2026年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练 专题8 一次函数、反比例函数与二次函数的综合运用

专题8 一次函数、反比例函数与二次函数的综合运用 第一部分 典例剖析及变式训练 类型一 反比例函数与一次函数的综合运用 【典例1】（2025秋•毕节市期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（6，﹣1），DE＝3． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求△CDE的面积． （3）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 【变式训练】 1．（2024秋•怀宁县期中）如图，一次函数y＝﹣2x﹣2的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，已知A为线段BC的中点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点P是反比例函数的图象上一个动点，PD⊥y轴于点D．设四边形AODP的面积为S，当时，S的最小值． 2．（2026•肥东县模拟）如图，点A（m，1）在双曲线的图象上，另有一直线y2＝x+3的图象经过点A． （1）求出y1的表达式； （2）画出y2的图象，并根据图象直接写出y1，y2同时大于1时的x的范围． 3．（2026春•海淀区月考）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且与函数的图象在第一象限交于点A（4，n）． （1）求一次函数的表达式； （2）已知点T（t，0），过点T作垂直于x轴的直线，交直线y＝kx+b（k≠0）于点M（x1，y1），交函数的图象于点N（x2，y2）．当y1＜y2时，直接写出t的取值范围． 类型二 反比例函数与二次函数的综合运用 【典例2】（2024•庐阳区模拟）在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）的图象如图所示，P（m，﹣6），Q（12，n）是反比例函数图象上的两点． （1）m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）记反比例函数图象上P、Q两点之间（包含P、Q两点）的部分为PQ，若二次函数的图象与PQ有两个公共点，则k的取值范围是　 ． 【变式训练】 1．（2025秋•高唐县期末）反比例函数y（k≠0）与二次函数y＝x2﹣kx+k在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•曲阜市二模）如图，曲线AB是抛物线y＝﹣4x2+8x+1的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点），曲线BC是反比例函数的图象的一部分，由点C开始不断重复形成一组“波浪线”．若点P（2024，m）在该“波浪线”上，则m的值为（　　） A．1 B．5 C． D．2024 3．（2025秋•南海区月考）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点A（2，4），二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． （1）求二次函数的解析式； （2）已知二次函数与反比例函数的图象交于A，B（点A的横坐标小于点B的横坐标）两点，P为抛物线对称轴上一动点．若△PAB是以P为顶角的等腰三角形，求点P的坐标． 类型三 一次函数与二次函数的综合运用 【典例3】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段AB上一点，C与B不重合．以点C为顶点的二次函数f（x）的图象经过点B．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线g（x），点B、C的对应点分别是B′、C′，且点B′的坐标为，点C′的纵坐标为﹣2． （1）求点C的坐标及二次函数f（x）的解析式； （2）若点P是新抛物线对称轴上一点，且以P、A、C为顶点的三角形与△ABC相似，且相似比不等于1，求点P的坐标； （3）点D（4，y1）和E（x2，y2）在新抛物线上，且对于任意实数x2，当m＜x2≤m+1时，y1＞y2，求实数m的取值范围． 【变式训练】 1．已知二次函数y＝x2+bx﹣10图象的对称轴是． （1）求二次函数的解析式； （2）设直线y＝4x+7与抛物线y＝x2+bx﹣10交点的横坐标为m．求代数式的值． 类型四 反比例函数与一次函数、二次函数的综合运用 【典例4】（2026春•盐城月考）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标和为0的点，则称该点为这个函数图象的“零点”． （1）若点P（1，﹣1）是一次函数y＝mx+3图象上的“零点”，则m＝　 　 ；若点Q是反比例函数图象上的“零点”，则点Q的横坐标为　 ； （2）若函数y＝2x+m的图象上在﹣3≤x≤1的范围内存在“零点”，求实数m的取值范围； （3）若二次函数y＝ax2﹣ax﹣2a+3的图象上在﹣2≤x≤2的范围内有且只有一个“零点”，求实数a的取值范围． 【变式训练】 1．（2025秋•临淄区期中）一次函数y＝ax+b和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•庐阳区期末）如图，已知反比例函数的图象与二次函数的图象交于A、B、C三点，点A的坐标为，点B的坐标为（﹣2，﹣1），点C的坐标为（﹣1，﹣2）． （1）请求出k、b、c的值； （2）结合图象，请直接写出不等式的解集是　 　 ； （3）点D是抛物线AC段上的一点，连接OA、OC、AC、DC、AD，当S△ADC＝S△AOC时，请求出此时D点的横坐标． 3．（2024•岳阳县模拟）对于函数y＝f（x），若存在实数x0，使得f（x0）＝x0，即一个函数图象上存在横坐标与纵坐标相等的点，则称该点是函数y＝f（x）的“不动点”．例如，点（1，1）是函数图象的“不动点”． （1）分别判断函数y＝x2+5x+3，y＝x+2的图象上是否存在“不动点”？如果存在，求出“不动点”的坐标；如果不存在，说明理由． （2）设函数，y＝﹣x+b（b＞0）的图象的“不动点”分别为点A，B，过B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC为等腰直角三角形时，求a，b的关系式； （3）若函数y＝x2﹣6（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，此时W2的解析式为y＝（x﹣2m）2﹣6（x＜m），当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“不动点”时，求m的取值范围． 4．（2024•鼓楼区三模）两个函数交点的横坐标可视为两个函数联立后方程的根，例如函数y＝x+3的图象与函数的图象交点的横坐标可视为方程x2+3x＝1的根． （1）函数y＝x+b的图象与函数的图象有两个不同交点，求b取值范围． （2）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣1（m为常数）． ①设直线y＝﹣2x+1与抛物线y＝﹣x2+2mx﹣1有两个不同交点，求m取值范围． ②已知点A（﹣2，﹣1）、B（2，﹣1），若抛物线y＝﹣x2+2mx﹣1与线段AB只有一个公共点，请直接写出m的取值范围． 第二部分 专题提优训练 1．（2026•惠山区一模）如图，直线AB与x轴交于点C，与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AD⊥y轴，垂足为点D，若S△ACD＝5，则a的值为（　　） A．﹣4 B．﹣9 C．6 D．11 2．（2022秋•永年区月考）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标都是整数的点叫做整点，已知二次函数y＝﹣x2+bx（b＞0）和反比例函数y（x＞0）的图象如图所示，它们与x轴正半轴围成的封闭图形（不包括边界）的整点个数为4，则b的取值范围是（　　） A．b B．b≤4 C．b D．4＜b 3．（2025秋•清城区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．（2025•江北区模拟）如图，直线y＝ax（a≠0）与反比例函数的图象交于A、B两点，点C为反比例函数图象上另一点，连接AC，点D为线段AC的中点，若点B、点C的横坐标分别为﹣1和﹣3，S△ABD＝4，则k值是 　 ． 5．（2025秋•瑶海区期末）如图，二次函数y1的顶点坐标为（2，﹣2），与y轴交于（0，﹣4），与反比例函数y2的图象交点横坐标为﹣1． （1）求二次函数和反比例函数解析式； （2）根据图象：直接写出y2＞y1的解集． 6．已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a交x轴于A，B两点，其中点A在点B的左边，直线y＝﹣ax+3a与y轴交于点C，其中a＞0． （1）点A的坐标为　 　 ，点B的坐标为　 　 ； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线y＝ax2﹣4ax+3a于点M，交直线y＝﹣ax+3a于点N． ①若a＝1，t＝2，求MN的长度； ②在点P从坐标原点O向点D（3a，0）运动的过程中（点P不与点O、D重合），若的值与t无关，求a的取值范围． 7．（2025秋•天河区期末）已知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（1，3）和点B（3，n），与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求反比例函数的表达式及n的值； （2）将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F． ①请求出点F的坐标； ②将线段BF绕点B旋转，在旋转过程中，求线段OF的最大值． 8．（2025秋•长沙县期末）【自主定义】某数学兴趣小组研究发现：在平面直角坐标系中，某些点的纵坐标y比横坐标x的3倍还大a（a为常数），即纵坐标y与横坐标x满足关系式y＝3x+a（a为常数），则称此点为“3倍大a点”，例如（1，3+a），（3，9+a）都是“3倍大a点”． 【感知判定】（1）若a＝2时，判断下列点是否为“3倍大2点”（在后面括号内填“是”或“否”）； ①（m，3m+2）（　 　 ） ②（﹣1，1）（　 　 ） 【知识应用】（2）若a＝1时，“3倍大1点”为（x，3x+1），则一次函数y＝4x+3的图象上的“3倍大1点”的坐标为　 　 ； （3）若反比例函数存在“3倍大a点”，求a2的取值范围； 【拓展延伸】（4）若a＝1时，二次函数y＝﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤1的范围内，图象上有且只有1个“3倍大1点”，求c的取值范围． 9．（2026•西岗区模拟）已知y1和y2都是自变量x的函数，若当x＞0时，y2＝y1，当x≤0时，y2＝﹣y1，则称函数y2为函数y1的“关联函数”． 例如：函数y1＝x﹣1，则称y2为函数y1＝x﹣1的“关联函数”，图1、图2分别为y1、y2的图象． （1）若点M（m，4）在函数y1＝2x﹣3的“关联函数”y2的图象上，求m的值； （2）点P是反比例函数图象上的一点，且纵坐标为2，过点P作PQ∥x轴，交的“关联函数”y2的图象于点Q，当PQ＝3时，则k＝　 ． （3）二次函数的图象过（﹣1，0），（3，0）两点， ①当﹣1≤x≤n时，y2的取值范围是﹣4n﹣1≤y≤3，求n的值； ②若点P在y2的图象上，且P点的横坐标为t（t≤3），点Q坐标为（1﹣3t，0），以PQ为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当y2的图象在矩形内部的点纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出t的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8 一次函数、反比例函数与二次函数的综合运用 第一部分 典例剖析及变式训练 类型一 反比例函数与一次函数的综合运用 【典例1】（2025秋•毕节市期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（6，﹣1），DE＝3． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求△CDE的面积． （3）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，进而求出点D的坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式即可求解； （2）根据即可求得； （3）观察函数图象即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得：a＝6×（﹣1）＝﹣6， ∴反比例函数的关系式为， ∵点D在反比例函数上，且DE＝3， ∴y＝3，代入得：，解得x＝﹣2， ∴点D的坐标为（﹣2，3）． ∵C、D两点在直线y＝kx+b上，则，解得， ∴； （2）； （3）由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，正确进行计算是解题关键． 【变式训练】 1．（2024秋•怀宁县期中）如图，一次函数y＝﹣2x﹣2的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，已知A为线段BC的中点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点P是反比例函数的图象上一个动点，PD⊥y轴于点D．设四边形AODP的面积为S，当时，S的最小值． 【分析】（1）由一次函数解析式求出A、B的坐标，进而求得C点坐标，代入可求得k的值； （2）设，则，由于的值在x＜0时，y随x的增大而增大，S随的值的增大而增大，即可得出S随x的增大而增大．再由点C（﹣2，2），则当时，﹣2≤x＜0，所以当x＝﹣2时，S值最小，把x＝﹣2代入计算即可求解． 【解答】解：（1）在y＝﹣2x﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，当y＝0时，x＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（0，﹣2）． ∵A为线段BC的中点， ∴﹣1×2﹣0＝﹣2，0×2﹣（﹣2）＝2， ∴C（﹣2，2）． ∵反比例函数的图象过点C， ∴k＝﹣2×2＝﹣4， ∴； （2）解：∵点P是反比例函数的图象上一个动点， ∴设， ∴． 设，则S＝a+2， ∴S随a的增大而增大． 在中，﹣2＜0， ∴x＜0时，a随x的增大而增大， ∴S随x的增大而增大． 由（1）知，C（﹣2，2）， ∴当时，﹣2≤x＜0， ∴当x＝﹣2时，S值最小，最小值为． 即当时，S最小值为3． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数的性质，熟知函数的性质是解题的关键． 2．（2026•肥东县模拟）如图，点A（m，1）在双曲线的图象上，另有一直线y2＝x+3的图象经过点A． （1）求出y1的表达式； （2）画出y2的图象，并根据图象直接写出y1，y2同时大于1时的x的范围． 【分析】（1）先求出点A的坐标，再据此求出y1的表达式即可； （2）根据题意，画出y2的图象，再利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：（1）将点A（m，1）代入y2＝x+3得， m+3＝1， 解得m＝﹣2， 所以点A的坐标为（﹣2，1）． 将点A坐标代入得， k＝（﹣2）×1＝﹣2， 所以y1的表达式为； （2）如图所示， 由函数图象可知， 当﹣2＜x＜0时，一次函数和反比例函数的图象都在直线y＝1的上方，即y1，y2同时大于1， 所以y1，y2同时大于1时的x的取值范围是﹣2＜x＜0． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 3．（2026春•海淀区月考）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且与函数的图象在第一象限交于点A（4，n）． （1）求一次函数的表达式； （2）已知点T（t，0），过点T作垂直于x轴的直线，交直线y＝kx+b（k≠0）于点M（x1，y1），交函数的图象于点N（x2，y2）．当y1＜y2时，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）先求出点A的坐标，据此进一步求出一次函数的表达式即可； （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 将点A坐标代入y得， n， 所以点A坐标为（4，1）． 因为一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝x的图象平移得到， 所以k＝1， 将点A坐标代入y＝x+b得， 4+b＝1， 解得b＝﹣3， 所以一次函数的表达式为y＝x﹣3； （2）如图所示， 由x﹣3得， x1＝﹣1，x2＝4， 所以两个函数图象的交点坐标为（﹣1，﹣4）和（4，1）． 由函数图象可知， 当t＜﹣1或0＜t＜4时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即满足y1＜y2， 所以t的取值范围是t＜﹣1或0＜t＜4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 类型二 反比例函数与二次函数的综合运用 【典例2】（2024•庐阳区模拟）在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）的图象如图所示，P（m，﹣6），Q（12，n）是反比例函数图象上的两点． （1）m＝　2　 ，n＝　﹣1　 ； （2）记反比例函数图象上P、Q两点之间（包含P、Q两点）的部分为PQ，若二次函数的图象与PQ有两个公共点，则k的取值范围是　2k≤12　 ． 【分析】（1）把P（m，﹣6），Q（12，n）代入反比例函数解析式即可求得； （2）把P、Q分别代入y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数），求得k的值，根据图象即可求得． 【解答】解：（1）∵P（m，﹣6），Q（12，n）是反比例函数图象上的两点， ∴﹣6m＝12n＝﹣12， 解得m＝2，n＝﹣1， 故答案为：2，﹣1； （2）∵二次函数y＝﹣x2+2kx+1﹣k2， ∵Δ＝（2k）2﹣4×（﹣1）×（1﹣k2）＝4＞0， ∴抛物线y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）与x轴有两个交点， 把Q（12，﹣1）代入y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）得．﹣144+24k+1﹣k2＝﹣1， 解得，k＝12或k＝12（较大值舍去）， 把P（2，﹣6）代入y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）得．﹣4+4k+1﹣k2＝﹣6， 解得k＝2或k＝2（较小值，舍去）， ∴二次函数的图象与PQ有两个公共点，则k的取值范围是2k≤12． 故答案为：2k≤12． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 【变式训练】 1．（2025秋•高唐县期末）反比例函数y（k≠0）与二次函数y＝x2﹣kx+k在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据k的取值范围分当k＞0时和当k＜0时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可． 【解答】解：当k＞0时，反比例函数y（k≠0）的图象经过第一、三象限，二次函数y＝x2﹣kx+k图象的对称轴为直线x在y轴右侧，并与y轴交于正半轴，则A、B选项不符合题意； 当k＜0时，反比例函数y（k≠0）的图象经过第二、四象限，二次函数y＝x2﹣kx+k图象的对称轴为直线x在y轴左侧，并与y轴交于负半轴，则C选项都符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对k的取值进行分类讨论（当k＞0时和当k＜0时），注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解． 2．（2025•曲阜市二模）如图，曲线AB是抛物线y＝﹣4x2+8x+1的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点），曲线BC是反比例函数的图象的一部分，由点C开始不断重复形成一组“波浪线”．若点P（2024，m）在该“波浪线”上，则m的值为（　　） A．1 B．5 C． D．2024 【分析】首先将抛物线的解析式配成顶点式得到点B的坐标，然后令抛物线中的x＝0算出对应的函数值，可得点A的坐标；利用待定系数法求出反比例函数图象的解析式，将x＝5代入反比例函数解析式算出对应的函数值得到点C的坐标，从而发现5个单位为一个循环，进而即可得出点P的纵坐标与x＝4时对应的函数值相等，于是将x＝4代入算出对应的函数值即可得到m的值． 【解答】解：由条件可得：y＝1， ∴A（0，1）， ∵， 将x＝1代入抛物线y＝﹣4x2+8x+1，可得：y＝5， ∴B（1，5）， 由条件可知k＝5， 将x＝5代入可得：x＝1， ∴C（5，1）， ∵由点C开始不断重复形成一组“波浪线” 又∵2024÷5＝404…4， ∴P点纵坐标和x＝4时对应的函数值相等， ∴将x＝4代入得， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、找规律等知识点，找到规律，正确求出点坐标是解答本题的关键． 3．（2025秋•南海区月考）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点A（2，4），二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． （1）求二次函数的解析式； （2）已知二次函数与反比例函数的图象交于A，B（点A的横坐标小于点B的横坐标）两点，P为抛物线对称轴上一动点．若△PAB是以P为顶角的等腰三角形，求点P的坐标． 【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式为y，设反比例函数上的“和六点”为（m，），根据“和六点”的定义建立方程求出反比例函数上的“和六点”坐标，进而利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）先求出对称轴，再设出点P坐标，根据AP＝BP，利用两点距离计算公式建立方程求解即可． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（2，4）， ∴k＝2×4＝8． ∴反比例函数的解析式为， 设反比例函数上的“和六点”为， ∴． 解得m1＝2，m2＝4． ∴反比例函数图象上的“和六点”为（2，4），（4，2）． ∵二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过（2，4），（4，2）． ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为y． （2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 设点， 由（1）知，点B（4，2）， 由点A、B、P的坐标得，，， ∵△PAB是以P为顶角的等腰三角形， ∴PA＝PB， ∴（m﹣4）2（m﹣2）2， 解得：m， ∴点P（，）． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数与反比例函数综合，两点距离计算公式，等腰三角形的定义，正确理解题意求出反比例函数上的“和六点”的坐标是解题的关键． 类型三 一次函数与二次函数的综合运用 【典例3】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段AB上一点，C与B不重合．以点C为顶点的二次函数f（x）的图象经过点B．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线g（x），点B、C的对应点分别是B′、C′，且点B′的坐标为，点C′的纵坐标为﹣2． （1）求点C的坐标及二次函数f（x）的解析式； （2）若点P是新抛物线对称轴上一点，且以P、A、C为顶点的三角形与△ABC相似，且相似比不等于1，求点P的坐标； （3）点D（4，y1）和E（x2，y2）在新抛物线上，且对于任意实数x2，当m＜x2≤m+1时，y1＞y2，求实数m的取值范围． 【分析】（1）先求出点B的坐标进而得出OB的长度；过点C作CH⊥y轴于点H，由平移的性质可得，原抛物线中B，C两点的纵坐标的差与新抛物线中B'，C'两点的纵坐标的差相等，据此可得点C的坐标，最后利用抛物线顶点式将点B，C代入即可求得抛物线表达式； （2）由原抛物线对称轴得到新抛物线的对称轴，在△AB'C中得到三边的长度，根据△PAC与ΔAB′C的相似比不为1，可得出当PC⊥AC符合题意，利用余弦的定义求得PA的长度，进而得出点P的坐标； （3）先求出平移后的新抛物线解析式，将点D代入求出其坐标，由m＜x2≤m+1时，y1＞y2恒成立，可设，求得点F的横坐标，进而得出m的取值范围． 【解答】解：（1）令x＝0，， ∴B（0，4）， ∴OB＝4， 过点C作CH⊥y轴于点H， ∵，点C的纵坐标为﹣2， ∴yB﹣yC＝2， ∵将原二次函数的图象平移后得到新抛物线，点B′，C分别是B，C的对应点， ∴yB﹣yC＝yB'﹣yC'＝2，即BH＝2， ∵yB＝4， ∴yC＝2， 将yC＝2代入，得， ∴， ∵点C为二次函数f（x）的顶点， ∴设二次函数的解析式为， 将B（0，4）代入得：， 解得：， ∴二次函数； （2）二次函数f（x）的对称轴为x， ∵向右移个单位长度得到二次函数g（x）的对称轴， ∴二次函数g（x）的对称轴为， 如图，在△AB′C 中，， ∴B′C∥y轴， 在Rt△CBA中，，BC＝2， ∴， ∴， ∵B′C∥AP， ∴∠BCA＝∠CAP，即， ∵△PAC与△ABC的相似比不为1， 当PC⊥PA时，易证得△PAC≌ΔB′CA（AAS），不符合题意， 当PC⊥AC时，， ∴， ∴点P的坐标为； （3）由（2）知，， 将点D（4，y1）代入得：， ∴， 设，则， m＜x2≤m+1时，y1＞y2恒成立， ∴2≤m＜m+1＜4， ∴2≤m＜3． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． 【变式训练】 1．已知二次函数y＝x2+bx﹣10图象的对称轴是． （1）求二次函数的解析式； （2）设直线y＝4x+7与抛物线y＝x2+bx﹣10交点的横坐标为m．求代数式的值． 【分析】（1）根据对称轴公式进行求解即可； （2）令x2+3x﹣10＝4x+7，得到x2﹣x﹣17＝0，进而得到m2﹣m﹣17＝0，变形为（m+4）2﹣9（m+4）+3＝0，进而得到，利用完全平方公式求出，根据，进行求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知， ∴b＝3， ∴y＝x2+3x﹣10； （2）令x2+3x﹣10＝4x+7， ∴x2﹣x﹣17＝0， 由条件可知m2﹣m﹣17＝0， ∴m2+8m+16﹣9m﹣36+3＝0， ∴（m+4）2﹣9（m+4）+3＝0， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握求二次函数解析式是关键． 类型四 反比例函数与一次函数、二次函数的综合运用 【典例4】（2026春•盐城月考）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标和为0的点，则称该点为这个函数图象的“零点”． （1）若点P（1，﹣1）是一次函数y＝mx+3图象上的“零点”，则m＝　﹣4　 ；若点Q是反比例函数图象上的“零点”，则点Q的横坐标为　　 ； （2）若函数y＝2x+m的图象上在﹣3≤x≤1的范围内存在“零点”，求实数m的取值范围； （3）若二次函数y＝ax2﹣ax﹣2a+3的图象上在﹣2≤x≤2的范围内有且只有一个“零点”，求实数a的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求解m的值即可；根据“零点”的定义可得，解之即可得到答案； （2）设函数y＝2x+m的图像上的“零点”的坐标为（a，﹣a），则﹣a＝2 a+m，可得，根据a的取值范围即可求出m的取值范围； （3）分a＜0和a＞0两种情况，画出示意图求出临界情况a的值即可得到答案． 【解答】解：（1）∵点P（1，﹣1）是一次函数y＝mx+3图像上的“零点”，将点P的坐标代入得： ﹣1＝m+3， 解得：m＝﹣4； ∵点Q是反比例函数图像上的“零点”， ∴xQ+yQ＝0， ∴， 解得（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， 故答案为：﹣4；； （2）设函数y＝2x+m的图像上的“零点”的坐标为（a，﹣a），代入得： ﹣a＝2a+m， 解得：， ∵函数y＝2x+m的图像上在﹣3≤x≤1的范围内存在“零点”， ∴﹣3≤a≤1， ∴， ∴﹣3≤m≤9； （3）由“零点”的定义可知所有的“零点”都在直线y＝﹣x上， 当x＝﹣2时，得：y＝2， 当x＝2时，得：y＝﹣2， 当x＝﹣1时，得：y＝1， 设E（﹣2，2），F（2，﹣2）， ∵二次函数y＝ax2﹣ax﹣2a+3的图像上在﹣2≤x≤2的范围内有且只有一个“零点”， ∴二次函数y＝ax2﹣ax﹣2a+3的图像与线段EF有且只有一个交点； 当a＜0时， 如图1，当二次函数y＝ax2﹣ax﹣2a+3的图像恰好经过点E时，则4a+2a﹣2a+3＝2， 解得：， 在y＝ax2﹣ax﹣2a+3中，当x＝2时，得：y＝4a﹣2a﹣2a+3＝3， ∵﹣2＜3， ∴二次函数y＝ax2﹣ax﹣2a+3的图像一定不会经过F点， ∴故当时，一定满足二次函数y＝ax2﹣ax﹣2a+3的图像与线段EF有且只有一个交点，符合题意； 在y＝ax2﹣ax﹣2a+3中，当x＝﹣2时，得：y＝4a+2a﹣2a+3＝4a+3； 如图2，当点（﹣2，4a+3）在点E下方时，则4a+3＜2， 解得：， 此时一定满足二次函数y＝ax2﹣ax﹣2a+3的图像与线段EF有且只有一个交点，符合题意； 如图3，当点（﹣2，4a+3）在点E上方时，则4a+3＞2， 解得：， 此时二次函数y＝ax2﹣ax﹣2a+3的图像与线段EF没有交点，不符合题意； 当a＞0时， 如图4，当直线y＝﹣x与二次函数y＝ax2﹣ax﹣2a+3的图像有且只有一个交点时， 联立得：， 整理得：ax2﹣（a﹣1）x﹣2a+3＝0， ∴Δ＝[﹣（a﹣1）]2﹣4a（﹣2a+3）＝9a2﹣14a+1＝0，，且x1＝x2， 解得：，， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，即， ∴，符合题意； 如图5，当时，二次函数y＝ax2﹣ax﹣2a+3的图像与线段EF有两个交点，不符合题意； 综上所述，或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，不等式性质等知识点，熟练掌握根与系数关系，理解应用新定义是解题的关键． 【变式训练】 1．（2025秋•临淄区期中）一次函数y＝ax+b和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的图象的性质先确定出a、b的取值范围，然后根据反比例函数的性质确定出c的取值范围，最后根据二次函数的性质即可做出判断． 【解答】解：∵一次函数y＝ax+b经过第一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0， ∵反比例函数y的图象在第二、四象限， ∴c＞0， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，对称轴直线x在y轴右侧，图象与y轴的正半轴相交， ∴选项B符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象与系数的关系，根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＜0、b＞0、c＞0是解题的关键． 2．（2025秋•庐阳区期末）如图，已知反比例函数的图象与二次函数的图象交于A、B、C三点，点A的坐标为，点B的坐标为（﹣2，﹣1），点C的坐标为（﹣1，﹣2）． （1）请求出k、b、c的值； （2）结合图象，请直接写出不等式的解集是　﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜4　 ； （3）点D是抛物线AC段上的一点，连接OA、OC、AC、DC、AD，当S△ADC＝S△AOC时，请求出此时D点的横坐标． 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出k的值，把点B的坐标（﹣2，﹣1），点C的坐标（﹣1，﹣2）代入二次函数解析式，求出b、c的值即可； （2）根据函数图象直接得出不等式的解集即可； （3）过点D作DE∥y轴，交AC于点E，设AC交y轴于点F，求出直线AC的解析式为，得出，设点D的坐标为，则点E的坐标为，求出，得出，根据S△ADC＝S△AOC，得出，解方程即可． 【解答】解：（1）反比例函数的图象与二次函数的图象交于A、B、C三点，点A的坐标为，点B的坐标为（﹣2，﹣1），点C的坐标为（﹣1，﹣2）．将点A的坐标代入得： ， 解得：k＝2； 把点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：； （2）不等式的解集是﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜4；理由如下： 根据函数图象可得：当﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜4时，反比例函数图象在二次函数上面， ∴不等式的解集是﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜4， 故答案为：﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜4； （3）如图，过点D作DE∥y轴，交AC于点E，设AC交y轴于点F， 设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为， 把x＝0代入得：， ∴， ∴， ∴， 根据解析（1）可得：抛物线的解析式为， 设点D的坐标为，则点E的坐标为， ∴， ∴， ∵S△ADC＝S△AOC， ∴， 解得：m1＝1，m2＝2． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，求一次函数解析式，求二次函数解析式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 3．（2024•岳阳县模拟）对于函数y＝f（x），若存在实数x0，使得f（x0）＝x0，即一个函数图象上存在横坐标与纵坐标相等的点，则称该点是函数y＝f（x）的“不动点”．例如，点（1，1）是函数图象的“不动点”． （1）分别判断函数y＝x2+5x+3，y＝x+2的图象上是否存在“不动点”？如果存在，求出“不动点”的坐标；如果不存在，说明理由． （2）设函数，y＝﹣x+b（b＞0）的图象的“不动点”分别为点A，B，过B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC为等腰直角三角形时，求a，b的关系式； （3）若函数y＝x2﹣6（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，此时W2的解析式为y＝（x﹣2m）2﹣6（x＜m），当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“不动点”时，求m的取值范围． 【分析】（1）在y＝x2+5x+3中，令y＝x得x＝﹣1或x＝﹣3，故函数y＝x2+5x+3图象上的“不动点”坐标为（﹣1，﹣1）和（﹣3，﹣3）；在y＝x+2中，令y＝x得x＝x+2，故函数y＝x+2的图象上不存在“不动点”； （2）求出A（，），B（，），C（，0），可得AB2＝2（）2＝2a2b，AC2＝（）2+a＝2ab，BC2；①若AB为斜边，则A在x轴上，与A为y图象上的“不动点“矛盾，这种情况不存在；；②AC为斜边时，，这种情况不存在；③BC为斜边，，可得b2＝16a； （3）W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“不动点”，即是W1，W2两部分组成的图象与直线y＝x恰有2个交点；求出函数y＝x2﹣6的图象上的“不动点”坐标为（3，3）和（﹣2，﹣2）；画出图形可得当﹣2＜m＜3时，W1，W2两部分组成的图象与直线y＝x恰有2个交点，即W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“不动点”；当抛物线y＝（x﹣2m）2﹣6与直线y＝x只有一个交点时可得m＝﹣3.125，画出图形可得当m＜﹣3.125时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“不动点”． 【解答】解：（1）在y＝x2+5x+3中，令y＝x得x＝x2+5x+3， 解得x＝﹣1或x＝﹣3， ∴函数y＝x2+5x+3图象上的“不动点”坐标为（﹣1，﹣1）和（﹣3，﹣3）； 在y＝x+2中，令y＝x得x＝x+2，方程无解， ∴函数y＝x+2的图象上不存在“不动点”； （2）在y中，令y＝x得x， 解得x或x， ∵x＞0， ∴A（，）， 在y＝﹣x+b中，令y＝x得x＝﹣x+b， 解得x， ∴B（，）； ∵过B作BC⊥x轴，垂足为C， ∴C（，0）， ∴AB2＝2（）2＝2a2b，AC2＝（）2+a＝2ab，BC2； ①若AB为斜边，∠C＝90°，则A在x轴上，与A为y图象上的“不动点“矛盾，这种情况不存在； ②AC为斜边时， ∴， 整理得， ∵a＞0，b＞0， ∴这种情况不存在； ③BC为斜边． ∴， ∴b2＝16a； 综上所述，a，b的关系式为b2＝16a； （3）W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“不动点”，即是W1，W2两部分组成的图象与直线y＝x恰有2个交点； 在y＝x2﹣6中，令y＝x得x＝x2﹣6， 解得x＝3或x＝﹣2， ∴函数y＝x2﹣6的图象上的“不动点”坐标为（3，3）和（﹣2，﹣2）； 如图： 由图可知，当﹣2＜m＜3时，W1，W2两部分组成的图象与直线y＝x恰有2个交点，即W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“不动点”； 当抛物线y＝（x﹣2m）2﹣6与直线y＝x只有一个交点时，方程x＝（x﹣2m）2﹣6有两个相等实数根， ∴x2﹣（4m+1）x+4m2﹣6＝0的Δ＝0，即16m2+8m+1﹣16m2＝24＝0， 解得m＝﹣3.125， 如图： 由图可知，当m＜﹣3.125时，W1，W2两部分组成的图象与直线y＝x恰有2个交点，即W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“不动点”； 综上所述，当﹣2＜m＜3或m＜﹣3.125时W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“不动点”． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，利用数形结合思想解决问题． 4．（2024•鼓楼区三模）两个函数交点的横坐标可视为两个函数联立后方程的根，例如函数y＝x+3的图象与函数的图象交点的横坐标可视为方程x2+3x＝1的根． （1）函数y＝x+b的图象与函数的图象有两个不同交点，求b取值范围． （2）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣1（m为常数）． ①设直线y＝﹣2x+1与抛物线y＝﹣x2+2mx﹣1有两个不同交点，求m取值范围． ②已知点A（﹣2，﹣1）、B（2，﹣1），若抛物线y＝﹣x2+2mx﹣1与线段AB只有一个公共点，请直接写出m的取值范围． 【分析】（1）根据题意关于x的方程x+b有两个不相等的实数解，则Δ＝b2+4＞0，然后解不等式即可． （2）根据题意关于x的方程﹣2x+1＝﹣x2+2mx﹣1有两个不相等的实数解，则Δ＝（2m+1）2﹣4（m2+m﹣2﹣b）＞0，然后解不等式即可． （3）确定函数y＝﹣x2+2mx﹣1过定点（﹣1，0），设定点为C（0，﹣1），而A（﹣2，﹣1）、B（2，﹣1），即点A、B、C在同一直线上，当m＞0时，如图实线部分，新函数图象与线段AB只有一个公共点，则函数不过点B，即m＞1；当m＜0时，同理可得：m＜﹣1，即可求解． 【解答】解：（1）∵函数y＝x+b的图象与函数的图象有两个不同交点， ∴关于x的方程x+b有两个不相等的实数解， 方程整理得x2+bx﹣1＝0， 根据题意得Δ＝b2+4＞0， 解得b为任意数． （2）①直线y＝﹣2x+1与抛物线y＝﹣x2+2mx﹣1有两个不同交点， ∴关于x的方程﹣2x+1＝﹣x2+2mx﹣1有两个不相等的实数解， 整理得x2﹣（2m+2）x+2＝0， 根据题意得Δ＝（2m+2）2﹣4×1×2＞0， 解得m或m． ②∵y＝﹣x2+2mx﹣1， ∴当x＝0时，y＝﹣1， ∴函数过定点（0，﹣1）； 设定点为C（0，﹣1），而A（﹣2，﹣1）、B（2，﹣1），即点A、B、C在同一直线上， 而抛物线的对称轴为直线xm， 当m＞0时，如图实线部分，函数图象与线段AB只有一个公共点，则函数不过点B，即m＞1， 当m＜0时，同理可得：m＜﹣1， 从图象看，当m＝0时，也符合题意， 故m的取值范围为：m＞1或m＜﹣1或m＝0． 【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与系数的关系，函数与方程的关系，解本题的关键是画出图象，分析抛物线与线段AB只有一个交点是解本题的难点． 第二部分 专题提优训练 1．（2026•惠山区一模）如图，直线AB与x轴交于点C，与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AD⊥y轴，垂足为点D，若S△ACD＝5，则a的值为（　　） A．﹣4 B．﹣9 C．6 D．11 【分析】连接AO，利用反比例函数系数k的几何意义进行计算即可． 【解答】解：连接AO， ∵S△ACD＝5且AD⊥y轴， ∴S△AOD＝S△ACD＝5， ∴， 解得a＝11或﹣9． 又∵a＜0， ∴a＝﹣9． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数系数k的几何意义，熟知反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 2．（2022秋•永年区月考）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标都是整数的点叫做整点，已知二次函数y＝﹣x2+bx（b＞0）和反比例函数y（x＞0）的图象如图所示，它们与x轴正半轴围成的封闭图形（不包括边界）的整点个数为4，则b的取值范围是（　　） A．b B．b≤4 C．b D．4＜b 【分析】由题意知在反比例函数y（x＞0）与坐标轴围成的范围内的整点有：（1，1）、（1，2）（1，3）、（2，1）、（3，1），当整点是（1，1）、（1，2）（1，3）、（2，1），当整点是（1，1）、（1，2）、（2，1）、（3，1），分别进行求解． 【解答】解：根据整点的定义，在反比例函数y（x＞0）与坐标轴围成的范围内的整点有：（1，1）、（1，2）（1，3）、（2，1）、（3，1）， ∴它们围成的封闭图形（不包括边界）的整点个数为4的情况只有两种， ①当整点是（1，1）、（1，2）（1，3）、（2，1）， 当x＝1时，y＞3，则﹣1+b＞3，解得b＞4， 当x＝2时，y＞1，则﹣4+2b＞1，解得b， 当x＝3时，y≤1，则﹣9+3b≤1，解得b， ∵b＞4与b矛盾， ∴这种情况不成立； ②当整点是（1，1）、（1，2）、（2，1）、（3，1）， 当x＝1时，2＜y≤3，则2＜﹣1+b≤3，解得3＜b＜4， 当x＝3时，y＞1，则﹣9+3b＞1，解得b， ∴b≤4， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是找出整点的坐标，同时渗透了分类讨论的数学思想． 3．（2025秋•清城区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数图象得出a＞0，b＜0，c＜0，即可解答． 【解答】解：由条件可知a＞0，b＜0，c＜0， ∴一次函数y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数位于二、四象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象、一次函数的图象以及反比例函数的图象与系数的关系． 4．（2025•江北区模拟）如图，直线y＝ax（a≠0）与反比例函数的图象交于A、B两点，点C为反比例函数图象上另一点，连接AC，点D为线段AC的中点，若点B、点C的横坐标分别为﹣1和﹣3，S△ABD＝4，则k值是 　﹣3　 ． 【分析】根据一次函数及反比例函数的对称性得出点A和点B关于点O对称，再由点D为AC中点及△ABD的面积得出△ABC的面积，过点C作x轴的平行线交AB于点M，用k表示出点M的坐标，再根据△BCM与△ACM的面积之和为△ABC的面积建立方程即可解决问题． 【解答】解：∵直线y＝ax（a≠0）与反比例函数的图象交于A、B两点， ∴点A和点B关于点O对称． ∵点B的横坐标为﹣1， ∴点A的横坐标为1， 则点B的坐标可表示为（﹣1，﹣k），点A的坐标可表示为（1，k）． 又∵点D为线段AC的中点，且S△ABD＝4， ∴S△ABC＝2S△ABD＝8． 过点C作x轴的平行线，交AB于点M， ∵点B坐标可表示为（﹣1，﹣a），也可表示为（﹣1，﹣k）， ∴a＝k． ∵点C坐标为（﹣3，）， 则将y代入y＝ax得， x， ∴点M的横坐标为， ∴CM． ∵S△BCM+S△ACM＝S△ABC， ∴， 解得k＝﹣3， ∴k的值为﹣3． 故答案为：﹣3． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 5．（2025秋•瑶海区期末）如图，二次函数y1的顶点坐标为（2，﹣2），与y轴交于（0，﹣4），与反比例函数y2的图象交点横坐标为﹣1． （1）求二次函数和反比例函数解析式； （2）根据图象：直接写出y2＞y1的解集． 【分析】（1）根据已知条件设二次函数的解析式为：，把（0，﹣4）代入得关于a的方程，解方程求出a，从而求出二次函数的解析式，再设反比例函数的解析式为：，把x＝﹣1代入二次函数的解析式，求出交点坐标，然后把交点坐标代入，求出k即可； （2）根据交点坐标和两个函数的特征，观察图象进行解答即可． 【解答】解；（1）∵二次函数y1的顶点坐标为（2，﹣2）， ∴设二次函数的解析式为：， ∵二次函数与y轴交于（0，﹣4）， ∴把（0，﹣4）代入得： 4a﹣2＝﹣4， 4a＝﹣2， ， ∴二次函数的解析式为：； 设反比例函数的解析式为：， ∵二次函数的图象与反比例函数y2的图象交点横坐标为﹣1， ∴把x＝﹣1代入二次函数的解析式为： ， ∴交点坐标为：， 把代入得：k， ∴反比例函数的解析式为：； （2）根据图象与交点横坐标为﹣1，结合两个函数的图象特征： 当x＜﹣1时，反比例函数图象在二次函数图象上方； 当0＜x＜2时，反比例函数图象也在二次函数图象上方； ∴y2＞y1的解集为：x＜﹣1或0＜x＜2． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握理由待定系数法求函数的解析式． 6．已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a交x轴于A，B两点，其中点A在点B的左边，直线y＝﹣ax+3a与y轴交于点C，其中a＞0． （1）点A的坐标为　（1，0）　 ，点B的坐标为　（3，0）　 ； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线y＝ax2﹣4ax+3a于点M，交直线y＝﹣ax+3a于点N． ①若a＝1，t＝2，求MN的长度； ②在点P从坐标原点O向点D（3a，0）运动的过程中（点P不与点O、D重合），若的值与t无关，求a的取值范围． 【分析】（1）在y＝ax2﹣4ax+3a中，令y＝0求出x的值即可得到答案； （2）①由a＝1，t＝2可得M（2，﹣1），N（2，1），即可求出MN的长度为2； ②求出M（t，at2﹣4at+3a），N（t，﹣at+3a），可得MN＝|at2﹣4at+3a﹣（﹣at+3a）|＝|at2﹣3at|＝|a|•|t|•|t﹣3|，而a＞0，t＞0，故MN＝at|t﹣3|，得a|t﹣3|+at•a|t﹣3|+at，分两种情况讨论可得答案． 【解答】解：（1）在y＝ax2﹣4ax+3a中，令y＝0得0＝ax2﹣4ax+3a， 解得x＝1或x＝3， ∵点A在点B的左边， ∴A（1，0），B（3，0）， 故答案为：（1，0），（3，0）； （2）①当a＝1，t＝2时，P（2，0），抛物线为y＝x2﹣4x+3，直线为y＝﹣x+3， 在y＝x2﹣4x+3中，令x＝2得y＝﹣1， ∴M（2，﹣1）， 在y＝﹣x+3中，令x＝2得y＝1， ∴N（2，1）， ∴MN＝|1﹣（﹣1）|＝2， ∴MN的长度为2； ②在y＝ax2﹣4ax+3a中，令x＝t得y＝at2﹣4at+3a，在y＝﹣ax+3a中，令x＝t得y＝﹣at+3a， ∴M（t，at2﹣4at+3a），N（t，﹣at+3a）， ∴MN＝|at2﹣4at+3a﹣（﹣at+3a）|＝|at2﹣3at|＝|a|•|t|•|t﹣3|， 根据题意，a＞0，t＞0， ∴MN＝at|t﹣3|， ∵OP＝t，BP＝|3﹣t|， ∴a|t﹣3|+at•a|t﹣3|+at， 当t≤3时，a|t﹣3|+at＝3a﹣at+at＝3a， ∴的值与t无关，符合题意，此时3a≤3， ∴a≤1； 当t＞时，a|t﹣3|+at＝at﹣3a+at＝2at﹣3a， ∴的值与t有关，不符合题意； ∴a的范围是0＜a≤1． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长7．（2025秋•天河区期末）已知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（1，3）和点B（3，n），与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求反比例函数的表达式及n的值； （2）将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F． ①请求出点F的坐标； ②将线段BF绕点B旋转，在旋转过程中，求线段OF的最大值． 【分析】（1）利用待定系数法，将A（1，3）代入解析式中即可求出解析式，再将x＝3代入即可求出n的值； （2）①求出DC的直线解析式，推出线段DO和DC的长，利用翻折性质即可知F点的横坐标再代入解析式中即可求出坐标； ②由题意可知；线段BF绕点B旋转过程中，F始终在以B点为圆心，BF为半径的圆上，结合图象即可求出最大值． 【解答】解：（1）将A（1，3）代入y（x＞0）中得， 3， 解得：k＝3， ∴反比例函数解析式为：y， ∵B（3，n）在反比例函数y上， ∴n1； （2）①设直线DC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），图象经过点A（1，3）、B（3，1），将其代入得： ， 解得：， ∴直线DC的解析式为：y＝﹣x+4， 令y＝0，则0＝﹣x+4，解得x＝4， 令x＝0，则y＝4， ∴OD＝OC＝4， 又∵将△OCD沿直线AB翻折，点落在第一象限内的点E处， ∴DE＝4， 即F点的横坐标为4，且在反比例函数的图象上， ∴当x＝4时，y， 故F点坐标为（4，）； ②由①可知，B（3，1），F（4，）， ∴BF，OB， 由题意可知；线段BF绕点B旋转过程中，F始终在以B点为圆心，BF为半径的圆上，当BF旋转到线段OB的延长线上时，如图所示，OF′为线段OF的最大值， ∴OFmax＝OB+BF′， 综上，线段BF绕点B在旋转过程中，线段OF的最大值为． 【点睛】本题考查反比例函数的综合性质，熟练掌握反比例函数的基本性质，结合图形灵活思考综合运用是解题之关键． 8．（2025秋•长沙县期末）【自主定义】某数学兴趣小组研究发现：在平面直角坐标系中，某些点的纵坐标y比横坐标x的3倍还大a（a为常数），即纵坐标y与横坐标x满足关系式y＝3x+a（a为常数），则称此点为“3倍大a点”，例如（1，3+a），（3，9+a）都是“3倍大a点”． 【感知判定】（1）若a＝2时，判断下列点是否为“3倍大2点”（在后面括号内填“是”或“否”）； ①（m，3m+2）（　是　 ） ②（﹣1，1）（　否　 ） 【知识应用】（2）若a＝1时，“3倍大1点”为（x，3x+1），则一次函数y＝4x+3的图象上的“3倍大1点”的坐标为　（﹣2，﹣5）　 ； （3）若反比例函数存在“3倍大a点”，求a2的取值范围； 【拓展延伸】（4）若a＝1时，二次函数y＝﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤1的范围内，图象上有且只有1个“3倍大1点”，求c的取值范围． 【分析】（1）根据“3倍大2点”进行判断即可； （2）根据题意可得当a＝1，“3倍大1点”为（x，3x+1），则“3倍大1点”在y＝3x+1上，联立函数解析式并解方程组即可求出答案； （3）根据题意联立函数解析式得到一元二次方程，根据根的判别式即可求出答案； （4）分两种情况讨论，设y1＝3x+1，；①抛物线与直线相切；②当x＝﹣3时，y1＜y2，且当x＝1时，y1＞y2，此时二次函数图象上有且只有1个“3倍大1点”，解不等式，即可求解． 【解答】解：（1）当a＝2时，得：y＝3x+2， ①当x＝m时，代入y＝3x+2得：y＝3m+2， ∴（m，3m+2）是“3倍大2点”， 故答案为：是； ②当x＝﹣1时，代入y＝3x+2得：y＝3×（﹣1）+2＝﹣1， ∴（﹣1，1）不是“3倍大2点”； 故答案为：否； （2）当a＝1，“3倍大1点”为（x，3x+1），则“3倍大1点”在y＝3x+1上， 联立：， 解得：， ∴一次函数的图象上的“3倍大1点”的坐标为（﹣2，﹣5）， 故答案为：（﹣2，﹣5）； （3）由条件可知“3倍大a点”在y＝3x+a上， 当反比例函数存在“3倍大a点”， ∴有解， 整理得：3x2+ax+3＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝a2﹣4×3×3≥0， 解得：a2≥36； （4）由题意可知，“3倍大1点”在直线y1＝3x+1上， ∵二次函数在﹣3≤x≤1的范围内，图象上有且只有1个“3倍大1点”， ①当3x+1＝﹣x2﹣2x+c时，得：x2+5x+1﹣c＝0， ∴Δ＝25﹣4（1﹣c）＝21+4c＝0， 解得：； ②当x＝﹣3时，y1＜y2且当x＝1时，y1＞y2， 依题意得：， 解得：﹣5＜c＜7； 若c＝7时，得：y＝x2+5x+1﹣7， 解得：x1＝﹣6，x2＝1， ∴与x轴的两个交点的横坐标分别为﹣6，1， 综上所述，﹣5＜c≤7或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了一次函数、反比例函数，二次函数的性质，理解新定义是解题的关键． 9．（2026•西岗区模拟）已知y1和y2都是自变量x的函数，若当x＞0时，y2＝y1，当x≤0时，y2＝﹣y1，则称函数y2为函数y1的“关联函数”． 例如：函数y1＝x﹣1，则称y2为函数y1＝x﹣1的“关联函数”，图1、图2分别为y1、y2的图象． （1）若点M（m，4）在函数y1＝2x﹣3的“关联函数”y2的图象上，求m的值； （2）点P是反比例函数图象上的一点，且纵坐标为2，过点P作PQ∥x轴，交的“关联函数”y2的图象于点Q，当PQ＝3时，则k＝　±3　 ． （3）二次函数的图象过（﹣1，0），（3，0）两点， ①当﹣1≤x≤n时，y2的取值范围是﹣4n﹣1≤y≤3，求n的值； ②若点P在y2的图象上，且P点的横坐标为t（t≤3），点Q坐标为（1﹣3t，0），以PQ为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当y2的图象在矩形内部的点纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）根据题意写出y2的解析式，代入求值即可； （2）画出图形，根据反比例函数的性质即可解答； （3）①利用二次函数的性质，分类讨论即可解答； ②画出t不同取值范围时的图象，逐一判断解答即可． 【解答】解：（1）函数y1＝2x﹣3的“关联函数”y2的解析式为， 把M（m，4）代入y2＝2x﹣3（x＞0）， 可得可得2m﹣3＝4， 解得； 把M（m，4）代入y2＝﹣2x+3（x≤0）， 可得﹣2m+3＝4， 解得， 综上，或； （2）如图，当k＞0时， 根据反比例函数的性质可得点P，Q关于y轴对称， ∵PQ＝3， ∴点P横坐标为， ∴； 如图，当k＞0时， 同理可得点P横坐标为， ∴； 综上所述，k＝±3， 故答案为：±3； （3）①∵二次函数的图象过（﹣1，0），（3，0）两点， ∴二次函数的解析式为， ∴， 当x＝﹣1时，y2＝0， 当n≤0时， 中，y2随x的增大而增大， ∵当x＝﹣1时，y2＝0， ∴﹣4n﹣1＝0， 解得， 当时，，故不成立； 当0＜n≤1时，y2在x＝n时取最小值， 可得﹣4n﹣1＝n2﹣2n﹣3， 解得（舍去）， 当n＞1时，y2在x＝1时取最小值， 即﹣4n﹣1＝12﹣2×1﹣3， 解得（不成立，舍去）， 综上所述，； ②若点P在y2的图象上，且P点的横坐标为t（t≤3），点Q坐标为（1﹣3t，0），以PQ为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当y2的图象在矩形内部的点纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出t的取值范围． 如图，当t≥3时，1﹣3t≤﹣8， 此时，以PQ为对角线的矩形PNQM中，在矩形内部的存在y2的图象有两段，故t＞3不成立； 如图，当2≤t＜3时，﹣8＜1﹣3t≤﹣5， 此时，以PQ为对角线的矩形PNQM中，在矩形内部的存在y2的图象点纵坐标y随x的增大而增大，故2≤t＜3成立； 如图，﹣5＜1﹣3t＜﹣1，即时， 此时，以PQ为对角线的矩形PNQM中，在矩形内部存在两段y2图象，故不成立； 如图，﹣1≤1﹣3t＜t，即时， 此时，以PQ为对角线的矩形PNQM中，在矩形内部存在y2点纵坐标y随x的增大而减小，故成立； 如图，当时， 此时，以PQ为对角线的矩形PNQM中不存在y2图象，故不成立； 当1＜1﹣3t≤3时，即时， 此时，以PQ为对角线的矩形PNQM中不存在y2图象，故不成立； 当时，﹣3＜1﹣3t＜4， 此时，以PQ为对角线的矩形PNQM中不存在y2图象，在矩形内部存在y2点纵坐标y随x的增大而增大，故成立； 当t≤﹣1时，1﹣3t≥4， 此时，以PQ为对角线的矩形PNQM中，在矩形内部的存在y2的图象有两段，故t≤﹣1不成立； 综上所述，2≤t＜3或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数与几何综合，熟知三种函数的性质，分类讨论是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $