2025年中考数学二轮复习：分式方程的应用题

2025中考二轮复习：分式方程的应用题 一、行程问题 1．2025杭州钱塘女子半程马拉松在钱塘区6号大街鸣枪开跑．小江、小周参加千米的迷你马拉松比赛，两人约定从A地沿相同路线跑向距A地千米的B地．已知小江跑步的速度是小周的倍．若两人同时从A地出发，结果小江到达B地分钟后小周才到达．设小周跑步的速度为每小时x千米，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意并根据题意找准等量关系是解题的关键． 根据题意，小周和小江跑步的路程相同，均为千米．小江的速度是小周的倍，因此小江到达终点的时间更短．小周比小江晚到达分钟，需将时间单位统一为小时后列分式方程即可． 【详解】解：设小周的速度为每小时千米，则小江的速度为千米/时． 小周跑完全程的时间为小时，小江跑完全程的时间为小时． 根据题意，小周的时间比小江多分钟，即小时， 因此方程可列为：． 故选：B． 2．甲、乙两地相距，张叔叔、王叔叔分别从甲地乘坐早上7时出发的普通客车和8时15分出发的豪华客车去乙地，两车恰好同时到达．已知豪华客车与普通客车的平均速度的比是，两车的平均速度分别是多少？设豪华客车的平均速度是，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，准确理解题意并根据题意正确列出分式方程是解题的关键．设豪华客车的平均速度是，则普通客车的平均速度是，张叔叔、王叔叔分别从甲地乘坐早上7时出发的普通客车和8时15分出发的豪华客车去乙地，两车恰好同时到达，据此列出方程即可． 【详解】解：设豪华客车的平均速度是，则普通客车的平均速度是， 由题意可得：， 故选：A． 3．近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程25千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程21千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省20分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的运用，理解数量关系，正确列式是关键，设走路线a的平均速度为x千米/时，则走路线b的平均速度为千米/时，由此列式求解即可． 【详解】解：设走路线a的平均速度为x千米/时，则走路线b的平均速度为千米/时， ∵走路线b比路线a时间节省20分钟， ∴， 故选：B． 4．我国古代数学名著九章算术中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍．设未知数，，依题意列出一个方程，则用一个未知数列出方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，根据各数量之间的关系及所列的方程，找出等量关系是解题的关键．由方程，可知慢马的速度为里/天，规定时间为x天．慢马所需时间为，快马速度为，所需时间为．根据路程相等，建立方程，即可解答． 【详解】解：由方程，可知慢马的速度为里/天，规定时间为x天．依题意，得 ， 由①，得， 将③代入②，得 ， 化简后得： 即． 故选D． 5．如图，共享单车停放点 A，B 和电影院 C 依次在同一自西向东的道路上．小天和小台从两停放点之间的 P 点同时出发，去往 3060 米远的电影院．小天先步行 3 分钟到停放点 A，然后骑共享单车去往电影院；小台先步行 6 分钟到停放点 B，然后骑共享单车去往电影院．已知两人步行速度均为 60 米/分，小天的骑车速度是小台骑车速度的 0.9 倍，两人同时到达电影院． (1)求停放点 A，B 之间的距离； (2)请分别求出小天和小台的骑车速度； (3)小山同学在线段 AC 之间的 Q 处，当他得知小天和小台已经出发 1 分钟后，马上走到离他最近的共享单车停放点，骑车赶往电影院，结果三人同时到达电影院．已知小山的步行速度为 70 米/分，他骑车速度与小天相同．求小山出发点 Q 和电影院 C 之间的距离． 【答案】(1)米 (2)小天的骑车速度为270米/分，小台的骑车速度为300米/分 (3)小山出发点Q和电影院C之间的距离为3100米或2420米 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，行程问题，分式方程的实际应用； （1）根据题目中的步行速度和时间，计算出两人步行的总距离即可； （2）设定变量并根据题目中的骑车速度关系和到达时间相同建立方程，解方程得到骑车速度即可； （3）利用小山的步行速度和骑车速度，以及已知到达时间，建立方程求解小山出发点Q和电影院之间的距离即可求出． 【详解】（1）解：， 答：停放点 A，B 之间的距离为540米． （2）解：设小台的骑车速度为x米/分，则小天的骑车速度为0.9x米/分，根据题意可列方程： ， 解得， 经检验是原分式方程的解且符合实际， ∵， ∴ 答：小天的骑车速度为270米/分，小台的骑车速度为300米/分． （3）解：小天和小台从点P出发，到达点C所用的时间为15分钟， 设米，分三种情况考虑： ① 如图1，当点Q在AB之间靠近点A处时，则小山在点A处骑车， 由题意可列方程， 解得， 此时米，米，符合题意 ∴米． ② 如图2，当点Q在之间靠近点B处时，则小山在点B处骑车， 由题意可列方程， 解得， 此时米，米，不符合题意，舍去． ③ 如图3，当点Q在之间靠近点B处时，则小山在点B处骑车， 由题意可列方程， 解得， 此时米，米，符合题意 答：小山出发点Q和电影院C之间的距离为3100米或2420米． 6．一辆货车从山脚出发送货至山顶，完成卸货与短暂休息后，按原路下山．该货车行驶的时间（分钟）与离山脚的距离（千米）的函数图象如图所示，请根据图中的信息解答问题． (1)求该货车此次行驶的总路程． (2)若该货车上山后卸货和休息共耗时20分钟，且下山速度是上山速度的1.5倍，求该货车上山的速度． 【答案】(1)80千米 (2)40千米／时 【分析】本题考查了函数图象，分式方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用数形结合思想，观察图象，得出山脚至山顶的距离是40千米，根据一辆货车从山脚出发送货至山顶，完成卸货与短暂休息后，按原路下山，进行作答即可； （2）运用路程除以速度进行列出分式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】（1）解：从图象得出山脚至山顶的距离是40千米， ∵一辆货车从山脚出发送货至山顶，完成卸货与短暂休息后，按原路下山， ∴该货车此次行驶的总路程是（千米）； （2）解：依题意，分钟小时， 设上山速度为千米／时， 依题意得， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：上山的速度是40千米／时． 二、工程问题 1．为解决供水问题需铺设一条长2400米的管道，实际施工时……．设实际每天铺设管道米，可得方程．根据此情景，题中用“……”表示的缺失条件为（   ）． A．每天比原计划少铺设20米，结果延期6天完成 B．每天比原计划多铺设20米，结果提前6天完成 C．每天比原计划少铺设6米，结果延期20天完成 D．每天比原计划多铺设6米，结果提前20天完成 【答案】B 【分析】本题考查分式方程解应用题，根据方程的结构，分析原计划与实际施工的关系，原计划每天铺设米，实际每天铺设米，因此实际每天比原计划多铺设20米，从而确定缺失条件，即可得到答案，看懂分式方程，读懂题意是解决问题的关键． 【详解】解：方程中，分母和分别表示原计划与实际每天铺设的管道长度，原计划时间为，实际时间为，方程左边为原计划时间减去实际时间等于6，说明实际比原计划提前6天完成， 综上所述，缺失条件为“每天比原计划多铺设米，结果提前天完成”， 故选：B． 2．某村为解决部分居民饮水问题需铺设一条长4800米的管道，为尽量减少施工对居民生活造成的影响，实施施工时“……”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为（   ） A．每天比原计划多铺设15米，结果提前12天完成 B．每天比原计划少铺设15米，结果提前12天完成 C．每天比原计划多铺设15米，结果延期12天才完成 D．每天比原计划少铺设15米，结果延期12天才完成 【答案】A 【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据分式方程的结构，原计划每天铺设的长度为实际每天铺设长度减去15米，原计划所用时间减去实际所用时间等于12天，说明实际提前12天完成． 【详解】解：设实际每天铺设管道米，则原计划每天铺设米． 原计划完成时间天，实际完成时间天． 方程表示原计划时间比实际多12天，即实际提前12天完成． 因此，实际每天比原计划多铺设15米，结果提前12天完成． 故选：A． 3．科技改变生活，机器狗可以用于提供各种社会服务．某景区用机器狗和搬运货物，已知机器狗比机器狗每小时多搬运30千克货物，机器狗搬运900千克货物所用的时间与机器狗搬运600千克货物所用的时间相等．小云根据这一情境中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义为（　　） A．机器狗每小时搬运货物的质量 B．机器狗每小时搬运货物的质量 C．机器狗搬运900千克货物所用的时间 D．机器狗搬运600千克货物所用的时间 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的实际应用，需根据题意确定未知数的含义．正确理解题意列代数式，找等量是解题的关键．题目中给出机器狗比B每小时多搬运30千克，且搬运不同质量货物时间相等．通过建立方程，分析得出分母位置对应工作效率，从而确定未知数x的意义． 【详解】解：设机器狗B每小时搬运千克货物，则机器狗A每小时搬运千克，依题意，得， ， 说明x表示机器狗B每小时搬运的货物质量， 故选B． 4．青塘粽子传统工艺味道香浓，已被录入市级非物质文化遗产名录．端午佳节之际，某店计划包一批粽子，由于临时增派人手，实际每分钟比原计划多包个粽子，原计划包个粽子的时间与实际包个粽子的时间相等．小颖根据这一情境中的数量关系列出方程，则方程中未知数表示的意义是（    ） A．实际每分钟包粽子的数量 B．原计划每分钟包粽子的数量 C．实际包粽子的人数 D．原计划包粽子的人数 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据所列方程即可确定未知数的实际意义，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：原计划包个粽子的时间为，实际包个粽子的时间为， 又原计划包个粽子的时间与实际包个粽子的时间相等，即， ∴方程中的表示原计划每分钟包粽子的数量， 故选：． 5．某工程队接到一道路改建任务，需为盲人修建一条长3000米的盲道．根据要求，该工程队在实际施工时增加了施工人员，每天修建的盲道比原来计划多250米，结果提前2天完成工程．问实际每天修建盲道多少米． 【答案】750米 【分析】本题考查分式方程解决实际问题，读懂题意找到等量关系式解题的关键．设实际每天修建盲道x米，根据“提前2天完成工程”列出方程，求解并检验即可解答． 【详解】解：设实际每天修建盲道x米，根据题意，得 ， 解得，， 经检验，，都是该分式方程的解， 不合题意，舍去，符合题意． 答：实际每天修建盲道750米． 6．素材1：某公司生产传统艺术织品，今年初，公司承接到2160个艺术织品的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天， 素材2：经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3：由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． (1)求甲、乙两部门每天分别生产多少个传统艺术织品？ (2)若设甲部门工作m天，如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少是多少？ 【答案】(1)甲部门每天生产120个传统艺术织品，乙部门每天生产60个传统艺术织品 (2)应安排甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元 【分析】本题考查了分式方程的应用、列代数式以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，用含m的代数式表示出甲部门完成的工作总量及乙部门的工作时间再根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设乙部门每天生产x个传统艺术织品，则甲部门每天生产个传统艺术织品，利用工作时间工作总量工作效率，结合甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天，可列出关于x的分式方程，即可得解； （2）利用甲部门完成的工作总量甲部门的工作效率甲部门的工作时间，可用含m的代数式表示出甲部门完成的工作总量，再利用乙部门的工作时间乙部门完成的工作总量乙部门的工作效率，即可用含m的代数式表示出乙部门的工作时间；根据甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设支付的总费用为w元，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设乙部门每天生产x个传统艺术织品，则甲部门每天生产个传统艺术织品， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， （个）． 答：甲部门每天生产120个传统艺术织品，乙部门每天生产60个传统艺术织品； （2）根据题意得：若设甲部门工作m天，则甲部门完成传统艺术织品个， 乙部门工作时间可表示为（天）． 根据题意得： 解得：． 设支付的总费用为w元， 则， ， 随m的增大而减小， 当时，w取得最小值，最小值为， 此时（天）． 答：应安排甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元． 三、经济问题 1．某校准备开展防溺水知识竞赛，用元经费购买甲，乙两类奖品共件，且经费全部用完，已知奖品甲的单价与奖品乙的单价之比为，购买奖品甲用了元．为了求出购买的这两种奖品的单价，小齐列出方程“”，则他所列方程中的x表示的意义为（    ） A．奖品甲的件数 B．奖品甲的单价 C．奖品乙的件数 D．奖品乙的单价 【答案】A 【分析】本题考查了分式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意，设为甲类奖品的件数，则乙类奖品的件数为，根据甲、乙单价之比为，可验证符合小齐所列方程，故代表甲类奖品的件数． 【详解】解：设为甲类奖品的件数，则乙类奖品的件数为， ∴甲类单价为元，乙类单价为元， 根据单价比，得方程：， ∴表示奖品甲的件数， 故选：A． 2．作为国家级非物质文化遗产，“惠安女”服饰具有较高艺术价值和优秀民俗文化．某家手作坊能加工传统花头巾与简易花头巾共两款．已知每条传统款花头巾的加工成本要比简易款多5元，用800元加工传统花头巾的数量与用600元加工简易花头巾的数量之比是．设每条简易花头巾的加工成本为元，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据设每条简易花头巾的加工成本为元，则传统款为元，根据数量比建立方程，此题得解． 【详解】解：设每条简易花头巾的加工成本为元，则传统款为元， 根据题意得：． 故选：C． 3．2025年3月14日是第六个“国际数学日”，中国邮政发行《数学之美》特种邮票．某网店在“6-18”年中大促活动当天，售出“小版邮票册”和“邮票合集套装”共35套．其中，“小版邮票册”的销售额为970元，“邮票合集套装”的销售额为1050元，已知“小版邮票册”的单价比“邮票合集套装”的单价贵55元．聪聪和明明根据这一情境，分别列出如下方程 聪聪： 明明： 下列判断正确的是（    ） A．聪聪设的未知量表示“小版邮票册”的单价 B．聪聪设的未知量表示“小版邮票册”的数量 C．明明设的未知量表示“小版邮票册”的单价 D．明明设的未知量表示“小版邮票册”的数量 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程中未知数的实际意义．题目中涉及两个未知数，需根据方程结构判断未知数的实际意义．聪聪的方程通过单价差建立等式，而明明的方程通过总数量建立等式． 【详解】解：聪聪的方程为， 方程左边为两个分数相减，右边为单价差55， ∵“小版邮票册”的单价比“邮票合集套装”的单价贵55元， ∴为“小版邮票册”的单价，为“邮票合集套装”的单价， ∴表示“小版邮票册”的数量， 故选项B正确，选项A错误； 明明的方程为 ， 方程左边为两个分数相加，右边为总数量35， ∵“小版邮票册”的销售额为970元，“邮票合集套装”的销售额为1050元， ∴为“小版邮票册”的数量， 为“邮票合集套装”的数量， ∴ 表示“邮票合集套装”的单价， 故选项C、D均错误． 故选：B． 4．位于今陕西省西安市的秦始皇兵马俑，作为“世界第八大奇迹”和首批中国世界遗产，成为了中华文明对外传播的核心符号．某文创商店计划购进甲、乙两种兵马俑摆件，已知每件甲种摆件的单价与每件乙种摆件的单价的和为40元，用900元购得甲种摆件的件数与用1500元购得乙种摆件的件数相同．求甲、乙两种摆件的单价各是多少元/件．若设甲种摆件的单价为每件元，可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设甲种摆件的单价为每件元，则乙种摆件的单价为元，根据“用900元购得甲种摆件的件数与用1500元购得乙种摆件的件数相同”，可建立分式方程． 【详解】解：设甲种摆件单价为元，则乙种摆件单价为元， 根据题意． 故选：D． 5．年春晚，宇树科技机器人的秧歌舞惊艳了无数观众．某校积极响应国家“科教兴国”战略，拟开设智能机器人编程校本课程．学校计划购买A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型单价多元，用元购买A型机器人模型数量是用元购买B型数量的倍． (1)A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备购买A型和B型机器人模型共台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．那么购买A型机器人模型多少台时，费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)A型机器人模型的单价是元，B型机器人模型的单价是元 (2)购买A型机器人模型台时花费最少，最少花费是元 【分析】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意列出式子是解题的关键． （1）设B型机器人模型的单价为元，A型机器人模型的单价为元．根据“A型机器人模型单价比B型单价多元，用元购买A型机器人模型数量是用元购买B型数量的倍”列式求解即可； （2）设购买A型机器人模型台，则B型机器人模型台，学校购买机器人模型的费用为元．利用“购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍”求出的取值范围，得出关于的一次函数关系式，利用一次函数性质即可求解． 【详解】（1）解：设B型机器人模型的单价为元，A型机器人模型的单价为元． 由题意得， 解得． 经检验是原方程的解． ， 答：A型机器人模型的单价是元，B型机器人模型的单价是元． （2）解：设购买A型机器人模型台，则B型机器人模型台，学校购买机器人模型的费用为元． 由题意得， 解得． ． ，随的增大而增大， 当时，有最小值，最小值为． 答：购买A型机器人模型台时花费最少，最少花费是元． 6．某中学开学初在商场购进、两种品牌的足球，购买品牌足球花费了2600元，购买品牌足球花费了1700元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的2倍，已知购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花20元．求购买一个A品牌、一个品牌的足球各需多少元． 【答案】购买一个品牌的足球需要65元，一个品牌的足球需要85元 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出题目蕴含的等量关系是解决问题的关键． 设买一个品牌的足球需元，则买一个品牌的足球需元，根据购买品牌足球的数量是购买品牌足球数量的2倍列出方程，求解即可． 【详解】解：设购买一个品牌的足球需要元，则购买一个品牌的足球需要元， 根据题意得： 解方程，得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， 当时， 答：购买一个品牌的足球需要65元，一个品牌的足球需要85元． 四、和差倍分问题 1．学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 现有甲、乙两种类型的客车，已知每辆甲车的载客量要比乙车多15人，在无空座的情况下，480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍． 对，你的问题我可以用列方程来解决． 若我们安排七、八年级的240名师生集体外出活动，可以租用甲、乙种客车共6辆（要求两种类型的客车都要租），一次将全部师生送到指定地点． 不过甲车的租用费用比乙车的贵120元，每辆甲种客车的租金为400元． 根据他们的对话得到以下四个结论： ①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案； ③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多． 其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，设甲客车的载客量为x人，乙客车的载客量为人，根据480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍建立方程可求出甲客车的载客量为45人，乙客车的载客量为30人，据此可判断①；设租用甲客车m辆，则租用乙客车辆，根据所有客车的载客量要大于等于240以及两种客车都要租用建立不等式组求出m的取值范围，进而确定m可以取的值，即可确定方案，进而求出每个方案的费用，据此可判断②③④． 【详解】解：设甲客车的载客量为x人，乙客车的载客量为人， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴甲客车的载客量为45人，乙客车的载客量为30人， ∴若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为人，故①正确； 设租用甲客车m辆，则租用乙客车辆， 由题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴m的值可以为4或5， 当时，，此时租车费用为元， 当时，，此时租车费用为元， ∴共有2种租车方案，且两种租车方案的费用不相同，租车最低费用是2160元，故②③正确，④不正确， 故选：B． 2．学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 根据他们的对话得到以下四个结论：①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，设甲车载客量为人，乙车载客量为人，列出方程得出甲车载客量为 45人，乙车载客量为 30 人，即可判断①，设租甲车辆，则租乙车辆，根据题意列出不等式组，得出，进而判断②③④，即可求解． 【详解】解：设甲车载客量为人，乙车载客量为人， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴甲车载客量为45人，乙车载客量为 30 人， ∴若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量人；故①正确； 设租甲车辆，则租乙车辆， 根据题意得，， 解得：， 或5， ∴方案一：租甲车 4 辆，则租乙车 2 辆， 方案二：租甲车 5 辆，则租乙车 1 辆， ∴共有两种租车方案，故②正确； 依题意，甲车的费用为400元/辆，乙车的费用为元/辆， 方案一费用：元， 方案二费用：元， 租车最低费用是 2160 元，故③正确；④不正确； 故选：B． 3．智能机器人技术迅猛发展，大大提升了生产效率．某工厂用，两种机器人来搬运货物，型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运900千克所用时间与型机器人搬运600千克所用时间相等．，两种机器人每小时分别搬运货物的重量为（单位：千克） A．60，30 B．60，90 C．90，60 D．90，120 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，根据“A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A型机器人每小时搬运90千克， B型机器人每小时搬运60千克． 故选：C． 4．某校组织八年级360名学生前往成都科幻馆游学，学校安排乘车时每辆车比原计划多6名学生，结果比原计划少用了2辆车，求原计划每辆车乘坐多少名学生？设原计划每辆车乘坐x名学生，则列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据结果比原计划少用了2辆车列方程即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故选A． 5．以下素材，完成相关任务． 素材1 某果园有布鲁克斯和明5-5两种樱桃供游客采摘，采摘布鲁克斯比明5-5每千克少3元，小智采摘两种樱桃均花费120元，但采摘布鲁克斯的重量是明5-5的1.25倍． 素材2 该果园提供运送服务，从果园寄送到A市按重量收费，当樱桃重量不超过6千克时，需要运费30元；当重量超过6千克时，超过部分另收m元/千克． (1)任务1：求在该果园采摘明的单价， (2)任务2：若寄送8千克樱桃运费为42元，求出m的值； (3)任务3：若使用该果园运送服务，小智将15千克采摘的樱桃寄送给A市的朋友，则运费最少需________元．（可一次寄送也可分多次寄送） 【答案】(1)该果园采摘明5-5的单价是15元/千克 (2)m的值为6 (3)78 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：任务一：找准等量关系，正确列出分式方程；任务二：找准等量关系，正确列出一元一次方程；任务三：根据各数量之间的关系，求出分一次、二次及三次寄送所需费用． 任务一：设在该果园采摘明的单价是x元/千克，则在该果园采摘布鲁克斯的单价是元/千克，利用数量=总价÷单价，结合“小智采摘两种樱桃均花费120元，但采摘布鲁克斯的重量是明的1.25倍”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）根据寄送8千克樱桃运费为42元，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）分一次、二次及三次寄送所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设在该果园采摘明的单价是x元/千克，则在该果园采摘布鲁克斯的单价是元/千克， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：在该果园采摘明5-5的单价是15元/千克； （2）解：根据题意得：， 解得：． 答：m的值为6； （3）解：分一次寄送所需运费为（元）； 分两次寄送（且两次均不低于6千克）所需运费为（元）； 分三次寄送（且每次均不超过6千克）所需运费为（元）， ∵， ∴运费最少需78元． 故答案为：78． 6．一个长方体容器的容积为，开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度为细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用，求两根水管各自的注水速度． 【答案】第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为 【分析】本题考查分式方程的应用，设第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为，一个长方体容器的容积为，开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度为细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用可列方程求解． 【详解】解：设第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为，根据题意得 ， 解得：， 经检验是原方程的解． 答：第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025中考二轮复习：分式方程的应用题 一、行程问题 1．2025杭州钱塘女子半程马拉松在钱塘区6号大街鸣枪开跑．小江、小周参加千米的迷你马拉松比赛，两人约定从A地沿相同路线跑向距A地千米的B地．已知小江跑步的速度是小周的倍．若两人同时从A地出发，结果小江到达B地分钟后小周才到达．设小周跑步的速度为每小时x千米，则可列方程（   ） A． B． C． D． 2．甲、乙两地相距，张叔叔、王叔叔分别从甲地乘坐早上7时出发的普通客车和8时15分出发的豪华客车去乙地，两车恰好同时到达．已知豪华客车与普通客车的平均速度的比是，两车的平均速度分别是多少？设豪华客车的平均速度是，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程25千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程21千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省20分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．我国古代数学名著九章算术中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍．设未知数，，依题意列出一个方程，则用一个未知数列出方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，共享单车停放点 A，B 和电影院 C 依次在同一自西向东的道路上．小天和小台从两停放点之间的 P 点同时出发，去往 3060 米远的电影院．小天先步行 3 分钟到停放点 A，然后骑共享单车去往电影院；小台先步行 6 分钟到停放点 B，然后骑共享单车去往电影院．已知两人步行速度均为 60 米/分，小天的骑车速度是小台骑车速度的 0.9 倍，两人同时到达电影院． (1)求停放点 A，B 之间的距离； (2)请分别求出小天和小台的骑车速度； (3)小山同学在线段 AC 之间的 Q 处，当他得知小天和小台已经出发 1 分钟后，马上走到离他最近的共享单车停放点，骑车赶往电影院，结果三人同时到达电影院．已知小山的步行速度为 70 米/分，他骑车速度与小天相同．求小山出发点 Q 和电影院 C 之间的距离． 6．一辆货车从山脚出发送货至山顶，完成卸货与短暂休息后，按原路下山．该货车行驶的时间（分钟）与离山脚的距离（千米）的函数图象如图所示，请根据图中的信息解答问题． (1)求该货车此次行驶的总路程． (2)若该货车上山后卸货和休息共耗时20分钟，且下山速度是上山速度的1.5倍，求该货车上山的速度． 二、工程问题 1．为解决供水问题需铺设一条长2400米的管道，实际施工时……．设实际每天铺设管道米，可得方程．根据此情景，题中用“……”表示的缺失条件为（   ）． A．每天比原计划少铺设20米，结果延期6天完成 B．每天比原计划多铺设20米，结果提前6天完成 C．每天比原计划少铺设6米，结果延期20天完成 D．每天比原计划多铺设6米，结果提前20天完成 2．某村为解决部分居民饮水问题需铺设一条长4800米的管道，为尽量减少施工对居民生活造成的影响，实施施工时“……”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为（   ） A．每天比原计划多铺设15米，结果提前12天完成 B．每天比原计划少铺设15米，结果提前12天完成 C．每天比原计划多铺设15米，结果延期12天才完成 D．每天比原计划少铺设15米，结果延期12天才完成 3．科技改变生活，机器狗可以用于提供各种社会服务．某景区用机器狗和搬运货物，已知机器狗比机器狗每小时多搬运30千克货物，机器狗搬运900千克货物所用的时间与机器狗搬运600千克货物所用的时间相等．小云根据这一情境中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义为（　　） A．机器狗每小时搬运货物的质量 B．机器狗每小时搬运货物的质量 C．机器狗搬运900千克货物所用的时间 D．机器狗搬运600千克货物所用的时间 4．青塘粽子传统工艺味道香浓，已被录入市级非物质文化遗产名录．端午佳节之际，某店计划包一批粽子，由于临时增派人手，实际每分钟比原计划多包个粽子，原计划包个粽子的时间与实际包个粽子的时间相等．小颖根据这一情境中的数量关系列出方程，则方程中未知数表示的意义是（    ） A．实际每分钟包粽子的数量 B．原计划每分钟包粽子的数量 C．实际包粽子的人数 D．原计划包粽子的人数 5．某工程队接到一道路改建任务，需为盲人修建一条长3000米的盲道．根据要求，该工程队在实际施工时增加了施工人员，每天修建的盲道比原来计划多250米，结果提前2天完成工程．问实际每天修建盲道多少米． 【答案】750米 6．素材1：某公司生产传统艺术织品，今年初，公司承接到2160个艺术织品的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天， 素材2：经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3：由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． (1)求甲、乙两部门每天分别生产多少个传统艺术织品？ (2)若设甲部门工作m天，如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少是多少？ 三、经济问题 1．某校准备开展防溺水知识竞赛，用元经费购买甲，乙两类奖品共件，且经费全部用完，已知奖品甲的单价与奖品乙的单价之比为，购买奖品甲用了元．为了求出购买的这两种奖品的单价，小齐列出方程“”，则他所列方程中的x表示的意义为（    ） A．奖品甲的件数 B．奖品甲的单价 C．奖品乙的件数 D．奖品乙的单价 2．作为国家级非物质文化遗产，“惠安女”服饰具有较高艺术价值和优秀民俗文化．某家手作坊能加工传统花头巾与简易花头巾共两款．已知每条传统款花头巾的加工成本要比简易款多5元，用800元加工传统花头巾的数量与用600元加工简易花头巾的数量之比是．设每条简易花头巾的加工成本为元，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．2025年3月14日是第六个“国际数学日”，中国邮政发行《数学之美》特种邮票．某网店在“6-18”年中大促活动当天，售出“小版邮票册”和“邮票合集套装”共35套．其中，“小版邮票册”的销售额为970元，“邮票合集套装”的销售额为1050元，已知“小版邮票册”的单价比“邮票合集套装”的单价贵55元．聪聪和明明根据这一情境，分别列出如下方程 聪聪： 明明： 下列判断正确的是（    ） A．聪聪设的未知量表示“小版邮票册”的单价 B．聪聪设的未知量表示“小版邮票册”的数量 C．明明设的未知量表示“小版邮票册”的单价 D．明明设的未知量表示“小版邮票册”的数量 4．位于今陕西省西安市的秦始皇兵马俑，作为“世界第八大奇迹”和首批中国世界遗产，成为了中华文明对外传播的核心符号．某文创商店计划购进甲、乙两种兵马俑摆件，已知每件甲种摆件的单价与每件乙种摆件的单价的和为40元，用900元购得甲种摆件的件数与用1500元购得乙种摆件的件数相同．求甲、乙两种摆件的单价各是多少元/件．若设甲种摆件的单价为每件元，可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 5．年春晚，宇树科技机器人的秧歌舞惊艳了无数观众．某校积极响应国家“科教兴国”战略，拟开设智能机器人编程校本课程．学校计划购买A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型单价多元，用元购买A型机器人模型数量是用元购买B型数量的倍． (1)A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备购买A型和B型机器人模型共台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．那么购买A型机器人模型多少台时，费用最少？最少费用是多少？ 6．某中学开学初在商场购进、两种品牌的足球，购买品牌足球花费了2600元，购买品牌足球花费了1700元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的2倍，已知购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花20元．求购买一个A品牌、一个品牌的足球各需多少元． 四、和差倍分问题 1．学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 现有甲、乙两种类型的客车，已知每辆甲车的载客量要比乙车多15人，在无空座的情况下，480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍． 对，你的问题我可以用列方程来解决． 若我们安排七、八年级的240名师生集体外出活动，可以租用甲、乙种客车共6辆（要求两种类型的客车都要租），一次将全部师生送到指定地点． 不过甲车的租用费用比乙车的贵120元，每辆甲种客车的租金为400元． 根据他们的对话得到以下四个结论： ①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案； ③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多． 其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 2．学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 根据他们的对话得到以下四个结论：①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 3．智能机器人技术迅猛发展，大大提升了生产效率．某工厂用，两种机器人来搬运货物，型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运900千克所用时间与型机器人搬运600千克所用时间相等．，两种机器人每小时分别搬运货物的重量为（单位：千克） A．60，30 B．60，90 C．90，60 D．90，120 4．某校组织八年级360名学生前往成都科幻馆游学，学校安排乘车时每辆车比原计划多6名学生，结果比原计划少用了2辆车，求原计划每辆车乘坐多少名学生？设原计划每辆车乘坐x名学生，则列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．以下素材，完成相关任务． 素材1 某果园有布鲁克斯和明5-5两种樱桃供游客采摘，采摘布鲁克斯比明5-5每千克少3元，小智采摘两种樱桃均花费120元，但采摘布鲁克斯的重量是明5-5的1.25倍． 素材2 该果园提供运送服务，从果园寄送到A市按重量收费，当樱桃重量不超过6千克时，需要运费30元；当重量超过6千克时，超过部分另收m元/千克． (1)任务1：求在该果园采摘明的单价， (2)任务2：若寄送8千克樱桃运费为42元，求出m的值； (3)任务3：若使用该果园运送服务，小智将15千克采摘的樱桃寄送给A市的朋友，则运费最少需________元．（可一次寄送也可分多次寄送） 6．一个长方体容器的容积为，开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度为细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用，求两根水管各自的注水速度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$