精品解析：四川宜宾市长宁县2025-2026学年下学期质量自主监测八年级数学试题

二O二六年春半期质量自主监测 八年级·数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题12小题，每题4分，共48分） 1. 下列各式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分式的定义为：若A、B是整式，B中含有字母且，则式子是分式．根据分式定义判断即可，需注意是常数，不是字母． 【详解】解：A、的分母是常数，不含字母，属于整式，不是分式，不符合题意； B、的分母是含字母的整式，符合分式的定义，属于分式，符合题意； C、的分母是常数，不是字母，属于整式，不是分式，不符合题意； D、的分母是常数，不含字母，属于整式，不是分式，不符合题意． 2. 近年来，中国芯片技术取得重大突破，芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁．已知，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，掌握相关知识点是解题的关键． 用科学记数法表示较小数的一般形式为（，为整数），将题目中的数值化简成对应形式，即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 3. 分式的值为0的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分式值为0需同时满足分子为0，分母不为0，据此计算求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0 ∴， ∴， ∴ ∴分式的值为0的条件是． 4. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简公分母的定义，即各分母因式分解后所有不同因式的最高次幂的积；将两个分式的分母分别因式分解，然后找出所有不同因式的最高次幂的乘积作为最简公分母即可． 【详解】解：，， ∴ 最简公分母为 ， 故选： C. 5. 施工队要铺设米的管道，因在中考期间无法施工，为确保能在中考前铺设完管道，实际铺设时工作效率比原计划提高了，最终提前天完成了这一任务，设原计划每天铺设管道的长度为米，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．原计划每天铺设米，实际工作效率提高，即每天铺设米，管道总长米，根据“原计划天数减实际天数等于提前的天”列式即可． 【详解】解：原计划天数，实际天数，提前天数原计划天数实际天数， ． 故选：B． 6. 若点与点关于原点成中心对称，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两个点关于原点中心对称时，横纵坐标分别互为相反数，利用该性质计算即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴． 7. 小明听到弟弟诵读诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”时，他想借助图象大致刻画出诗句中儿童从学校放学回家，再到田野这段时间内，离家距离的变化情况．下列图象中能大致刻画这段时间儿童离家距离与时间关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意“儿童从学校放学回家，再到田野”分析判断即可． 【详解】解：根据题意“儿童从学校放学回家，再到田野”，可知儿童离家距离先从大变小直到0，再慢慢变大直到一固定值，由此可知选项D符合题意． 8. 已知直线y=kx+b不经过第二象限，则下列结论正确的是（　　） A. k＞0, b＜0 B. k＞0, b≤0 C. k＜0, b＜0 D. k＜0, b≥0 【答案】B 【解析】 【分析】先确定直线y=kx+b（kb≠0）经过第一、三或经过第一、三、四象限，然后根据一次函数与系数的关系对各选项进行判断． 【详解】解：∵直线y=kx+b不经过第二象限， 即直线y=kx+b经过第一、三或第一、三、四象限， 当直线y=kx+b经过第一、三象限时， k>0，b=0； 当直线y=kx+b经过第一、三、四象限时， ∴k＞0，b＜0， 综上可知，k＞0, b≤0. 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，对于一次函数y=kx+b（k为常数，k≠0）,当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小. 当b＞0，图像与y轴的正半轴相交，当b<0，图像与y轴的负半轴相交. 9. 如图，一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式，图象法解不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．把点B的坐标代入一次函数解析式，求出n的值，然后根据不等式的解集是一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的x的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 由图象知，不等式的解集为或． 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点A的坐标为，直线l的表达式为：，将直线l沿y轴向上平移m个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线l的解析式，然后根据平移的规律，设平移后的直线方程为；把点B和D的坐标代入进行解答即可． 【详解】解：∵边长为3的正方形中，点的坐标为， ∴，， 将直线沿轴向上平移个单位后解析式为，， 当直线与正方形有唯一一个交点时，即直线经过点B，D， 当经过点D时，有，解得，； 当经过点B时，有，解得，； ∵直线与正方形有交点， ∴的取值范围是． 11. 下列与反比例函数图象有关的图形中，阴影部分面积最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解： A、如图所示，分别过点M和N作轴，轴，则； B、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以； C、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以； D、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以． ∵， ∴A中阴影部分的面积最小． 故选：A． 12. 如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为4，曲线是双曲线的一部分，已知点的横坐标为4，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（ ） A. 10 B. C. D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，根据变化规律求出点，点的坐标是解决问题的关键．根据一次函数可求出点、的坐标，进而确定反比例函数的关系式，利用平移所引起的坐标变化规律，可求出点，点的坐标，再根据梯形的面积公式可求出答案． 【详解】解：当时，， ， 当时，即， ， ， 又点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为， 当时，， 点， ∴， 依题意由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．且结合图象： 由图象的平移可得， ，，，，，， ，，，，，， 又，，且 即， ， ，，且 ∴ ， 依题意， ， 故选：B． 二、填空题（本大题6小题，每题4分，共24分） 13. 在函数中，自变量x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件． 根据分母不为0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∴． 故答案为：． 14. 计算，并把结果化成只含有正整数指数幂形式为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方，正整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 已知反比例函数的图象经过点，当时，函数值y随自变量x的增大而_____．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【解析】 【分析】本题考查了运用待定系数法求反比例函数的表达式和反比例函数的性质，解题时注意：当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．根据题意，利用待定系数法解出系数的符号，再根据k值的正负确定函数值的增减性． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大 ∴当时，y随x的增大而增大． 故答案为：增大． 16. 若关于的分式方程无解，则的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解a的值：一种是整理后整式方程中x的系数为0，整式方程无解，此时原分式方程无解；另一种是整式方程有解，但解为原分式方程的增根，此时原分式方程无解． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 当，即时，方程左边为，右边为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合题意． 当时，若原分式方程无解，则整式方程的解为原分式方程的增根． 分式方程的增根使最简公分母为0，即，得， 将代入，得， 解得． 综上，的值为或． 17. 如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】分别过、向轴作垂线，可得，利用全等得到到轴，轴的距离，进而根据所在象限可得相应坐标． 【详解】解：∵旋转， ∴， 作轴于点，轴于点，如图所示： ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，， ∴，，， ∴， ∴点的坐标为． 18. 小明和爸爸周末前往游泳馆进行游泳训练，他们都在长为50m的笔直泳道进行匀速往返游泳．起点和终点分别为泳道两端，两人同时从起点出发，到达终点后，立即转身游向起点，到达起点后，又立即转身游向终点……已知爸爸游泳的速度大于小明游泳的速度．训练过程中，父子间的距离和游泳时间的部分图象如图所示．以下结论：①爸爸的速度为；②小明的速度为；③点代表的实际意义是：经过秒，小明和爸爸第一次相遇；④在15分钟内，两人一共相遇16次．正确的有___________．（请填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用．由图象可知，爸爸用游了，此时小明在爸爸后面，即小明用游了，即可求出爸爸的速度和小明的速度，求出B的坐标，即可知点B的意义；由两人每经过，即可相遇一次，列式计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图象可知，爸爸用游了，此时小明在爸爸后面，即小明用游了， ∴爸爸的速度为，①说法正确； 小明的速度为，②说法正确； ， ∴点B表示：经过，小明和爸爸第一次相遇，③说法错误； ∵两人每经过即可相遇一次， ， 在15分钟内，两人一共相遇16次，④说法正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 21. 先化简，再求值：，再从，，，中选一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】先根据分式的加法法则进行计算，同时根据分式的除法法则把除法变成乘法，分子分母能因式分解的因式分解并进行约分，最后算减法，然后根据分式有意义的条件求出可取的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 要使分式有意义，即且， 不能为，，， 取， 当时，原式． 22. 播州区苟坝会议会址是红色旅游热门景点，为提升游客体验，景区引入了两种电动观光车接驳游客．某兴趣小组以此为契机，开展了以“景区观光车运行与采购方案设计”为主题的项目式学习． 素材 A型观光车比B型观光车平均每小时少行驶4千米．A型观光车从景区入口到陈列馆行驶6千米的时间与B型观光车从景区入口到会议旧址行驶7.2千米的时间相同． 问题解决 任务1 （1）求两种观光车的速度． 任务2 （2）若景区计划采购观光车共15辆，A型每辆8万元，B型每辆10万元．若15辆车都在行驶的情况下，1小时行驶总路程不少于310千米，应如何采购才能使总费用最低？ 【答案】（1）A型观光车的速度为千米/小时，则B型观光车的速度为千米/小时 （2）采购A型观光车辆，B型观光车辆才能使总费用最低 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程及不等式的应用，根据题意，准确找出关系是解题的关键． （1）设A型观光车的速度为千米/小时，则B型观光车的速度为千米/小时，则，再解方程即可； （2）设采购A型观光车辆，B型观光车辆，则，，再代入解不等式即可得到，结合观光车的费用即可求解． 【详解】解：设A型观光车的速度为千米/小时，则B型观光车的速度为千米/小时， ，整理得， 即，解得， 答：A型观光车的速度为千米/小时，则B型观光车的速度为千米/小时； （2）解：设采购A型观光车辆，B型观光车辆， ，且， ，解得， 又观光车的费用， 所以应尽量多采购A型观光车才能使费用更低， 故时，费用最低， 答：采购A型观光车辆，B型观光车辆才能使总费用最低． 23. 如图，已知直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点． （1）求直线的表达式； （2）求的面积； （3）点是直线上的一个动点，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2）3 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点代入直线，可求出点的坐标，再利用待定系数法求出k，b即可； （2）求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式解答即可； （3）根据题意可得，设，再利用三角形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 解：把点代入直线，得， ， 点的坐标为， ∵，都在上， ， 解得， 直线的表达式为． 【小问2详解】 解：直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为． ． ， 即的面积为3． 【小问3详解】 解：， ， ， 设， 则， 解得：或 点的坐标为或． 24. 无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，乙无人机继续匀速上升．当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面的高度为48米时，进行了时长为秒的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与无人机飞行的时间（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： （1）求联合表演时长； （2）求线段所在直线的函数解析式； （3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们的高度差为8米？ 【答案】（1） （2） （3）两架无人机表演训练到2秒，10秒和14秒时，它们的高度差为8米 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）求出乙无人机的速度，进而求出乙无人机到达距离地面的高度为48米时的时间，用表演完成时的时间减去开始表演的时间，求解即可； （2）求出甲无人机的速度，结合点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）分甲单独表演之前和单独表演时和单独表演之后，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知：乙无人机的速度为：， ∴当乙无人机到达距离地面时，所用时间为：， ∴联合表演时长； 答：联合表演时长为； 【小问2详解】 由（1）可知：， 联合表演前：甲无人机的速度为：， 设直线的解析式为：，把代入，得：， 解得：； ∴； 【小问3详解】 ①当甲无人机单独表演之前：，解得：； 由（2）知：直线的解析式为：， 当时，，即：无人机甲从到，进而单独表演， ②当甲无人机单独表演时：时，； ③当甲无人机单独表演之后，时，； 综上：两架无人机表演训练到2秒，10秒和14秒时，它们的高度差为8米． 25. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． （1）[尝试初探]点______“美好点”（填“是”或“不是”）； （2）[深入探究]①若“美好点”在双曲线上，则______； ②在①的条件下，在双曲线，画出，求的值； （3）[拓展延伸]我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式； ②对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）不是 （2）①18； ②画出图如图所示， （3）①； ②对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，三角形的面积公式，待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，审清题意并理解“美好点”的含义是解题的关键． （1）验证矩形的周长与面积的数值是否相等，即验证横纵坐标的绝对值之和是否等于横纵坐标的绝对值的乘积； （2）①根点E是“美好点”，求出m，再将点E代入双曲线方程就可求出k；②根据“在双曲线上”求出n，再用待定系数法求出直线的方程，从而求出它与x轴的交点，最后利用求即可； （3）①根据点是第一象限内的“美好点”，利用“美好点”的定义即可求出y关于x的函数表达式；②将①中的关系式代入得出定值，从而得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴点不是“美好点”， 故答案为：不是； 【小问2详解】 解：①∵是“美好点”， ∴， 解得：， ∴， 将代入双曲线中，得， 故答案为：18； ②∵， ∴双曲线的解析式是：． ∵在双曲线上， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 令直线与轴交于点， 当时，， 解得：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①∵点是第一象限内的“美好点”， ∴， 化简得：， ∵第一象限内的点的横坐标为正， ∴， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为：； ②∵， ∴， ∴对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二O二六年春半期质量自主监测 八年级·数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题12小题，每题4分，共48分） 1. 下列各式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 近年来，中国芯片技术取得重大突破，芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁．已知，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 分式的值为0的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 5. 施工队要铺设米的管道，因在中考期间无法施工，为确保能在中考前铺设完管道，实际铺设时工作效率比原计划提高了，最终提前天完成了这一任务，设原计划每天铺设管道的长度为米，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若点与点关于原点成中心对称，则的值是（　　） A. B. C. D. 7. 小明听到弟弟诵读诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”时，他想借助图象大致刻画出诗句中儿童从学校放学回家，再到田野这段时间内，离家距离的变化情况．下列图象中能大致刻画这段时间儿童离家距离与时间关系的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线y=kx+b不经过第二象限，则下列结论正确的是（　　） A. k＞0, b＜0 B. k＞0, b≤0 C. k＜0, b＜0 D. k＜0, b≥0 9. 如图，一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点A的坐标为，直线l的表达式为：，将直线l沿y轴向上平移m个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 下列与反比例函数图象有关的图形中，阴影部分面积最小的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为4，曲线是双曲线的一部分，已知点的横坐标为4，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（ ） A. 10 B. C. D. 15 二、填空题（本大题6小题，每题4分，共24分） 13. 在函数中，自变量x的取值范围是___________． 14. 计算，并把结果化成只含有正整数指数幂形式为______． 15. 已知反比例函数的图象经过点，当时，函数值y随自变量x的增大而_____．（填“增大”或“减小”） 16. 若关于的分式方程无解，则的值为___________． 17. 如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标是_____． 18. 小明和爸爸周末前往游泳馆进行游泳训练，他们都在长为50m的笔直泳道进行匀速往返游泳．起点和终点分别为泳道两端，两人同时从起点出发，到达终点后，立即转身游向起点，到达起点后，又立即转身游向终点……已知爸爸游泳的速度大于小明游泳的速度．训练过程中，父子间的距离和游泳时间的部分图象如图所示．以下结论：①爸爸的速度为；②小明的速度为；③点代表的实际意义是：经过秒，小明和爸爸第一次相遇；④在15分钟内，两人一共相遇16次．正确的有___________．（请填写序号） 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19. 计算： （1） （2） 20. 解方程： 21. 先化简，再求值：，再从，，，中选一个合适的整数作为的值代入求值． 22. 播州区苟坝会议会址是红色旅游热门景点，为提升游客体验，景区引入了两种电动观光车接驳游客．某兴趣小组以此为契机，开展了以“景区观光车运行与采购方案设计”为主题的项目式学习． 素材 A型观光车比B型观光车平均每小时少行驶4千米．A型观光车从景区入口到陈列馆行驶6千米的时间与B型观光车从景区入口到会议旧址行驶7.2千米的时间相同． 问题解决 任务1 （1）求两种观光车的速度． 任务2 （2）若景区计划采购观光车共15辆，A型每辆8万元，B型每辆10万元．若15辆车都在行驶的情况下，1小时行驶总路程不少于310千米，应如何采购才能使总费用最低？ 23. 如图，已知直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点． （1）求直线的表达式； （2）求的面积； （3）点是直线上的一个动点，且，求点的坐标． 24. 无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，乙无人机继续匀速上升．当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面的高度为48米时，进行了时长为秒的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与无人机飞行的时间（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： （1）求联合表演时长； （2）求线段所在直线的函数解析式； （3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们的高度差为8米？ 25. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． （1）[尝试初探]点______“美好点”（填“是”或“不是”）； （2）[深入探究]①若“美好点”在双曲线上，则______； ②在①的条件下，在双曲线，画出，求的值； （3）[拓展延伸]我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式； ②对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $