备战2026年中考数学二轮解答题突破训练---分式方程的实际应用

备战2026年中考数学二轮解答题突破训练---分式方程的实际应用 1．（2026·宁夏银川·一模）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一、某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用秒采摘苹果的个数比用秒采摘苹果的个数多个． (1)求的值； (2)现公司有个这样的机器人，每个机器人搭载个相同的机械手同时工作小时，将采摘的苹果全部进行加工，粗加工每个苹果利润元，精加工每个苹果利润元，且要求精加工数量不多于粗加工数量的倍，为获得最大利润，精加工数量应为多少个？最大利润是多少元？ 2．（25-26重庆·期中）五一小长假即将来临，某商场为迎接即将到来的销售旺季，准备购进甲、乙两种商品进行销售． 若每个乙商品的进价比每个甲商品的进价贵10元，且用900元购进甲商品的数量是用500元购进乙商品的数量的2倍． (1)求甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？ (2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还多5个，且乙商品的数量不超过30个，甲商品的售价定为每个130元，乙商品的售价定为每个150元． 若购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过5000元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种进货方案？ 3．（25-26河南南阳·期中）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我县某村出产的甲、乙两种猕猴桃．已知乙种猕猴桃每箱售价比甲种猕猴桃每箱售价多20元，400元所买甲种猕猴桃箱数与500元所买乙种猕猴桃箱数相等． (1)求甲、乙两种猕猴桃每箱的售价； (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种猕猴桃共12箱，且甲种猕猴桃的箱数不超过乙种猕猴桃的箱数．求该公司最少需花费多少元． 4．（25-26江苏泰州·月考）某商场计划销售，两种型号的商品，经调查，用1800元采购型商品的件数是用500元采购型商品的件数的3倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多20元． (1)求一件，型商品的进价分别为多少元？ (2)若该商场购进，型商品共100件进行试销，其中型商品的件数不大于型的件数，已知型商品的售价为170元/件，型商品的售价为160元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？ 5．（25-26四川眉山·期中）四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式．已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同． (1)求甲、乙两种茶叶的进价； (2)某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的重量不低于乙种茶叶重量的．求商店至少购进甲种茶叶多少千克？ 6．（2026·吉林长春·一模）某市为缓解交通拥堵现象，决定修一条市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，则原计划完成这项工程需用多少个月？ 7．（25-26四川成都·期中）某文具店计划购进、两种文件袋，购进款共用960元，购进款共用1680元．款数量是款的1.5倍，款的单价比款贵4元． (1)求、两款文件袋的单价； (2)一共再购买两款文件袋共65个，总费用不超过1690元，求最少购进多少个款文件袋． 8．（2026·贵州·模拟预测）年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． (1)求款、款手表每块的进价分别为多少元？ (2)该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 9．（2026·辽宁盘锦·一模）荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半． (1)求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？ (2)荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯？ 10．（2026·湖南长沙·模拟预测）“湘超联赛”是我省今年最火爆的足球赛事，全省各地、州、市都积极参与，拉拉队也炫动全场．某拉拉队在第一场比赛中用600元在商场里购买了助威小喇叭，在半决赛中由于参加人员增加，又在同一商场花1000元购买同款小喇叭．已知第二次购买的数量是第一次购买的两倍，且第二次购买的单价比第一次便宜1元． (1)求该拉拉队两次购进这款小喇叭各多少个？ (2)若商场两次售出的小喇叭进价一样，要使两次售出的总利润不低于400元，则每个小喇叭的进价最多为多少元？ 11．（25-26重庆·期中）“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍． (1)求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买A，B两种型号的纪念品共70个，要求购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案． 12．（25-26山东济南·期中）为落实国家科学教育要求，提升校园实验教学质量．某中学计划采购甲、乙两种型号的实验室设备．甲型设备的单价比乙型设备的单价低400元，用60000元购买甲型设备的数量和用72000元购买乙型设备的数量相同． (1)求甲、乙两种型号设备的单价各是多少元； (2)该中学计划购买甲、乙两种型号的设备共20台，且甲型设备的购买数量不超过乙型设备购买数量的3倍，购买甲型设备多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 13．（25-26河南鹤壁·期中）近几年，文旅文创产品凭借创意与文化内涵的结合，频频出圈，在隋唐洛阳城应天门遗址广场，文创门店以“洛阳”“河南”等文字为形状，激光雕刻出的立体文字冰箱贴，磨砂质感简约高级．某工艺品店计划推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的冰箱贴，已知甲款冰箱贴价格是乙款冰箱贴价格的倍，且用100元购买甲款冰箱贴的数量比用128元购买乙款冰箱贴的数量少3个，求这两款冰箱贴的单价． 14．（2026·云南临沧·二模）普洱被誉为“中国咖啡之都”．某经销商从当地采购了甲、乙两种咖啡，甲种咖啡用了20000元，乙种咖啡用了19200元，甲种咖啡的采购数量比乙种咖啡多50千克，乙种咖啡的采购单价是甲种咖啡的1.2倍，求甲、乙两种咖啡的采购单价． 15．（25-26重庆市渝中区）马年春节联欢晚会上，宇树智能机器人的表演震惊全场，某车企迅速在甲、乙两个车间引入宇树智能机器人，引入后，甲、乙两个车间同时生产了天，共生产了辆汽车，已知甲车间平均每天的生产量是乙车间平均每天的生产量的两倍． (1)求甲、乙两车间平均每天各生产多少辆汽车； (2)为了进一步提升生产效率，两车间都进行了技术改进，甲车间平均每天多生产辆汽车，乙车间平均每天多生产辆汽车，两车间同时开始生产，结果甲车间生产辆汽车与乙车间生产辆汽车用时相同，求的值． 16．（2026·云南昆明·一模）某物流企业接到一笔紧急配送订单，需要将一批生鲜物资从甲地运往900公里外的乙地．若使用特快货物班列配送，所需时间比高铁货运多3小时．已知高铁货运的速度是特快货物班列的2倍，求使用高铁货运配送所需时间是多少小时． 17．（25-26重庆沙坪坝·期中）列方程解下列问题： 某农场去年春季种植苹果和桃子共收获．今年春季苹果产量比去年增加，桃子产量比去年增加，苹果和桃子的总产量比去年增加． (1)去年春季苹果和桃子的产量各多少千克？ (2)今年春季收获果实时，该农场安排两组工人分别采摘苹果和桃子，每小时采摘苹果的质量是采摘桃子质量的倍，两组工人同时开始劳动，结果采摘桃子的工人比采摘苹果的工人提前15分钟完成采摘任务．问采摘苹果组的工人每小时采摘苹果多少千克？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)精加工数量应为个，最大利润是元 【分析】（1）根据“一个机械手用秒采摘苹果的个数比用秒采摘苹果的个数多25个”建立分式方程求解即可； （2）根据题意令粗加工个数为个，则精加工个数为个，得不等式，解出，再得出对应的利润与的函数关系，根据函数性质求最大值即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解． （2）解：共采摘苹果个数为个， 令粗加工个数为个，则精加工个数为个， 则， 解得， 总利润为， 故越小，利润越大， 最小为， ∴总利润最大为元， 对应精加工个数为个， 故精加工数量应为个，最大利润是元． 2．(1)甲商品进价为每个90元，乙商品进价为每个100元 (2)商场有两种方案，方案①：购进甲商品92个，乙商品29个；方案②：购进甲商品95个，乙商品30个 【分析】（1）设甲商品进价为每个元，则乙商品进价为每个元，根据购进甲商品数量是乙商品数量的2倍列出分式方程，求出解，并检验可得答案； （2）设购进乙商品个，则购进甲商品个，再根据两个不等关系列出不等式组，求出解集得出整数解，并设计购买方案． 【详解】（1）解：设甲商品进价为每个元，则乙商品进价为每个元，根据题意，得 则， 解得， 经检验，是原方程的解， 乙商品进价： 答：甲商品进价为每个90元，乙商品进价为每个100元； （2）解：设购进乙商品个，则购进甲商品个 得， 解得，其中为正整数， ∴或30， 则或95， 答：商场有两种方案，方案①：购进甲商品92个，乙商品29个； 方案②：购进甲商品95个，乙商品30个． 3．(1)甲种猕猴桃每箱80元，则乙种猕猴桃每箱100元 (2)该公司最少需花费元 【分析】（1）设甲种猕猴桃每箱元，根据“400元所买甲种猕猴桃箱数与500元所买乙种猕猴桃箱数相等”列分式方程求解即可； （2）设购买甲种猕猴桃箱，根据“甲种猕猴桃的箱数不超过乙种猕猴桃的箱数”求出m的取值范围，设该公司需花费元，根据题意得到的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设甲种猕猴桃每箱元，则乙种猕猴桃每箱元， 依题意，得 解得 经检验，是原方程的解． 当时，， 所以乙种猕猴桃每箱100元， 答：甲种猕猴桃每箱80元，则乙种猕猴桃每箱100元； （2）解：设购买甲种猕猴桃箱，则购买乙种猕猴桃为箱． 依题意，得 解得 设该公司需花费元， 根据题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值，此时， 答：该公司最少需花费元． 4．(1)一件A型商品的进价为120元，一件B型商品的进价为100元 (2)该商品获得的最小利润为5500元 【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件型商品的进价元，根据题意，得，解方程即可． （2）设购进型商品个，则购进B型商品个，且，获利w元，根据题意，得，解答即可． 【详解】（1）解：设一件B型商品的进价为x元，则一件型商品的进价元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根．且符合题意， 此时， 答：一件A型商品的进价为120元，一件B型商品的进价为100元． （2）解：设购进型商品个，则购进B型商品个，且，获利w元， 根据题意，得， 由，得w随a的增大而减小， 由得， 故当时，w取得最小值，且最小值为， 故该商品获得的最小利润为5500元． 5．(1)每千克甲种茶叶的进价为元，每千克乙种茶叶的进价为元 (2)商店至少购进甲种茶叶千克 【分析】（1）设甲种茶叶的进价为元，乙种茶叶的进价为元，由题意得：，即可得到答案； （2）设购进甲种茶叶千克，则购进乙种茶叶千克，由题意得：，解得，即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲种茶叶的进价为元，乙种茶叶的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：每千克甲种茶叶的进价为元，每千克乙种茶叶的进价为元； （2）解：设购进甲种茶叶千克，则购进乙种茶叶千克， 由题意得：， 解得， 答：商店至少购进甲种茶叶千克． 6．原计划完成这项工程需用28个月 【分析】设原计划完成这项工程需用x个月，列分式方程解答． 【详解】解：设原计划完成这项工程需用x个月， 根据题意得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：原计划完成这项工程需用28个月． 7．(1)款文件袋的单价为24元，款文件袋的单价为28元 (2)最少购进33个款文件袋 【分析】（1）先设款文件袋的单价为元，再根据题意列出分式方程，求解并检验即可解答； （2）先设购进款文件袋个，再根据题意列出不等式，最后解不等式，并结合为整数解答即可． 【详解】（1）解：设款文件袋的单价为元，则款文件袋的单价为元， 由题意得，， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：款文件袋的单价为24元，款文件袋的单价为28元． （2）解：设购进款文件袋个，则购进款文件袋个， 由题意得，， 解得，， 又为整数， 的最小值为． 答：最少购进33个款文件袋． 8．(1)款手表每块进价元，款手表每块进价元 (2)元 【分析】（1）设款手表每块进价元，款手表每块进价元，根据“用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等”可列出关于的分式方程，求解并检验后可得答案； （2）设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元，根据“进货总费用不超过元”列出关于的不等式，求解后确定的取值范围；根据“每块款手表利润元，每块款手表利润元”可确定关于的一次函数，根据一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设款手表每块进价元，款手表每块进价元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴款手表每块进价元，款手表每块进价元； （2）解：设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元， ∵进货总费用不超过元， ∴， 解得：， 又∵购进款手表块， ∴， 解得：， ∴（为正整数）， 全部售出后可获得的利润为：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， ∴全部售出后可获得的最大总利润为元． 9．(1)购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元 (2)荣庆公司最多可购买18个该品牌台灯 【分析】（1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要元．则根据等量关系：购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半，列出方程求解即可； （2）设公司购买台灯的个数为a个，则还需要购买手电筒的个数是个，则根据“该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元”列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要元． 根据题意 得 解得 ， 经检验，是原方程的解． 所以． 答：购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元； （2）解：设公司购买a个该品牌台灯，则还需要购买个手电筒，由题意得 解得， 答：荣庆公司最多可购买18个该品牌的台灯． 10．(1)第一次购进这款小喇叭100个，则第二次购进这款小喇叭200个； (2)每个小喇叭的进价最多为4元． 【分析】（1）设第一次购进这款小喇叭x个，则第二次购进这款小喇叭个，根据第二次购买的单价比第一次便宜1元建立方程求解即可； （2）设每个小喇叭的进价为m元，根据两次售出的总利润不低于400元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设第一次购进这款小喇叭x个，则第二次购进这款小喇叭个， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：第一次购进这款小喇叭100个，则第二次购进这款小喇叭200个； （2）解：设每个小喇叭的进价为m元， 由题意得，， 解得， ∴m的最大值为4， 答：每个小喇叭的进价最多为4元． 11．(1)A型号纪念品的单价为100元，B型号纪念品的单价为80元 (2)共有三种购买方案，具体方案见解析 【分析】（1）设B型号纪念品的单价为元，则A型号纪念品的单价为元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型号纪念品m个，则B型号纪念品个，由此列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设B型号纪念品的单价为元，则A型号纪念品的单价为元， 依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：A型号纪念品的单价为100元，B型号纪念品的单价为80元； （2）解：设购买A型号纪念品m个，则B型号纪念品个， 依题意，得 解得：， ∵m为整数， ∴m可取42，43，44， 故共有三种购买方案： 方案1：购买42个A型号纪念品， 28个B型号纪念品； 方案2：购买43个A型号纪念品， 27个B型号纪念品； 方案3：购买44个A型号纪念品， 26个B型号纪念品． 12．(1) 甲型号设备单价为2000元，乙型号设备单价为2400元 (2) 购买甲型设备15台时采购费用最少，最少采购费用为42000元 【分析】（1）设甲型设备的单价为元，则乙型设备的单价为元，利用两种设备购买数量相等建立等量关系求解，即可解题； （2）设购买甲型设备台，总采购费用为元，则购买乙型设备台，先根据题意列出总费用的表达式，结合“甲型设备的购买数量不超过乙型设备购买数量的3倍，”建立不等关系得到自变量的取值范围，再利用一次函数的增减性求解，即可解题． 解题的关键在于找出等量关系与不等关系，列式求解． 【详解】（1）解：设甲型设备的单价为元，则乙型设备的单价为元， 根据题意得： ， 经检验：当时，， 因此是原方程的解，符合题意， 则乙型设备单价为：（元） 答：甲型号设备单价为2000元，乙型号设备单价为2400元； （2）解：设购买甲型设备台，总采购费用为元，则购买乙型设备台， 根据题意得：， 由甲型设备购买数量不超过乙型设备购买数量的3倍，得：， 解得：， 其中为非负整数， 因此且为非负整数， 在一次函数中，，因此随的增大而减小， 因此当时，取得最小值， 最小值为（元）， 答：购买甲型设备15台时采购费用最少，最少采购费用为42000元． 13．乙款冰箱贴价格为16元，甲款冰箱贴价格为20元 【分析】设乙款冰箱贴价格为x（元），则甲款冰箱贴价格为（元），根据用100元购买甲款冰箱贴的数量比用128元购买乙款冰箱贴的数量少3个，列出分式方程，求解后检验即可． 【详解】解：设乙款冰箱贴价格为x（元），则甲款冰箱贴价格为（元）， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴甲款冰箱贴价格为（元） 答：乙款冰箱贴价格为16元，甲款冰箱贴价格为20元． 14．甲种咖啡的采购单价为80元/千克，乙种咖啡的采购单价为96元/千克 【分析】设甲种咖啡的采购单价为x元/千克，则乙种咖啡的采购单价为元/千克，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设甲种咖啡的采购单价为x元/千克，则乙种咖啡的采购单价为元/千克； 由题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴（元/千克）， 答：甲种咖啡的采购单价为80元/千克，乙种咖啡的采购单价为96元/千克． 15．(1)甲车间平均每天生产辆汽车，乙车间平均每天生产辆汽车 (2)的值是 【分析】（1）设乙车间平均每天生产辆汽车，则甲车间平均每天生产辆汽车，根据题意列出方程，并求解即可； （2）根据用时相同列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】（1）解：设乙车间平均每天生产辆汽车，则甲车间平均每天生产辆汽车， 根据题意，得， 解得， ∴． 答：甲车间平均每天生产辆汽车，乙车间平均每天生产辆汽车． （2）解：根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解． 答：的值是． 16．3小时 【分析】设使用高铁货运配送所需时间为小时，则使用特快货物班列配送所需时间为小时，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设使用高铁货运配送所需时间为小时，则使用特快货物班列配送所需时间为小时， 根据题意，得． 解得 经检验，是所列分式方程的解，且符合题目要求． 答：使用高铁货运配送所需时间为3小时． 17．(1)去年春季苹果产量为，桃子产量为. (2)采摘苹果组的工人每小时采摘苹果 【分析】（1）设去年春季苹果产量为，桃子产量为.根据题意，得，解答即可； （2）设每小时采摘桃子的质量为，则每小时采摘苹果的质量是，根据题意，，解答即可． 【详解】（1）解：设去年春季苹果产量为，桃子产量为. 根据题意，得， 解得， 答：去年春季苹果产量为，桃子产量为. （2）解：设每小时采摘桃子的质量为，则每小时采摘苹果的质量是， 根据题意，， 解得， 经检验，是原方程的根， 此时， 答：采摘苹果组的工人每小时采摘苹果． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $