的前n项和，则“有最大值”是“有最大值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 9. 此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ） A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0 10. 已知是公比不为1的等比数列，，若成等差数列，则（   ） A. B. C. 4052 D. 11. 湖北新冶钢有限公司（简称为“新冶钢”）是中国现存最早的钢铁企业之一，素有中国“钢铁工业的摇篮”之称.该公司今年年初用192万元购进一台机器投入生产，每年可以给公司带来69万元的收入，但该台机器每年需要进行维护，第一年需要维护费12万元，从第二年起每年的维护费用比上一年增加6万元，则该台机器购买若干年后的年平均利润最大值是（ ）万元. A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 12. 设数列的前n项和，若，则（ ） A. 数列满足 B. 数列为递增数列 C. 的最小值为 D. ，，不成等差数列 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分. 13. 在等差数列中,若,,则数列的公差__________. 14. 若数列满足，，则__________，前项的和__________. 15. 一批产品的次品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的次品件数，则_________. 16. 设等比数列的公比，前项和为，则______. 17. 能说明“设数列的前项和，对于任意的，若，则”为假命题的一个等比数列是__________．（写出数列的通项公式） 18. 设数列前项和为，满足，且，，则下列命题正确的是____________.①；②数列为等差数列；③当时，有最大值；④设，则当或时，数列的前项和取最大值. 三、解答题：本大题共4个小题,共60分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 19. 已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？ （3）若数列，求数列的前项和. 20. 近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数据如下表： 甲款机器人 乙款机器人 丙款机器人 测试次数 50 100 100 成功次数 20 60 80 假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率. （1）估计甲款机器人单次送餐成功的概率； （2）若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，求恰好成功两次的概率； （3）若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为，，，直接写出方差，，的大小关系. 21. 习近平总书记指出，人工智能是引领新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着人们的生产、生活、学习方式，推动人类社会迎来人机协同、跨界融合、共创分享的智能时代.随着中国人工智能行业市场规模的不断扩大，各行各业人工智能应用渗透度也在不断提升，下图是2021-2023年中国人工智能在互联网、电信、政务、金融、制造业、交通、服务、教育等8个行业的渗透度的变化情况： （1）从上图2021年8个行业中随机抽取3个，求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率； （2）从上图2022年和2023年8个行业中各随机抽取1个，设其中人工智能渗透度高于的行业个数为，求的分布列及数学期望； （3）从上图2023年8个行业中随机抽取1个，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，若方差取得最大值，请写出实数的取值范围.（结论不要求证明） 22. 已知数列是无穷数列，其前n项和为若对任意的正整数，存在正整数， ()使得，则称数列是“S数列". （1）若判断数列是否是“S数列”，并说明理由; （2）设无穷数列的前n项和且，证明数列不是“S数列"; （3）证明:对任意的无穷等差数列，存在两个“S数列"和，使得成立. 首都师范大学附属苹果园中学2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学试卷 第一部分选择题（共60分） 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.把所选项前的字母填在题后括号内. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】A 【11题答案】 【答案】C 【12题答案】 【答案】C 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分. 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】3 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】（答案不唯一） 【18题答案】 【答案】①②④ 三、解答题：本大题共4个小题,共60分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 【19题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）. 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1） （2）分布列： X 0 1 2 P 数学期望为 （3） 【22题答案】 【答案】（1）是“S数列"；理由如下： 因为显然是以为首项，以为公差的等差数列， 所以其前项和为， 则对任意的正整数，都有 当时，，即存在，使得； 当正整数时，取，， 则，都是正整数，且， 则； 综上对任意的正整数，存在正整数， ()使得， 所以数列是“S数列"； （2）由且可知，当时，有， 当时，； 若数列是“S数列"，则对任意的正整数，存在正整数， ()使得， 即对任意的正整数，存在正整数， ()使得， 当时，对于任意的正整数，都有为奇数； 而对于任意的正整数， ()，都有和为偶数，即为偶数； 因此； 所以数列不是“S数列"； （3）设无穷等差数列的公差为，则， 令，， 下面证明和都是“S数列"； 设数列的前项和为，则， 对于任意的正整数，都有, 当时，，即存在，，使得； 当正整数时，取，，则，且，都为正整数，此时； 综上对任意的正整数，存在正整数， ()使得，所以是“S数列"； 同理可证是“S数列"； 所以对任意的无穷等差数列，存在两个“S数列"和，使得成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $